Akademia Techniczno-Rolnicza w Bydgoszczy Instytut Matematyki i Fizyki - Laboratorium Fizyczne
Imię i nazwisko: Patryk Witt Fizyka Techniczna, semestr III, data ćwiczenia: 13.11.06, data opracowania: 25.11.06
Ćwiczenie: Temat:	21 Pomiar oporów elektrycznych metodą mostka Wheatstone'a.

I. Opis Teoretyczny

Co to w ogóle jest opór elektryczny?

Rezystancja jest miarą oporu, z jakim element przeciwstawia się przepływowi prądu elektrycznego.

Zwyczajowo rezystancję oznacza się symbolem R. Jednostką rezystancji w układzie SI jest om (1 Ω).

Odwrotność rezystancji to konduktancja, której jednostką jest simens.

Dla większości materiałów ich rezystancja nie zależy od wielkości przepływającego prądu lub wielkości przyłożonego napięcia. Prąd i napięcie są wtedy do siebie proporcjonalne, a współczynnik proporcjonalności to właśnie rezystancja. Zależność ta znana jest jako prawo Ohma.

Miarą oporu, z jaką dany materiał przeciwstawia się przepływowi prądu elektrycznego, jest rezystywność. Jeżeli znamy wymiary geometryczne elementu i rezystywność materiału, z jakiego został wykonany, to jego rezystancję obliczamy według wzoru:
, gdzie l - długość elementu, S - pole przekroju poprzecznego elementu, ρ - rezystywność materiału.

Rezystancja dotyczy tylko elementów czysto rezystancyjnych (rezystor). Uogólnieniem i rozwinięciem pojęcia rezystancji na elementy rezystancyjne, pojemnościowe (kondensator) i indukcyjne (cewka) jest impedancja. Rezystancja jest wówczas częścią rzeczywistą impedancji zespolonej.

Czym w takim razie jest rezystywność?

Rezystywność (rezystancja właściwa) to miara oporu z jakim materiał przeciwstawia się przepływowi prądu elektrycznego. Rezystywność jest zazwyczaj oznaczana jako ρ (mała grecka litera rho).

Jednostką rezystywności w układzie SI jest om∙metr (1 Ωm).

Odwrotność rezystywności to konduktywność.

Rezystywność materiału wyznaczyć można znając wymiary geometryczne i rezystancję jednorodnego bloku danego materiału:

gdzie: R - rezystancja, S - pole przekroju poprzecznego elementu, l - długość elementu.

W ogólności rezystywność metali wzrasta wraz z temperaturą, a rezystywność półprzewodników zmniejsza się przy wzroście temperatury.

Rezystywność niektórych materiałów w specyficznych warunkach znika całkowicie; zjawisko to nazywamy nadprzewodnictwem.

Tabela rezystywności niektórych materiałów (w temp. 20 stopni Celsjusza), [Ωm] :

srebro	1,59 x 10^-8
miedź	1,7 x 10^-8
złoto	2,44 x 10^-8
aluminium	2,82 x 10^-8
żelazo	10 x 10^-8
platyna	11 x 10^-8
ołów	22 x 10^-8
węgiel	3,5 x 10^-5
german	0,46
krzem	640
szkło	10^10 - 10^14
guma	około 10^13
siarka	10^15

Kim był Georg Ohm?

Georg Simon Ohm (16.3.1787 - 7.7.1854), fizyk niemiecki, profesor politechniki w Norymberdze w latach 1833-1849 i uniwersytetu w Monachium po roku 1849.

Prace głównie z zakresu elektryczności i akustyki. Sformułował (1826) i udowodnił prawo opisujące związek pomiędzy natężeniem prądu elektrycznego a napięciem elektrycznym (tzw. Prawo Ohma). Badał nagrzewanie się przewodników przy przepływie prądu elektrycznego.

Badając zależność oporu od formy geometrycznej przewodnika udowodnił istnienie oporności właściwej. W 1843 stwierdził, że najprostsze wrażenie słuchowe jest wywołane drganiami harmonicznymi, przy czym ucho jest zdolne rozkładać dźwięki na składowe sinusoidalne.

O czym mówi prawo Ohma?

Prawo Ohma mówi, że natężenie prądu stałego I jest proporcjonalne do całkowitej siły elektromotorycznej w obwodzie zamkniętym lub do różnicy potencjałów (napięcia elektrycznego) między końcami części obwodu nie zawierającej źródeł siły elektromotorycznej. Prawidłowość tę odkrył w 1827 roku niemiecki fizyk, profesor politechniki w Norymberdze i uniwersytetu w Monachium Georg Simon Ohm. Można ją opisać jako:

Współczynnik proporcjonalności w tej relacji nazywany jest konduktancją, oznaczaną przez G.

lub w ujęciu tradycyjnym:

Prawo Ohma określa opór elektryczny przewodnika:

Prawo to jest prawem doświadczalnym i jest dość dokładnie spełnione dla ustalonych warunków przepływu prądu, szczególnie temperatury przewodnika. Materiały, które się do niego stosują, nazywamy przewodnikami omowymi lub "przewodnikami liniowymi" - w odróżnieniu od przewodników nieliniowych, w których opór jest funkcją natężenia płynącego przez nie prądu. Ze wszystkich materiałów przewodzących prawo Ohma najdokładniej jest spełnione w przypadku metali.

Dla przewodników nie spełniających prawa Ohma oprócz wyżej wymienionego prawa, zwanego tu prawem statycznym, określa się też dynamiczne (różniczkowe) prawo Ohma:

• różniczkowe prawo Ohma:

Interpretacja prawa Ohma.

Prawo Ohma mówi nam, że natężenie płynącego przez przewodnik prądu dokładnie „nadąża” za zmianami napięcia. Gdy napięcie wzrasta 2-krotnie, wtedy wywołany tym napięciem przepływ prądu też osiągnie natężenie 2 razy większe, gdy napięcie wzrośnie 5-krotnie, to natężenie prądu też powinno wzrosnąć 5 razy w stosunku do wartości początkowej, itd.

Jeszcze inaczej mówiąc:

Natężenie prądu, będące efektem przyłożonego napięcia, zachowuje się proporcjonalnie do swojej przyczyny.

Prawo Ohma jest spełniane przez część materiałów - głównie przez metale i materiały ceramiczne. Jest jednak dużo substancji które prawa Ohma nie spełniają, czyli natężenie przepływającego przez nie prądu zmienia się w sposób nieproporcjonalny do napięcia.

Kiedy prawo Ohma jest spełnione?

Prawo Ohma jest prawem materiałowym (nie uniwersalnym), co oznacza, że sprawdza się tylko dla niektórych materiałów - substancji. Poza tym prawo to jest słuszne tylko w określonych napięć i przy ustalonych warunkach zewnętrznych (np. stała powinna być temperatura).

Prawo Ohma jest spełniane głównie przez metale i materiały ceramiczne. Jest jednak dużo substancji, które prawa Ohma nie spełniają, czyli natężenie przepływającego przez nie prądu zmienia się w sposób nieproporcjonalny do napięcia. Poza tym stosowalność prawa Ohma może istotnie zależeć od zakresu napięć - np. w typowych sytuacjach przy małych napięciach natężenie jest proporcjonalne do napięcia, ale po przejściu w zakres dużych napięć, proporcjonalność się załamuje.

Kim był Gustav Kirchhoff?

Gustav Robert Kirchhoff (ur. 12 marca 1824 w Królewcu, zm. 17 października 1887 w Berlinie) - fizyk niemiecki, badacz zjawisk elektrycznych, elektromechanicznych, cieplnych i optycznych, oraz dotyczących sprężystości ciał stałych i przepływów cieczy, twórca podstaw fizyki matematycznej, sformułował prawa Kirchhoffa będące dzisiaj podstawowymi prawami dotyczącymi przepływu prądu stałego w obwodach, oraz prawo promieniowania temperaturowego. Wraz z Robertem Bunsenem opracował metodę analizy spektralnej (spektroskopię), dzięki której obaj uczeni odkryli potem dwa nowe pierwiastki - rubid i cez.

Członek Berlińskiej, Paryskiej i Petersburskiej Akademii Nauk. Profesor fizyki na uniwersytetach we Wrocławiu (1850-1854), Heidelbergu (1854-1875) i Berlinie (1876 do śmierci).

Pierwsze prawo Kirchhoffa.

Prawo to dotyczy przepływu prądu w rozgałęzieniach obwodu elektrycznego, sformułowane zostało w 1845 roku przez Gustawa Kirchhoffa. Wynika ono z zasady zachowania ładunku. Wraz z drugim prawem Kirchhoffa umożliwia określenie przepływających prądów w obwodach elektrycznych.

Prawo to brzmi: „Suma algebraiczna natężeń prądów dopływających(+) i odpływających(-) z danego węzła jest równa 0.” lub „Suma natężeń prądów dopływających do węzła jest równa sumie natężeń prądów wypływających z tego węzła.”

W zależności od użytego aparatu matematycznego prawo to jest w różny sposób przedstawiane w postaci wzorów.

Dla każdego węzła obwodu elektrycznego suma algebraiczna wartości chwilowych prądów jest równa zeru.

Przyjmuje się konwencję, że prądy zwrócone do węzła mają znak (+), zaś prądy ze zwrotem od węzła mają znak (-), np.:

Ściślej:

Całka po powierzchni zamkniętej gęstości prądu jest równa zero:

j - gęstość prądu (A/m²)

S - powierzchnia (m²)

Pierwsze prawo Kirchhoffa jest prostą konsekwencją zasady zachowania ładunku oraz stwierdzenia, że w węźle praktycznie nie może gromadzić się ładunek.

Drugie prawo Kirchhoffa.

Drugie prawo Kirchhoffa - zwane również Prawem napięciowym, dotyczy bilansu napięć w zamkniętym obwodzie elektrycznym.

„Suma wartości chwilowych sił elektromotorycznych występujących w obwodzie zamkniętym równa jest sumie wartości chwilowych napięć elektrycznych na elementach pasywnych tego obwodu”:

Przykładowy obwód zamknięty:

Prawo to można także zapisać w postaci całkowej:

, gdzie: E jest wektorem natężenia pola elektrostatycznego

Łączenie szeregowe oporów:

Jest to taki rodzaj połączenia elementów elektrycznych, w którym koniec jednego elementu łączy się z początkiem następnego. Połączenie takie tworzy szereg (łańcuch) elementów, w którym prąd elektryczny musi przepływać kolejno przez wszystkie elementy (natężenie prądu ma więc taką samą wartość dla wszystkich elementów w połączeniu szeregowym). Napięcie wypadkowe układu równe jest sumie napięć na poszczególnych oporach.

ostatecznie otrzymujemy:

Możemy więc powiedzieć, że opór zastępczy kilku oporników połączonych szeregowo równa się sumie ich poszczególnych oporów. Opór zastępczy w połączeniu szeregowym jest zawsze większy od największego oporu występującego w układzie.

Łączenie równoległe oporów:

Jest to taki rodzaj połączenia elementów elektrycznych, w którym wszystkie końce oraz wszystkie początki składowych elementów są połączone razem. Połączenie takie tworzy odpowiednią ilość gałęzi, w których mogą płynąć różne prądy, ale które zasilane są takim samym napięciem elektrycznym.

ostatecznie otrzymujemy:

W tym przypadku można powiedzieć, że odwrotność oporu zastępczego kilku oporników połączonych równolegle równa się sumie odwrotności ich poszczególnych oporów. Ponadto opór zastępczy w takim połączeniu jest zawsze mniejszy od najmniejszego oporu występującego w układzie.

Mostek Wheatstone'a:

Dokładny pomiar oporu elektrycznego możemy przeprowadzić metodą mostka Wheatstone'a. Polega ona na porównaniu oporu znanego z oporem nieznanym. Mostek taki składa się z dwóch równolegle połączonych rozgałęzień: ACB i ADB. W jednym rozgałęzieniu znajdują się opory R₁ i R₂, a w drugim R₃ i R₄. oba rozgałęzienia połączone są mostkiem CD, w którym znajduje się czuły galwanometr G. Prąd doprowadzany do mostka rozgałęzia się w punktach A i B.

Pomiar oporu nieznanego sprowadza się do doprowadzenia mostka do stanu równowagi za pomocą zmiany wartości oporów znanych. Mostek jest w równowadze kiedy między punktami C i D różnica potencjałów jest równa 0, czyli przez galwanometr nie płynie prąd (I_G=0).

Jeżeli między punktami C i D nie płynie prąd to napięcie pomiędzy tymi punktami musi być równe zeru, tzn. potencjały w tych punktach muszą być jednakowe. Wobec tego, między punktami A i B panuje różnica potencjałów V, która zapewnia odpowiednie spadki napięć w rozgałęzieniach. Ponieważ napięcie między C i D jest równe zeru, więc spadki napięć na odcinkach AC i AD oraz CB i DB są między sobą równe.

,

Wprowadzając oznaczenia natężeń prądu płynącego w rozgałęzieniach i stosując prawo Ohma, otrzymamy równania wyrażające równość wymienionych spadków napięć:

,

Ponieważ przez mostek CD nie płynie prąd, korzystając z pierwszego prawa Kirchhoffa:

,

Dzieląc równania stronami otrzymujemy więc:

Z powyższego wzoru możemy więc obliczyć wartość nieznanego oporu (np. R₁) dysponując znajomością wartości pozostałych oporów.

W mostkach technicznych rezystancje znane (np. R₃ i R₄) zastąpione są oporowym drutem ślizgowym, po którym przesuwa się ruchomy styk. Styk ten zaopatrzony jest w tarczę z podziałką pozwalającą odczytać wartość stosunku R₃/R₄. Rezystor R₂ wykonany jest jako dekadowy, umożliwiający nastawienie odpowiednich wartości.

Czasem wszystkie elementy układu mostkowego, łącznie ze źródłami zasilającymi w mostkach technicznych umieszczone są we wspólnej obudowie miernika. Możliwe jest również zasilanie mostka ze źródła zewnętrznego.

Zakres pomiarowy mostka Wheatstone'a zawiera się najczęściej w granicach od 1Ω do 10⁴Ω. Dolna granica wynika z wpływu dodatkowej rezystancji przewodów łączeniowych oraz rezystancji miejsc styku przewodów z badanym rezystorem na rezystancję mierzoną R₁. Górna granica zakresu pomiarowego jest uzależniona od czułości zastosowanego wskaźnika równowagi mostka (galwanometru), wartości napięcia źródła zasilania oraz rezystancji R₂, R₃ i R₄.

II. Wyniki pomiarów

Dla:	R1
	1	2	3	4	5
L1 [cm]	27,8	49,5	50,6	49,5	50,6
L2 [cm]	72,2	50,5	49,4	50,5	49,4
R [Ω]	100	39	38	39	38
X [Ω]	38,5	38,2	38,9	38,2	38,9
Dla:	R2
	1	2	3	4	5
L1 [cm]	60,8	50,6	49,4	50,5	49,6
L2 [cm]	39,2	49,4	50,6	49,5	50,4
R [Ω]	100	155	159	155	158
X [Ω]	155,1	158,8	155,2	158,1	155,5
Dla:	R3
	1	2	3	4	5
L1 [cm]	72,8	50,5	49,4	50,5	49,5
L2 [cm]	27,2	49,5	50,6	49,5	50,5
R [Ω]	100	268	273	267	272
X [Ω]	267,6	273,4	266,5	272,4	266,6
Dla:	R4
	1	2	3	4	5
L1 [cm]	86,5	49,4	50,5	49,6	50,5
L2 [cm]	13,5	50,6	49,5	50,4	49,5
R [Ω]	100	641	626	639	629
X [Ω]	640,7	625,8	638,6	628,9	641,7
Dla:	R1-R4 szeregowo
	1	2	3	4	5
L1 [cm]	92,1	49,2	49,9	49,8	50,5
L2 [cm]	7,9	50,8	50,1	50,2	49,5
R [Ω]	100	1166	1129	1125	1116
X [Ω]	1165,8	1129,3	1124,5	1116,0	1138,5
Dla:	R1-R4 równolegle
	1	2	3	4	5
L1 [cm]	20,7	50,3	50,2	50,2	50,2
L2 [cm]	79,3	49,7	49,8	49,8	49,8
R [Ω]	100	26	26	26	26
X [Ω]	26,1	26,3	26,2	26,2	26,2

III. Obliczenia

Z pomiarów:

Z obliczeń:

IV. Szacowanie niepewności

Dla R₁:

Dla R₂:

Dla R₃:

Dla R₄:

Dla R_szer:

Dla R_równ:

Ostatecznie otrzymujemy:

V. Wnioski

Otrzymane wyniki przy połączeniach szeregowym i równoległym odbiegają o ok. 3% i 1,5% od wartości wyliczonych na podstawie zmierzonych, poszczególnych oporów R₁-R₄.

Na fakt ten mogły mieć wpływ następujące czynniki:

- niedokładnie prostoliniowy drut ślizgowy

- zbyt mała czułość galwanometru

- siły termoelektryczne

- zmiana rezystancji we wszystkich gałęziach mostka, spowodowana zmianami temperatury

- wpływ rezystancji przewodów łączących i styków

---