Biologia; zadania na …………………….
1. Definicja iloczynu skalarnego dwóch wektorów; definicja iloczynu wektorowego dwóch wektorów.
2. Dane są dwa wektory o następujących współrzędnych : a[3,1,2] ; b[-2,1,2]. Proszę policzyć ich iloczyn skalarny oraz iloczyn wektorowy.
3. Dane są trzy siły. Są zaczepione w jednym punkcie, każda ma wartość F newtonów. Kąt między nimi wynosi (między każdą parą) 60 stopni. Jaka jest wartość siły wypadkowej W ? Wskazówka jeśli wektorowo
W=F1+F2+F3, to W○W=(F1+F2+F3)○(F1+F2+F3) ; symbol ○ oznacza tu mnożenie skalarne wektora przez wektor.
4. Dany jest dowolny trójkąt. Jego boki można opisać jako wektory, wtedy w zapisie wektorowym c=a+b ; a,b,c to długości boków. Proszę udowodnić twierdzenie cosinusów, korzystając z iloczynu skalarnego wektorów.
Twierdzenie cosinusów: dla dowolnego trójkąta o bokach a,b,c jest spełnione
c2 = a2 + b2 - 2abcosγ , gdzie kąt γ jest kątem wewnętrznym trójkąta pomiędzy bokami a oraz b.
Wskazówka: skoro c=a+b, to można lewą stronę tej równości pomnożyć skalarnie przez wektor c, a prawą skalarnie przez wektor (a+b) .
5. Ciało porusza się po okręgu o promieniu A, umieszczonym w początku układu współrzędnych kartezjańskich XOY. t oznacza czas; ciało porusza się tak, że jego wektor położenia ma następujące współrzędne x oraz y: x=Acos(ωt), y=Asin(ωt) ; ω jest stałe, nazywa się prędkością kątową.
Proszę policzyć, jakie są współrzędne wektorów prędkości oraz przyśpieszenia ciała (w tym celu należy wykonać różniczkowanie po czasie). Mając współrzędne wektorów: położenia, prędkości, przyśpieszenia proszę udowodnić, że wektor położenia oraz wektor prędkości są do siebie prostopadłe (wskazówka: gdy wektory są prostopadłe, to ich iloczyn skalarny jest równy 0). Czy wektory położenia oraz przyśpieszenia są do siebie równoległe ?
6. Zawodnik uderza w piłkę tak, że leci ona pod kątem 45 stopni do poziomu i spada na ziemię w odległości 40 metrów. Proszę znaleźć prędkość początkową piłki oraz czas lotu piłki. Przyśpieszenie ziemskie wynosi w przybliżeniu 10 m/s2 .
7. Czy to prawda, że rzuty wykonane z tą sama prędkością początkową pod kątami (45o - α) oraz (45o + α) mają ten sam zasięg ?
8 Naelektryzowano dwie kulki ładunkiem o tym samym znaku (odpychają się). Zawieszono je na nieprzewodzących nieważkich nitkach, o tej samej długości. Początki nitek zawieszono na tym samym poziomie. Kulki odchyliły się tak, że jedna i druga nitka tworzy ten sam kąt z pionem. Co można powiedzieć o masach kulek ? (wskazówka: oczywiście dana nitka wskazuje kierunek działającej siły, która równoważy pozostałe dwie siły działające na daną kulkę).
9. Motorówka poruszała się przez 6000 metrów z prędkością 20 m/s, a przez następne 6000 metrów z prędkością 40 m/s. Jaka jest prędkość średnia motorówki na dystansie łącznym 12000 metrów ?
10. Rzeka płynie z prędkością 2m/s. Spływa z nią koło ratunkowe. Dwie motorówki, wyruszają od koła ratunkowego jedna w górę rzeki, druga w dół rzeki. Prędkość każdej motorówki to 4 m/s. Motorówki płyną przez godzinę, po czym zawracają i płyną w kierunku koła ratunkowego. Jak daleko będą od koła ratunkowego w momencie spotkania ?