Korelacja cech jakościowych

Wzór na statystykę χ² w przypadku, gdy liczba wierszy lub kolumn jest większa niż 2:

gdzie:

(dwie sumy oznaczają sumy wierszy i kolumn) [i] oznacza numer wiersza (np. i=1 oznacza 1-szy wiersz) [j] oznacza numer kolumny (np. j=1 oznacza 1-szą kolumnę) [r] oznacza liczbę wierszy [c] oznacza liczbę kolumn

sumy w liczniku oznaczają sumę i-tego wiersza (np. 1-szego) oraz sumę j-tej kolumny (np. 2-giej) [n] oznacza liczbę wszystkich badanych jednostek

Zadanie 1) W dziale ubezpieczeń samochodowych PZU przypuszcza się, że wysokość odszkodowań samochodowych zależy od typu auta. W tym celu zbadano 1 000 samochodów:

Typ	Wysokość odszkodowań (w zł)			Suma
samochodu	Poniżej 500	500 - 1000	Powyżej 1000
Osobowy	300	200	100	600
Dostawczy	30	170	200	400
Suma	330	370	300	n=1000

Czy przypuszczenie to jest prawdziwe? Oceń siłę tej zależności.

ROZWIĄZANIE:

Zaprezentowana tabela nazywa sie tabelą kontyngencji

Składa się z r=2 wierszy oraz c=3 kolumn, więc trzeba zastosować powyższy wzór na χ², a nie ten uproszczony dla tabel 2x2 (z symbolami a,b,c,d - zadanie 2)

Zaczynamy od zsumowania wszystkich wierszy i kolumn (na czerwono)

Następnie sporządzamy tabelkę pomocniczą:

(i,j) (wypisujemy wszystkie przypadki)*	(przepisujemy z tabeli kontyngencji)	(obliczamy ze wzoru na górze)
1,1 1,2 1,3 2,1 2,2 2,3	300 200 100 30 170 200	222 180 132 148 120	2,2 35,6 78,8 3,3 53,3
			∑ = 225,7 = χ^2

* np. 1,3 oznacza 1-szy wiersz oraz 3-cią kolumnę

Suma ostatniej kolumny to statystyka χ²

Następnie obliczamy współczynnik kontyngencji C Pearsona, C_max oraz C_kor, który da odpowiedź jak jest siła zależności:

od 0 do 0,3 - mała siła zależności

od 0,3 do 0,5 - umiarkowana

od 0,5 do 1 - duża

C = 0,43 C_max = 0,76 C_kor = 0,57

Odp. Między typem samochodu a wysokością odszkodowania występuje silna zależność (ponieważ C_kor przekroczył 0,5)

Zadanie 2) Zbadano związek między płcią o preferowanym miejscem wyjazdu na wakacje:

Płeć	Miejsce wyjazdu
		Morze	Góry
Kobieta	90	10
Mężczyzna	20	80

Oceń jaka jest jego siła.

ROZWIĄZANIE:

Tym razem tabela składa się z 2 wierszy i 2 kolumn, zatem możemy zastosować wzór uproszczony na statystykę χ²:

gdzie:

a = 90	b = 10
c = 20	d = 80

Dodatkowo n = 200 (tyle było wszystkich badanych osób)

Po obliczeniach otrzymujemy χ² = 99; C = 0,58; C_max = 0,71; C_kor = 0,82

Odp. Między płcią a preferowanym miejscem wyjazdu na wakacje występuje silna zależność (ponieważ C_kor przekroczył 0,5)

---