Zadania do rozdziału 6
Zad.6.1.
Wyprowadzić równanie ruchu drgań wahadła matematycznego. Oblicz okres T
wahadła matematycznego o długości l=10 m.
Rozwiązanie:
Wahadło matematyczne jest to punkt materialny (np. w postaci kulki K o masie m i bardzo
małym promieniu) zawieszony na nieważkiej i nierozciągliwej nici. Wychylając nić o
niewielki kąt � od położenia pionowego i puszczając swobodnie kulkę K wywołujemy jej
drgania dokoła położenia równowagi D.
W dalszych rozważaniach pomijać
będziemy siły oporu zakładając, że na
kulkę działa tylko siła ciężkości F = mg .
Siłę tę rozkładamy na dwie składowe.
Jedna z nich F2 działa wzdłuż nici
powodując tylko jej naprężenie, druga F1
styczna do toru wahadła, wywołuje jego
ruch w kierunku punktu równowagi D z
przyspieszeniem a. Przyspieszenie liniowe
a obliczamy ze wzoru


a = a = �xl = � �" l

gdzie � to wektor przyspieszenia
kątowego wahadła, którego wartość
wynosi:
d2�
� =
dt2
Zatem
d2�
a = �"l
dt2
Przyspieszenie a wywołuje siła F1 = F �" sin � .
Stosując II zasadę dynamiki Newtona dla ruchu postępowego otrzymujemy
m �" a = -F1
140

Znak (-) przy F1 bo wektor F1 jest przeciwnie skierowany do wychylenia �.
d2�
m �" �"l = -mg �"sin �
dt2
d2� g
= - �" sin � (1)
2
l
dt
Widzimy, że powyższe równanie ruchu wahadła matematycznego nie jest równaniem ruchu
drgań harmonicznych o ogólnej postaci
d2A
= -�o2A (2)
2
dt
Gdy kąty � wychylenia nici od położenia pionowego są małe (nie przekraczają 5-6o),
wówczas dla � mierzonego w radianach zachodzi
sin � H" �
Wtedy równanie (1) przyjmuje postać
d2� g
= - � (3)
2
l
dt
Równanie (3) jest równaniem drgań harmonicznych wahadła matematycznego. Porównując
(2) i (3) widzimy, że
g
�o2 =
l
2Ą
�o = gdzie T  okres drgań
T
Stąd
l
T = 2Ą
g
l0 m
T = 2Ą H" 2Ąs H" 6.28s
9.81m / s2
Okres drgań wahadła matematycznego o długości l=10 m wynosi 6.28 s.
Zad.6.2.
Wyprowadz
równanie ruchu drgań wahadła fizycznego wokół osi 0 umieszczonej w
odległości d od środka ciężkości S tego wahadła. Masa wahadła wynosi m zaś moment
bezwładności wynosi I.
141
Rozwiązanie:
Wahadło fizyczne jest to bryła sztywna
dowolnego kształtu o środku ciężkości w
punkcie S, zawieszona w ten sposób, że
może się obracać bez tarcia dookoła osi
poziomej przechodzącej przez punkt 0.
Odległość 0S od środka ciężkości
do osi obrotu oznaczmy przez d, masę
bryły przez m, zaś moment bezwładności
bryły względem osi obrotu przez I.
Na rysunku wahadło jest już
wychylone od położenia równowagi.
Miarą wychylenia jest kąt � oznaczony na rysunku. W tym położeniu na wahadło działa


moment siły ciężkości M, równy M = M = d x F = -mgd sin � .
Moment M skierowuje wahadło w stronę położenia równowagi (przeciwnie do wychylenia �)
co uwzględnia znak (-).
Stosując drugą zasadę dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego bryły sztywnej otrzymujemy
I �" � = M
d2�
I �" = mgd �" sin �
2
dt
d2� mgd
= �" sin � (1)
2
I
dt
Widzimy, że powyższe równanie ruchu wahadła fizycznego nie jest równaniem ruchu drgań
harmonicznych o ogólnej postaci
d2A
= -�o2A (2)
2
dt
Gdy kąty � wychylenia wahadła od położenia pionowego są małe (nie przekraczają 5-6o),
wówczas dla � mierzonego w radianach zachodzi
sin � H" �
Wtedy równanie (1) przyjmuje postać
142
d2� mgd
= - � (3)
2
l
dt
Równanie (3) jest równaniem drgań harmonicznych wahadła fizycznego. Porównując (2) i (3)
widzimy, że częstość kołowa � drgań własnych wahadła fizycznego wynosi
mgd
�o =
l
Iloczyn mgd jest maksymalną wartością momentu siły ciężkości odpowiadającą wychyleniu
wahadła o kąt � = 90o od położenia równowagi. Nazywamy ją momentem kierującym
wahadła i oznaczamy literą D:
D=mgd.
Zatem
D
�o = , zaś okres drgań
l
l
T = 2Ą
D
Zauważmy, że wahadło matematyczne (zad.6.1) można uważać za przypadek szczególny
wahadła fizycznego. Podstawiając I = ml2 i D=mgl otrzymujemy znany wzór na okres
wahadła matematycznego:
ml2 l
T = 2Ą = 2Ą
mgl g
Zad.6.3.
Rura o przekroju S = 0,3 cm2 zgięta w kształcie litery U wypełniona jest słupem
cieczy o masie m = 121 g i gęstości � = 13,6 g/cm3.Ciecz wytrącono z położenia równowagi.
Czy drgania będą harmoniczne? Od czego zależy okres T drgań.
Rozwiązanie:
Gdy wytrącimy ciecz z równowagi o x to
na całą masę m cieczy działa siła
F(x)= -2x �" S �" � �" g powodująca powrót
cieczy do położenia równowagi.
Stosując drugą zasadę dynamiki Newtona
dla tego układu otrzymujemy
m �" a = F(x) (1)
143
d2x
Wiedząc, że a = (1) możemy zapisać:
2
dt
d2x
m �" = -2x �" S �" � �" g
2
dt
d2x 2 �" S �" � �" g
= - �" x (2)
2
m
dt
Widzimy, że równanie ruchu drgań słupa cieczy w U-rurce jest równaniem ruchu drgań
harmonicznych o ogólnej postaci
d2A
= -�o2A (3)
2
dt
Porównując (2) i (3) obliczamy
2S�g
�o = , oraz
m
m
T = 2Ą
2S�p
0.121kg
T = 2Ą E" 0.8s
2 �" (0,3 �"10-4 ) m2 (13,6 �"103) kg / m3 �" 9.81m / s2
Zad.6.4.
Obliczyć logarytmiczny dektrement tłumienia  drgań, jeżeli w ciągu t = 10 s trwania
ruchu, energia mechaniczna drgającej na sprężynie o stałej sprężystości k masy m maleje do
połowy. Okres drgań ruchu tłumionego wynosi T = 2 s.
Rozwiązanie:
Aoe-�t
Z definicji  = ln = �T
(t+T)
Aoe-�
Dla chwili t1=0 amplituda drgań wnosi: A1 = Aoe-�t1 = Ao
Dla chwili t2=t amplituda drgań wynosi: A2 = Aoe-�t1
Energia mechaniczna E w każdej chwili t drgań jest równa sumie energii potencjalnej Ep i
kinetycznej Ek i wynosi:
1
E = Ep + Ek = kA2
2
gdzie A to amplituda drgań w danej chwili.
144
Zatem
1
w chwili t1 = 0 energia układu wynosi E1 = kA12 , a
2
1
w chwili t2 = t energia układu wynosi E2 = kA22 .
2
1
E1 2 kA12 A12
Zatem = = = 2
1
E2 kA22 A22
2
A1
Czyli = 2
A2
Ale A1 = Ao , A2 = Aoe-�t
Zatem
Ao
= 2 ; e�t = 2 ; �t = ln 2
Aoe-�t
1 1
�t = ln 2 Stąd � = �" ln 2
2 2t
Znając � i T obliczamy 
T
 = �T = ln 2
2t
2s
 = �" ln 2 == 0.1ln 2 E" 0.0693
2 �"10s
Logarytmiczny dektrement tłumienia  wynosi 0.0693.
Zad.6.5.
Równanie drgań niegasnących dane jest w postaci y = 10 sin(0,5Ąt) [cm].
a) Znalez
ć równanie fali, jeśli prędkość � rozchodzenia się drgań wynosi 300 m/sek.
b) Napisać i przedstawić graficznie równanie drgań dla punktu odległego o x = 600 m od
z
ródła drgań.
c) Przedstawić analitycznie i graficznie równanie drgań dla punktów fali w momencie czasu
t = 4s od początku drgań.
Rozwiązanie:
Równanie fali możemy zapisać
145
x
�ł
(1)
y(x, t)= A sin ��ł t - �ł
�ł
�
�ł łł
Równanie (z
ródła fali) drgań niegasnących ma postać
y(t)= 10 sin(0.5Ą �" t) (2)
Równanie drgań punktu dla x=0, czyli z
ródła fali, opisane przez równanie fali (1) wynosi
0
�ł
y(0, t)= A sin�ł�t - �ł
= A sin �t (3)
�ł
�
�ł łł
Porównując (2) i (3) zauważamy, że
Ą 1
�ł łł
A=10 cm � = 0.5Ą =
�łsśł
2
�ł �ł
2Ą
Wiedząc, że � = obliczamy T
T
2Ą Ą
= ; T = 4s .
T 2
Ad.a Ogólne równanie fali ma postać
2Ą x
�ł �ł
y(x, t)=10sin t - �ł
�ł
4 300
�ł łł
Ad.b Równanie fali dla x = 600 m ma postać
2Ą 600 2Ą 2Ą
�ł �ł
y(600, t)=10sin t - �ł �ł �ł
=10sin�ł �" t - Ą�ł = -10sin t
�ł
4 300 2 2
�ł łł �ł łł
Ad.c. Równanie fali dla t=4 s ma postać
Ą x Ą �" x
�ł4 �ł �ł
y(x,4)=10sin - �ł �ł
=10sin�ł2Ą - �ł
�ł
2 300 2 �" 300
�ł łł �ł łł
Ąx
y(x,4)= -10sin
600
2Ą Ą
Widzimy, że k = =
 600
146
Zad.6.6.
Drgania akustyczne mające częstość �=500 Hz i amplitudę A=25 mm rozchodzą się w
powietrzu. Długość fali wynosi =70 cm. Znalez
ć: a) prędkość rozchodzenia się drgań, b)
maksymalną prędkość cząstek powietrza.
Rozwiązanie:
Równanie fali ma postać:
x
�ł
y(x, t)= A sin ��ł t - �ł
�ł
�
�ł łł
Ad.a Między prędkością rozchodzenia drgań �, , T i � zachodzi związek

� = =  �"�
T
1
� = 0.7 m �"500 = 350m / s
s
Prędkość rozchodzenia się drgań w powietrzu wynosi 350 m/s.
Ad.b Maksymalną prędkość drgań cząstek V obliczamy z zależności
dy d �ł x łł
�ł
V = = sin ��ł t - �łśł
�łA �ł
dt dt �
�ł łł
�ł �ł
x
�ł
V = A�cos��ł t - �ł
�ł
�
�ł łł
x
�ł
gdy cos��ł t - �ł
=1
�ł
�
�ł łł
to Vmax = A�
2Ą
Ale � = = 2Ą�
T
Wtedy Vmax = A �" 2Ą�
147
1
Vmax = 0.025m �"6.28�"500
s
Vmax = 78.5m / s
Maksymalna prędkość drgań cząstek powietrza wynosi 78.5 m/s.
Zad.6.7.
Jaką różnicę faz "Ć będą miały drgania dwóch punktów, znajdujących się w
odległości x1=10 m i x2=16 m od z
ródła drgań. Okres drgań wynosi T = 0,04 s. i prędkość
rozchodzenia się drgań - �=300 m/sek.
Rozwiązanie:
Równanie fali ma postać
x
�ł
y(x, t)= A sin ��ł t - �ł
= A sin Ć (1)
�ł
�
�ł łł
x
�ł
gdzie Ć = ��ł t - �ł
- to faza drgań punktu (x,t).
�ł
�
�ł łł
x1
�ł �ł
y(x1, t)= A sin[Ć(x1, t)]= A sin � t - �ł
�ł
�
�ł łł
x
�ł �ł
2
y(x , t)= A sin[Ć(x , t)]= A sin � t - �ł
�ł
2 2
�
�ł łł
Zatem różnica faz "Ć = Ć(x , t)- Ć(x1, t)
2
x x1 x1 2
�ł �ł �ł �ł - x
2
"Ć = � t - �ł - � t - �ł = �
�ł �ł
� � �
�ł łł �ł łł
2Ą
Ale � =
T
x1 2
2Ą - x
Więc "Ć =
T �
2Ą(x1 - x )
2
"Ć =

 = � �" T = 300 m / s �" 0.04 =12 m
x1 - x = 10 m - 16 m = -6 m
2
2Ą(- 6 m)
"Ć = = -Ą
12 m
Różnica faz "Ć drgań dwu punktów x1 i x2 wynosi -Ą.
148