Zadania do rozdziału 6
Zad.6.1.
Wyprowadzić równanie ruchu drgań wahadła matematycznego. Oblicz okres T
wahadła matematycznego o długości l=10 m.
RozwiÄ…zanie:
Wahadło matematyczne jest to punkt materialny (np. w postaci kulki K o masie m i bardzo
małym promieniu) zawieszony na nieważkiej i nierozciągliwej nici. Wychylając nić o
niewielki kÄ…t ² od poÅ‚ożenia pionowego i puszczajÄ…c swobodnie kulkÄ™ K wywoÅ‚ujemy jej
drgania dokoła położenia równowagi D.
W dalszych rozważaniach pomijać
będziemy siły oporu zakładając, że na
kulkę działa tylko siła ciężkości F = mg .
Siłę tę rozkładamy na dwie składowe.
Jedna z nich F2 działa wzdłuż nici
powodując tylko jej naprężenie, druga F1
styczna do toru wahadła, wywołuje jego
ruch w kierunku punktu równowagi D z
przyspieszeniem a. Przyspieszenie liniowe
a obliczamy ze wzoru


a = a = µxl = µ Å" l

gdzie µ to wektor przyspieszenia
kątowego wahadła, którego wartość
wynosi:
d2²
µ =
dt2
Zatem
d2²
a = Å"l
dt2
Przyspieszenie a wywoÅ‚uje siÅ‚a F1 = F Å" sin ² .
Stosując II zasadę dynamiki Newtona dla ruchu postępowego otrzymujemy
m Å" a = -F1
140

Znak (-) przy F1 bo wektor F1 jest przeciwnie skierowany do wychylenia ².
d2²
m Å" Å"l = -mg Å"sin ²
dt2
d2² g
= - Å" sin Õ (1)
2
l
dt
Widzimy, że powyższe równanie ruchu wahadła matematycznego nie jest równaniem ruchu
drgań harmonicznych o ogólnej postaci
d2A
= -Éo2A (2)
2
dt
Gdy kÄ…ty ² wychylenia nici od poÅ‚ożenia pionowego sÄ… maÅ‚e (nie przekraczajÄ… 5-6o),
wówczas dla ² mierzonego w radianach zachodzi
sin ² H" ²
Wtedy równanie (1) przyjmuje postać
d2² g
= - Õ (3)
2
l
dt
Równanie (3) jest równaniem drgań harmonicznych wahadła matematycznego. Porównując
(2) i (3) widzimy, że
g
Éo2 =
l
2Ä„
Éo = gdzie T  okres drgaÅ„
T
StÄ…d
l
T = 2Ä„
g
l0 m
T = 2Ä„ H" 2Ä„s H" 6.28s
9.81m / s2
Okres drgań wahadła matematycznego o długości l=10 m wynosi 6.28 s.
Zad.6.2.
Wyprowadz
równanie ruchu drgań wahadła fizycznego wokół osi 0 umieszczonej w
odległości d od środka ciężkości S tego wahadła. Masa wahadła wynosi m zaś moment
bezwładności wynosi I.
141
RozwiÄ…zanie:
Wahadło fizyczne jest to bryła sztywna
dowolnego kształtu o środku ciężkości w
punkcie S, zawieszona w ten sposób, że
może się obracać bez tarcia dookoła osi
poziomej przechodzÄ…cej przez punkt 0.
Odległość 0S od środka ciężkości
do osi obrotu oznaczmy przez d, masÄ™
bryły przez m, zaś moment bezwładności
bryły względem osi obrotu przez I.
Na rysunku wahadło jest już
wychylone od położenia równowagi.
MiarÄ… wychylenia jest kÄ…t ¸ oznaczony na rysunku. W tym poÅ‚ożeniu na wahadÅ‚o dziaÅ‚a


moment siÅ‚y ciężkoÅ›ci M, równy M = M = d x F = -mgd sin ¸ .
Moment M skierowuje wahadÅ‚o w stronÄ™ poÅ‚ożenia równowagi (przeciwnie do wychylenia ¸)
co uwzględnia znak (-).
Stosując drugą zasadę dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego bryły sztywnej otrzymujemy
I Å" µ = M
d2¸
I Å" = mgd Å" sin ¸
2
dt
d2¸ mgd
= Å" sin ¸ (1)
2
I
dt
Widzimy, że powyższe równanie ruchu wahadła fizycznego nie jest równaniem ruchu drgań
harmonicznych o ogólnej postaci
d2A
= -Éo2A (2)
2
dt
Gdy kÄ…ty ¸ wychylenia wahadÅ‚a od poÅ‚ożenia pionowego sÄ… maÅ‚e (nie przekraczajÄ… 5-6o),
wówczas dla ¸ mierzonego w radianach zachodzi
sin ¸ H" ¸
Wtedy równanie (1) przyjmuje postać
142
d2¸ mgd
= - ¸ (3)
2
l
dt
Równanie (3) jest równaniem drgań harmonicznych wahadła fizycznego. Porównując (2) i (3)
widzimy, że czÄ™stość koÅ‚owa É drgaÅ„ wÅ‚asnych wahadÅ‚a fizycznego wynosi
mgd
Éo =
l
Iloczyn mgd jest maksymalną wartością momentu siły ciężkości odpowiadającą wychyleniu
wahadÅ‚a o kÄ…t ¸ = 90o od poÅ‚ożenia równowagi. Nazywamy jÄ… momentem kierujÄ…cym
wahadła i oznaczamy literą D:
D=mgd.
Zatem
D
Éo = , zaÅ› okres drgaÅ„
l
l
T = 2Ä„
D
Zauważmy, że wahadło matematyczne (zad.6.1) można uważać za przypadek szczególny
wahadła fizycznego. Podstawiając I = ml2 i D=mgl otrzymujemy znany wzór na okres
wahadła matematycznego:
ml2 l
T = 2Ä„ = 2Ä„
mgl g
Zad.6.3.
Rura o przekroju S = 0,3 cm2 zgięta w kształcie litery U wypełniona jest słupem
cieczy o masie m = 121 g i gÄ™stoÅ›ci Á = 13,6 g/cm3.Ciecz wytrÄ…cono z poÅ‚ożenia równowagi.
Czy drgania będą harmoniczne? Od czego zależy okres T drgań.
RozwiÄ…zanie:
Gdy wytrącimy ciecz z równowagi o x to
na całą masę m cieczy działa siła
F(x)= -2x Å" S Å" Á Å" g powodujÄ…ca powrót
cieczy do położenia równowagi.
StosujÄ…c drugÄ… zasadÄ™ dynamiki Newtona
dla tego układu otrzymujemy
m Å" a = F(x) (1)
143
d2x
Wiedząc, że a = (1) możemy zapisać:
2
dt
d2x
m Å" = -2x Å" S Å" Á Å" g
2
dt
d2x 2 Å" S Å" Á Å" g
= - Å" x (2)
2
m
dt
Widzimy, że równanie ruchu drgań słupa cieczy w U-rurce jest równaniem ruchu drgań
harmonicznych o ogólnej postaci
d2A
= -Éo2A (3)
2
dt
Porównując (2) i (3) obliczamy
2SÁg
Éo = , oraz
m
m
T = 2Ä„
2SÁp
0.121kg
T = 2Ä„ E" 0.8s
2 Å" (0,3 Å"10-4 ) m2 (13,6 Å"103) kg / m3 Å" 9.81m / s2
Zad.6.4.
Obliczyć logarytmiczny dektrement tłumienia  drgań, jeżeli w ciągu t = 10 s trwania
ruchu, energia mechaniczna drgającej na sprężynie o stałej sprężystości k masy m maleje do
połowy. Okres drgań ruchu tłumionego wynosi T = 2 s.
RozwiÄ…zanie:
Aoe-²t
Z definicji  = ln = ²T
(t+T)
Aoe-²
Dla chwili t1=0 amplituda drgaÅ„ wnosi: A1 = Aoe-²t1 = Ao
Dla chwili t2=t amplituda drgaÅ„ wynosi: A2 = Aoe-²t1
Energia mechaniczna E w każdej chwili t drgań jest równa sumie energii potencjalnej Ep i
kinetycznej Ek i wynosi:
1
E = Ep + Ek = kA2
2
gdzie A to amplituda drgań w danej chwili.
144
Zatem
1
w chwili t1 = 0 energia układu wynosi E1 = kA12 , a
2
1
w chwili t2 = t energia układu wynosi E2 = kA22 .
2
1
E1 2 kA12 A12
Zatem = = = 2
1
E2 kA22 A22
2
A1
Czyli = 2
A2
Ale A1 = Ao , A2 = Aoe-²t
Zatem
Ao
= 2 ; e²t = 2 ; ²t = ln 2
Aoe-²t
1 1
²t = ln 2 StÄ…d ² = Å" ln 2
2 2t
ZnajÄ…c ² i T obliczamy 
T
 = ²T = ln 2
2t
2s
 = Å" ln 2 == 0.1ln 2 E" 0.0693
2 Å"10s
Logarytmiczny dektrement tłumienia  wynosi 0.0693.
Zad.6.5.
Równanie drgań niegasnących dane jest w postaci y = 10 sin(0,5Ąt) [cm].
a) Znalez
ć równanie fali, jeÅ›li prÄ™dkość Å rozchodzenia siÄ™ drgaÅ„ wynosi 300 m/sek.
b) Napisać i przedstawić graficznie równanie drgań dla punktu odległego o x = 600 m od
z
ródła drgań.
c) Przedstawić analitycznie i graficznie równanie drgań dla punktów fali w momencie czasu
t = 4s od początku drgań.
RozwiÄ…zanie:
Równanie fali możemy zapisać
145
x
öÅ‚
(1)
y(x, t)= A sin ÉëÅ‚ t - ÷Å‚
ìÅ‚
Å
íÅ‚ Å‚Å‚
Równanie (z
ródła fali) drgań niegasnących ma postać
y(t)= 10 sin(0.5Ä„ Å" t) (2)
Równanie drgań punktu dla x=0, czyli z
ródła fali, opisane przez równanie fali (1) wynosi
0
öÅ‚
y(0, t)= A sinëÅ‚Ét - ÷Å‚
= A sin Ét (3)
ìÅ‚
Å
íÅ‚ Å‚Å‚
Porównując (2) i (3) zauważamy, że
Ä„ 1
îÅ‚ Å‚Å‚
A=10 cm É = 0.5Ä„ =
ïÅ‚sśł
2
ðÅ‚ ûÅ‚
2Ä„
WiedzÄ…c, że É = obliczamy T
T
2Ä„ Ä„
= ; T = 4s .
T 2
Ad.a Ogólne równanie fali ma postać
2Ä„ x
ëÅ‚ öÅ‚
y(x, t)=10sin t - ÷Å‚
ìÅ‚
4 300
íÅ‚ Å‚Å‚
Ad.b Równanie fali dla x = 600 m ma postać
2Ä„ 600 2Ä„ 2Ä„
ëÅ‚ öÅ‚
y(600, t)=10sin t - ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
=10sinëÅ‚ Å" t - Ä„öÅ‚ = -10sin t
ìÅ‚
4 300 2 2
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
Ad.c. Równanie fali dla t=4 s ma postać
Ä„ x Ä„ Å" x
ëÅ‚4 öÅ‚ öÅ‚
y(x,4)=10sin - ÷Å‚ ìÅ‚
=10sinëÅ‚2Ä„ - ÷Å‚
ìÅ‚
2 300 2 Å" 300
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
Ä„x
y(x,4)= -10sin
600
2Ä„ Ä„
Widzimy, że k = =
 600
146
Zad.6.6.
Drgania akustyczne majÄ…ce czÄ™stość ½=500 Hz i amplitudÄ™ A=25 mm rozchodzÄ… siÄ™ w
powietrzu. Długość fali wynosi =70 cm. Znalez
ć: a) prędkość rozchodzenia się drgań, b)
maksymalną prędkość cząstek powietrza.
RozwiÄ…zanie:
Równanie fali ma postać:
x
öÅ‚
y(x, t)= A sin ÉëÅ‚ t - ÷Å‚
ìÅ‚
Å
íÅ‚ Å‚Å‚
Ad.a MiÄ™dzy prÄ™dkoÅ›ciÄ… rozchodzenia drgaÅ„ Å, , T i ½ zachodzi zwiÄ…zek

Å = =  Å"½
T
1
½ = 0.7 m Å"500 = 350m / s
s
Prędkość rozchodzenia się drgań w powietrzu wynosi 350 m/s.
Ad.b Maksymalną prędkość drgań cząstek V obliczamy z zależności
dy d îÅ‚ x Å‚Å‚
öÅ‚
V = = sin ÉëÅ‚ t - ÷łśł
ïÅ‚A ìÅ‚
dt dt Å
íÅ‚ Å‚Å‚
ðÅ‚ ûÅ‚
x
öÅ‚
V = AÉcosÉëÅ‚ t - ÷Å‚
ìÅ‚
Å
íÅ‚ Å‚Å‚
x
öÅ‚
gdy cosÉëÅ‚ t - ÷Å‚
=1
ìÅ‚
Å
íÅ‚ Å‚Å‚
to Vmax = AÉ
2Ä„
Ale É = = 2Ä„½
T
Wtedy Vmax = A Å" 2Ä„½
147
1
Vmax = 0.025m Å"6.28Å"500
s
Vmax = 78.5m / s
Maksymalna prędkość drgań cząstek powietrza wynosi 78.5 m/s.
Zad.6.7.
Jaką różnicę faz "Ć będą miały drgania dwóch punktów, znajdujących się w
odległości x1=10 m i x2=16 m od z
ródła drgań. Okres drgań wynosi T = 0,04 s. i prędkość
rozchodzenia siÄ™ drgaÅ„ - Å=300 m/sek.
RozwiÄ…zanie:
Równanie fali ma postać
x
öÅ‚
y(x, t)= A sin ÉëÅ‚ t - ÷Å‚
= A sin Ć (1)
ìÅ‚
Å
íÅ‚ Å‚Å‚
x
öÅ‚
gdzie Ć = ÉëÅ‚ t - ÷Å‚
- to faza drgań punktu (x,t).
ìÅ‚
Å
íÅ‚ Å‚Å‚
x1
ëÅ‚ öÅ‚
y(x1, t)= A sin[Ć(x1, t)]= A sin É t - ÷Å‚
ìÅ‚
Å
íÅ‚ Å‚Å‚
x
ëÅ‚ öÅ‚
2
y(x , t)= A sin[Ć(x , t)]= A sin É t - ÷Å‚
ìÅ‚
2 2
Å
íÅ‚ Å‚Å‚
Zatem różnica faz "Ć = Ć(x , t)- Ć(x1, t)
2
x x1 x1 2
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚ - x
2
"Ć = É t - ÷Å‚ - É t - ÷Å‚ = É
ìÅ‚ ìÅ‚
Å Å Å
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
2Ä„
Ale É =
T
x1 2
2Ä„ - x
Więc "Ć =
T Å
2Ä„(x1 - x )
2
"Ć =

 = Å Å" T = 300 m / s Å" 0.04 =12 m
x1 - x = 10 m - 16 m = -6 m
2
2Ä„(- 6 m)
"Ć = = -Ą
12 m
Różnica faz "Ć drgań dwu punktów x1 i x2 wynosi -Ą.
148