Zadania do rozdziału 1.
Zad.1.1.


Wykazać, że w wyniku sumowania wektorów a i b tworzÄ…cych kÄ…t ¸ otrzymuje siÄ™

nowy wektor c taki, że jego rzuty na prostokątne osie x i y spełniają zależności:
cx = a + bx , cy = a + by
x y
RozwiÄ…zanie:
Wybieramy układ współrzędnych 0xy tak jak na rysunku.

Stosując zasadę równoległoboku znajdujemy wektor c . Jego rzuty na osie współrzędnych są
odpowiednio równe cx i cy. Proste rozważania geometryczne wykazują, że
cx = a + bx i cy = a + by
x y

Z rysunku też widać, że nachylenie wektora wypadkowego c względem osi x (a zatem także

względem wektora a można wyrazić za pomocą zależności:
cy
tg Ä… =
cx
Zad.1.2.


W odniesieniu do wektorów a i b z zad.1.1 wykazać (opierając się na rozkładzie na
2
skÅ‚adowe), że wartość liczbowa c = a + b2 + 2ab cos ¸ .
RozwiÄ…zanie:
Rzuty danych wektorów na osie wynoszą odpowiednio:
a = a, bx = b cos ¸
x
a = 0, by = b sin ¸
y
18
A zatem
cx = a + b cos ¸, cy = b sin ¸.
StosujÄ…c twierdzenie Pitagorasa otrzymamy
2
c2 = c2 + c2 = (a + b cos ¸)2 + b2 sin ¸,
x y
stÄ…d
2
c = a + b2 + 2 cos ¸.
Powyższe zadanie możemy rozwiązać posługując się wzorem Carnota dla dowolnego trójkąta
ODE.
2
c2 = a + b2 - 2ab cos Å‚
Ponieważ Å‚ = Ä„ - ¸ to cos Å‚ = cos(Ä„ - ¸)= - cos ¸
2
Zatem c2 = a + b2 - 2ab cos ¸
2
c = a + b2 - 2ab cos ¸
Zad.1.3.
Dane sÄ… dwa punkty A(zA , yA,zA ) i B(zB , yB , zB ). Znalez
ć składowe i cosinusy
kierunkowe wektora Å‚Ä…czÄ…cego te punkty.
RozwiÄ…zanie:

Składowe, czyli rzuty wektora a na osie układu 0xyz wynoszą:

a = [a , a , a ]
x y z
a = x - x
x B A
a = yB - yA
y
a = zB - zA
z

Wektor a tworzy z osiÄ… 0x kÄ…t Ä…, z osiÄ… 0y kÄ…t ² a z osiÄ… 0z kÄ…t Å‚. Cosinusy kÄ…tów Ä…, ² i Å‚
zwane cosinusami kierunkowymi wynoszÄ…:
a
a a
y
x z
cos Ä… = ; cos² = ; cos Å‚ =
a a a

gdzie a to moduł wektora a

2 2 2
a = a = a + a + a .
x y z
Zatem
x - x
B A
cos Ä… =
(x - x )2 + (yB - yA )2 + (zB - zA )2
B A
19
yB - yA
cos² =
(x - x )2 + (yB - yA )2 + (zB - zA )2
B A
zB - zA
cos Å‚ =
(x - x )2 + (yB - yA )2 + (zB - zA )2
B A
Na podstawie powyższych wzorów łatwo wykazać, że:
cos2 Ä… + cos2 ² + cos2 Å‚ =1
Zad.1.4.

Stałe siły F1=[1,2,3] [N] i F2 =[4,-5,-2] [N] działają równomiernie na cząstkę w czasie
przesunięcia z punktu A (0,0,7) [m] do punktu B (20,15,0) [m]. Jak wielka praca W została
wykonana przy przesunięciu cząstki?
RozwiÄ…zanie:
Wykonana praca W jest określona wzorem


W = F Å" r


gdzie siła F = F1 + F2 jest wypadkową siłą działającego na cząstkę, natomiast r jest
wektorem przesunięcia

F = F1 + F2 = [1 + 4, 2 - 5,3 - 2]= [5, - 3,1] [N]

r = [x - x , yB - yA , zB - zA ]= [20 - 0,15 - 0, 0,7] [m]
B A
Z definicji (1.9) iloczynu skalarnego otrzymujemy:


W = F Å" r = 5 Å" 20 - 3 Å"15 -1Å" 7 =100 - 45 - 7 = 48N Å" m = 48[J]
Zad.1.5.


Dane są dwa wektory a = 3i + 4 j - 5k; b = -i + 2 j + 6k . Obliczyć:
1. moduły (długości) każdego wektora,
2. sumę i różnicę wektorów,
3. iloczyn skalarny,
4. cosinus kąta ą zawartego między wektorami,
5. iloczyn wektorowy.
RozwiÄ…zanie:

Ad.1. a = a = 32 + 42 + (- 5)2 = 50

b = b = (-1)2 + 22 + 62 = 41
20


Ad.2. a + b = i(3 -1)+ j(4 + 2)+ k(- 5 + 6)= [2,6,1]


a - b = i(3 - (-1))+ j(4 - 2)+ k(- 5 - 6)= [4,2,-11]


Ad.3. a Å" b = 3 Å" (-1)+ 4 Å" 2 + (- 5)Å" 6 = -3 + 8 - 30 = -25


Ad.4. a Å" b = -25
ale z (1.1) wiemy, że


a Å" b = a Å" b Å" cos Ä…
zatem - 25 = 50 Å" 41 Å" cos Ä…
25
cos Ä… = -
50 41
Ad.5. Zgodnie z (1.10) możemy zapisać:

i j k


axb = a a a =[a bz - a bx , a bx - a bz , a by - a bx]=
x y z y z z x x y
bx b bz
y
=[4 Å" 6 - (- 5)2, (- 5)(- 1)- 3 Å" 6, 3 Å" 2 - 4 Å" 2]= [34, -13, 2]
Zad.1.6.


Siła F = 3i + 2 j - 5k[N] działa na punkt, którego położenie wynosi


r = -2i + 5 j + 4k[cm]. Obliczyć moment siły M względem początku układu.
RozwiÄ…zanie:

i j k



M = rxF = - 2 5 4 = (- 25 - 8)i + (12 - 10)j + (- 4 -15)k = [- 33, 2,19] [Ncm]
3 2 - 5

M = [- 0.33, 0.02, 0.19] [Nm]

Moduł M wynosi

M = M = 0.332 + 0.022 + 0.192 [Nm]= 0.38[Nm]
Zad.1.7.

W płaszczyz
nie Oxy porusza się punkt, którego promień wodzący r(t) ma postać:

r(t)= [R cos Ét, R sin Ét] gdzie R i É to pewne staÅ‚e. Wyznaczyć prÄ™dkość Å(t) i

przyspieszenie a(t) tego punktu.
21
RozwiÄ…zanie:


Wiemy, że r(t)= x(t)Å" i + y(t)Å" j
gdzie: x(t)= R cos Ét, y(t)= R sin Ét

dr(t)
Wektor prÄ™dkoÅ›ci Å(t)=
dt

dÅ(t) d2 r(t)
Wektor przyspieszenia a(t)= =
2
dt
dt
Zatem

dx(t) dy(t)
Å(t)= Å" i + Å" j
dt dt

d2x(t) d2y(t)
a(t)= i + j
2
dy
dt
dx(t) d
= (R cos Ét)= -RÉsin Ét
dt dt
dy(t) d
= (R sin Ét)= RÉcos Ét
dt dt
d2x(t) d
= (- RÉsin Ét)= -RÉ2 cos Ét
2
dt
dt
d2y(t) d
= (RÉcos Ét)= -RÉ2 sin Ét
2
dt
dt
Zatem

Å(t)= [- RÉsin Ét, RÉcos Ét]

a(t)=[- RÉ2 cos Ét, - RÉ2 sin Ét]
Moduły tych wektorów wynoszą odpowiednio

2 2 2 2
Å(t)= Å(t) = R É2 sin Ét + R É2 cos2 Ét = RÉ sin Ét + cos2 Ét = RÉ

2 2 2 2
a(t)= a(t) = R É4 cos2 Ét + R É4 sin Ét = RÉ2 cos2 Ét + sin Ét = RÉ2
Zauważmy, że iloczyn skalarny

2 2
Å(t)Å" a(t)= R É3 sin Ét cos Ét - R É3 cos Ét sin Ét = 0

co oznacza, że wektory Å(t) i a(t) sÄ… wzajemnie prostopadÅ‚e.
22