Zadania do rozdziału 9.
Zad. 9.1.
Oblicz opór elektryczny cewki, składającej się z n = 900 zwojów izolowanego drutu
miedzianego o średnicy d = 1mm (w izolacji 1,2 mm) w temperaturze t = 60 oC. Wymiary
cewki przedstawiono na rysunku
RozwiÄ…zanie:
Wychodzimy ze wzoru:
l
R = Á
S
gdzie: R  opór cewki w temperaturze pokojowej (t=20oC),
Á =1,7 Å"10-8 [&!m] - opór wÅ‚aÅ›ciwy miedzi (patrz tabela 9.1),
l  długość nawiniętego na cewkę drutu miedzianego,
2
d
S = Ä„ëÅ‚ öÅ‚  pole przekroju poprzecznego drutu.
ìÅ‚ ÷Å‚
2
íÅ‚ Å‚Å‚
Z powodu braku danych co do długości cewki, długość l nawiniętego na cewkę drutu
obliczamy (w przybliżeniu) ze wzoru:
l = n Å" l'
gdzie: l  to średnia długość jednego zwoju.
l' = 2Ä„r
gdzie: r  to średnia wartość promienia zwoju.
r1 + r2
r =
2
Z rysunku wynika, że
80
r1 = 40 + 3 = 43mm = 0.0043m
r2 = 40 + 3 + 24 = 67 mm = 0.0067 m
StÄ…d
0.043 + 0.067 0.110
r = = = 0.055 m
2 2
Zatem l = n Å" 2Ä„r i
l 4 Å" n Å" 2Ä„r
R = Á Å" = Á
S
Ä„d2
4 Å" 900 Å" 2 Å" 0.055 m
R =1.7 Å"10-8 &!m Å" = 6.73&!
0.000001m
Opór elektryczny cewki Rt w temperaturze t= 60oC obliczamy wg wzoru (9.7)
R = R[1 + Ä…(T - To )]
t
gdzie: Ä… = 3.9 Å"10-3 [1/ K] - temperaturowy współczynnik oporu miedzi (patrz tabela 9.2),
To = (273.16 + 20)[K] - temperatura pokojowa,
To = (273.16 + t)[K] - temperatura dla której wyznaczamy R.
Rt = 6.73&![1+ 3.9Å"10-31/ K Å" 40 K]= 7.78&!
Opór elektryczny cewki, który w temperaturze pokojowej (t=20oC) wynosił R = 6.73 &!,
wzrósł do wartości Rt =7.78 &! w temperaturze t = 60oC.
Zad. 9.2.
Wyznaczyć opór wypadkowy RS dla N oporników (o oporach
R1, R , R ,... , R ,... , R ) połączonych szeregowo.
2 3 i N
RozwiÄ…zanie:
Gdy do N oporników połączonych szeregowo podłączymy napięcie U to przez każdy opornik
płynie prąd elektryczny o takim samym natężeniu I (I prawo Kirchoffa dla węzła z dwoma
przewodnikami). Zatem zgodnie z prawem Ohma,
81
na oporniku R1 mamy spadek napięcia U1 = IR1
na oporniku R2 mamy spadek napięcia U2 = IR
2
na oporniku R3 mamy spadek napięcia U3 = IR3
na oporniku Ri mamy spadek napięcia Ui = IRi
na oporniku RN mamy spadek napięcia U = IR
N N
Na wszystkich U opornikach połączonych szeregowo mamy spadek napięcia U:
U = U1 + U2 + U3 + ... + Ui + ... + U
N
Czyli U = IR1 + IR + IR3 + ... + IRi + ... + IR
2 N
U = I(R1 + R + R + ... + R + ... + R ) (1)
2 3 i N
Opór wypadkowy (zastępczy)RS jest to opór, który podłączony do zacisków A i B obwodu (w
miejsce N oporników połączonych w szereg) nie spowoduje zmiany prądu I dopływającego
do węzła A i wypływającego z węzła B.
Dla obwodu zastępczego możemy zapisać:
U = I Å" RS (2)
Z porównania równań (1) i (2) otrzymujemy:
I Å" R = IÅ"(R1 + R + R + ... + R + ... + R )
S 2 3 i N
StÄ…d
R = R1 + R + R + ... + R + ... + R
S 2 3 i N
Przy połączeniu oporników szeregowo, napięcia na poszczególnych opornikach sumują się, a
natężenie prądu we wszystkich opornikach jest takie samo.
Zatem opór wypadkowy takiego połączenia wynosi:
N
RS = R
"
i
i=1
Zad. 9.3.
Wyznaczyć opór wypadkowy Rr dla N oporników (o oporach
R1, R , R ,... , Ri ,... , R ) połączonych równolegle.
2 3 N
RozwiÄ…zanie:
Gdy do N oporników połączonych równolegle podłączymy napięcie U to na każdym oporniku
panuje to samo napicie U.
82
Z I prawa Kirchoffa wynika, że natężenie prądu I jest sumą natężeń prądów płynących w
poszczególnych opornikach
I = I1 + I2 + I3 + ...+ Ii + ... + IN
Ale przez opornik R1 płynie prąd I1 = U / R1
przez opornik R2 płynie prąd I2 = U / R
2
przez opornik R3 płynie prąd I3 = U / R
3
przez opornik Ri płynie prąd Ii = U / R
i
przez opornik RN płynie prąd IN = U / R
N
U U U U U
Zatem I = + + + ... + + ... +
R1 R R R R
2 3 i N
ëÅ‚ öÅ‚
1 1 1 1 1
ìÅ‚ ÷Å‚
I = UìÅ‚ + + + ... + + ... + (1)
÷Å‚
R1 R R R R
íÅ‚ 2 3 i N Å‚Å‚
Opór wypadkowy (zastępczy) Rr jest to opór, który podłączony do zacisków A i B obwodu
(w miejsce N oporników połączonych równolegle) nie spowoduje zmiany prądu I
dopływającego do węzła A i wypływającego z węzła B.
Dla obwodu zastępczego możemy zapisać:
U
I = (2)
RS
Z porównania równań (1) i (2) otrzymujemy:
ëÅ‚ öÅ‚
U 1 1 1 1 1
ìÅ‚ ÷Å‚
= UìÅ‚ + + + ... + + ... +
÷Å‚
R R1 R R R R
S íÅ‚ 2 3 i N Å‚Å‚
83
ëÅ‚ öÅ‚
1 1 1 1 1 1
ìÅ‚ ÷Å‚
StÄ…d = + + + ... + + ... +
ìÅ‚ ÷Å‚
R R1 R R R R
íÅ‚ 2 3 i N Å‚Å‚
Przy połączeniu równoległym oporników, napięcia na wszystkich opornikach są te same,
natomiast natężenie prądu jest sumą natężeń prądów płynących w poszczególnych
opornikach.
Zatem opór wypadkowy takiego połączenia wyraża się wzorem:
N
1 1
=
"
R Ri
r i=1
Zad. 9.4
Pięć oporników R1 =1k&!, R = 2 k&!, R = 3k&!, R = 4 k&! i R = 5 k&!
2 3 4 5
połączono w sposób przedstawiony na rysunku. Przez R1 płynie prąd o natężeniu I1 = 0,2 A.
Obliczyć natężenie prądów płynących w pozostałych rezystorach.
RozwiÄ…zanie:
Schemat połączeń można przerysować w postaci
Dla węzła A I prawo Kirchoffa ma postać:
I1 - I - I - I = 0 ; I1 = I + I + I (1)
2 3 4 2 3 4
Dla węzła B I prawo Kirchoffa ma postać:
I2 + I3 + I4 - I5 = 0; I5 = I2 + I3 + I4 (2)
StosujÄ…c II prawo Kirchoffa dla oczka ACDB otrzymujemy:
I2R - I3R = 0 (3)
2 3
StosujÄ…c II prawo Kirchoffa dla oczka ABFE otrzymujemy:
I3R - I4R = 0 (4)
3 4
84
Poszukujemy czterech niewiadomych (I2, I3, I4 i I5) i mamy do dyspozycji cztery
równania (1, 2, 3 i 4).
Rozwiązując powyższy układ czterech równań otrzymujemy:
Z porównania równań (1) i (2) wynika, że:
I5 = I1 = 0.2 A
Wyznaczając z równania (1) I2 = I1 - I3 - I4 i podstawiając tę wartość do (3) otrzymujemy:
I1R + I4R
2 2
I3 =
R + R
2 3
I3 podstawiamy do równania (4) i otrzymujemy:
ëÅ‚ R R öÅ‚
4 4
ìÅ‚ ÷Å‚
I4 = I1 ìÅ‚1 + + = 0.039 A
÷Å‚
R R
íÅ‚ 2 3 Å‚Å‚
Podobnie wyznaczamy: I2 i I3
ëÅ‚ R R öÅ‚
2 2
ìÅ‚ ÷Å‚
I2 = I1 ìÅ‚1 + + = 0.097 A
÷Å‚
R R
íÅ‚ 3 4 Å‚Å‚
ëÅ‚ R3 R3 öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
I3 = I1 ìÅ‚1 + + = 0.064 A
÷Å‚
R R
íÅ‚ 2 4 Å‚Å‚
Na koniec sprawdzamy poprawność otrzymanych wyników
I1 = I2 + I3 + I4 ; 0,2=0,039+0,097+0,064
Zad. 9.5
Wyprowadzić warunek równowagi mostka Wheatstone a (przyrządu do pomiaru
nieznanego oporu Rx) którego schemat przedstawionego na rysunku.
RozwiÄ…zanie:
Obwód mostka składa się ze z
ródła
napiÄ™cia µ, reochordu AB czyli drutu
oporowego o stałym przekroju S
rozciągniętego na tle podziałki liniowej
(linijki) od A do B, opornika wzorcowego
R3, opornika o oporze badanym Rx,
galwanometru G, suwaka na reochordzie
D, klucza W oraz przewodów łączących.
85
Przy włączonym kluczu W, na drucie oporowym AB (na reochordzie) można znalez
ć taki
punkt D, w którym potencjał VD = VC . Doświadczalnie znajdujemy położenie tego punktu
przesuwając ruchomy suwak wzdłuż reochordu do takiego położenia, aby wskazówka
galwanometru G włączonego między punktami C i D nie odchylała się od zera. Takie
zachowanie wskazówki galwanometru świadczy o tym, że między punktami C i D nie ma
różnicy potencjałów (czyli VD = VC a więc prąd między tymi punktami nie płynie).
W punktach A i B mamy węzły obwodu. W węz
le a prąd I płynący od z
ródła dzieli się na
prąd I1 płynący przez drut reochordu AB, i prąd I2 płynący przez oporniki R3 i Rx.
Zgodnie z pierwszym prawem Kirchoffa mamy:
I = I1 + I2
StosujÄ…c drugie prawo Kirchoffa odpowiednio dla oczka ACD i DCB otrzymujemy:
I2R = I1R1
3
I2Rx = I1R2
Stąd (dzieląc stronami powyższe równania):
R R1
3
=
R R
x 2
Pamiętając o pierwszym prawie Ohma możemy zapisać:
l1 l2
R1 = Á i R = Á
2
S S
i wtedy
l2
R = R Å"
x 3
l1
gdzie l1 i l2 są odległościami AD i DB drutu oporowego, odczytanymi bezpośrednio na skali
podziałki liniowej reochordu.
Jak widzimy pomiar oporu metodą mostka Wheatstone a jest pomiarem względnym, wymaga
bowiem znajomości oporu wzorcowego R3. W zasadzie mierząc długości l1 i l2 otrzymujemy
dane potrzebne do ustalenia stosunku Rx do R3.
Zad. 9.6.
Bateria akumulatorów o oporności wewnętrznej R = 0.5&! ma siłę
w
elektromotorycznÄ… µ = 220 V. Oblicz napiÄ™cie U1 na zaciskach baterii mierzone
85
woltomierzem o oporności R = 5000&!, oraz napięcie U2 (mierzone tym samym
woltomierzem przy poborze z baterii prądu o natężeniu I = 24 A.
RozwiÄ…zanie:
Natężenie prądu I1 płynącego przez
woltomierz obliczamy z drugiego prawa
Kirchoffa dla oczka ABCD.
I1R + I1R = µ ;
w
µ
I1 =
R1 + R
W
Stąd napięcie U1 na zaciskach A i B baterii:
U1 = I1R1 = µ - I1R
w
ëÅ‚ R öÅ‚
µ
w
ìÅ‚ ÷Å‚
U1 = µ - Å" R = µìÅ‚1 -
÷Å‚
R1 + R R1 + R
w íÅ‚ w Å‚Å‚
ëÅ‚ 0.5&! öÅ‚
ìÅ‚
U1 = 220 VìÅ‚1 - ÷Å‚ = 220 Å" 0.9999 V
÷Å‚
5000 &! + 0.5&!
íÅ‚ Å‚Å‚
U1 H" 220 V
Widzimy, że napięcie U1 mierzone przez woltomierz będzie tym bliższe wartości siły
elektromotorycznej µ baterii im wiÄ™kszy bÄ™dzie opór wewnÄ™trzny R woltomierza.
Po włączeniu obciążenia zewnętrznego pobierającego prąd o natężeni I =24 A napięcie U2 na
zaciskach AB wyniesie:
U2 = µ - IR
w
U2 = 220 V - 24A Å" 0.5&! = 220 V -12 V = 208 V
Widzimy, że przy obciążeniu baterii napięcie U2 na jej biegunach jest znacznie mniejsze od
siÅ‚y elektromotorycznej µ.
Zad. 9.7.
Zaprojektować instalację oświetleniową choinki włączoną do sieci o napięciu U = 220 V i
złożoną z szeregowego połączenia jednej dużej żarówki o mocy P = 40 W i napięciu
86
znamionowym U1 = 220V oraz kilkunastu żaróweczek latarkowych o napiciu znamionowym
U2 = 3,8V i natężeniu I2 = 0,1A .
Oblicz niezbędną ilość żaróweczek n.
RozwiÄ…zanie:
Moc P dużej żarówki wyraża się wzorem:
P = U1 Å" I1 (1)
gdzie I1 jest natężeniem prądu płynącego przez żarówkę gdy jest ona podłączona do napięcia
znamionowego U1.
Zgodnie z prawem Ohma odporność R1 dużej żarówki opisuje równanie:
U1
R1 = (2)
I1
U1
StÄ…d I1 = (3)
R1
PodstawiajÄ…c (3) do (1) otrzymujemy:
U1 U12
P = U1 Å" = (4)
R1 R1
ZnajÄ…c P i U1 (dane w zadaniu) obliczamy R1:
U12
R1 = (5)
P
Prawo Ohma dla małej żaróweczki możemy zapisać:
U2
R = (6)
2
I2
gdzie R2 jest opornością małej (latarkowej) żaróweczki.
88
Ponieważ  duża żarówka jest połączona w szereg z n  małych żaróweczek , oporność R
całej instalacji choinkowej wynosi:
R = R1 + nR (7)
2
Ilość n małych żaróweczek należy tak dobrać aby prąd I płynący w instalacji
U U
I = = (8)
R R1 + nR2
był równy prądowi dopuszczalnemu dla małych żaróweczek czyli
I = I2 (9)
StÄ…d
U
I2 = (10)
R1 + nR
2
Z (10) wyliczamy n
ëÅ‚ öÅ‚
1 U
ìÅ‚ - R1
÷Å‚
n = (11)
ìÅ‚
R I2 ÷Å‚
2 íÅ‚ Å‚Å‚
Po podstawieniu (6) za R2 i (5) za R1 otrzymujemy:
I2 ëÅ‚ U12 öÅ‚
U
ìÅ‚ ÷Å‚
n = -
÷Å‚
U2 ìÅ‚ I2 P
íÅ‚ Å‚Å‚
ëÅ‚
0,1A 220V (220)2 V2 öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
n = - = 26
ìÅ‚ ÷Å‚
3,8V 0,1A 40V Å" A
íÅ‚ Å‚Å‚
n = 26
Zad. 9.8
Stalową płytę prostopadłościenną o wymiarach a = 80 mm, b = 100 mm i c = 150 mm
zanurzono w wannie galwanicznej z roztworem soli niklowej i połączono z ujemnym
biegunem z
ródła prądu. Anodę stanowi zanurzona w elektrolicie płyta niklowa o gęstości
Á = 8,9 g/cm3. Obliczyć czas t potrzebny na poniklowanie Å›cian pÅ‚yty, jeżeli natężenie prÄ…du
płynącego przez elektrolit ma wartość I = 25 A, a grubość warstwy niklu wynosi d=0,04 mm.
RozwiÄ…zanie:
Obliczamy powierzchnię całkowitą S płyty stalowej
89
S = 2ab + 2ca + 2cb
S = 2 Å" 0,08m Å" 0,10m + 2 Å" 0,15m Å" 0,08m +
+ 2 Å" 0,15m Å" 0,10m =
(0,016 + 0,024 + 0,030)m2
S = 0,07m2
Jeżeli powierzchnię S pokrywa warstwa niklu o grubości d to objętość V tej warstwy wynosi:
V = S Å" d
V = 0,07m2 Å" 0,0004m = 0,0000028m3
V = 28 Å"10-7 m3
ZnajÄ…c V i Á warstwy niklu obliczamy masÄ™ m tej warsty
m = Á Å" V (1)
kg
m = 8,9 Å"103 Å" 28 Å"10-7 m3 = 249,2 Å"10-4 kg
m3
m = 0,02492 kg
Zgodnie z pierwszym prawem elektrolizy Faradaya masa ta jest równa:
m = k Å" I Å" t (2)
gdzie k = 3,04 Å"10-7 kg / A Å" s - to równoważnik elektrochemiczny niklu (patrz tabela 9.3).
Porównując (1) i (2) otrzymujemy:
ÁV = kIt
StÄ…d
ÁV 0,02492[kg]
t = = = 0,00033 Å"107 s
kI
3,04 Å"10-7 [kg / A Å" s]Å" 25[A]
t = 33 Å"10-5 Å"107 s = 33 Å"102 s = 3300s
t = 3300s = 55 min
87