ITRF a ICRF

(Definicje i transformacje)

wiele elementów wykładu

zwłaszcza część:

Wyznaczenie pozycji z obserwacji sztucznych satelitów

Ziemi

jest autorstwa prof. J. Rogowskiego

Międzynarodowy niebieski układ odniesienia ICRF

(International Celestial Reference Frame)

Realizacja ICRS-1 została przyjęta przez MUA w 1997 r.

212 radioźródeł

Zasada
działania
VLBI:
rejestrowane
jest tylko
opóźnienie
sygnału z
jednego źródła
na dwu stacjach

Równanie opóźnienia



ijk

VLBI dla radioźródła (



k

,



k

):





)

(

sin

sin

cos

cos

cos

1

0

0

0

cos

sin

0

sin

cos

1

1

0

0

1

1

0

1

0

t

t

c

c

y

x

y

x

Z

Y

X

c

j

i

i

k

k

k

k

k

j

j

j

j

j

j

j

j

i

i

i

ijk















































































































Chautauqua 2001

Quasars, hotspots, polarization

VLBI jest najdokładniejszą techniką w astrofizyce –
rozdzielczości rzędu dziesiątek mikrosekund kątowych.

Większość radioźródeł to jądra aktywnych galaktyk lub kwazary.

Jądro gigantycznej galaktyki
M87 (supergromada Virgo)
zobrazowane przez VLBI

Nawet odległe radioźródła
(kwazary) używane
w definicji układu
niebieskiego ICRS
wykazują dynamikę

Radioźródła definiujące układ ICRS
mają śledzony kształt (muszą być
możliwie zwarte) i położenie

Niektóre radioźródła
wykazują pewną
niestabilność
pozycji
(rozwiązuje się
ją wielokrotnie,
tzw. łuk - arc)

Stabilność pozycji radioźródeł układu ICRF-1

Osie układu ICRF starano się dopasować do katalogu astrometrycznego FK5

Dwie realizacje
układu niebieskiego
- optyczna (FK5)
- radioastronomiczna

(ICRS)

i rzeczywisty biegun
epoki J2000.0 (faza
precesji osi Ziemi)
nieznacznie się różnią.

Nowa realizacja ICRF–2 (stabilność osi: 10 μas)
zawiera pozycje aż 3414 radioźródeł ale 1217 jest przyjęta a
295 określone jako "defining sources"

295 ICRF2 "defining sources"

Stabilność pomierzonych do układu ICRF radioźródeł

Effelsberg

Mobile VLBI – TIGO (GFZ) i NASA (GSFC)

Mark 4 VLBI Correlator
at Haystack Observatory

Korelator to komputer opracowujący serie
obserwacji VLBI (czyli modulację sygnału
z radioźródła z zarejestrowaną skalą czasu
atomowego) dla jednoczesnych obserwacji
danego radioźródła przez dwa
radioteleskopy

Za pomocą VLBI po raz pierwszy zaobserwowano oddalanie się
Europy od Ameryki Północnej (poszerzanie Atlantyku)

Ziemski układ odniesienia ITRF

Układ ITRF–realizacja systemu ITRS –układ obracający się z Ziemią

ITRF (International Terrestrial Reference Frame) –od 1988r

Ostatnia realizacja to ITRF2008 (powyżej wszystkie stacje rozwiązane),
poprzednie realizacje: ITRF2005, ITRF 2000, ITRF97.

Międzynarodowy Ziemski Układ Odniesienia ITRF (International Terrestial

Reference Frame) – realizacja 1997

Przykład kolokacji technik:
(VLBI i GPS), Matera, Włochy

ITRF wyznaczamy za pomocą
technik 'kosmicznych':
VLBI, SLR, GNSS i DORIS.
A zatem ITRF powstaje przez
nawiązanie do ICRF!

Każde pełne rozwiązanie pozycji z technik kosmicznych musi
obejmować elementy ruchu obrotowego Ziemi (orientacji Ziemi).
Realizacja układu ITRF następuje poprzez kombinację współrzędnych
stacji z 4 technik łącznie z parametrami ruchu obrotowego Ziemi
(EOP).

SLR - Satellite Laser Ranging

Teleskop SLR
w Poczdamie

Okresowe zmiany
geocentrum z satelity
LAGEOS

Satelita Lageos

kulę o średnicy 60 cm
i masie aż 400 kg
pokrywa 426 odbłyśników

Wyspecjalizowane satelity SLR są po prostu kulami pokrytymi zwierciadłami
laserowymi. Pojedyncze odbłyśniki umieszcza się także na wielozadaniowych
satelitach altimetrycznych (Topex/Poseidon, Jason), grawitacyjnych (CHAMP,
GRACE) i niektórych nawigacyjnych (niektóre GPS, wszystkie Glonass).

Satelita
GRACE
i jego zwierciadło
Laserowe (LRR).

DORIS - dopplerowski system typu ‘uplink’(odbiornik na satelicie)

Częstotliwości: główna: 2036,25 MHz, pomocnicza: 401,25 MHz

Pokrycie orbity satelity TOPEX/Poseidon (wysokość 1330 km)
przez stacje (nadajniki) systemu DORIS

Seria współrzędnych
z DORIS.

Stacje GNSS w układzie ITRF 2008

Punkty układu ITRF2008 kolokowane z VLBI, SLR i DORIS.

91 głównych stacji ITRF2008 (core stations) z obwodem 1000 km

Prędkości horyzontalne w układzie ITRF2008

(rys.

Zuheir Altamimi)

Prędkości pionowe w układzie ITRF2008

(rys.

Zuheir Altamimi)

Współrzędne w układzie ziemskim ITRF podawane są w postaci kartezjańskiej
(X ,Y, Z) ECEF Earth Centered Earth Fixed (geocentryczne, związane z Ziemią)

Fragment pliku z pozycjami stacji GPS
w realizacji układu ITRF 2005

Zawiera: identyfikator punktu, stacja, kod, współrzędne XYZ, prędkości
(zmiana współrzędnych) i parametry rozwiązania (sigmy).

Współrzędne stacji w układzie ITRF.XX na daną epokę t obliczamy:

gdzie: t

0

- epoka modelu

v - prędkości stacji w modelu
Δx

i

- poprawki ze względu na różne zjawiska to jest:

- pływy litosfery (solid Earth tides)
- efekty obciążeniowe oceaniczne (ocean loading)
- efekty obciążeniowe atmosferyczne (atmospheric loading)
- rotacyjne deformacje ze względu na ruch bieguna
- efekty instrumentalne (model centrum fazowego anteny itp.)

Prędkości stacji choć empiryczne, zgadzają się

z modelem geologicznym ruchu płyt

kontynentalnych (np. model NNR NUVELL).
Dla układów kontynentalnych związanych z daną płytą jak ETRF prędkości stacji v
są znacznie mniejsze (śródpłytowe) dodatkowo uwzględniamy:
- wypiętrzenie postgalcjalne (postgalcial rebound).

Służba IERS i jej rola w tworzeniu

i konserwacji ziemskich układów odniesienia(1)

Międzynarodowa Służba Ruchu Obrotowego Ziemi (IERS) została powołana
przez Międzynarodową Unię Astronomiczną (IAU) i Międzynarodową Unię
Geodezji i Geofizyki w 1987 roku.

W 2003 roku została przemianowana na

Międzynarodową Służbę Ruchu

Obrotowego Ziemi i Systemów Odniesienia

(International Earth Rotation and

Reference Systems Service).

Do zadań należą:

•Definicja Międzynarodowego Niebieskiego Systemu Odniesienia (ICRS) i jego
realizacja w postaci układu współrzędnych (ICRF).
•Definicja Międzynarodowego Ziemskiego Systemu Odniesienia (ITRS) i jego
realizacja w postaci układu współrzędnych (ITRF).
•Wyznaczenie parametrów orientacji Ziemi (EOP) i ich zmian dla zapewnienia
parametrów transformacji pomiędzy ICR i ITRF.
•Analiza danych geofizycznych dla interpretacji zmian ICRF, ITRF, EOP i ich
modelowanie.
•Standardy, stałe i modele (konwencje) - opisane w publikacji:

IERS Conventions 2010

Służba IERS i jej rola w tworzeniu

i konserwacji ziemskich układów odniesienia(2)

Międzynarodowa Służba Ruchu Obrotowego Ziemi i Systemów Odniesienia
(International Earth Rotation and Reference Systems Service) posiada
następujące służby obserwacyjne i opracowania danych dla poszczególnych
technik:

o Międzynarodowa Służba GNSS (IGS)

o Międzynarodowa Służba Pomiarów Laserowych Odległości (ILRS)

o Międzynarodowa Służba VLBI (IVS)

o Międzynarodowa Służba DORIS (IDS)

Transformacja współrzędnych ortokartezjańskich

– macierze obrotu

Obrót wokół osi x























y

x

r

Z

Y

X ,

,























Z

Y

X

r

Z

Y

X ,

,

Transformacja:

(

)

z

y

x

x

Z

Y

X

r

R

r

,

,

,

,

e



gdzie macierz obrotu:

(

)

























e

e

e

e

e

cos

sin

0

sin

cos

0

0

0

1

x

R

z

Obrót wokół osi OY

(

)

z

y

x

y

Z

Y

X

r

R

r

,

,

,

,

e



gdzie
:

(

)

























e

e

e

e

e

cos

0

sin

0

1

0

sin

0

cos

y

R

Obrót wokół osi OZ

(

)

z

y

x

z

Z

Y

X

r

R

r

,

,

,

,

e



gdzie:

(

)

























1

0

0

0

cos

sin

0

sin

cos

e

e

e

e

e

z

R

Schemat transformacji współrzędnych do starszej wersji układu ITRF:

i

05

- ITRF2005 i

08

- ITRF2008

T - wektor translacji między układami
R - macierz rotacji między układami

Wartości liczbowe parametrów tej i innych transformacji (do innych
wersji układu ITRF i innych układów jak WGS-84, WGS-72) są
podane w literaturze (Altamimi) i mają charakter empiryczny…

Parametry transformacji ITRF2008 » ITRF2005 w epoce 2005.0
(jest to wynik łącznego wyrównania - te same stacje mają w kolejnych
realizacjach odrobinę różne współrzędne - transformacja opisuje najbardziej
zgodne przejście między różnymi realizacjami układu.

Wpływ precesji przedstawiony w postaci transformacji przez obroty

( ) ( ) ( )



















P

z

y

z

T

r

R

R

z

R

r

0









0

r

P

r

T





P – macierz precesji
r

T

– wektor określający pozycję ciała

niebieskiego poprawiona o wpływ
precesji

r

T0

– wektor określający pozycję ciała w

układzie ICRT (T0 – epoka początkowa
J2000)

R

z

(z), R

y

(



),R

z

(-



) – macierze obrotowe

gdzie:

3

2

017988

.

0

"

30188

.

0

"

2181

.

2306

t

t

t









3

2

"

041833

.

0

"

42665

.

0

"

3109

.

2004

t

t

t









3

2

018203

.

0

09468

.

1

"

2181

.

2306

t

t

t

z







25

.

365

0

.

2451545

36525

2000









JD

JD

JD

t

P

Po przemnożeniu macierzy elementarnych macierz precesji:

Czasami jest potrzebne jeszcze

e

:

3

2

001813

.

0

00059

.

0

8150

.

46

448

.

84381

t

t

t









e

Wpływ nutacji przedstawiony w postaci transformacji przez obroty

(

) (

) ( )

0

r

R

d

R

d

R

r

N

x

z

x



































e





e

e

e

















0

r

N

r





gdzie:

r

- wektor określający średni kierunek do ciała niebieskiego (poprawiony o

wpływ precesji)

r

T

– wektor określający prawdziwy kierunek do ciała niebieskiego – kierunek średni

poprawiony o wpływ nutacji





d





- całkowita nutacja w długości

e

e

d





- całkowita nutacja w nachyleniu

Wzajemne położenie osi z

ICRF

i z

ITRF

oraz wektora prędkości

chwilowej

ITRF – International Terrestrial

Refference Frame,
Międzynarodowy Ziemski Układ
Współrzędnych0

ICRF – International Celestial Reference

Frame, Międzynarodowy
Niebieski Układ Współrzednych



- wektor prędkości obrotowej Ziemi

P

chw

– Biegun Chwilowy, kierunek z

chw

układu chwilowego Ziemskiego i
chwilowego niebieskiego układu
odniesienia (biegun CIP)

Nie pokrywanie się osi z

ICRF

osi z

chw

i osi z

ITRF

spowodowane jest wpływem

precesji i nutacji oraz ruchu bieguna

ITRF

ITRF

ICRF

ICRF

Parametryzacja
ruchu obrotowego
Ziemi musi
wejść w tej
czy innej postaci
do transformacji
ICRF » ITRF

Wzajemne położenie osi chwilowego niebieskiego układu

odniesienia i chwilowego ziemskiego układu odniesienia – kąt

obrotu Ziemi (czas gwiazdowy Greenwich)

(

)

.

.

,

,

ziem

chw

z

y

x

(

)

.

.

,

,

ziem

chw

z

y

x

osie chwilowego ziemskiego
układu odniesienia

-osie chwilowego niebieskiego
układu odniesienia

S

GR

– Prawdziwy czas gwiazdowy

Greenwich (w nowej nomenklaturze kat
obrotu Ziemi ERA Earth Rotation Angle)

( )

nieb
chw

z

ziem

chw

r

S

R

r





(

)

nieb
chw

z

ziem

chw

r

ERA

R

r



Oś z obu układów chwilowych czyli kierunek na
CIP - Celestial Inermediate Pole
(dawniej CEP- Celestial Ephemeris Pole) jest ta sama!

Transformacja chwilowych współrzędnych ziemskich do układu

odniesienia ITRF (poprawka ze względu na wpływ ruchów bieguna)

(rysunek: Seeber)

CTP - biegun układu ITRF
X

T

Y

T

Z

T

- ziemski układ chwilowy

Transformacja chwilowych współrzędnych ziemskich do układu

odniesienia ITRF (poprawka ze względu na wpływ ruchów bieguna)

( ) ( )

ziem

chw

W

x

y

ITRF

r

y

R

x

R

r



 



 









ziem

chw

ITRF

r

W

r



gdzie:

W – macierz wpływu ruchów bieguna

R

x

(-y) – macierze obrotowe o kąty x, y

x, y – chwilowe pozycje bieguna podawane przez Międzynarodową Służbę Ruchu

Obrotowego Ziemi i Układów Odniesienia IERS (dostępne na stronie
internetowej IERS)

Transformacja z układu odniesienia ICRF do układu odniesienia

ITRF























































sin

sin

cos

cos

cos

r

z

y

x

r

ICRF

ICRF

ICRF

ICRF

(

)

(

)

(

)

























































ITRF

ITRF

ITRF

w

w

w

ITRF

z

y

x

B

H

e

N

L

B

H

N

L

B

H

N

r

sin

1

sin

cos

cos

cos

2

nieb

chw

nieb

chw

nieb
chw

z

y

x

r

r























































sin

sin

cos

cos

cos

ICRF

r

Precesja

Nutacja

nieb
chw

r

S

GR

lub ERA

chw

ziem

r

Ruch

bieguna

ITRF

r

Macierze transformacji:
P(ζ,θ,z) i N(Δε+dε,Δψ+dψ, ε)
lub Q(X,Y) w nowym
systemie IAU2000

Alternatywne wielkości to
także: UT1, UT1-UTC lub
LOD; omówione na
wykładzie o skalach czasu

W(x,y) macierz transformacji
z bieguna chwilowego CIP do
bieguna ITRF; omówione na
poprzednim wykładzie

ICRF

ITRF

r

WSNP

r



gdzie:
P – macierz precesji
N – macierz nutacji
S – macierz obrotu o czas gwiazdowy
Greenwich lub ERA
W – macierz ruchu bieguna

Porównanie 'starego' (precesja IAU1976 i nutacja IAU1980) systemu

współrzędnych niebieskich z 'nowym' IAU 2000/2009

IAU 1976/1980

IAU2000 A/B

Quasikartezjańskie współrzędne średnie i
chwilowe

Współrzędne kartezjańskie

Układ newtonowski, dynamiczny

Układ relatywistyczny, kinematyczny

Średni równik i średni punkt Barana na daną
epokę

Stały Pośredni System Odniesienia (IRS):
biegun CIP i początek CEO

Biegun konwencjonalny CIO*

Biegun układu ITRS

Ruch bieguna: CEP -jako oś obrotu Ziemi

Model ruchu Pośredniego Bieguna Niebieskiego
CIP

Precesja-nutacja i ruch bieguna rozdzielone za
pomocą CEP

Precesja-nutacja i ruch bieguna rozdzielone
jednoznacznie w dziedzinie częstotliwości

Model nutacji IAU 1980: d



, d

e

Model nutacji-precesji MHB2000, później IAU
2006 (ruchu CIP względem BCRS) dany w
postaci szeregu X, Y

Dokładność do 0”.001

Dokładność do 0”.000001 (wersja A)

IAU 1976/1980

IAU2000 A/B

Tempo rotacji Ziemi opisuje na UT1

Tempo rotacji Ziemi opisuje ERA (Kąt Obrotu
Ziemi) będący kątem między CEO i TEO,
mierzonym na równiku CIP

ICRS bazuje na FK5

ICRS bazuje na katalogu Hipparcos i i ICRS z
obserwacji VLBI

Punkt Barana jako kierunek osi X

zmienny z roku na rok ze względu na precesję

CEO – z grubsza zgodny z punktem równonocy
epoki J2000.0 (NRO), stały w przestrzeni

TDT/TT – zmienną niezależną efemeryd

(przedłużenie TE)

TT – zmienną niezależną efemeryd

W równaniach: TCB i TCG

Czas gwiazdowy S bazuje na UT1

Czas gwiazdowy bazuje na ERA i modelu
precesji (obecnie P03)

Wielki potencjał dokładności nowego systemu (nawet na poziomie mikrosekund łuku) ma znaczenie praktyczne w
pomiarach VLBI lub satelitów astronomicznych.

Np. czas TT odniesiony do TCG uwzględnia relatywistyczne efekty potencjału Ziemi. Podobnie czas TCG względem
TCB uwzględnia fakt, że Ziemia porusza się w potencjale Słońca.

ICRS ma dwa ‘wcielenia’: BCRS – Barycentryczny (Układ Słoneczny) i GCRS – Geocentryczny Niebieskie Układy
Odniesienia są zdefiniowane z myślą o metryce relatywistycznej (czasoprzestrzennej) wobec czego mają inne czasy
TCB i TCG. Spełniają warunek zerowego wzajemnego obrotu.
Nowa filozofia systemu IAU 2000 bierze się m.in. stąd, że bazuje on na układzie niebieskim, realizowanym jako
katalog na epokę J2000.0 (układ nierotujący), dopiero na tej bazie definiujemy początek CIP (w postaci szeregu
funkcyjnego współrzędnych X,Y CIP względem BCRS), cała niezamodelowana reszta ruchów Ziemi traktowana jest
jako ruch bieguna.

Tradycyjny model precesji

IAU 1976

i nutacji

IAU 1980

W nowym systemie współrzędnych niebieskich

IAU 2000

Na macierz precesji składają się trzy obroty:

)

(

)

(

)

(

3

2

3















R

R

z

R

P

kąty precesji:

3

2

3

2

3

2

041833

.

0

42665

.

0

3109

.

2004

018203

.

0

09468

.

1

2182

.

2306

017998

.

0

30188

.

0

2182

.

2306

T

T

T

T

T

T

z

T

T

T









































Nutację także realizuje osobna macierz nutacji:

)

(

)

(

)

(

1

3

1

e



e

e

R

R

R

N

















)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

4

3

2

3

s

R

E

R

d

R

E

R

t

Q







Macierz precesja-nutacja:

ITRS

GCRS

e

t

W

t

R

t

Q

e





)

(

)

(

)

(



)

(

)

(

3







R

t

R

R(t) – rotacja związana z obrotem Ziemi

gdzie θ to po prostu kąt obrotu Ziemi ERA jednoznacznie związany z czasem UT1

































1

1

0

0

1

)

(

)

(

1

2

y

x

y

x

y

R

x

R

W

p

p

Transformacja ze względu na ruch bieguna:

W nieco innym, częściej stosowanym ujęciu, nowego systemu (IAU2000)
macierz precesja nutacja Q(t) to po prostu położenie bieguna chwilowego
CIO względem bieguna niebieskiego (współrzędne CIO w układzie
niebieskim to X, Y).

W najprostszej wersji:

Gdzie: τ - liczba dni od JD2000.0

Dokładniejsze wersje:

Według: P. T. Wallace and N. Capitaine: IAU 2006 precession-nutation procedures, Online Material

Wyznaczenie pozycji z obserwacji sztucznych satelitów Ziemi

1. Z pomiarów odległości do satelity

d

1

, d

2

, d

3

– pomierzone odległości do

satelitów, na ogół każda w
innym momencie, przypadek
trudniejszy będzie omówiony
później

W przypadku pomiaru w tym samym
momencie (n.p. do kilku satelitów) ma to
n.p. miejsce w przypadku technologii GPS.
Rozwiązanie polega na obliczeniu
przestrzennego wcięcia liniowego.

Równania układamy w tym układzie współrzędnych, w którym znamy położenie satelity
(układzie niebieskim ICRF)

X

i

ICRF

,

Y

i

ICRF

, Z

i

ICRF

– współrzędne i-tego satelity w układzie ICRF

x

ICRF

, y

ICRF

, z

ICRF

– współrzędne punktu P w układzie ICRF

Równania dla kul przyjmują postać

(

) (

) (

)

(

) (

) (

)

(

) (

) (

)

2

3

2

3

2

3

2

3

2

2

2

2

2

2

2

2

2

1

2

1

2

1

2

1

d

z

Z

y

Y

x

X

d

z

Z

y

Y

x

X

d

z

Z

y

Y

x

X

ICRF

ICRF

ICRF

ICRF

ICRF

ICRF

ICRF

ICRF

ICRF

ICRF

ICRF

ICRF

ICRF

ICRF

ICRF

ICRF

ICRF

ICRF





































W tym układzie będą trzy niewiadome x

ICRF

, y

ICRF

, z

ICRF

– wyznaczane współrzędne

punktu w układzie ICRF.

Tych jednoczesnych pomiarów może być więcej niż 3. W tym przypadku:

(

) (

) (

)

2

2

2

z

Z

y

Y

x

X

d

i

i

i

i













(1)

Napiszemy równanie obserwacyjne w metodzie pośredniczącej:

(

)

dz

dxdy

dd

d

v

d

i

obl

i

i

obs

i

,







gdzie:

i

v

obs

i

d

obl

i

d

dz

z

d

dy

y

d

dx

x

d

dd

i

i

i

i



















- poprawka do pomierzonej i-tej odległości
- zaobserwowana odległość do satelity
- obliczona przy pomocy wzoru (1) wartość odległości, gdzie podstawiamy

przybliżone wartości współrzędnych wyznaczanego punktu x

przybl

, y

przybl

,

z

przybl

Równanie obserwacyjne przy założeniu bezbłędnej orbity przyjmie postać









i

l

obs

i

obl

i

i

i

i

i

d

d

dz

z

d

dy

y

d

dx

x

d

v























gdzie: dx, dy, dz – poszukiwane niewiadome (poprawki do przybliżonych współrzędnych

punktu wyznaczanego)





























i

i

i

i

i

i

c

dz

d

b

dy

d

a

dx

d

Współczynniki przy niewiadomych uzyskujemy różniczkując (1)

obs

i

obl

i

i

d

d

l





wyraz wolny w równaniu poprawek

podstawiając otrzymamy:

i

i

i

i

i

l

dz

c

dy

b

dx

a

v









W zapisie macierzowym

równanie obserwacyjne:

L

AX

V





gdzie:























dz

dy

dx

X



























n

n

n

c

b

a

c

b

a

c

b

a

...

...

...

2

2

2

1

1

1

A



























n

l

l

l

...

2

1

L

dla obserwacji niejednakowo dokładnych, używając macierzy wag:























n

P

P

P

1

...

1

B

P





2

0

σ

n

n

σ

PV

V

T



2

0

ˆ

gdzie:

2

0

ˆσ

- estymator współczynnika wariancji

n

n

- liczba stopni swobody (obserwacji nadliczbowych)

Równania normalne mają postać:

0

PL

A

PA

A

T

T





niewiadome i ich charakterystyki dokładności





PL

A

PA

A

X

T

T

1

ˆ







n

n

σ

PV

V

T



2

0

ˆ

( )





1

2
0

cov





PA

A

T

x



B = cov(X)

albo w postaci krakowianowej

l

a

x

v



 























dz

dy

dx

x



























n

n

n

c

b

a

c

b

a

c

b

a

...

...

...

2

2

2

1

1

1

a



























n

l

l

l

...

2

1

l

gdzie:

v – krakowian poprawki do obserwacji
x – krakowian niewiadomych
τ – krakowian jednostkowy
l – krakowian wyrazów wolnych

następnie układamy krakowianowy układ równań normalnych

la

xa

2



rozwiązując otrzymamy:

( )

( )

1





2

a

la

x

Schemat obliczeń

Dane: a, e, i ,



,



, t

p

– parametry orbity oskulacyjnej na moment obserwacji t obliczamy

na przykład następująco dla każdego z powyższych elementów:

(

)

(

)

(

)

(

)

( )

(

)

(

)

...

2

1

..........

..........

..........

..........

..........

..........

...

2

1

...

2

1

2

0

2

2

0

0

2

0

2

2

0

0

2

0

2

2

0

0





























































t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

e

t

t

t

e

e

e

t

t

t

a

t

t

t

a

a

a

p

p

p

p

lub też n.p. dla elementu a:











t

t

dt

t

a

a

a

0

0

gdzie:

a

0

, e

0

, t

0

,



0

,



0

, (t

p

)

0

– wartości średnich elementów orbity na moment

t

0

Mając dane parametry orbity oskulacyjnej obliczamy X

i

ICRF

, Y

i

ICRF

, Z

i

ICRF

na moment

wykonania obserwacji

i dalej według schematu:

Dane początkowe

a

0

, e

0

, t

0

,



0

,



0

, (t

p

)

0

na moment t

0

Obliczenie parametrów orbity

oskulacyjnej na moment obserwacji t

a, e, i,



,



, t

p

Obliczenie współrzędnych „n” satelitów w układzie ICRF

ICRF

n

ICRF

n

ICRF

n

ICRF

ICRF

ICRF

ICRF

ICRF

ICRF

Z

Y

X

Z

Y

X

Z

Y

X

,

,

.......

..........

..........

,

,

,

,

2

2

2

1

1

1

Ułożenie i rozwiązanie równań obserwacyjnych –
obliczenie pozycji punktu w układzie ICRF

Transformacja współrzędnych punktu do układu ITRF
(precesja, nutacja, ruch bieguna, kąt ERA)

Podobnie można wyznaczyć pozycję punktu z niejednoczesnych obserwacji odległości do
satelitów, w tym przypadku jednak będziemy posługiwali się pozycją satelity w układzie
ziemskim ITRF.

Schemat obliczeń będzie następujący dla i-tego satelity w momencie obserwacji

Dane początkowe

na moment t

0

a

0

, e

0

, t

0

,



0

,



0

, (t

p

)

0

Obliczenie parametrów orbity oskulacyjnej

na moment obserwacji i-tego satelity t

i

a, e, i,



,



, t

p

Obliczenie współrzędnych i-tego satelity w momencie

czasu t

i

w układzie ICRF

ICRF

i

ICRF

i

ICRF

i

Z

Y

X

,

,

TRANSFORMACJA współrzędnych i-tego satelity w

momencie , do układu ITRF obliczenie X

i

ITRF

, Y

i

ITRF

, Z

i

ITRF

Transformacja o precesję, nutację, ruch bieguna i kąt ERA

Ułożenie równań obserwacyjnych w układzie ITRF

Podobnie układy równań obserwacyjnych dla kolejnych obserwacji i = 1,2,3 ....
Rozwiązujemy metodą najmniejszych kwadratów.

Ogólny schemat układów odniesienia używanych
w geodezji satelitarnej:
inercjalne, ziemskie, lokalne.

Układ globalny
(geograficzny)
a układ lokalny

ECEF -
Earth Centered
Earth Fixed

Układ współrzędnych geograficznych astronomicznych

g

-

wektor przyspieszenia

siły ciężkości



-

szerokość geograficzna



-

długość geograficzna

Układ współrzędnych elipsoidalnych (szerokość i długość geodezyjna)

P

– punkt na fizycznej

powierzchni Ziemi

O

– środek masy Ziemi

n

e

– wektor jednostkowy

normalnej do elipsoidy

n

g

– wektor jednostkowy

kierunku przyspieszenia
siły ciężkości

B

– szerokość geodezyjna

L

– długość geodezyjna



– odchylenie pionu























B

L

B

L

B

n

e

sin

sin

cos

cos

cos



































sin

sin

cos

cos

cos

g

g

n

g

g

e

n

n







cos

iloczyn skalarny!

(

)

g

e

n

n





arccos



Odchylenie pionu

– ważna wielkość

W geodezji wiąże pomiary geodezyjne wykonane instrumentami zorientowanymi zgodnie
z kierunkiem pionu z elementami które zostaną zredukowane na elipsoidę.

Dlaczego w geodezji używamy elipsoidy jako powierzchni aproksymującej
powierzchnię Ziemi?

Jest to wynikiem:

1. Tradycji

2. Łatwości odwzorowania elementów przedstawionych na jej powierzchni na
płaszczyznę (mapę)

3. Niewielkie zniekształcenie przy redukcji pomierzonych elementów z fizycznej
powierzchni Ziemi na elipsoidę.