Ruch orbitalny – prawa Keplera

elementy mechaniki nieba

(Wykorzystano materiały profesora J. Rogowskiego)

Podstawy dynamiki ruchu orbitalnego

Równanie ruchu - ograniczone zadanie dwóch ciał

Ograniczone zadanie dwóch ciał – założenia

W przestrzeni

znajdują się dwa ciała

Z i S (satelita).

Ciała można zastąpić masami
punktowymi odpowiednio M i m
skupionymi w ich

środkach mas.

Układ współrzędnych x,y,z jest
układem inercjalnym, to znaczy:
początek układu współrzędnych
bądź jest w spoczynku, bądź też
porusza

się ze stałą prędkością oraz

nie ma rotacji

układu.

Z

– ciało o większej masie M

tzw. ciało centralne

S

– satelita (m)

a

r

,

-

wektory wodzące ciał w

układzie inercjalnym

M, m

– masy ciał

Układ inercjalny to taki w którym wyznaczone przyspieszenie jest zgodne z
II prawem dynamiki Newtona

II prawo dynamiki Newtona

F

a

d

2

2

dt

m



=

Stosując oznaczenie

`

2

2

dt

a

d

a

=





2

a



`

2

dt

d

a

=



Otrzymamy

F



a

m





=

Prawo powszechnego ciążenia

(2.1)

M

F

r

r

m

G

3



-

=

(2.2)

gdzie: G – stała grawitacji

Przyspieszenie satelity

)

(



r



S

możemy uzyskać porównując siły opisane wzorem

(2.1) i (2.2).

Otrzymamy następujące zależności:

Mm

r

r

G

a

M

3

=





- dla satelity

r





Mm

r

r

G

m

2

-

=

-

dla ciała centralnego

po przekształceniu otrzymamy

M

r

3

r

G

a

=





(2.3)

r

m

r

3

r

G

-

=





(2.4)

różniczkując dwukrotnie względem czasu otrzymamy:

Ponieważ:

a

r

-

=

r



r

a

r











-

=

podstawiając (2.3) i (2.4) otrzymamy po uporządkowaniu:

r

3

r

(

)

m

M

G

r

+

-

=





gdzie:

(

)

m

=

+

m

M

G

(2.5)

(2.6)

to tzw. parametr grawitacyjny

Podstawiając (2.6) do (2.5) otrzymamy po uporządkowaniu:

3

r

r

0

=

+

r

m





(2.7)

Jest to wektorowe równanie ruchu w ograniczonym zadaniu dwóch ciał
(tzw. zadanie Keplera).

Przechodząc do równań skalarnych otrzymamy trzy następujące równania:

(2.8)

Dla układu Ziemia - sztuczny satelita

14

10 m

3

s

-2

986

.

3



=

m

Rozważając układ trzech równań (2.8) różniczkowych drugiego rzędu otrzymamy
6 stałych parametrów opisujących elementy tzw. orbity keplerowskiej.

Odpowiedni rozwiązując (całkując te równania) dostaniemy zarówno elementy
orbity jako stałe całkowania jak i odtworzymy prawa Keplera (wychodząc tylko
od Newtona!)

0

0

0

3

3

3

=

+

=

+

=

+

z

r

z

y

r

y

x

r

x

m

m

m













I Każda planeta porusza się po orbicie, która jest elipsa dookoła
Słońca, które znajduje się w jednym z ognisk elipsy

II Promień wodzący planety zakreśla w równych interwałach czasu
wycinki elipsy o równej powierzchni (stała prędkość polowa)

III Kwadrat okresu obiegu każdej planety jest wprost proporcjonalny
do trzeciej potęgi średniego promienia wodzącego planety (duża
półoś elipsy)

Oryginalne sformułowanie praw Keplera (lata 1609 i 1619 r.)

Prawa Keplera (I)

Ruch ciał wokół ciała centralnego odbywa się po jednej z krzywych
stożkowych (koło, elipsa, parabola, hiperbola), środek masy układu ciał
znajduje się w jednym z ognisk krzywej.

Kształt i rozmiar krzywej zależy od
prędkości początkowej ciała S
(o czym będzie mowa dalej).

Z pierwszego prawa Keplera wynika,
że kształt i rozmiar orbity określony
jest przez dużą półoś orbity (a)
i jej mimośród (e).

Krzywe stożkowe

p -

parametr ogniskowy krzywej stożkowej

równanie krzywej stożkowej:



cos

1 e

p

r

+

=

, gdzie parametr ogniskowy

)

1

(

2

e

a

p

-

=

anomalia prawdziwa = 0° perycentrum

)

1

(

1

e

a

e

p

r

p

-

=

+

=

anomalia prawdziwa = 180° apocentrum

)

1

(

1

e

a

e

p

r

a

+

=

-

=

I odwrotnie:

2

a

p

r

r

a

+

=

, zaś

p

a

p

a

r

r

r

r

e

+

-

=

II prawo Keplera

Ciało porusza się ze stałą prędkością polową, tj. pole zakreślone przez wektor
wodzący w jednostce czasu jest stałe.

r(t)

r(t+

dt)

r(t)

xr(t

+dt

)

-

wektorowa całka pola (stała)

(

)

(

)

dt

t

r

t

r

C

+



=

-

prędkość polowa

C

2

1

s

=



C

const

=

Z drugiego prawa Keplera wynika, że orbita
jest krzywa płaską zajmująca stałe położenie
w przestrzeni.

W układzie współrzędnych jej
położenie będzie opisane przez
dwa stałe parametry.

II prawo Keplera

III prawo Keplera

Okres obiegu ciała jest funkcją parametru grawitacyjnego

(

)

m

i dużej półosi orbity (a)

(2.9)

2

3

2

a

T

m



=

μ = GM

nazywamy heliocentryczną stałą grawitacji
(geocentryczną dla satelitów Ziemi: wówczas M

Z

)

dla planet dokładnej:

2

3

)

(

2

a

m

M

G

T

+

=



bo III prawo Keplera:

3

2

2

)

(

4

a

m

M

G

T

+

=



Sam Kepler spostrzegł zależność:

3

2

3

1

2

2

2

1

a

a

T

T

=

W przypadku ciał nie różniących się bardzo masą oba krążą
wokół wspólnego środka mas i prawa Keplera dalej obowiązują
tyle, że względem tego środka i μ = G(M

1

+M

2

)

Zależność pomiędzy kształtem orbity i prędkością początkową.

Oznaczając przez
r – wektor wodzący satelity
h – wysokość satelity nad Ziemią
R – średni promień Ziemi
e – mimośród orbity

Możemy policzyć prędkości jakie muszą być nadane satelici by mógł się utrzymać
na orbicie kołowej.

orbita kołowa

0

=

e

r

m

v

k

=

gdzie - prędkość

v

orbita eliptyczna

1

0

<

<

e

R

h

v

v

k

e

+

>

2

2

orbita paraboliczna

orbita hiperboliczna

1

=

e

2

k

p

v

v

=

1

>

e

2

k

h

v

v

>

Mimośród (e)

kształt orbity

Energia mechniczna

0

kołowa

E < 0

(0,1)

eliptyczna

E < 0

1

paraboliczna

E = 0

>1

hiperboliczna

E > 0

Dobrą metodą wytłumaczenia rodzajów orbit jest wprowadzenie pojęcia potencjału
efektywnego, który tworzy studnię potencjału – jej najniższym punktem jest promień orbity
kołowej.

U

T

r

U

r

ml

r

m

E

~

)

(

2

2

1

2

2

2

+

=













+

+

=



gdzie l=L/m – właściwy moment pędu

2

2

2

~

mr

L

r

k

U

+

-

=

Całkę energii mechanicznej na orbicie można sprowadzić do:











 -

=

a

r

GM

v

E

1

2

2

dla elipsy

r

GM

v

P

2

2

=

dla paraboli











 +

=

a

r

GM

v

H

1

2

2

dla hiperboli.

2

2

2

2

a

b

a

e

-

=

Okres orbitalny:

2

3

2

a

T

m



=

, gdzie μ = GM

zależy od
wysokości (LEO - 85 min, GPS – 12 h, GEO – 24h)
masy planety (np. LEO Ziemia – 85 min, Mars 5 h, Księżyc 10 h)

Prędkości na orbicie eliptycznej:

e

e

A

v

P

v

-

+

=

1

1

)

(

)

(

Np. dla Ziemi

03397

.

1

9833

.

0

0167

.

1

)

(

)

(

=

=

A

v

P

v

Trzecie prawo Keplera dla M>>m można zapisać w postaci:
n

2

a

3

=1

Pierwsza, druga i trzecia prędkość kosmiczna

I prędkość kosmiczna to prędkość jaką należałoby nadać satelicie aby utrzymał
się na orbicie kołowej

Dla

0

=

h

otrzymamy:

sek

km

6371

986

m

R

v

9

.

7

10

.

3

5

1

=



=

=

w rzeczywistości biorąc pod uwagę opór atmosfery musimy ją obliczyć dla h>0

II prędkość kosmiczna to prędkość jaką należy nadać ciału aby mogło
opuścić orbitę Ziemi (czyli osiągnęło prędkość paraboliczną)

sek

km

2

2

v

v

2

.

11

9

.

7

1

2

=

=

=

III prędkość kosmiczna – konieczna dla opuszczenia Układu Słonecznego

Z

p

v

v

v

Z

-

=

3

gdzie:

Z

p

v - prędkość paraboliczna dla okołosłonecznej

orbity po której porusza się Ziemia

Z

v -

prędkość Ziemi w jej ruchu po orbicie

sek

km

v

Z

8

.

29

=

km

2

sek

v

Z

p

3

.

42

8

.

29

=

=

sek

km

v

5

.

12

8

.

29

3

.

42

3

=

-

=

Elementy orbity Keplerowskiej, zależność położenia orbity od czasu

S

– satelita

S’ – rzut satelity na sferę niebieską
P

– perigeum (punkt największego

zbliżenia)

i – nachylenie płaszczyzny orbity

do płaszczyzny równika



- argument perigeum



- anomalia prawdziwa

P’ – rzut perigeum na sferę niebieską
 - węzeł wstępujący orbity



- rektascensja węzła wstępującego orbity



- anomalia prawdziwa

– kąt pomiędzy dużą półosią orbity i kierunkiem do

satelity

Z

– leży w ognisku elipsy (orbity eliptycznej)

Dla orbity eliptycznej mamy:

Aby

powiązać położenie ciała z czasem musimy znać moment czasu

przejścia satelity przez perigeum (t

p

).

1. określają kształt i rozmiar orbity
a

– duża półoś orbity

e

– mimośród orbity

2. określają położenie płaszczyzny orbity



-

rektascensja węzła wstępującego orbity

i

– nachylenie płaszczyzny orbity do płaszczyzny równika

3. określają położenie orbity w jej płaszczyźnie



- argument perigeum

t

p

– moment przejścia satelity przez perycentrum

Elementy orbity (6

stałych parametrów w ograniczonym

zadaniu

dwóch ciał):

Anomalie:

1. Prawdziwa (



)

– zdefiniowana wyżej

2.

Średnia (M) – odpowiada poruszaniu się fikcyjnego ciała z prędkością
równa średniej prędkości ciała rzeczywistego

2

T

a

3

m

n



=

=

(2.10)

n

– średnia prędkość kątowa satelity

(2.11)

)

(

)

(

3

p

p

t

t

a

t

t

n

M

-



=

-



=

m

3.

Mimośrodowa (definicję przedstawia rysunek)

Gdzie:

F1

– ognisko

e

a

OF



=

1

E

– anomalia mimośrodowa

E

a

X

cos



=

a

E

e

E

b

Y

sin

1

sin

2

-

=



=

)

(cos

cos

e

E

a

ae

E

a

-

=

-

=

x

E

e

a

sin

1

2

-

=

h

0

=

z

(2.12)

oś

z

-

prostopadła do

płaszczyzny orbity

z

,

x

,

h

-

współrzędne w układzie związanym z orbitą.

Anomalia prawdziwa (θ) i mimośrodowa (E)

Anomalię mimośrodową E liczymy na podstawie równania Keplera.

E

e

M

E

sin

+

=

gdzie:

(2.13)

M

– anomalia średnia w momencie czasu t

Dla

małych wielkości mimośrodów możemy obliczyć stosując metodę

kolejnych

przybliżeń (iteracyjnie).

i

i

E

e

M

E

sin

1

+

=

+

(2.14)

w iteracji pierwszej

=



M

E

E

1

1

Iteracje powtarzamy aż do momentu gdy w kolejnych dwóch obliczeniach
uzyskamy tę sama wielkość (z dokładnością wymaganą w konkretnym zadaniu).
Kolejnym krokiem będzie obliczenie współrzędnych w układzie orbitalnym
(

z

,

x

,

h

).

Współrzędne równikowe (



,



) satelity oraz jego promień wodzący (r) w

momencie czasu (t) obliczymy transformując układ

z

,

x

,

h

do układu x,y,z

(związanego z układem równikowym).

Zależność pomiędzy współrzędnymi

ortokartezjańskimi (x,y,z) i sferycznymi (



,



,r)





















=





















=

z

y

x

r

r

r

r











sin

sin

cos

cos

cos

(2.15)

y

x

arctan

=



2

y

x

+

2

arctan

z

=



2

2

2

z

y

x

r

+

+

=

(2.16)

Transformacja współrzędnych orbitalnych (

z

,

x

,

h

) na

współrzędne równikowe (



,



) i godzinne (t,



)

Zgodnie z rysunkiem 2.1 transformacja przebiega następująco:

-

=

(

,

,

z

R

r

z

y

x



z

h

x

h

x



,

,

)

(

)

(

)

r

R

i

R

-

-



,



, r

– obliczamy ze wzorów 2.16.

Obliczenie współrzędnych godzinnych (t,



).



-

=

S

t

gdzie:

t

– kąt godzinny

S

– prawdziwy miejscowy czas gwiazdowy (sposób obliczenia podany jest w

wykładzie na temat czasów)

θ

θ

Komety maja bardzo urozmaicone
orbity: duże mimośrody, różne
inklinacje.

Badaczem ich orbit był też profesor Kępiński

Znane komety krótkookresowe

Znane komety krótkookresowe (c.d.) i wybrane komety długookresowe

Kometa długookresowa
przelatując koło planety
wielkiej, może stać się
krótkookresową.

Ciekawostki mechaniki nieba

1a) perturbacja rektascenzji węzła wstępującego orbity ze względu na spłaszczenie Ziemi
(orbita heliosynchroniczna - „sun-synchronous”)
1b) ruch ciał spłaszczonych: precesja osi obrotu i precesja orbity
2) eliptyczna orbita transferowa (orbita Hohmanna) – przykład Marsa: okresy okien
startowych w latach opozycji, w przypadku Ziemi analogią jest: GTO (geostationary transfer
orbit)
3) punkty Lagrange’a (problem 3 ciał) – L1, L2 oraz L3 (po drugiej stronie) na linii dwu ciał
masywnych, oraz L4, L5 tworzące z nimi trójkąt równoboczny, ciało pozornie spoczywa
– wykorzystanie przez próbnik Genezis, SOHO (L1), WMAP i Gaia (L2)
4) tory satelitów w układzie ECEF (pętle i siodła):
- strefy ‘martwe’ dla satelitów GPS (na równiku wokół punktu N i S; na średnich
szerokościach nad N i na biegunie wokół zenitu)
- scieżki na powierzchni ziemi (groundtrack), np. dla startu na orbitę geostacjonarną (na
GTO) w najwyższej fazie satelita porusza się wolniej niż obrót ziemi (groundtrak ze wschodu
na zachód)
5) manewry grawitacyjne (Voyager (szczególnie nr 2), Galileo, Cassini, Nozomi)
Najprostszy szacunek grawitacyjnego ‘encounter’ z Jowiszem:

initial

J

final

v

v

v

-

=

2

6) perturbacje (teoria zaburzeń orbit przez niewielkie siły – problem iteracyjny):
- odpalenie silnika styczne do toru- zwiększenie lub zmniejszenie eliptyczności orbity
- atmospheric drag – przykłady Skylab, ISS, MGS, Odyssey itp. (trzeba uwzględniać już od
ok. 1500 km)
- ciśnienie promieniownania (modele dla satelitów GPS, znaczenie w ruchu drobnych ciał,
żagiel słoneczny)

7) doświadczenie Shapiry – promień radiowy muskający Słońce ze względu na GRT (General
Relativity) ulega opóźnieniu o ok. 240

m

s = 36 km, co zostało mierzone z dużą dokładnością

dla próbników Wenus i Marsa (np. Vikingi) w trakcie koniunkcji Marsa/Wenus ze Słońcem.
8) strefy oddziaływania: Ziemia - Księżyc, Słońce – Ziemia (różne od obszarów większej siły
grawitacyjnej)
8a) Siły pływowe
Granica Roche’a (nie mylić ze strefą):

R

const

r

p

k

R





=

3

r

r

gdzie R promień planety; const dla satelity płynnego 2.44, małego ‘stałego’ praktycznie 1.4
Implikacje: księżyce Jowisza (Io, Europa), oraz Saturna (Enceladus) – grzanie pływowe
9) śledzenie bliskich Ziemi obiektów (NEO) – rola rezonansów w orbitach planetoid
10) rezonanse (np. układ Saturna i Jowisza) i chaos (długie prognozy niewykonalne)
Najważniejsze rezonanse:
Merkury: 3 obroty= 2 obiegi Słońca = 1 doba słoneczna
5 obiegów Jowisza = 2 obiegi Saturna
Okresy satelitów Jowisza: 1 Io = 2 Europa = 4 Ganimedes
Fenomeny w układzie Saturna (rola rezonansów od satelitów 'pasterskich' dla stabilności
pierścienia), także inne pierścienie planetarne (wszystkie planety wielkie mają pierścienie!)
11) dynamika gromad gwiazd (konfiguracje izotermiczne, gromady otwarte i zamknięte –
kuliste, teoria kollapsu-kryteria Jeans’a)
12) dynamika Galaktyki (fale gęstości – teoria ramion spiralnych, rezonanse).

Lindblada

Zmiany elementów orbity pod wpływem sumy sił perturbujących R
(niesferyczność Ziemi: spłaszczenie/geoida, deformacje Ziemi: pływy
litosfery i oceaniczne, Słońce, Księżyc, planety, atmosfera, ciśnienie
promieniowania, relatywistyka i inne.) (Kaula)

Perturbacje orbity

Siły perturbujące orbitę
satelity Ziemi.

Źródło: Seeber

Perturbacje dzielimy na:
- wiekowe (siła zewnętrzna

nieokresowa)

- okresowe (długookresowe -

wiekowe) i krótkookresowe

- mieszane

Wartości sił perturbujących satelity
na orbicie Ziemi zależy przede
wszystkim od wysokości orbity.
Stąd satelity realizujące układ
odniesienia (GNSS i SLR)
są na orbitach pośrednich
h = 7-25 tys. km.

Źródło: Seeber

Typy
orbit:
LEO
MEO
GEO
GTO

Okres orbitalny:

Błysk satelity systemu Iridium

W początkach geodezji satelitarnej prowadzono
obserwacje optyczne teraz robią to amatorzy.

Obserwacje satelitów – tu ścieżka ISS (Międzynarodowej Stacji Kosmicznej)

Orbita heliosynchroniczna
(synchroniczna ze Słońcem)
ang. sun-synchronous

Orbita ‘sun-synchronous’

Perturbacja rektascenzji węzła wstępującego orbity ze względu na spłaszczenie Ziemi =
‘nadmiar’ masy wokół równika (equatorial bulge):

(

)

i

e

a

a

R

GM

J

dt

d

cos

1

1

2

3

2

2

5

2

2

-















-

=



Odpowiednio dobierając i możemy zsynchronizować rotację linii węzłów ze zmianą kierunku
do Słońca tak aby oświetlenie punktu ‘podorbitalnego’ było zawsze takie samo. Trzeba by:

sec

rad

10

2

2422

.

365

2

5

-





=





dt

d

Np. dla h = 800 km dostajemy i = 98.5°
Inklinacja krytyczna (brak precesji linii węzłów): i

0

= 63°26’.

Efekty relatywistyczne
upływu czasu na
orbicie okołoziemskiej:

- transformacja Lorentza
(STW - czerwony)
- grawitacyjny
(OTW - zielony)

Dla małych ciał o rozmiarach 10 cm- 100 m dominującym
czynnikiem zmieniającym ich orbity jest tzw. efekt Jarkowskiego
Jarkowski (1844-1902) polski inżynier budownictwa pracujący
w Rosji carskiej.
Ciało obracające się w trakcie ruchu orbitalnego zmienia orbitę
ze względu na pęd termicznego promieniowania ze strony oświetlanej
przez Słońce (taki mini-silnik rakietowy).
Jeśli kierunek obrotu jest zgodny z kierunkiem obiegu wypadkowy
pęd powoduje oddalanie od Słońca w tempie 0.1-0.5 AU / 10 mln lat
w obrębie Pas Głównego.
Jeśli kierunek obiegu jest przeciwny do obrotu ciało porusza się po
spirali do wewnątrz Układu Słonecznego.
Dla ciał centymetrowych decydujący jest ciśnienie promieniowania
słonecznego i efekt Pointinga-Robertsona.

Jarkowski
i jego efekt

Ewolucja orbity
‘wycofanego’ satelity GPS

Wykres współrzędnych horyzontalnych
satelitów GPS w ciągu doby

Przykład obrazu orbity w układzie ECEF
(Earth Centered Earth Fixed) – tj. sztywno
związanym z Ziemią

Ścieżka pod-satelitarna (groundtrack) podczas startu satelity GPS RII -13

‘Groundtrack’ przy bezpośrednim starcie na orbitę geostacjonarną

‘Groundtrack’ przy starcie na orbitę biegunową

Orbita typu Mołnia
(groundtrack u dołu)

Orbita (okres 3 dni)
obserwatorium gamma
Integral

- chodzi o uzyskanie
kilkudziesięciu godzin
poza pasami (van Allena)
promieniowania
wokół Ziemi

Orbita (‘transferowa’) Hohmanna

Gm

r

r

T

8

)

(

3

2

1

+



= 

Orbita transferowa.
Widać miejsca
gdzie konieczne
jest odpalenie
silnika
(zmiana prędkości).

Energia na orbicie
transferowej pozostaje
stała…

Okna startowe na Marsa trwają ok. 1.5 miesiąca co 2 lata…
(dokładniej 26 miesięcy)

Punkty Lagrange’a (punkty równowagi w uproszczonym modelu 3 ciał)

Punkt L2 jest szczególnie korzystny
dla obserwacji astronomicznych

Wejście na orbitę wokół punktu L2 (WMAP)

Często mówi się po prostu o Trojanach, stąd ‘satelity trojańskie’.
Obiekt może orbitować wokół punktów Lagrange’a.

Trajektoria misji Dawn do planetoid Westa i Ceres

Trajektoria
misji Dawn

Manewry grawitacyjne sondy NOZOMI

Zmiana orbity próbnika
Pionier-10 w trakcie
przelotu koło Jowisza
w 1973 r.

Sondy kosmiczne Voyager-1/2 opuszczające Układ Słoneczny