ĆWICZENIE NR

19

CYFROWE PRZETWARZANIE SYGNAŁÓW

ELEKTRYCZNYCH

19.1. Cel ćwiczenia

Celem

ćwiczenia jest poznanie zasad cyfrowego przetwarzania sygnałów

oraz zalet i wad tego sposobu przetwarzania.

19.2. Teoretyczne podstawy pomiaru

19.2.1. Wprowadzenie

Obserwowany w ostatnim dwudziestoleciu szybki rozwój techniki kompute-

rowej - zarówno od strony narzędziowej (komputery osobiste o dużej mocy
obliczeniowej, cyfrowe procesory sygnałowe DSP, specjalizowane układy
scalone ASIC), jak i programowej (algorytm szybkiej transformaty Fouriera) -
sprawił, że konwencjonalne metody analogowego przetwarzania sygnałów są
zastępowane przetwarzaniem cyfrowym. Cyfrowe przetwarzanie sygnałów
(CPS) jest stosowane m.in. do linearyzacji charakterystyk czujników i
przeliczania wyników pomiarów na wybrane jednostki techniczne, obliczania
parametrów statystycznych i

kontroli wiarygodności, całkowania i

różniczkowania numerycznego, filtracji cyfrowej, obliczania szybkiej
transformaty Fouriera FFT i odwrotnej transformaty Fouriera IFFT,
wyznaczania autokorelacji i korelacji wzajemnej, wykreślania histogramu
gęstości amplitudowej sygnału. Układy cyfrowe wykazują szereg zalet
w stosunku do układów analogowych: nie występują w nich ani dryft parame-
trów ani szumy, cechują się wysoką dokładnością oraz zapewniają łatwą zmianę
parametrów, np. częstotliwości granicznej i nachylenia charakterystyki filtrów.
Do wad układów cyfrowych należy zaliczyć mniejszą szybkość działania i węż-
sze pasmo przenoszonych częstotliwości, co wynika głównie z ograniczonej
częstotliwości próbkowania przetwornika A/C.
Czujniki

przetwarzające wielkości fizyczne dostarczają zwykle sygnału

ciągłego x(t), który przez próbkowanie jest sprowadzany do postaci dyskretnego

286

szeregu czasowego próbek x(i

∆

t). Następnie - w procesie kwantyzacji -

próbkom nadawana jest dyskretna wartość liczbowa x

k

(i

∆

t). Sygnał

spróbkowany i skwantowany jest nazywany sygnałem cyfrowym. Rozdzielczość
i szybkość przetwarzania analogowo-cyfrowego ma zasadnicze znaczenie w
pomiarach cyfrowych. W

oscyloskopach cyfrowych stosuje się szybkie

przetworniki o częstotliwości próbkowania do 2 GS/s, ale o małej
rozdzielczości, zwykle 8-bitowe. W niektórych multimetrach cyfrowych można
wybierać liczbę wyświetlanych cyfr wyniku i np. przy rozdzielczości 4 1/2
cyfry (16 bitów) można wykonać 100 000 pomiarów na sekundę, a przy
rozdzielczości 8 1/2 cyfry (29 bitów) - tylko 6 pomiarów na sekundę.
Komputerowe karty pomiarowe są wyposażone najczęściej w przetworniki 12-
bitowe o częstotliwości próbkowania od 100...250 kS/s lub - znacznie droższe -
do 5 MS/s; produkowane są również przetworniki 16-bitowe o częstotliwości
100 kS/s.

19.2.2. Dyskretna transformata Fouriera

Sygnały mogą być analizowane w dziedzinie czasu lub częstotliwości. Gdy
sygnał składa się z wielu składowych o różnych częstotliwościach,
wygodniejszą metodą jest analiza w dziedzinie częstotliwości. Do przejścia z
funkcji czasu na funkcję częstotliwości można wykorzystać przekształcenie
Fouriera, jeżeli sygnał spełnia warunki Dirichleta. W przypadku sygnału
okresowego otrzymuje się dyskretne widmo częstotliwościowe, a dla sygnału
nieokresowego - widmo ciągłe.
Pobieranie próbek z sygnału badanego może być dokonywane tylko w
skończonym przedziale czasu. Czas ten jest wyznaczony przez długość okna
pomiarowego (wycinającego). Jeżeli długość okna pomiarowego T

W

dobierzemy równą okresowi badanego sygnału T i zastosujemy okres
próbkowania T

S

= T

W

/M, to otrzymamy M próbek o wartościach: x(0), x(T

S

),

x(2T

S

),... x[(M-1)T

S

], które pozwolą ułożyć układ M równań, zawierających

poszukiwany, skończony szereg Fouriera. Rozwiązując ten układ równań
możemy obliczyć współczynniki tego szeregu, czyli składową stałą a

0

= A

0

oraz

N = M/2 - 1 harmonicznych, złożonych ze składowych a

n

, b

n

lub opisanych

przez amplitudę A

n

i fazę

ϕ

n

∑

∑

=

=

+

+

=

+

+

=

N

n

n

n

N

n

n

n

t

n

A

A

t

n

b

t

n

a

a

t

x

1

0

1

0

)

sin(

)

sin

cos

(

)

(

ϕ

ω

ω

ω

(19.1)

W praktyce współczynniki składowych harmonicznych wyznacza się
transformując M punktowy ciąg próbek x(mT

S

) w M punktowy ciąg dyskretny w

dziedzinie częstotliwości (dyskretna transformata Fouriera DFT)

287

X

X nf

x mT

e

X

X f

X M

f

n

W

S

m

M

j

nm

M

W

W

=

=

⋅

=

−

=

−

−

∑

(

)

(

)

( ), (

),..., [(

)

]

0

1

2

0

1

π

(19.2)

gdzie: n = 0, 1, 2, ..., M - 1, f

W

= 1/T

W

.

Odtworzenie szeregu czasowego próbek uzyskuje się przez odwrotną dyskretną
transformatę Fouriera

x mT

M

X nf

e

S

W

j

mn

M

n

M

(

)

(

)

=

⋅

=

−

∑

1

2

0

1

π

(19.3)

Do wyznaczenia amplitud i kątów fazowych N harmonicznych wystarczy
znajomość połowy ciągu X(nf

W

), gdyż druga połowa składa się z wartości

sprzężonych z pierwszą połową (z wyjątkiem X(M/2) = 0):

a

A

N

X

0

0

1

0

=

=

( )

(19.4)

(

)

( )

a

M

X

X

M

X

n

n

M n

n

=

+

=

−

1

2

Re

(19.5)

(

)

( )

n

n

M

n

n

X

M

X

X

M

j

b

Im

2

−

=

−

=

−

(19.6)

A

M

X

n

n

=

2

(19.7)

( )

ϕ

n

n

X

= − arg

(19.8)

gdzie n = 1, 2, ..., N.
Jeżeli liczba próbek jest równa potędze liczby 2, M = 2

l

, to można zasto-

sować algorytm szybkiej transformaty Fouriera FFT, który przykładowo dla
M = 1024 daje ponad 100-krotne zmniejszenie liczby wykonywanych mnożeń.
Widmo

częstotliwościowe sygnału X(nf

W

) jest przedstawiane w postaci

dwóch wykresów: widma amplitudy A

n

(f) i widma fazy

ϕ

n

(f). Rozdzielczość

częstotliwościowa tych widm wynosi f

W

i dla T

W

= T

1

równa się częstotliwości

podstawowej harmonicznej f

W

= 1/T

1

= f

1

. Jeżeli okno pomiarowe obejmuje

całkowitą liczbę p okresów sygnału T

W

= pT

1

, to wartość f

W

= 1/pT

1

= f

1

/p

zmniejsza się, czyli gęstość prążków w widmach rośnie. Możliwy jest wówczas
pomiar parametrów sub- i interharmonicznych. Szerokość okna T

W

= MT

S

= M/f

S

można powiększyć przez zwiększenie liczby próbek M lub/i zmniejszenie
częstotliwości próbkowania f

S

, przy czym obie te wielkości należy dobierać w

ten sposób, aby liczba okresów p była liczbą całkowitą. Z zależności T

W

= p/f

1

=

M/f

S

wynika wzór na f

S

W

S

Mf

p

Mf

f

=

=

1

(19.9)

288

Jeżeli liczba okresów w oknie nie jest całkowita, to rozdzielczość widma nie
stanowi podwielokrotności harmonicznej podstawowej i każdej harmonicznej
odpowiada kilka prążków widma (rys. 19.1). Dokładny pomiar tych harmonicz-
nych nie jest możliwy.

A

B

a

b

c

d

f

f

Rys. 19.1. Wpływ szerokości okna pomiarowego na kształt widma: A – szerokość okna równa

dwóm okresom sygnału, B - szerokość okna równa niecałkowitej liczbie okresów sygnału, a –

sygnał badany, b – wycięty ciąg próbek, c – sygnał przyjęty do obliczeń, d – wyznaczone widmo

19.2.3. Twierdzenie o próbkowaniu

Zgodnie z twierdzeniem Shannona-Kotielnikowa próbkowanie sygnału nie

spowoduje utraty informacji, przenoszonej przez harmoniczne tego sygnału
w paśmie od zera do interesującej nas częstotliwości granicznej f

g

, jeżeli

spełnione są dwa warunki:

• częstotliwość próbkowania f

S

jest większa od podwojonej częstotliwości f

g

,

• badany sygnał nie zawiera harmonicznych o częstotliwościach większych

od połowy częstotliwości próbkowania.

Zwykle stosuje się częstotliwość próbkowania f

S

= 2

λf

g

, gdzie

λ > 1 jest współ-

czynnikiem nadpróbkowania. Jeżeli jednak drugi warunek nie jest spełniony, to
dowolna harmoniczna o częstotliwości f większej od f

S

/2 zostanie przetransfor-

mowana - bez zmiany amplitudy - na częstotliwość f

p

w paśmie

<0, f

S

/2) i może

zniekształcić harmoniczną niosącą informację

289

S

p

if

f

f

−

=

(19.10)

gdzie i jest liczbą całkowitą spełniającą nierówność

−

< −

<

f

f

if

f

S

S

S

/

/

2

2 (19.11)

Pomierzona harmoniczna f

p

może zatem zawierać w sobie wszystkie

harmoniczne określone zależnością

f

f

if

i

p

S

= ± +

=12

, ,... (19.12)

Zjawisko nakładania się (odbicia) widm (ang. aliasing) jest przedstawione grafi-
cznie na rys. 19.2 w dziedzinie czasu i na rys. 19.3 w dziedzinie częstotliwości.
Z pierwszego rysunku wynika, że sygnał złożony z dwóch sinusoid o
częstotliwościach 150 Hz i 250 Hz, próbkowany z częstotliwością 200 Hz, jest
odczytywany jako sinusoida o częstotliwości 50 Hz. Drugi rysunek obrazuje
odbijanie się wyższych harmonicznych od barier ustawionych na
częstotliwościach 0 i f

S

/2.

-6

-4

-2

0

2

4

6

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

czas [ms]

Rys. 19.2. Zjawisko nakładania się harmonicznych

A

n

0

f /2

s

f

s

f

Rys. 19.3. Zjawisko odbicia widm

290

W celu uniknięcia nakładania się widm usuwa się z sygnału analogowego

harmoniczne o częstotliwościach f > f

S

/2 za pomocą filtrów dolnoprzepusto-

wych, zwanych antyaliazingowymi. Inną metodą jest nadpróbkowanie o współ-
czynniku

λ

>> 1 (ang. oversampling). Wówczas wartość częstotliwości f

S

/2

zostaje przesunięta w zakres harmonicznych o znikomej amplitudzie. Tak
spróbkowany sygnał można dodatkowo przepuścić przez dolnoprzepustowy filtr
cyfrowy i po znacznym zmniejszeniu liczby próbek dokonać szybkiej
transformaty Fouriera. Dzięki temu uzyskuje się lepszą rozdzielczość
częstotliwościową widma przy krótszym czasie obliczeń.
Przykład

W cyfrowych przetwornikach dźwięku częstotliwość próbkowania wynosi
f

S

= 44,1 kHz, co w stosunku do granicznej, słyszalnej częstotliwości f

g

=

= 20 kHz daje współczynnik

λ = 1,10. Jeżeli mikrofon przetwarza dźwięki do

30 kHz, to wówczas harmoniczne z zakresu od f

S

/2 = 22,05 kHz do 30 kHz

zostaną przekształcone w harmoniczne w zakresie od |30 - 44,1| = 14,1 kHz do
|22,05 – 44,1| = 22,05 kHz. Harmoniczne te znajdą się w zakresie słyszalnym
i zakłócą odtwarzany dźwięk. W celu usunięcia tego zjawiska należy przed
próbkowaniem przepuścić sygnał przez analogowy filtr dolnoprzepustowy,
silnie tłumiący częstotliwości powyżej 22 kHz.

Przeciwieństwem nadpróbkowania jest podpróbkowanie. Stosuje się je przy
analizie sygnałów o wąskim paśmie częstotliwości

∆

f, zawierającym

informację, w stosunku do częstotliwości środkowej (nośnej) f

0

, np. dla

sygnałów modulowanych amplitudowo. W celu osiągnięcia dobrej
rozdzielczości widma w paśmie

∆

f konieczne jest zmniejszenie częstotliwości

próbkowania do wartości wielokrotnie mniejszej od f

0

, zgodnie ze wzorem

(19.9).
Minimalnym

wartościom M, N i p odpowiadają maksymalne wartości pozo-

stałych wielkości. Zwiększanie liczby próbek M powoduje wzrost gęstości wi-
dma (f

W

maleje) i praktycznie nie wpływa na szerokość widma f

g

. Wzrost

częstotliwości próbkowania f

S

zwiększa proporcjonalnie szerokość widma, ale

zmniejsza jego gęstość.

19.2.4. Analiza widmowa sygnału okresowego

Przypadek 1 - znamy wartość częstotliwości podstawowej harmonicznej f

1

i numer najwyższej harmonicznej n

max

, istotnej z metrologicznego punktu wi-

dzenia.

Wzory używane w analizie fourierowskiej FFT

291

Tabela 19.1

Nazwa Wzory Wartość

minimalna

maksymalna

Liczba próbek

)

1

(

2

2

max

+

≥

=

n

M

l

4

M

max

Liczba składowych
widma

max

2

1

1

n

M

N

≥

−

=

1

1
2

1

M

max

−

Liczba okresów
w oknie

( )

s

f

Mf

w

f

f

n

N

Ent

p

1

1

max

=

=

=

1

N

Częstotliwość
próbkowania

f

Mf

f

S

W

Mf

p

M

N

=

=

≥

1

max

M

N

f

1

Mf

1

Rozdzielczość
widma

f

W

f s
M

f

p

=

=

1

f N

1

f

1

Szerokość widma

f

Nf

f

f

f

g

W

N

M

S

N

p

=

=

=

≥

1

max

f

1

Nf

1

Liczba mierzalnych
harmonicznych

( )

( )

1

1

Mf

s

Nf

f

g

f

MAX

Ent

Ent

n

=

=

1

N

Współczynnik
nadprókowania

p

n

M

f

n

s

f

max

2

1

max

2

=

=

λ

max

2 n

N

M

max

2n

M

Oznaczenia: f

1

- częstotliwość podstawowej harmonicznej badanego sygnału, f

max

= n

max

f

1

– czę-

stotliwość najwyższej harmonicznej, która wskutek nakładania się widm może zakłócić pomiar

Dobieramy

taką liczbę próbek M, aby liczba obliczonych składników

szeregu Fouriera N (bez składnika zerowego) była równa co najmniej n

max

(patrz

wzór na obliczenie M w tabeli 19.1). Dla sygnału poliharmonicznego
największą wartością rozdzielczości widma, jaką można zastosować, jest f

Wmax

=

f

1

. Rozdzielczość tę uzyskujemy nastawiając częstotliwość próbkowania na

wartość f

Smax

= Mf

1

. Osiągamy wówczas maksymalną szerokość analizowanego

widma f

gmax

= Nf

1

.

W celu wykrycia w sygnale subharmonicznych i interharmonicznych należy

zmniejszyć wartość f

W

przez zwiększenie liczby próbek M. Dla nowej liczby M

obliczamy kolejno N, p i f

S

. Najmniejszą gęstość widma f

Wmin

= f

1

/N uzyskuje

się, gdy badana jest tylko podstawowa harmoniczna, czyli gdy n

max

= 1.

Przypadek 2 - nie znamy wartości częstotliwości podstawowej harmonicznej

ani liczby harmonicznych.

W celu osiągnięcia maksymalnej szerokości widma stosujemy największą

częstotliwość próbkowania, dopuszczalną dla karty pomiarowej, a dla uzyskania
najlepszej rozdzielczości widma wybieramy maksymalną liczbę próbek, jaką
posiadany algorytm FFT może przetransformować. Kolejność pomiarów i
obliczeń prześledzimy na przykładzie.

Wykonujemy pomiary dla M

max

= 2048 i f

Smax

= 100 000 Hz. Sprawdzamy

na monitorze, czy przebieg zawiera co najmniej jeden okres badanego sygnału.

292

Jeżeli nie zawiera, to zmniejszamy częstotliwość próbkowania. W tabeli 19.2
notujemy częstotliwość i amplitudę najniższej i najwyższej harmonicznej. Dla
najniższej harmonicznej zapisujemy również częstotliwości i amplitudy sąsied-
nich prążków.

Wyniki pomiarów harmonicznych o nieznanych częstotliwościach

Tabela 19.2

Lp. f

S

f

1-

f

1

f

1+

A

1-

A

1

A

1+

f

m

A

m



Hz Hz Hz Hz V V V Hz V

1. 100000 0 48,8281 97,6562 1,2031 9,1698 2,8522 439,453 1,4815
2. 884,9553

59,6308

60,0629 60,4950 1,1783 9,6802 1,5695 420,872 1,9973

3. 75,0786

14,9204

14,9571 14,9937 0,4161 9,9728 0,3823 29,6209 1,7514

4. 961,9696 0 60,1231 120,246 8E-06 10,000 2E-05 420,862 2,0000

Obliczamy numer najwyższej harmonicznej n

max

, liczbę okresów p i nową

częstotliwość próbkowania f

S

:

000

,

9

8281

,

48

453

,

439

1

max

=

=

=

f

f

n

m

113

9

1

2

2048

max

=













−

=













=

Ent

n

N

Ent

p

f

Mf

p

Hz

S

=

=

⋅

=

1

2048 48 8281

113

884 9553

,

,

Po wykonaniu FFT okazuje się, że amplitudy sąsiednich prążków stanowią wię-
cej niż 10

-3

amplitudy podstawowej harmonicznej, co świadczy, że pomiary

należy kontynuować. W celu wyznaczenia dokładnej wartości częstotliwości f

1

zwiększamy gęstość widma stosując podpróbkowanie. Nastawiamy
częstotliwość próbkowania zaledwie o 25 % większą od częstotliwości f

1

f

f

Hz

S

P

=

= ⋅ ⋅

=

⋅

=

2

2

60 0629 1 25 60 0629 75 0786

1

5
8

λ

,

,

,

,

Podpróbkowanie sprowadza wszystkie harmoniczne w zakres małych częstotli-
wości, powodując jednak nakładanie się widm. Wartość współczynnika
podpróbkowania

λ

P

= 5/8 jest korzystna, gdyż w pobliżu podstawowej

harmonicznej pojawią się harmoniczne 9., 11., 19., 21. itd. o stosunkowo
małych amplitudach.
Po kolejnym wykonaniu FFT wykorzystujemy amplitudy sąsiednich
prążków do interpolacyjnego obliczenia częstotliwości f

1P

293

(

)

(

)

f

f

A

A

A

f

f

Hz

P

1

1

1

1

1

1

1

14 9204

0 3823

0 4161 0 3823

14 9937 14 9204

14 9555

=

+

+

−

=

=

+

+

−

=

−

+

−

+

+

−

,

,

,

,

,

,

,

(19.13)

Rzeczywistą częstotliwość f

1

wyznaczamy z zależności

f

f

f

Hz

S

P

1

1

75 0786 14 9555 60 1231

=

−

=

−

=

,

,

,

(19.14)

Do końcowego pomiaru przyjmujemy wartości zgodne ze wzorami w tabeli
19.1:

000

,

7

1231

,

60

872

,

420

1

max

=

=

=

f

f

n

m

(

) (

)

4

max

2

16

1

7

2

1

2

=

=

+

=

+

≥ n

M

1

7

1

2

16

max

=













−

=













=

Ent

n

N

Ent

p

f

Mf

p

Hz

S

=

=

⋅

=

1

16 60 1231

1

961 9696

,

,

Wyniki ostatniej transformaty Fouriera świadczą, że osiągnięto wystarcza-

jącą dokładność pomiaru - amplitudy A

1-

i A

1+

są mniejsze od 10

-3

A

1

.

Rzeczywiste parametry badanego sygnału były: A

1

= 10 V, f

1

= 60,1230 Hz,

A

7

= 2 V, f

7

= 420,861 Hz.

19.3. Wykonanie ćwiczenia

19.3.1. Pomiary harmonicznych sygnału okresowego

Układ połączeń

G

GNO

DMM

KP

PC

Monitor

p

Rys. 19.4. Schemat układu pomiarowego

294

Oznaczenia

G – generator napięcia sinusoidalnego, trójkątnego i prostokątnego
GNO – generator napięcia odkształconego
DMM – multimetr cyfrowy
PC – komputer
KP – karta pomiarowa
Uwaga: W czasie ćwiczenia należy dla stosowanej aparatury pomiarowej
podać wielkości charakterystyczne.
OPROGRAMOWANIE – program wykorzystujący program narzędziowy Test-
Point umożliwia:
- generację cyfrowych sygnałów: sinusoidalnego, poliharmonicznego,

trójkątnego i prostokątnego

- monitorowanie przebiegów sygnałów i modułów sygnałów, ich widm

amplitudowych i fazowych, odwrotnej transformaty Fouriera, przebiegów
podstawowej harmonicznej oraz sumy wyższych harmonicznych

- pomiar wartości maksymalnej U

m

sygnału, średniej z jego modułu |U|

śr

, sku-

tecznej U, skutecznej pierwszej harmonicznej U

1

, skutecznej sumy

wyższych harmonicznych U

wh

, maksymalnej sumy wyższych

harmonicznych U

whm

, amplitudy A

n

i częstotliwości f

n

dowolnej składowej

szeregu Fouriera

- symulację filtru antyaliazingowego.

a) Pomiary gdy znana jest wartość częstotliwości podstawowej

harmonicznej

Postępowanie podczas pomiaru

W tym punkcie ćwiczenia korzystamy z wirtualnego generatora fali polihar-

monicznej. Dla zadanych wartości częstotliwości f

1

i f

max

= n

max

f

1

obliczamy

minimalną liczbę próbek M

min

= 2(n

max

+ 1). Dla celów badawczych wybieramy

kilkakrotnie większą wartość M = 2

l

i wyznaczamy liczbę składników szeregu

Fouriera N = M/2 – 1, która jest jednocześnie równa maksymalnej liczbie
okresów p

max

, jakie można objąć oknem pomiarowym. Pomiary

przeprowadzamy dla następujących liczb okresów p: 0,5 p

min

= 1, p

opt

= Ent

(N/n

max

), p = 1,001 p

opt

(w celu zbadania wpływu niecałkowitej liczby okresów

na wynik pomiaru), p

max

= N i p = N + 2. Zadaną liczbę okresów uzyskujemy

przez nastawienie częstotliwości próbkowania f

S

na wartość obliczoną ze wzoru

(19.9) (z dokładnością do 0,0001 Hz). Pozostałe wielkości w tabeli 19.3

295

wyznaczamy doświadczalnie. Podczas pomiarów wygodnie jest posługiwać się
“kursorem f ”, sterowanym myszą lub klawiszami

↑,↓ łącznie z klawiszem

“shift” lub bez niego.
Następnie badamy wpływ zmian częstotliwości f

1

badanego sygnału na do-

kładność analizy widmowej przy zachowaniu stałej częstotliwości próbkowania
f

S

, odpowiadającej p

opt

. Częstotliwość f

1

zmieniamy o 0,05 %, 0,1 %, 0,5 %,

i 1 %. Wyniki notujemy w tabeli 19.4.
Na

zakończenie sprawdzamy, jaki wpływ na wyniki pomiarów ma dobór

liczby próbek, niespełniający warunku M = 2

l

. Zmieniamy liczbę próbek i obli-

czamy odpowiadającą jej częstotliwość f

S

. Po wykonaniu FFT obliczamy

rzeczywistą liczbę próbek (uzupełnioną przez algorytm zerami) M

rz

= 2(N

rz

+1),

gdzie N

rz

- liczba składników szeregu Fouriera - jest wskazywana jako górny

zakres “kursora f ”. Wyniki zapisujemy w tabeli 19.5.

Protokół wyników pomiaru

Sygnał – fala poliharmoniczna: A

1

= 10 V, f

1

= 50 Hz, A

2

= 3 V, f

2

= f

max

= 250 Hz, M = 128,

N = p

max

= ......

Tabela 19.3

Lp.

p

f

S

A

1p

f

1p

A

2p

f

2p

f

Wp

f

gp

n

MAXp

U

p





Hz V Hz V Hz Hz Hz



V

1.

0,5

2.

1

3.

4.

5.

6.

Sygnał – fala poliharmoniczna: A

1

= 10 V, f

1

= var, A

2

= 3 V, f

2

= n

max

f

1

, M = 128, N = ...... ,

p

opt

= ...... , f

S

= .................. Hz

Tabela 19.4

Lp.

f

1

A

1p

f

1p

A

2p

f

2p

U

p



Hz V Hz V Hz V

1.

2.

3.

4.

296

Sygnał – fala poliharmoniczna: A

1

= 10 V, f

1

= 50 Hz, A

2

= 3 V, f

2

= 250 Hz, p = 8,

f

W

= f

1

/p = ........ Hz

Tabela 19.5

Lp.

M

f

S

M

rz

A

1p

f

1p

A

2p

f

2p

f

Wp

f

gp

U

p





Hz



V Hz V Hz Hz Hz V

1.

96

2.

136

Wzory i przykłady obliczeń

Dla kilku wybranych pomiarów w tabeli 19.3 należy sprawdzić, czy ich wy-

niki są zgodne ze wzorami w tabeli 19.1.
Należy sformułować wnioski dotyczące doboru wartości p, f

S

i M,

zapewniających dokładny pomiar parametrów badanych harmonicznych i
wartości skutecznej (oddzielnie dla amplitudy, dla częstotliwości i dla wartości
skutecznej).

b) Pomiary gdy nie jest znana wartość częstotliwości podstawowej

harmonicznej

Postępowanie podczas pomiaru

Źródłem sygnału jest generator napięć odkształconych o częstotliwości har-

monicznej podstawowej około 50 Hz. W celu uzyskania stabilnej częstotliwości
należy go włączyć 20 minut przed rozpoczęciem pomiaru. Najpierw ustawiamy
wartość skuteczną pierwszej harmonicznej na 4...5 V i mierzymy jej wartość
multimetrem. Następnie dodajemy wyższe harmoniczne o coraz mniejszych
amplitudach, tak aby wartość szczytowa sygnału – obserwowana na monitorze –
nie przekroczyła zakresu przetwornika A/C. Pomiary przeprowadzamy według
opisu w punkcie 19.2.4 dla przypadku 2. Po ostatnim pomiarze sprawdzamy
multimetrem częstotliwość sygnału i porównujemy ją oraz wartość skuteczną
pierwszej harmonicznej z wynikami pomiaru. Wyniki notujemy w tabeli 19.6.

297

Protokół wyników pomiaru

Sygnał – fala sinusoidalna odkształcona: U

1

= ...... V, f

1

= ........ Hz

Tabela 19.6

Lp. f

S

f

1-

f

1

f

1+

A

1-

A

1

A

1+

f

m

A

m



Hz Hz Hz Hz V V V Hz V

1.

2.

3.

4.

Wzory i przykłady obliczeń

Podać przykłady obliczeń niezbędnych do wykonania pomiarów.
Oszacować niepewność pomiaru częstotliwości i wartości skutecznej
podstawowej harmonicznej za pomocą multimetru.
Na podstawie porównania wyników pomiarów częstotliwości i wartości
skutecznej podstawowej harmonicznej, wykonanych multimetrem i metodą
analizy widma, ocenić niepewność pomiarów drugą metodą.

19.3.2. Badanie zjawiska nakładania się widm

Postępowanie podczas pomiaru

W tym punkcie ćwiczenia korzystamy z wirtualnego generatora fal sinuso-

idalnych. Badamy sygnał złożony z dwóch sinusoid: pierwszej o stałej częstotli-
wości f

1

i drugiej o regulowanej częstotliwości f

2

. Po każdej zmianie f

2

wykonujemy FFT i odczytujemy z widma amplitudowego częstotliwość f

2p

i

odpowiadający jej numer harmonicznej n

p

. Gdy wyższa harmoniczna nakłada

się na pierwszą, obserwujemy czy jej amplituda dodaje się czy odejmuje od
amplitudy pierwszej harmonicznej. Dla dwóch ostatnich pomiarów
wyznaczamy najbliższe częstotliwości f

2

, które nakładają się na pierwszą

harmoniczną.

298

Protokół wyników pomiaru

Sygnał – 2 sinusoidy: A

1

= 10 V, f

1

= 300 Hz,

ϕ

1

= 90

°, A

2

= 4 V, f

2

= var,

ϕ

2

= 90

°, M = 128,

f

S

= 1600 Hz

Tabela 19.7

f

2

Hz 600 700 800 900 1000 1300 1400 1500 1600

f

2p

Hz

n

p



Tabela 19.7 cd

f

2

Hz 1700 1900 2200 2600 2900 3200 3500

f

2p

Hz

n

p



1

1

Wzory i przykłady obliczeń

Należy podać wzory, z których można obliczyć częstotliwości f

2p

dla

f

2

= 1300 Hz i f

2

= 3500 Hz.

19.3.3. Przeciwdziałanie nakładaniu się widm

Postępowanie podczas pomiaru

Badamy

widmo

sygnału prostokątnego, bipolarnego o amplitudach

±A

i współczynniku wypełnienia w. Amplituda n-tej harmonicznej tego sygnału
opisana jest wzorem

π

π

nw

nw

Aw

A

n

sin

4

=

(19.15)

i stanowi mniej niż a % pierwszej harmonicznej, jeżeli

π

w

a

n

n

a

sin

100

=

>

(19.16)

Do pomiaru amplitud pierwszych pięciu harmonicznych stosujemy minimalną
częstotliwość próbkowania f

S1

nieco większą od 2f

5

, a następnie - w celu usunię-

cia nakładania się widm - zwiększamy częstotliwość próbkowania do wartości
f

S2

≈ n

a

f

1

, gdzie a przyjmujemy równe 0,5 %. Sprawdzamy również działanie fil-

tru antyaliazingowego w postaci cyfrowego, dolnoprzepustowego filtru Butter-

299

wortha 10. rzędu o częstotliwości granicznej f

gr

= 0,5 f

S1

. Przefiltrowany sygnał

poddajemy szybkiej transformacji Fouriera z częstotliwością próbkowania f

S1

.

Protokół wyników pomiaru

Sygnał – fala prostokątna: A = 10 V, f = 300 Hz, A

0

= 6 V, w = 0,2, M = 1024, f

S1

= 3200 Hz,

f

S2

= 102400 Hz

Tabela 19.8

Lp

Częstotliwość Amplitudy

składowych widma

składowej

teoretyczne

bez filtru dla f

S1

bez filtru dla f

S2

z filtrem dla f

S1



Hz V V V V

1.

100

...

15.

1500

Wzory i przykłady obliczeń

Należy podać przykłady obliczeń amplitud harmonicznych A

n

, numeru har-

monicznej n

a

oraz częstotliwości próbkowań f

S1

i f

S2

.

Ocenić przydatność obu zastosowanych metod do zmniejszenia wpływu na-
kładania się widm. Porównać uzyskane rozdzielczości widm w obu
przypadkach.

19.3.4. Pomiary współczynników zniekształceń

Wykorzystujemy

analizę widmową do pomiaru współczynników zniekształ-

ceń napięcia. Na podstawie pomiarów następujących wartości napięć:
maksymalnej U

m

, średniej U

śr

, skutecznej U, skutecznej pierwszej harmonicznej

U

1

, skutecznej wyższych harmonicznych U

wh

i szczytowej przebiegu czasowego

sumy wyższych harmonicznych U

whm

obliczamy współczynniki:

• współczynnik kształtu k

-

wzór

(23.1)

• współczynnik szczytu s -

wzór

(23.2)

• współczynnik niesinusoidalności n -

wzór

(23.3)

• współczynnik zniekształceń harmonicznych THD

f

-

wzór

(23.4)

• współczynnik zniekształceń harmonicznych THD - wzór (23.5)
• współczynnik odkształcenia K

-

wzór

(23.7).

Oprogramowanie ćwiczenia zapewnia bezpośredni odczyt mierzonych wartości
napięć. Zostały w nim wykorzystane następujące zależności:

U

u

m

m

= max

(19.17)

300

U

A

n

jeżeli

A

śr

n

n

n

N

=

−

=

−

−

=

+

∑

2

2

1

0

2

1

2

1

1

1 2

0

π

ϕ

cos

(

)/

(19.18)

(

)

U

A FFT u

jeżeli

A

śr

m

=

≠

0

0

0 (19.19)

U

A

A

n

n

N

=

+

=

∑

0

2

1
2

2

1

(19.20)

U

A

1

1

2

=

(19.21)

U

U

U

A

wh

=

−

−

2

1

2

0

2

(19.22)

U

IFFT

A

whm

n

n

N

=











=

∑

max

2

(19.23)

gdzie u

m

= u(mT

S

) dla m = 0, 1,..., M-1, A

n

= A

n

[FFT(u

m

)] dla n = 0, 1,..., N.

Pomiary wykonujemy dla napięć dostarczanych przez generator napięcia
odkształconego GNO i generator napięcia sinusoidalnego G. W pierwszym
przypadku ustawiamy wartości skuteczne i kąty fazowe poszczególnych harmo-
nicznych oraz liczbę próbek M i częstotliwość próbkowania f

S

takie, jak w pun-

kcie 19.3.1b. W drugim przypadku nastawiamy z pomocą multimetru U = 5 V,
f = 50 Hz i obliczamy M oraz f

S

zakładając, że mamy pomierzyć 50 harmonicz-

nych. Wyniki pomiarów notujemy w tabeli 19.9, a wyniki obliczeń - w tabeli
19.10.

Protokół wyników pomiaru

Tabela 19.9

Lp.

U

m

U

śr

U

U

1

U

wh

U

whm

V V V V V V

1.

2.

Tabela 19.10

Lp.

k

s

n

THD

f

THD

K

1.

2.

Wzory i przykłady obliczeń

301

Podać wzory i przykłady obliczeń współczynników zniekształceń.

19.4. Uwagi o wynikach pomiaru

19.5. Literatura

[1] Praca zbiorowa

(red. Sydenham P. H.): Podręcznik metrologii. Pod-

stawy teoretyczne. Tom I. WKiŁ, Warszawa 1988

[2] Oppenheim A. V., Schafer R. W.

: Cyfrowe przetwarzanie

sygnałów. WkiŁ, Warszawa 1979

[3] PN-EN 61000-4-7

: Polska Norma. Kompatybilność elektromagnety-

czna (EMC). Metody badań i pomiarów. Ogólny przewodnik
dotyczący pomiarów harmonicznych i interharmonicznych oraz
stosowanych do tego celu przyrządów pomiarowych dla sieci
zasilających i przyłączonych do nich urządzeń. (Projekt normy)