Zad.1.  

Model  programowania  liniowego

  jest  to  analityczna  (matematyczna)  postać  abstrakcji  rzeczywistego 

zjawiska,  czy  procesu  cechującego  się  ściśle,  bądź  też  częściej  aproksymacją  (przybliżeniem)  liniowego 

charakteru zmian tego procesu. 

W  postaci  standardowej  (w  notacji  macierzowej)  model  programowania  liniowego  przyjmuje  postać 

następującą: 

 

Funkcja celu (uwzględniająca kryterium efektywności): 

 

Z=c

T

x → max,min 

 

Oraz liniowe warunki uboczne (warunki ograniczające): 

 

Ax=b

1

 

 

i warunki brzegowe (warunki nieujemności): 

 

x≥0 

 

gdzie: 

Z – funkcja celu; 

x - wektor zmiennych decyzyjnych (zmiennych kontrolowanych procesu); 

c – wektor parametrów funkcji celu; 

A – macierz parametrów stojących po lewej stronie równań warunków brzegowych; 

b – wektor ograniczeń równań warunków brzegowych. 

 

Aby  sytuacja  decyzyjna  mogła  zostać  zaklasyfikowana  do  zadań  modeli  liniowych  musi  cechować  się 

następującymi właściwościami: 



 

Proporcjonalność

 – zmian wartości kryterium efektywności oraz wartości parametrów ograniczających 

względem zmian decyzyjnych; 



 

Addytywność 

– nakładów i efektów; 



 

Podzielność

 (nieskończona) – wartości zmiennych decyzyjnych; 



 

Determinizm

 – sytuacji decyzyjnej (ścisłe zdefiniowanie problemu).  

 

Algorytm budowania modelu liniowego jest następujący: 

(1) 

Zdefiniowanie problemu decyzyjnego 

(2) 

Analiza  jakościowa  problemu  –  sprawdzenie  czy  dany  problem  należy  do  klasy  modeli 

decyzyjnych:  aby  tak  było  sytuacja  decyzyjna  musi  spełnić  warunki  posiadania  decydenta  (czyli  osoby 

podejmującej decyzję) oraz pole decyzyjne (przynajmniej muszą istnieć 2 alternatywne względem siebie decyzje, 

które są powiązane ze sobą relacją preferencji/obojętności); 

(3) 

Analiza  ilościowa  (konstrukcja  modelu):  określenie  funkcji  celu,  kryterium  efektywności, 

zmiennych decyzyjnych, zmiennych obojętnych określających warunki brzegowe modelu. W tej części ustalana 

jest  również  postać  analityczna  modelu  (liniowa/nieliniowa)  przy  uwzględnieniu  rozpatrywanego  horyzontu 

                                                 

1

  Zapis ten odpowiada modelowi w postaci kanonicznej. Dla modelu w postaci niezbilansowanej w przypadku 

szukania maksimum funkcji w warunkach ubocznych stosowany jest znak ≤. Natomiast przy poszukiwaniu minimum 
funkcji wstawiamy znak ≥. 

czasowego; 

(4) 

Walidacja poprawności stworzonej abstrakcji matematycznej – tzn. sprawdzeniu czy model 

w konfrontacji z zastosowaniu zdanymi statystycznymi dobrze odzwierciedla rzeczywistość; 

(5) 

Implementacja  modelu  –  Prezentacja  modelu  →  Uzyskanie  wyniku  →  Podjęcie  decyzji  w 

oparciu o zastosowany model; 

(6) 

Analiza pooptymalizacyjna – analiza RHS i OFC. 

 

Klasy  zadań  PL,  to  np.:  zagadnienia  przydziału  (w  szczególności  możemy  wyróżnić 

zagadnienia 

transportowe), 

zadania 

optymalizacji 

dyskretnej 

(w 

tym: 

zagadnienia 

całkowitoliczbowego  PCL,  zadania  programowania  binarnego  PBL,  zadania  programowania 

mieszanego liniowego PML), problem komiwojażera. 

 

Zad.2  

x

ij

  –  zmienna  decyzyjna  oznaczająca  liczbę  ton  i–tego  surowca  zaangażowanego  w  produkcję  j-tej 

mieszaniny. 

c

ij

 – jednostkowy zysk z zaangażowania i-tego surowca w j-tą mieszankę. 

Funkcja kryterium: 

F ( x)=

∑

i= 1

2

∑

j= 1

3

c

ij

⋅ x

ij

= 3x

11

+ 6x

12

+ 9x

13

+ 4x

21

+ 7x

22

+ 11x

23

→max

 

Warunki podażowe (posiadane zasoby surowców): 

x

11 

+ x

12 

+ x

13 

≤ 28 

x

11 

+ x

12 

+ x

13 

≤ 25 

Warunki popytowe (zapotrzebowanie zgłaszane przez odbiorcę): 

x

11 

+ x

21

 ≥ 20 

x

12 

+ x

22

 ≥ 10 

x

13 

+ x

23

 ≥ 4 

Warunki technologiczne: 

 

0,1𝑥

11

+ 0,2𝑥

21

𝑥

11

+ 𝑥

21

≥ 0,15 

0,05𝑥

12

+ 0,04𝑥

22

𝑥

12

+ 𝑥

22

≥ 0,045 

𝑥

13

𝑥

23

≥ 3 

Warunki brzegowe: 

x

ij 

≥ 0 

 

Zad.3. 

Ad.  a) Aby  produkt  P2  pozostał  w  optymalnym  planie  produkcji  jednostkowy  koszt  wytworzenia  tegoż 

produktu może wzrosnąć co najwyżej o 8,5 zł, gdyż tyle wynosi dopuszczalny spadek marży. 

Ad  b)  Dla  produktu  P3  podwyższenie  marży  do  wartości  25  zł  nie  spowoduje  zmian  w  optymalnej 

strukturze produkcji, gdyż 25 zł - 12 zł < 39 zł a dopuszczalny wzrost marży wynosi 39 zł. 

Ad  c)  Zmniejszenie  tygodniowego  limitu  zasobu  B  o  250  jednostek  spowoduje  zmiany  w  aktualnym 

asortymencie produkcji, gdyż dopuszczalny limit wynosi 200 jednostek. 

Ad d) Na podstawie tabel możemy powiedzieć że zasób C jest zasobem wiążącym, ponadto jednostkowy 

przyrost  zasobu  C  spowoduje  wzrost  zysku  o  0,2857  zł.  Dodatkowo  wzrost  zasobu  C  o  600  jednostek  nie 

spowoduje zmiany w aktualnym asortymencie produkcji. Zatem dla przyrostu o 500 jednostek zasobu C zysk ze 

sprzedaży wzrośnie o: 

 

500 * 0,2857 zł = 142,85 zł 

 

Ad  e)  Wykonanie  planu  optymalnego  wiąże  się  z  konsekwencją  niewykorzystania  zasobów  A  i  D 

odpowiednio w ilościach: 742,857 oraz 214,285 jednostek. 

 

Zad.4.  

Ad.  A) 

Model  ten  należy  do  klasy  modeli  deterministycznych  optymalizacji  zapasów,  a  bardziej 

szczegółowo  do  klasycznego  modelu  optymalnej  partii  zamówienia  (EOQ).  Ponieważ  w  rozpatrywanym 

zadaniu  chodzi  o  sprzedaż  obuwia  w  sklepie,  tym  samym  nie  interesuje  nas  w  żadnym  stopniu  produkcja  (w 

typowym  modelu  zapasy  robione  są  w  celu  zapewnienia  produkcji  co  powoduje  inną  konstrukcję  modelu 

uwzględniającą jednostkową cenę wytworzenia produktu). 

Całkowity koszt utrzymania zapasów sprowadza się do postaci: 

𝑇𝐾

∗

=

𝐷𝐾

𝑄

∗

+

ℎ𝑄

∗

2

 

Natomiast optymalna ilość zamówienia Q powinna wynieść: 

𝑄

∗

= √

2𝐷𝐾

ℎ

 

Do rozwiązania tego typu zadania niezbędna jest znajomość następujących zmiennych: 

D – w rozpatrywanym horyzoncie decyzyjnym stałe zapotrzebowanie na obuwie; 

K – stały (niezależny od wielkości zamówienia i czasu) koszt odnowienia; 

h – stały w czasie koszt jednostkowy koszt magazynowania. 

 

Ad.  B) 

Model ten należy do stochastycznych  modeli zapasów charakteryzujących się popytem opisanym 

rozkładem losowym (najczęściej rozkładem normalnym)- klasa modelu jednookresowego. 

Całkowity koszt utrzymania zapasów sprowadza się do postaci: 

 

KT(d, Q) = pQ + b max(0, d - Q) + h max(0, Q - d) 

 

Natomiast optymalna ilość zamówienia Q powinna wynieść: 

 

𝐹(𝑄

∗

) =

𝑏 − 𝑝
𝑏 + ℎ

 

 

A więc optymalna partia zakupu Q*  jest wielkością dla której dystrybuanta popytu przyjmuje wartość  

(b-p)/(b+h).  

 

Do rozwiązania tego typu zadania niezbędna jest znajomość następujących zmiennych: 

d – w rozpatrywanym horyzoncie decyzyjnym stałe zapotrzebowanie na obuwie; 

K – stały (niezależny od wielkości zamówienia i czasu) koszt odnowienia; 

h – stały w czasie koszt jednostkowy koszt magazynowania. 

p – cena jednostkowa 

b - koszt  jednostkowy  niezaspokojonego  popytu  b 

 

Zad.5.  

Funkcja celu 

(maksymalizacja użyteczności pakietu medycznego):

 

∑ u

𝑖

𝑥

𝑖   →  𝑚𝑎𝑥

20

𝑖=1

 

Warunki ograniczające 

(maksymalizacja użyteczności pakietu medycznego): 

w

i 

< W 

∑ 𝑤

𝑖

20

𝑖=1

𝑥

𝑖

≤ 𝑊 

∑ 𝑤

𝑖

20

𝑖=1

> 𝑊 

𝑥

3

𝑥

5

𝑥

6

𝑥

12

≥ 1 

𝑥

7

𝑥

8

= 0     &     𝑥

7

+𝑥

8

≥ 1 

−2𝑥

15

+ 𝑥

17

≥ 0 

𝑥

20

(𝑥

18

+ 𝑥

19

) = 0 

 

Warunki brzegowe

: 

𝑥

𝑖

≥ 0 

𝑥 ∈  𝐶 

 

 

Zad.6. 

 

Dla klasycznego zagadnienia transportowego model wygląda następująco: 

 

Funkcja kryterium: 

𝑧 = ∑ ∑ 𝑐

𝑖𝑗

𝑥

𝑖𝑗

5

𝑗=1

3

𝑖=1

→ 𝑚𝑖𝑛 

Warunki podażowe: 

∑ 𝑥

𝑗

5

𝑗=1

  ≤   𝑎

𝑖

 dla i  = 1,2,3 

Warunki popytowe: 

∑ 𝑥

𝑖

3

𝑖=1

=   𝑏

𝑗

 dla j  =  1, … ,5 

Warunki brzegowe:

 

 

𝑥

𝑖𝑗

≥ 0 dla i  = 1,2,3 oraz j  =  1, … ,5 

 

Ażeby istniało rozwiązanie musi zostać spełniony następujący warunek: 

 

∑ 𝑎

𝑖

3

𝑖=1

  ≥   ∑ 𝑏

𝑗

5

𝑖=1