3

4

4

4

3kN/m

A

B

C

E

F

D

3

4

4

4

N1

N1

B

C

E

F

D

N2

A

N2

3kN/m

MA

HE

MA

HE

VA

VE

HA

HA

3

4

4

4

B

C

E

F

D

A

3kN/m

MA

HE

HA

HA=8kN

VA=12kN

VE=12kN

HE=8kN

N1=-6kN

MA=24 kNm

N2=-10kN

N1=-6kN

N2=-10kN

Egzamin z Mechaniki Teoretycznej

Budownictwo, 23 stycznia 2012 - termin 0

Zadanie 1
Wyznaczyć reakcje podpór układu
oraz siły w prętach kratowych.
Sprawdzić poprawność obliczeń.

Rozwiązanie
Znaczenie indeksów występujących w równaniach równowagi:
Indeks dolny A, B, C, D, E, F – oznaczenie punktu, względem którego liczony jest moment.
Indeks górny p lub l

– prawa lub lewa strona.

Indeks górny d, g lub c

– dół, góra lub całość

:

0

,





g

p

B

M

0

4

6

,

0

2

4

3

2















N

kN

10

2





N

:

0





d

D

M

0

8

10

6

,

0

4











E

V

kN

12



E

V

:

0





d

E

M

0

4

10

6

,

0

4

1











 N

kN

6

1





N

:

0





d

X

0

10

8

,

0









E

H

kN

8



E

H

:

0





g

X

0

10

8

,

0







A

H

kN

8



A

H

:

0





g

Y

0

10

6

,

0

6









A

V

kN

12



A

V

:

0

,





g

l

B

M

0

2

4

3

4

12















A

M

kNm

24



A

M

Sprawdzenie:

:

0

?





c

X

:

0

?





c

Y

:

0

?





c

A

M

Student

Grupa

Ocena

Zadanie 1

Zadanie 2

Zadanie 3

Test

4,257

6

6

3

3

9

R 3

2

y

x

a1

yc

xc

1

a2

Zadanie 2
Wyznaczyć główne centralne osie i główne centralne
momenty bezwładności obszaru materialnego jak na rysunku.
Przyjąć gęstość  = 1

Sprawdzenie

A

1

2

12



9



3 6





 3

2



2





A

50.137



Sx

1

2

12



9



6



(

)



3 6



6



(

)





 3

2



2

6



(

)







yc

Sx

A



Sx

300.823





yc

6





Sy

1

2

12



9

 4



3 6

 1.5





 3

2



2

3

4 3



3 























xc

Sy

A



Sy

213.412



xc

4.257



Ix

12 9

3



36

1

2

12



9

 6

2





3 6

3



12

3 6

 6

2



















 3

4



8



 3

2



2

6

2







Ix 2025.747



Iy

12

3

9



36

1

2

12



9

 4

2





3

3

6



3



 3

4



8



 3

2



2

4 3



3 







 3

2



2

3

4 3



3 

















2







Iy

1297.961



Ixy

12

2

9

2



72



1

2

12



9

 4



6



(

)





0

3 6

 1.5



6



(

)





[

]



0



 3

2



2

3

4 3



3 



















6



(

)







Ixy

1442.469





Ixc

Ix A yc

2







Ixc 220.809



Iyc

Iy A xc

2







Iyc

389.564



Ixcyc

Ixy A xc



yc







Ixcyc

162





I1c

Ixc Iyc



2

Ixc Iyc



2













2

Ixcyc

2







I1c 487.843



1c

atan

Ixcyc

Iyc I1c















1c

180





58.756



I2c

Ixc Iyc



2

Ixc Iyc



2













2

Ixcyc

2







I2c 122.529



2c

atan

Ixcyc

Iyc I2c















2c

180





31.244





Jc

Ixc

Ixcyc



Ixcyc



Iyc















cos 1c





sin 1c







sin 1c





cos 1c

















J

 Jc





T





J

487.843

7.105

10

15





2.842

10

14





122.529

















L

k

f

y

m

m

x

Położenie równowagi

L

y

1

y

2

k

f

y

m

m

x

Położenie równowagi

mg

ky

Zadanie 3

Stosując zasadę zachowania energii mechanicznej wyznaczyć
równania ruchu układu przedstawionego na rysunku.

Zmienne uogólnione:



,

y





y

r

0

1











cos

sin

2

l

y

l

r









y

r





0

1















sin

cos

2









l

y

l

r









1

0

1







y

r





1

0

2







y

r





0

0

1









r











sin

cos

2

l

y

l

r









Energia kinetyczna































sin

2

2

1

sin

sin

2

cos

2

1

2

1

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

1



























y

l

y

l

y

m

E

l

y

l

y

l

y

m

r

r

m

E

k

k























Energia potencjalna





1

1

1

0

ky

r

k

F









y

y 

1

2

2

1

1

2

1

2

1

ky

ky

V









2

1

1

2

1

ky

V

E

p











mg

F

0

2





cos

2

l

y

y











cos

2

2

l

y

mg

mgy

V









cos

2

2

mgl

mgy

V

E

p











Zasada zachowania energii mechanicznej





0

2

1







p

p

k

E

E

E

dt

d















 

















































































































































































oraz

y

mgl

y

ml

ml

y

mg

ky

ml

ml

y

m

mgl

y

mg

y

ky

y

ml

y

ml

y

ml

ml

y

y

m

mgl

y

mg

y

ky

y

l

y

l

y

y

l

y

y

m

mgl

mgy

ky

y

l

y

l

y

m

dt

d





















































































0

sin

sin

cos

sin

2

sin

cos

sin

sin

2

sin

cos

sin

2

sin

2

2

2

2

2

1

cos

2

1

sin

2

2

1

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

Równania ruchu



























0

sin

sin

0

cos

sin

2

2

2















mgl

y

ml

ml

mg

ky

ml

ml

y

m



















1. Napisać:

a. równanie ruchu oscylacyjnego punktu

materialnego tłumionego i wymuszonego,

b. równanie charakterystyczne,
c. podać całkę szczególną równania

niejednorodnego ruchu wraz
z wyjaśnieniem znaczenia użytych
symboli.

a)

t

P

t

P

kx

x

c

x

m

c

s





cos

sin















b)

0

0

,

,

,

2

2

2





















k

cr

r

ke

cre

e

mr

e

r

x

re

x

e

x

rt

rt

rt

rt

rt

rt







c)

t

a

t

a

x

c

s





cos

sin





P

s

, P

c

– amplitudy siły wymuszającej,

a

s

, a

c

– stałe całkowania, λ – częstotliwość siły wymuszającej,

m – masa, c – współczynnik tłumienia, k – współczynnik sprężystości.

2. Podać definicję tłumienia krytycznego oraz

warunek, z którego się go wyznacza.

Współczynnik tłumienia krytycznego to taka wartość współczynnika tłumieni, po
przekroczeniu której ruch jest aperiodyczny.
Warunek – zerowanie się delty równania charakterystycznego:

km

c

mk

c

k

cr

mr

kr

2

,

0

4

,

0

2

2

















3. Podać definicje:

a. głównych osi bezwładności,
b. głównych centralnych osi bezwładności.

a) Główne osie bezwładności to osie wyznaczone przez kierunki główne tensora
bezwładności.
b) Główne centralne osie bezwładności to główne osie bezwładności wyznaczone
przez kierunki główne tensora bezwładności zestawionego w środku ciężkości
bryły.

4. Podać własności głównych osi bezwładności. 1. Każdy sztywny układ materialny ma co najmniej trzy osie bezwładności:

 dokładnie trzy, gdy wszystkie wartości własne są różne,
 jedną i płaszczyznę osi, gdy dwie wartości własne są jednakowe,
 całą przestrzeń, gdy wszystkie wartości własne są jednakowe.

2. Tensor bezwładności w układzie głównych osi bezwładności ma postać

diagonalną (momenty dewiacji względem płaszczyzn wyznaczonych przez
główne osie bezwładności maja wartość 0).

3. Momenty bezwładności z przekątnej głównej przyjmują wartości ekstremalne.
4. Jeśli układ materialny posiada oś symetrii to ta oś pokrywa się z jedną

z głównych osi bezwładności

5. Względem jakiej prostej przechodzącej przez

środek masy trójkąta materialnego
przedstawionego na rysunku moment
bezwładności jest maksymalny i ile wynosi?

24

12

2

2

4

4

a

a

I

l

















6. Przy jakim założeniu o punkcie A obowiązuje

zasada krętu?

Punkt A jest punktem stałym lub środkiem masy.

7. Czy znajomość zredukowanego układu sił

w środku masy pozwala przewidzieć ruch
ciała sztywnego? Odpowiedź uzasadnić.

S

- suma układu sił,

M

- moment układu sił względem

środka masy,

Tak. Ten fakt wynika z postaci równań bryły sztywnej:





















z

y

x

S

z

m

S

y

m

S

x

m

S

p



































































































































































M

I

I

I

M

I

I

I

M

I

I

I

J

J

J

M

J

K











8. Napisać równanie Lagrange’a II rodzaju oraz

podać znaczenie użytych symboli.

m

i

q

r

F

Q

n

j

Q

q

E

q

E

dt

d

i

j

i

i

j

j

j

k

j

k

,

...

,

2

,

1

,

...

,

2

,

1









































E

k

– energia kinetyczna układu,

j

q

– współrzędna uogólniona,

j

Q

– siła uogólniona,

n – liczba stopni swobody,

m – liczba punktów przyłożenia siły.

a

a

l