3
4
4
4
3kN/m
A
B
C
E
F
D
3
4
4
4
N1
N1
B
C
E
F
D
N2
A
N2
3kN/m
MA
HE
MA
HE
VA
VE
HA
HA
3
4
4
4
B
C
E
F
D
A
3kN/m
MA
HE
HA
HA=8kN
VA=12kN
VE=12kN
HE=8kN
N1=-6kN
MA=24 kNm
N2=-10kN
N1=-6kN
N2=-10kN
Egzamin z Mechaniki Teoretycznej
Budownictwo, 23 stycznia 2012 - termin 0
Zadanie 1
Wyznaczyć reakcje podpór układu
oraz siły w prętach kratowych.
Sprawdzić poprawność obliczeń.
Rozwiązanie
Znaczenie indeksów występujących w równaniach równowagi:
Indeks dolny A, B, C, D, E, F – oznaczenie punktu, względem którego liczony jest moment.
Indeks górny p lub l
– prawa lub lewa strona.
Indeks górny d, g lub c
– dół, góra lub całość
:
0
,
g
p
B
M
0
4
6
,
0
2
4
3
2
N
kN
10
2
N
:
0
d
D
M
0
8
10
6
,
0
4
E
V
kN
12
E
V
:
0
d
E
M
0
4
10
6
,
0
4
1
N
kN
6
1
N
:
0
d
X
0
10
8
,
0
E
H
kN
8
E
H
:
0
g
X
0
10
8
,
0
A
H
kN
8
A
H
:
0
g
Y
0
10
6
,
0
6
A
V
kN
12
A
V
:
0
,
g
l
B
M
0
2
4
3
4
12
A
M
kNm
24
A
M
Sprawdzenie:
:
0
?
c
X
:
0
?
c
Y
:
0
?
c
A
M
Student
Grupa
Ocena
Zadanie 1
Zadanie 2
Zadanie 3
Test
4,257
6
6
3
3
9
R 3
2
y
x
a1
yc
xc
1
a2
Zadanie 2
Wyznaczyć główne centralne osie i główne centralne
momenty bezwładności obszaru materialnego jak na rysunku.
Przyjąć gęstość = 1
Sprawdzenie
A
1
2
12
9
3 6
3
2
2
A
50.137
Sx
1
2
12
9
6
(
)
3 6
6
(
)
3
2
2
6
(
)
yc
Sx
A
Sx
300.823
yc
6
Sy
1
2
12
9
4
3 6
1.5
3
2
2
3
4 3
3
xc
Sy
A
Sy
213.412
xc
4.257
Ix
12 9
3
36
1
2
12
9
6
2
3 6
3
12
3 6
6
2
3
4
8
3
2
2
6
2
Ix 2025.747
Iy
12
3
9
36
1
2
12
9
4
2
3
3
6
3
3
4
8
3
2
2
4 3
3
3
2
2
3
4 3
3
2
Iy
1297.961
Ixy
12
2
9
2
72
1
2
12
9
4
6
(
)
0
3 6
1.5
6
(
)
[
]
0
3
2
2
3
4 3
3
6
(
)
Ixy
1442.469
Ixc
Ix A yc
2
Ixc 220.809
Iyc
Iy A xc
2
Iyc
389.564
Ixcyc
Ixy A xc
yc
Ixcyc
162
I1c
Ixc Iyc
2
Ixc Iyc
2
2
Ixcyc
2
I1c 487.843
1c
atan
Ixcyc
Iyc I1c
1c
180
58.756
I2c
Ixc Iyc
2
Ixc Iyc
2
2
Ixcyc
2
I2c 122.529
2c
atan
Ixcyc
Iyc I2c
2c
180
31.244
Jc
Ixc
Ixcyc
Ixcyc
Iyc
cos 1c
sin 1c
sin 1c
cos 1c
J
Jc
T
J
487.843
7.105
10
15
2.842
10
14
122.529
L
k
f
y
m
m
x
Położenie równowagi
L
y
1
y
2
k
f
y
m
m
x
Położenie równowagi
mg
ky
Zadanie 3
Stosując zasadę zachowania energii mechanicznej wyznaczyć
równania ruchu układu przedstawionego na rysunku.
Zmienne uogólnione:
,
y
y
r
0
1
cos
sin
2
l
y
l
r
y
r
0
1
sin
cos
2
l
y
l
r
1
0
1
y
r
1
0
2
y
r
0
0
1
r
sin
cos
2
l
y
l
r
Energia kinetyczna
sin
2
2
1
sin
sin
2
cos
2
1
2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
y
l
y
l
y
m
E
l
y
l
y
l
y
m
r
r
m
E
k
k
Energia potencjalna
1
1
1
0
ky
r
k
F
y
y
1
2
2
1
1
2
1
2
1
ky
ky
V
2
1
1
2
1
ky
V
E
p
mg
F
0
2
cos
2
l
y
y
cos
2
2
l
y
mg
mgy
V
cos
2
2
mgl
mgy
V
E
p
Zasada zachowania energii mechanicznej
0
2
1
p
p
k
E
E
E
dt
d
oraz
y
mgl
y
ml
ml
y
mg
ky
ml
ml
y
m
mgl
y
mg
y
ky
y
ml
y
ml
y
ml
ml
y
y
m
mgl
y
mg
y
ky
y
l
y
l
y
y
l
y
y
m
mgl
mgy
ky
y
l
y
l
y
m
dt
d
0
sin
sin
cos
sin
2
sin
cos
sin
sin
2
sin
cos
sin
2
sin
2
2
2
2
2
1
cos
2
1
sin
2
2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
Równania ruchu
0
sin
sin
0
cos
sin
2
2
2
mgl
y
ml
ml
mg
ky
ml
ml
y
m
1. Napisać:
a. równanie ruchu oscylacyjnego punktu
materialnego tłumionego i wymuszonego,
b. równanie charakterystyczne,
c. podać całkę szczególną równania
niejednorodnego ruchu wraz
z wyjaśnieniem znaczenia użytych
symboli.
a)
t
P
t
P
kx
x
c
x
m
c
s
cos
sin
b)
0
0
,
,
,
2
2
2
k
cr
r
ke
cre
e
mr
e
r
x
re
x
e
x
rt
rt
rt
rt
rt
rt
c)
t
a
t
a
x
c
s
cos
sin
P
s
, P
c
– amplitudy siły wymuszającej,
a
s
, a
c
– stałe całkowania, λ – częstotliwość siły wymuszającej,
m – masa, c – współczynnik tłumienia, k – współczynnik sprężystości.
2. Podać definicję tłumienia krytycznego oraz
warunek, z którego się go wyznacza.
Współczynnik tłumienia krytycznego to taka wartość współczynnika tłumieni, po
przekroczeniu której ruch jest aperiodyczny.
Warunek – zerowanie się delty równania charakterystycznego:
km
c
mk
c
k
cr
mr
kr
2
,
0
4
,
0
2
2
3. Podać definicje:
a. głównych osi bezwładności,
b. głównych centralnych osi bezwładności.
a) Główne osie bezwładności to osie wyznaczone przez kierunki główne tensora
bezwładności.
b) Główne centralne osie bezwładności to główne osie bezwładności wyznaczone
przez kierunki główne tensora bezwładności zestawionego w środku ciężkości
bryły.
4. Podać własności głównych osi bezwładności. 1. Każdy sztywny układ materialny ma co najmniej trzy osie bezwładności:
dokładnie trzy, gdy wszystkie wartości własne są różne,
jedną i płaszczyznę osi, gdy dwie wartości własne są jednakowe,
całą przestrzeń, gdy wszystkie wartości własne są jednakowe.
2. Tensor bezwładności w układzie głównych osi bezwładności ma postać
diagonalną (momenty dewiacji względem płaszczyzn wyznaczonych przez
główne osie bezwładności maja wartość 0).
3. Momenty bezwładności z przekątnej głównej przyjmują wartości ekstremalne.
4. Jeśli układ materialny posiada oś symetrii to ta oś pokrywa się z jedną
z głównych osi bezwładności
5. Względem jakiej prostej przechodzącej przez
środek masy trójkąta materialnego
przedstawionego na rysunku moment
bezwładności jest maksymalny i ile wynosi?
24
12
2
2
4
4
a
a
I
l
6. Przy jakim założeniu o punkcie A obowiązuje
zasada krętu?
Punkt A jest punktem stałym lub środkiem masy.
7. Czy znajomość zredukowanego układu sił
w środku masy pozwala przewidzieć ruch
ciała sztywnego? Odpowiedź uzasadnić.
S
- suma układu sił,
M
- moment układu sił względem
środka masy,
Tak. Ten fakt wynika z postaci równań bryły sztywnej:
z
y
x
S
z
m
S
y
m
S
x
m
S
p
M
I
I
I
M
I
I
I
M
I
I
I
J
J
J
M
J
K
8. Napisać równanie Lagrange’a II rodzaju oraz
podać znaczenie użytych symboli.
m
i
q
r
F
Q
n
j
Q
q
E
q
E
dt
d
i
j
i
i
j
j
j
k
j
k
,
...
,
2
,
1
,
...
,
2
,
1
E
k
– energia kinetyczna układu,
j
q
– współrzędna uogólniona,
j
Q
– siła uogólniona,
n – liczba stopni swobody,
m – liczba punktów przyłożenia siły.
a
a
l