3
4
4
3
F
B
3
k
N
/m
D
C
E
A
3
4
4
3
F
B
3
k
N
/m
D
C
E
A
HA
MA
N1
N2
RE=12kN
HA=0
N2=-10kN
N1=-6kN
MA=24kN
VA=8kN
RF=8kN
3
4
4
3
F
B
3
k
N
/m
D
C
E
A
VA
HA
HA
MA
MA
N1
N1
N2
N2
RE
RF
Egzamin z Mechaniki Teoretycznej
Budownictwo, 23 stycznia 2012 - termin 0
Zadanie 1
Wyznaczyć reakcje podpór układu
oraz siły w prętach kratowych.
Sprawdzić poprawność obliczeń.
Rozwiązanie
Znaczenie indeksów występujących w równaniach równowagi:
Indeks dolny A, B, C, D, E, F – oznaczenie punktu, względem
którego liczony jest moment.
Indeks górny p lub l
– prawa lub lewa strona.
Indeks górny d, g lub c
– dół, góra lub całość
:
0
d
B
M
0
4
6
,
0
2
4
3
2
N
kN
10
2
N
:
0
p
C
M
0
8
10
6
,
0
4
E
R
kN
12
E
R
:
0
p
E
M
0
4
10
6
,
0
4
1
N
kN
6
1
N
:
0
p
Y
0
10
8
,
0
F
R
kN
8
F
R
:
0
l
X
0
10
6
,
0
6
4
3
A
H
kN
0
A
H
:
0
l
Y
0
10
8
,
0
A
V
kN
8
A
V
:
0
,
g
l
B
M
0
3
8
A
M
kNm
24
A
M
Sprawdzenie:
:
0
?
c
X
:
0
?
c
Y
:
0
?
c
A
M
Student
Grupa
Ocena
Zadanie 1
Zadanie 2
Zadanie 3
Test
Zadanie 2
Wyznaczyć główne centralne osie
i główne centralne momenty bezwładności
obszaru materialnego jak na rysunku.
Przyjąć gęstość = 1
Sprawdzenie
A
1
2
12
9
4 3
2
2
2
A
35.717
Sx
1
2
12
9
6
4 3
7.5
2
2
2
6
4 2
3
yc
Sx
A
Sx 201.634
yc 5.645
Sy
1
2
12
9
4
(
)
4 3
2
(
)
2
2
2
2
(
)
xc
Sy
A
Sy
179.434
xc
5.024
Ix
12 9
3
36
1
2
12
9
6
2
4 3
3
12
4 3
7.5
2
2
4
8
2
2
2
6
4 2
3
2
Ix 1329.995
Iy
12
3
9
36
1
2
12
9
4
2
4
3
3
3
2
4
8
2
2
2
2
2
Iy
1200.584
Ixy
12
2
9
2
72
1
2
12
9
4
(
)
6
0
4 3
2
(
)
7.5
[
]
0
2
2
2
2
(
)
6
4 2
3
Ixy
1213.268
Ixc
Ix A yc
2
Ixc 191.698
Iyc
Iy A xc
2
Iyc
299.148
Ixcyc
Ixy A xc
yc
Ixcyc
200.301
I1c
Ixc Iyc
2
Ixc Iyc
2
2
Ixcyc
2
I1c 452.804
1c
atan
Ixcyc
Iyc I1c
1c
180
52.507
I2c
Ixc Iyc
2
Ixc Iyc
2
2
Ixcyc
2
I2c 38.041
2c
atan
Ixcyc
Iyc I2c
2c
180
37.493
Jc
Ixc
Ixcyc
Ixcyc
Iyc
cos 1c
sin 1c
sin 1c
cos 1c
J
Jc
T
J
452.804
4.263
10
14
0
38.041
L
k
f
y
m
m
x
Położenie równowagi
L
y
1
y
2
k
f
y
m
m
x
Położenie równowagi
mg
ky
Zadanie 3
Stosując równania Lagrange’a II rodzaju wyznaczyć
równania ruchu układu przedstawionego na rysunku.
Zmienne uogólnione:
,
y
y
r
0
1
cos
sin
2
l
y
l
r
y
r
0
1
sin
cos
2
l
y
l
r
1
0
1
y
r
1
0
2
y
r
0
0
1
r
sin
cos
2
l
l
r
Równanie Lagrange’a II rodzaju
Q
E
E
dt
d
Q
y
E
y
E
dt
d
k
k
y
k
k
Energia kinetyczna
sin
2
2
1
sin
sin
2
cos
2
1
2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
y
l
y
l
y
m
E
l
y
l
y
l
y
m
r
r
m
E
k
k
sin
2
sin
2
2
2
2
1
ml
y
m
l
y
y
m
y
E
k
cos
sin
2
2
ml
ml
y
m
y
E
dt
d
k
0
y
E
k
sin
sin
2
2
2
1
2
2
y
ml
ml
y
l
l
m
E
k
cos
sin
2
y
ml
y
ml
ml
E
dt
d
k
cos
y
ml
E
k
Siły uogólnione
ky
r
k
F
0
1
1
mg
F
0
2
1
0
0
1
0
0
2
2
1
1
mg
ky
y
r
F
y
r
F
Q
y
mg
ky
Q
y
sin
cos
0
0
0
0
2
2
1
1
l
l
mg
ky
r
F
r
F
Q
sin
mgl
Q
Równania ruchu
sin
cos
cos
sin
cos
sin
2
2
2
mgl
y
ml
y
ml
y
ml
ml
mg
ky
ml
ml
y
m
1. Napisać:
a. równanie ruchu oscylacyjnego punktu
materialnego tłumionego bez wymuszenia,
b. równanie charakterystyczne,
c. rozwiązanie równania ruchu wraz
z wyjaśnieniem znaczenia użytych
symboli.
a)
0
kx
x
c
x
m
b)
0
0
,
,
,
2
2
2
k
cr
r
ke
cre
e
mr
e
r
x
re
x
e
x
rt
rt
rt
rt
rt
rt
c)
t
A
t
A
e
x
d
d
t
cos
sin
2
1
,
kr
c
c
,
m
k
,
2
1
d
A
1
, A
2
– stałe całkowania, c
kr
– tłumienie krytyczne
c – współczynnik tłumienia, ω – częstość kołowa, k – współczynnik sprężystości
2. Podać możliwe przypadki ruchu jak
w pytaniu 1 na podstawie analizy równania
charakterystycznego.
mk
c
k
cr
mr
4
,
0
2
2
0
- ruch periodyczny
0
- ruch aperiodyczny
3. Podać definicje:
a. głównych osi bezwładności,
b. głównych centralnych osi bezwładności.
a) Główne osie bezwładności to osie wyznaczone przez kierunki główne tensora
bezwładności.
b) Główne centralne osie bezwładności to główne osie bezwładności wyznaczone
przez kierunki główne tensora bezwładności zestawionego w środku ciężkości
bryły.
4. Podać własności głównych osi bezwładności. 1. Każdy sztywny układ materialny ma co najmniej trzy osie bezwładności:
dokładnie trzy, gdy wszystkie wartości własne są różne,
jedną i płaszczyznę osi, gdy dwie wartości własne są jednakowe,
całą przestrzeń, gdy wszystkie wartości własne są jednakowe.
2. Tensor bezwładności w układzie głównych osi bezwładności ma postać
diagonalną (momenty dewiacji względem płaszczyzn wyznaczonych przez
główne osie bezwładności maja wartość 0).
3. Momenty bezwładności z przekątnej głównej przyjmują wartości ekstremalne.
4. Jeśli układ materialny posiada oś symetrii to ta oś pokrywa się z jedną
z głównych osi bezwładności
5. W odniesieniu do przedstawionych obszarów
materialnych podać:
a. ile głównych centralnych osi bezwładności
mają te obszary?
b. ile wynoszą główne centralne momenty
bezwładności tych obszarów?
a) Dwie główne centralne a) ∞ wiele głównych centralnych osi bezwładności
osie bezwładności (każda oś przechodząca przez środek masy)
b)
12
4
a
I
yc
b)
3
4
2
8
2
4
r
r
r
I
xc
8
4
r
I
yc
6. Podać twierdzenie o pędzie układu.
Pęd środka masy układu materialnego jest równy pędowi środka masy tego układu
7. Napisać równania ruchu swobodnej bryły
sztywnej wraz z objaśnieniami użytych
symboli.
S
- suma układu sił,
M
- moment układu sił względem
środka masy,
,
,
- gł. centralne osie bezwładności,
I
I
I
,
,
- gł. centralne momenty bezwł.
Równanie ruchu postępowego środka masy:
z
y
x
S
z
m
S
y
m
S
x
m
S
p
Równanie ruchu obrotowego wokół osi przechodzącej przez środek masy:
M
I
I
I
M
I
I
I
M
I
I
I
J
J
J
M
J
K
8. Napisać równanie wynikające z zasady
d’Alemberta (zasada prac wirtualnych układu
sił czynnych i bezwładności) wraz
założeniami o więzach. Podać znaczenie
użytych symboli.
...
,
2
,
1
0
i
B
F
si
i
si
i
i
Więzy: geometryczne, stacjonarne, dwustronne i gładkie.
i
i
B
F ,
– siły czynne i bezwładności
si
– przemieszczenia wirtualne
r
a
a