Nawiasami kwadratowymi oznaczyłem nieczytelne miejsca.

1. Niech S := {z ∈ C; z

4

− 1 = 0}. Wykazać, że {S, ·}, gdzie · [oznacza mnożenie?], [w ciele liczb?] zespolonych, jest grupą

abelową.

2. Obliczyć:

(

√

3 − i)

11

(1 + i)

5

i wynik podać w postaci kanonicznej.

3. Wykazać, że wekory u = (1, 0, −1), v = (1, 1, 0), w = (0, 1, 2) tworzą [baze?] w R

3

. Wyznaczyć podprzestrzeń R

3

generowaną przez wektory u i v i w.

{(x, y, z) ∈ R

3

: ax + by + cz = 0}

przy stosownie dobranych a, b, c ∈ R

4. Znaleźć macierz odwzorowania liniowego f : R

4

→ R

2

danego przez f (x, y, z, t) = (x + 3y − 2z, x − y + z − t) w bazach

odpowiednio: {(2, 0, 1, 0), (−1, 1, 0, 3), (0, 1, 1, 0), (1, −1, 2, 3)} i {(1, 1), (−1, 0)}.

5. Obliczyć wyznacznik stosując rozwinięcie Laplace’a.

0

1

2

3

1

2

3

0

2

3

0

0

3

0

0

1

6. W najprostrzy sposób pokazać, że:

1

a

a

2

1

b

b

2

1

c

c

2

= (b − a)(c − a)(c − b)

Rozwiązanie: od drugiego i trzeciego odjąć pierwszy wiersz, drugi pomnożyć razy (-1) i dodać do trzeciego. Otrzymamy
macierz schodkową (wyznacznik to iloczyn diagonalnych)

1

a

a

2

1

b

b

2

1

c

c

2

=

1

a

a

2

0

b − a

b

2

− a

2

0

c − a

c

2

− a

2

= (b − a)(c − a)

1

a

a

2

0

1

b + a

0

1

c + a

= (b − a)(c − a)

1

a

a

2

0

1

b + a

0

0

c − b

= (b − a)(c − a)(c − b)

7. Metodą eliminacji Gaussa rozwiazać układ równań:

x + y + z

=

4

2x + y + 2z

=

6

3x − y − z

=

0

8. Znajdź macierz odwrotną do:

A =





2

7

3

3

9

4

1

5

3





a nastepnie wykorzystaj ją dla znalezienia rozwiązania układu równań:

2x + 7y + 3z

=

−2

3x + 9y + 4z

=

−2

x + 5y + 3z

=

−1

1

Rozwiązanie:

[A] ·





x
y

z





=





−2
−2
−1





A

−1

 · [A]

|

{z

}

[I]

·





x
y

z





=

A

−1

 ·





−2
−2
−1









x
y

z





=

A

−1

 ·





−2
−2
−1





9. Rozwiąż układ równań za pomocą wzorów Cramera.

3x − 5y + 2z

=

−1

2x + 3y − 2z

=

2

x + 2y − z

=

2

2