Technika optymalizacji
Dr inż. Ewa Szlachcic
Wykład 2
Wydział Elektroniki
EiT III r. subkier. EKA
Przykład I. Zadania sterowania siecią dystrybucji wody minimalizujące
zużycie energii elektrycznej
Dana jest sieć dystrybucji wody w postaci:
m- węzłów,
s - odbiorców z odpowiednimi potrzebami, w których utrzymywane jest
odpowiednie ciśnienie oraz n łuków,
każdy łuk „i” charakteryzuje się przepływem y
i
:
Opis sieci:
spadek ciśnienia x
i
na łuku „i”:
gdzie: r
i
- opór hydrauliczny łuku „i”
d
i
- różnica wysokości geodezyjnych łuku „i”
Ograniczenia wynikające ze struktury sieci:
I prawo Kirchhoff’a:
A – macierz incydencji dla węzłów sieci wodociągowej,
II prawo Kirchhoff’a:
B – macierz oczkowa dla węzłów sieci wodociągowej.
i
i
i
i
i
d
y
y
r
x
+
=
sgn
2
n
R
y∈
n
R
x∈
s
R
∈
σ
σ
=
y
A
0
=
x
B
Technika optymalizacji
Dr inż. Ewa Szlachcic
Wykład 2
Wydział Elektroniki
EiT III r. subkier. EKA
Sterowanie siecią dystrybucji wody minimalizujące zużycie energii
elektrycznej
( )
i
n
i
i
y
f
y
f
∑
=
=
1
)
(
min
gdzie:
( )
i
i
i
i
i
i
i
i
i
y
d
y
y
r
y
x
y
f
+
=
=
sgn
3
przy ograniczeniach
:
σ
=
y
A
0
=
x
B
i
i
i
i
i
d
y
y
r
x
+
=
sgn
2
n
R
y∈
n
R
x∈
s
R
∈
σ
Technika optymalizacji
Dr inż. Ewa Szlachcic
Wykład 2
Wydział Elektroniki
EiT III r. subkier. EKA
Przykład II: Znaleźć najlepszą liniową aproksymację nieznanej funkcji
określonej poprzez tabelę 20 pomiarów.
Wyznaczyć optymalne wartości wektora współczynników b=[b
1
, b
2
, b
3
, b
4
]
formy liniowej :
gdzie: u - wektor wielkości sterujących, y - wektor wielkości wyjściowych
Dane: tabela z 20 pomiarami wektora u wielkości sterujących oraz wektora wielkości
wyjściowych
dla następujących kryteriów jakości:
1.
minimum sumy wartości bezwzględnych różnic między wartościami wektora wyjść a
wartościami otrzymanymi z modelu liniowego:
gdzie:
- wartości zmierzone wielkości wyjściowych
i=1,...,20 - wielkości wyjściowe obliczone na podstawie
modelu
Zadanie trudne do rozwiązania, ponieważ funkcja celu jest nie-różniczkowalna.
u
b
y
T
=
( )
∑
=
−
=
20
1
~
)
(
[
min
i
i
i
b
y
y
b
f
20
,...,
1
~
=
i
y
i
)
(b
y
i
( )
i
i
i
i
i
u
b
u
b
u
b
u
b
b
y
4
4
3
3
2
2
1
1
+
+
+
=
Technika optymalizacji
Dr inż. Ewa Szlachcic
Wykład 2
Wydział Elektroniki
EiT III r. subkier. EKA
Równoważne zadanie programowania liniowego
Wprowadzono nową zmienną:
Ø
Zwiększenie wymiaru zadania: 24 zmienne niezależne
przy ograniczeniach:
dla i=1,...,20
Zadanie programowania liniowego:
Ø
funkcja celu jest wypukła
Ø
rozwiązano metodą dwufazową simpleks
.
.
Wektor b optymalnych wsp
Wektor b optymalnych wsp
ó
ó
ł
ł
czynnik
czynnik
ó
ó
w :
w :
( )
b
y
y
z
i
i
i
−
= ~
∑
=
=
20
1
)
(
min
i
i
z
b
f
i
i
i
i
i
i
i
z
u
b
u
b
u
b
u
b
y
z
≤
−
−
−
−
≤
−
4
4
3
3
2
2
1
1
~
87
,
51
1
=
b
232
,
1
2
=
b
122
,
0
3
−
=
b
08
,
1
4
−
=
b
Technika optymalizacji
Dr inż. Ewa Szlachcic
Wykład 2
Wydział Elektroniki
EiT III r. subkier. EKA
2. minimum sumy kwadratów różnic między wartościami wektora wyjść a
wartościami otrzymanymi z modelu liniowego:
gdzie:
- wartości zmierzone wielkości wyjściowych
- i=1,...,20 - wielkości wyjściowe obliczone na podstawie
modelu
Zadanie programowania nieliniowego:
funkcja celu jest wypukła
rozwiązano metodą gradientów sprzężonych w wersji Polak’a-Ribiere’y.
( )
(
)
2
20
1
~
)
(
[
min
∑
=
−
=
i
i
i
b
y
y
b
f
20
,...,
1
~
=
i
y
i
)
(b
y
i
( )
i
i
i
i
i
u
b
u
b
u
b
u
b
b
y
4
4
3
3
2
2
1
1
+
+
+
=
Wyniki identyfikacji zależą od wyboru kryterium optymalizacji i przyjętej
dokładności obliczeń.
28
,
39
1
=
b
07
,
1
2
=
b
16
,
0
3
=
b
94
,
0
4
−
=
b
Drugie kryterium jakości:
Technika optymalizacji
Dr inż. Ewa Szlachcic
Wykład 2
Wydział Elektroniki
EiT III r. subkier. EKA
Przykład III. Zadanie wyznaczania optymalnego ukształtowania
autostrady
Koszt budowy jest proporcjonalny do ilości podłoża dodawanego lub
usuwanego
T – długość drogi, c(t) – wysokość terenu dla każdego
Autostrada będzie budowana na nierównym terenie
Należy wyznaczyć wysokość drogi y(t) dla
Założenia:
Warunki początkowe trasy: y(0) = a
Warunki końcowe trasy: y(T) = b
Maksymalne nachylenie nie może przekraczać b
1
dla uniknięcia
nadmiernych spadków:
Należy graniczyć szybkość zmian nachylenia drogi (wyeliminowanie
garbów na jezdni):
( )
1
.
b
t
y
≤
( )
2
..
b
t
y
≤
[ ]
T
t
,
0
∈
∀
]
,
0
[ T
t∈
Technika optymalizacji
Dr inż. Ewa Szlachcic
Wykład 2
Wydział Elektroniki
EiT III r. subkier. EKA
Zadanie wyznaczania optymalnego ukształtowania autostrady
y(t)
Przy ograniczeniach:
dt
t
c
t
y
T
∫
−
0
)
(
)
(
min
( )
[ ]
T
t
dla
b
t
y
,
0
1
.
∈
≤
( )
[ ]
T
t
dla
b
t
y
,
0
2
..
∈
≤
a
y
=
)
0
(
T
b
y
=
)
(
Technika optymalizacji
Dr inż. Ewa Szlachcic
Wykład 2
Wydział Elektroniki
EiT III r. subkier. EKA
Przekształcenie zadania
:
Założenia:
drogę należy podzielić na K równych odcinków o długości l, k=1,...,K
zmienna sterująca: u(t)=y(t)-c(t)
zmienna modelu dynamicznego:
Przyjmując oznaczenia: y
1
= y, ,
c(k) = c
k
, y
1
(k) = y
1,k
, y
2
(k) = y
2,k
Zadanie optymalizacji statycznej:
przy ograniczeniach:
Powstało zadanie optymalizacji liniowej z ograniczeniami większościowymi i
mniejszościowymi.
)
(
)
(
.
t
y
t
x
=
∑
=
−
K
k
k
k
c
y
1
,
1
min
1
,
2
1
,
1
,
1
−
−
=
−
k
k
k
y
y
y
1
,
2
1
b
y
b
k
≤
≤
−
2
1
,
2
,
2
2
b
y
y
b
k
k
≤
−
≤
−
−
a
y =
0
,
1
b
y
k
=
,
2
.
2
y
y =
Technika optymalizacji
Dr inż. Ewa Szlachcic
Wykład 2
Wydział Elektroniki
EiT III r. subkier. EKA
Zadanie programowania ilorazowego:
( )
x
d
x
c
x
f
extr
T
T
=
przy ograniczeniach:
0
,
0
,
0
≥
≥
≥
x
d
c
oraz
b
x
A ≤
n
R
x∈
n
R
c∈
n
R
d ∈
1
:
R
X
f
→
dim A=[mxn]
m
R
b∈
Technika optymalizacji
Dr inż. Ewa Szlachcic
Wykład 2
Wydział Elektroniki
EiT III r. subkier. EKA
Zadanie optymalizacji polega na znalezieniu wektora zmiennych decyzyjnych ,
należącego do zbioru rozwiązań dopuszczalnych X w postaci:
takiego, że dla
}
,...,
1
,
0
)
(
{
m
i
g
i
X
=
≤
=
x
x
X
∈
∀x
Co jest równoznaczne zapisowi
:
∧
x
( )
x
x
f
f
≤
∧
( )
=
∧
∈
x
x
x
f
f
X
min
Punkt - minimum globalne funkcji f (x) na zbiorze X
∧
x
∧
x