2009-11-27

© Lesław ŁADNIAK

Metoda potencjałów węzłowych – Idealne źródła napięcia

Jeżeli w obwodzie elektrycznym wystepują idelane źródła

napięcia, sterowane źródła napięcia lub gałęzie o zerowej
impedancji, to należy przyjąć, że w tych gałęziach płyną jakieś na
razie nieznane prądy gałeziowe. Następnie należy ułożyć równania
zgodnie z metodą potencjałów węzłowych dla każdego
niezależnego węzła. Dodatkowo dla każdej gałęzi zawierającej
idealne źródło napięcia, sterowane źródło napięcia lub zerową
impedancję należy napisać równanie określające różnicę
potencjałów między węzłami będącymi końcami tych gałęzi. W
ten sposób otrzymujemy układu równań rzędu (w-1) + g

z,

, gdzie g

z

jest liczbą gałęzi zawierających idealne źródła napięcia, sterowane
źródła napięcia oraz gałęzie o zerowej impedancji.

W celu zastosowania metody potencjałów węzłowych w

obwodzie, w którym w gałęzi o numerze g przyłączonej do węzłów
k oraz l jest idealne źródło napięcia, sterowane źródło napięcia lub
impedancja gałezi jest równa zeru należy:

- przyjąc, że w gałezi g płynie prąd o natężeniu I

g

,

- ukłożyć rówania wynikające z metody prądów oczkowych dla

węzłów k oraz l,

- ułożyć równanie opisujace relację między potencjałami

węzłów k oraz l.

Procedurę postępowania można skrócić traktując gałąź g z

idelnym źródłem napięcia E

g

wraz z węzłami k oraz l jako

specjalny węzeł. Dla tego specjalnego węzła układamy dwa
równania. Pierwsze równanie wynika z faktu, że różnica
potencjałów miedzy węzłami jest znana i równa sile
elektromotorycznej E

g

. Drugie równanie tworzymy analogicznie

jak w metodzie potencjałów węzłowych uwzględniając w jednym
równaniu potencjały i admitancjie gałęzi przyłączonych do węzłów
k oraz l, a także połączenia węzłów k oraz l z innymi węzłami
obwodu. Równanie drugie wynika z sumowania stronami równań
ułożonych zgodnie z metodą potencjałów węzłowych dla węzłów k
oraz l, przy założeniu, że w gałęzi g płynie prąd o wartości I

g

.

2

Przykład. Idealne źródło napięcia w metodzie potencjałów
węzłowych

1'

R

1

E

5

R

2

R

3

R

4

E

1

E

6

2'

3'

I

5

4'

1

o

Przyjmując, że w gałezi z idealnym źródem napięcia E

5

płynie

prąd I

5

można napisać następujący układ równań:

1’ V

1

= E

6

2’ (G

1

+ G

2

) V

2

– G

2

V

1

= G

1

E

1

+ I

5

3’ (G

3

+ G

4

) V

3

– G

4

V

1

= - I

5

V

2

– V

3

= E

5

Po dodaniu stronami równań dla węzłów 2’ oraz 3’

otrzymujemy:

1’ V

1

= E

6

2’ (G

1

+ G

2

) V

2

– (G

2

+ G

4

) V

1

+ (G

3

+ G

4

) V

3

= G

1

E

1

Po uwzględnieniu w równaniu 2’ równania dla węzła 1’ oraz

korzystając z faktu, że różnica potencjałów między węzłami 2’
oraz 3’ jest znanan otrzymujemy:

(G

1

+ G

2

) (E

5

+ V

3

) - (G

2

+ G

4

) E

6

+ (G

3

+ G

4

) V

3

= G

1

E

1

czyli

(G

1

+ G

2

+ G

3

+ G

4

) V

3

= G

1

E

1

- (G

1

+ G

2

) E

5

+ (G

2

+ G

4

) E

6

czyli

V

3

=

G

1

E

1

+ (G

1

+ G

2

)E

5

+ (G

2

+ G

4

)E

6

G

1

+ G

2

+ G

3

+ G

4

2

o

Równania dla rozpatrywanego obwodu,

jeżeli węzły 2’ oraz 3’ potraktujemy jak
węzęł specjany:

1’

V

1

= E

6

23’

V

2

– V

3

= E

5

23’

(G

1

+ G

2

) V

2

- G

2

V

1

+ (G

3

+ G

4

)

V

3

- G

4

V

1

= G

1

E

1

Wykorzystując dwa pierwsze równania

otrzymujemy:

(G

1

+ G

2

) (E

5

+ V

3

) - G

2

E

6

+ (G

3

+ G

4

)

V

3

- G

4

E

6

= G

1

E

1

(G

1

+ G

2

+ G

3

+ G

4

) V

3

= G

1

E

1

+ (G

1

+

G

2

)E

5

+ (G

2

+ G

4

)E

6

stąd

V

3

=

G

1

E

1

+ (G

1

+ G

2

)E

5

+ (G

2

+ G

4

)E

6

G

1

+ G

2

+ G

3

+ G

4

Jak należało się spodziewać w obu

przypadkach wynik jest taki sam.

3

© Lesław ŁADNIAK

Metoda prądów oczkowych – Idealne źródła prądu

Jeżeli w obwodzie występują idealne źródła prądu, to w celu

rozwiązania układu metodą prądów oczkowych Maxwella należy:

- dobrać oczka tak, aby w oczku była tylko jedna gałąź z

idealnym źródłem prądu,

- prąd oczka z idealnym źródłem prądowym należy przyjąć, że

jest równy wydajności prądowej idealnego źródła prądu,

- równania wynikające z metody prądów oczkowych należy

ułożyć tylko dla oczek niezawierających idealnych źródeł prądu.

Przykład. Idealne źródło prądu w metodzie prądów oczkowych

Oczko I tworzą gałęzie 1, 2, 4, 3.
Oczko II tworzą gałęzie 1, 5, 3.
Oczko III tworzą gałęzie 6, 4, 3.

Równania dla poszczególnych oczek:

I

(R

1

+ R

2

+ R

3

) I

o1

– (R

1

+ R

3

) I

o2

+ R

3

I

o3

= E

1

– E

4

II

I

o2

= I

5

III

I

o3

= I

6

Po uporządkowaniu otrzymujemy:

(R

1

+ R

2

+ R

3

) I

o1

– (R

1

+ R

3

) I

5

+ R

3

I

6

= E

1

– E

4

czyli

(R

1

+ R

2

+ R

3

) I

o1

= E

1

– E

4

+ (R

1

+ R

3

) I

5

- R

3

I

6

stąd

I

o1

=

E

1

– E

4

+ (R

1

+ R

3

) I

5

- R

3

I

6

R

1

+ R

2

+ R

3