2009-11-27
© Lesław ŁADNIAK
Metoda potencjałów węzłowych – Idealne źródła napięcia
Jeżeli w obwodzie elektrycznym wystepują idelane źródła
napięcia, sterowane źródła napięcia lub gałęzie o zerowej
impedancji, to należy przyjąć, że w tych gałęziach płyną jakieś na
razie nieznane prądy gałeziowe. Następnie należy ułożyć równania
zgodnie z metodą potencjałów węzłowych dla każdego
niezależnego węzła. Dodatkowo dla każdej gałęzi zawierającej
idealne źródło napięcia, sterowane źródło napięcia lub zerową
impedancję należy napisać równanie określające różnicę
potencjałów między węzłami będącymi końcami tych gałęzi. W
ten sposób otrzymujemy układu równań rzędu (w-1) + g
z,
, gdzie g
z
jest liczbą gałęzi zawierających idealne źródła napięcia, sterowane
źródła napięcia oraz gałęzie o zerowej impedancji.
W celu zastosowania metody potencjałów węzłowych w
obwodzie, w którym w gałęzi o numerze g przyłączonej do węzłów
k oraz l jest idealne źródło napięcia, sterowane źródło napięcia lub
impedancja gałezi jest równa zeru należy:
- przyjąc, że w gałezi g płynie prąd o natężeniu I
g
,
- ukłożyć rówania wynikające z metody prądów oczkowych dla
węzłów k oraz l,
- ułożyć równanie opisujace relację między potencjałami
węzłów k oraz l.
Procedurę postępowania można skrócić traktując gałąź g z
idelnym źródłem napięcia E
g
wraz z węzłami k oraz l jako
specjalny węzeł. Dla tego specjalnego węzła układamy dwa
równania. Pierwsze równanie wynika z faktu, że różnica
potencjałów miedzy węzłami jest znana i równa sile
elektromotorycznej E
g
. Drugie równanie tworzymy analogicznie
jak w metodzie potencjałów węzłowych uwzględniając w jednym
równaniu potencjały i admitancjie gałęzi przyłączonych do węzłów
k oraz l, a także połączenia węzłów k oraz l z innymi węzłami
obwodu. Równanie drugie wynika z sumowania stronami równań
ułożonych zgodnie z metodą potencjałów węzłowych dla węzłów k
oraz l, przy założeniu, że w gałęzi g płynie prąd o wartości I
g
.
2
Przykład. Idealne źródło napięcia w metodzie potencjałów
węzłowych
1'
R
1
E
5
R
2
R
3
R
4
E
1
E
6
2'
3'
I
5
4'
1
o
Przyjmując, że w gałezi z idealnym źródem napięcia E
5
płynie
prąd I
5
można napisać następujący układ równań:
1’ V
1
= E
6
2’ (G
1
+ G
2
) V
2
– G
2
V
1
= G
1
E
1
+ I
5
3’ (G
3
+ G
4
) V
3
– G
4
V
1
= - I
5
V
2
– V
3
= E
5
Po dodaniu stronami równań dla węzłów 2’ oraz 3’
otrzymujemy:
1’ V
1
= E
6
2’ (G
1
+ G
2
) V
2
– (G
2
+ G
4
) V
1
+ (G
3
+ G
4
) V
3
= G
1
E
1
Po uwzględnieniu w równaniu 2’ równania dla węzła 1’ oraz
korzystając z faktu, że różnica potencjałów między węzłami 2’
oraz 3’ jest znanan otrzymujemy:
(G
1
+ G
2
) (E
5
+ V
3
) - (G
2
+ G
4
) E
6
+ (G
3
+ G
4
) V
3
= G
1
E
1
czyli
(G
1
+ G
2
+ G
3
+ G
4
) V
3
= G
1
E
1
- (G
1
+ G
2
) E
5
+ (G
2
+ G
4
) E
6
czyli
V
3
=
G
1
E
1
+ (G
1
+ G
2
)E
5
+ (G
2
+ G
4
)E
6
G
1
+ G
2
+ G
3
+ G
4
2
o
Równania dla rozpatrywanego obwodu,
jeżeli węzły 2’ oraz 3’ potraktujemy jak
węzęł specjany:
1’
V
1
= E
6
23’
V
2
– V
3
= E
5
23’
(G
1
+ G
2
) V
2
- G
2
V
1
+ (G
3
+ G
4
)
V
3
- G
4
V
1
= G
1
E
1
Wykorzystując dwa pierwsze równania
otrzymujemy:
(G
1
+ G
2
) (E
5
+ V
3
) - G
2
E
6
+ (G
3
+ G
4
)
V
3
- G
4
E
6
= G
1
E
1
(G
1
+ G
2
+ G
3
+ G
4
) V
3
= G
1
E
1
+ (G
1
+
G
2
)E
5
+ (G
2
+ G
4
)E
6
stąd
V
3
=
G
1
E
1
+ (G
1
+ G
2
)E
5
+ (G
2
+ G
4
)E
6
G
1
+ G
2
+ G
3
+ G
4
Jak należało się spodziewać w obu
przypadkach wynik jest taki sam.
3
© Lesław ŁADNIAK
Metoda prądów oczkowych – Idealne źródła prądu
Jeżeli w obwodzie występują idealne źródła prądu, to w celu
rozwiązania układu metodą prądów oczkowych Maxwella należy:
- dobrać oczka tak, aby w oczku była tylko jedna gałąź z
idealnym źródłem prądu,
- prąd oczka z idealnym źródłem prądowym należy przyjąć, że
jest równy wydajności prądowej idealnego źródła prądu,
- równania wynikające z metody prądów oczkowych należy
ułożyć tylko dla oczek niezawierających idealnych źródeł prądu.
Przykład. Idealne źródło prądu w metodzie prądów oczkowych
Oczko I tworzą gałęzie 1, 2, 4, 3.
Oczko II tworzą gałęzie 1, 5, 3.
Oczko III tworzą gałęzie 6, 4, 3.
Równania dla poszczególnych oczek:
I
(R
1
+ R
2
+ R
3
) I
o1
– (R
1
+ R
3
) I
o2
+ R
3
I
o3
= E
1
– E
4
II
I
o2
= I
5
III
I
o3
= I
6
Po uporządkowaniu otrzymujemy:
(R
1
+ R
2
+ R
3
) I
o1
– (R
1
+ R
3
) I
5
+ R
3
I
6
= E
1
– E
4
czyli
(R
1
+ R
2
+ R
3
) I
o1
= E
1
– E
4
+ (R
1
+ R
3
) I
5
- R
3
I
6
stąd
I
o1
=
E
1
– E
4
+ (R
1
+ R
3
) I
5
- R
3
I
6
R
1
+ R
2
+ R
3