WYKŠAD

W

R

OKU

AKADEMICKIM

2005/2006

POLA

I

F

ALE

ELEKTR

OMA

GNETYCZNE

Andrzej

Karw

o

wski

P

olite

hnik

a

‘l¡sk

a

gliwi e

2006

pola

i

f

ale

elektr

oma

gnety zne

POLA

I

F

ALE

ELEKTR

OMA

GNETYCZNE

W

ykªad

Andrzej

Karw

o

wski,

dr

hab.

in».,

profesor

P

olite

hniki

‘l¡skiej

Inst

ytut

Elektroniki

Zakªad

P

o

dsta

w

Elektroniki

p.

917

(IX

pitro)

tel.

237

15

94

e-mail:

andrzej.k

arw

o

wskigmail. om;

andrzej.k

arw

o

wskip

olsl.pl

andrzej

kar

w

o

wski

polite hnika

±l¡ska

pola

i

f

ale

elektr

oma

gnety zne

ELEKTR

OMA

GNETYZM

•

Elektromagnet

yzm



nauk

a

o

zja

wisk

a

h

wyw

oªyw

an

y

h

istnieniem

i

o

ddziaªyw

aniem

ªadunk

ó

w

elektry zn

y

h

nieru

hom

y

h

lub

p

orusza

j¡ y

h

si,

które



jak

wiadomo



s¡

¹ró

dªem

p

ól

elektry znego

i

magnet

y znego

•

P

ole



przestrzenn

y

rozkªad

jakiej±

wielk

o± i,

która

mo»e

b

y¢

ró

wnie»

funk

j¡

zasu

andrzej

kar

w

o

wski

polite hnika

±l¡ska

pola

i

f

ale

elektr

oma

gnety zne

ELEKTR

OMA

GNETYZM

Zastoso

w

ania

i

zna zenie

•

wyt

w

arzanie

elektry zno± i

(generatory)

•

radiofonia,

radiok

om

unik

a ja,

telewizja,

telefonia

k

omórk

o

w

a,

k

omputero

w

e

sie i

b

ezprzew

o

do

w

e,

b

ezprzew

o

do

wy

dostep

do

in

ternetu

•

zastoso

w

ania

przem

ysªo

w

e,

domo

w

e

(ku

hnie

mikrofalo

w

e)

i

medy zne

(diatermia)

•

radiolok

a ja,

radiona

wiga ja,

geo

dezja

i

lok

aliza ja

(GPS)

•

telewizja

satelitarna

andrzej

kar

w

o

wski

polite hnika

±l¡ska

pola

i

f

ale

elektr

oma

gnety zne

OR

GANIZA

CJA

ZAJ†‚



ZALICZENIE

•

W

ykªado

wi

to

w

arzysz¡

¢wi zenia

tabli o

w

e/ra

h

unk

o

w

e

(bardzo

dobrze,

b

o

przedmiot

jest

ra zej

trudn

y(!)).

Ob

e no±¢

na

¢wi zenia

h

jest

ob

o

wi¡zk

o

w

a!

•

Przedmiot

wymaga

zali zenia.

T

ryb

zali zania



zgo

dnie

z

regulaminem

studió

w.

•

Zali zenie

b

dzie

mie¢

form

pisemn¡,

a

spra

wdzana

b

dzie

na

nim

wyª¡ znie

umiejtno±¢

rozwi¡zyw

ania

zada«

ra

h

unk

o

wy

h.

List

y

przykªado

wy

h

zada«

b

d¡

systemat

y znie

dostar zane

sªu

ha zom

w

i¡

gu

semestru.

•

O en

y

z

ubiegªy

h

lat

nie

b

d¡

przepisyw

ane!

andrzej

kar

w

o

wski

polite hnika

±l¡ska

pola

i

f

ale

elektr

oma

gnety zne

LITERA

TURA

1.

H.

H.

Skilling,

F

ale

elektromagnet

y zne,

PWN,

W

arsza

w

a,

1961

2.

M.

Zahn,

P

ole

elektromagnet

y zne,

PWN,

W

arsza

w

a,

1989

3.

J.

Szóstk

a,

F

ale

i

an

ten

y

,

WKiŠ,

W

arsza

w

a,

2000

4.

T.

Mora

wski,

W.

Gw

arek,

P

ola

i

fale

elektromagnet

y zne,

WNT

W

arsza

w

a,

1998

5.

J.

L.

Stew

art,

Linie

przesyªo

w

e,

WNT,

W

arsza

w

a,

1962

6.

J.

D.

Kraus,

Ele tromagneti s,

M Gra

w-Hill,

1984

7.

do

w

olne

zbiory

zada«

z

teorii

p

ola

elektromagnet

y znego

i

zyki

andrzej

kar

w

o

wski

polite hnika

±l¡ska

pola

i

f

ale

elektr

oma

gnety zne

ELEKTR

OMA

GNETYZM

Niezb

dne

p

o

dsta

wy

matemat

y zne

•

Ortogonalne

ukªady

wsp

óªrzdn

y

h



k

artezja«ski,

ylindry zn

y

i

sfery zn

y

•

Algebra

w

ektoro

w

a



do

da

w

anie,

o

dejmo

w

anie

i

mno»enie

w

ektoró

w

•

Analiza

w

ektoro

w

a



ró»ni zk

o

w

anie

i

aªk

o

w

anie

funk

ji

w

ektoro

wy

h;

aªki

krzyw

olinio

w

e,

p

o

wierz

hnio

w

e

i

ob

jto± io

w

e

funk

ji

w

ektoro

wy

h;

op

eratory

ró»ni zk

o

w

e



gradien

t,

dyw

ergen ja

i

rota ja

andrzej

kar

w

o

wski

polite hnika

±l¡ska

pola

i

f

ale

elektr

oma

gnety zne

REPETYTORIUM

MA

TEMA

TYCZNE

W

ektory

A

,

B

,

E

,

H

, . . .

A

= 1

A

A

gdzie

A = |A|

ozna za

mo

duª

(miar



dªugo±¢)

w

ektora

,

natomiast

1

A

=

A

|A|

=

A

A

jest

w

ektorem

jednostk

o

wym

(w

ersorem)

wyzna za

j¡ ym

kierunek

A

andrzej

kar

w

o

wski

polite hnika

±l¡ska

pola

i

f

ale

elektr

oma

gnety zne

REPETYTORIUM

MA

TEMA

TYCZNE

Ortogonalne

ukªady

wsp

óªrzdn

y

h

•

k

artezja«ski

ukªad

wsp

óªrzdn

y

h

prostok

¡tn

y

h

(x, y, z)

•

ukªad

wsp

óªrzdn

y

h

ylindry zn

y

h

(w

al o

wy

h)

(r, φ, z)

•

ukªad

wsp

óªrzdn

y

h

sfery zn

y

h

(kulist

y

h)

(r, θ, φ)

andrzej

kar

w

o

wski

polite hnika

±l¡ska

pola

i

f

ale

elektr

oma

gnety zne

WSPӊRZ†DNE

PR

OSTOKTNE

(x, y, z)

P

oªo»enie

punktu

w

ukªadzie

wsp

óªrzdn

y

h

prostok

¡tn

y

h

wyzna za

miejs e

prze i ia

si

trze

h

wza

jemnie

prostopadªy

h

pªasz zyzn.

Ukªad

pra

w

oskrtn

y

okre±la

tró

jk

a

w

ektoró

w

jednostk

o

wy

h

p

o

wi¡zan

y

h

zale»no± iami

1

x

×

1

y

= 1

z

1

y

×

1

z

= 1

x

1

z

×

1

x

= 1

y

W

ektor

w

o

dz¡ y

(w

ektor

miejs a)

punktu

P (x, y, z)

w

ukªadzie

prostok

¡tn

ym

r

= 1

x

x + 1

y

y + 1

z

z

andrzej

kar

w

o

wski

polite hnika

±l¡ska

pola

i

f

ale

elektr

oma

gnety zne

WSPӊRZ†DNE

PR

OSTOKTNE

(x, y, z)

Reprezen

ta ja

w

ektora

W

ektor

A

w

ukªadzie

k

artezja«skim

mo»na

zapisa¢

jak

o

A

= A

x

+ A

y

+ A

z

= 1

x

A

x

+ 1

y

A

y

+ 1

z

A

z

gdzie

A

x

, A

x

, A

x



skªado

w

e

w

ektora

A

A

x

, A

y

, A

z



skªado

w

e

sk

alarne

(wsp

óªrzdne)

w

ektora

A

W

ogóln

ym

przypadku

k

a»da

ze

skªado

wy

h

w

ektora

A

mo»e

b

y¢

funk

j¡

wszystki

h

trze

h

wsp

óªrzdn

y

h,

tzn.

A

≡ 1

x

A

x

(x, y, z) + 1

y

A

y

(x, y, z) + 1

z

A

z

(x, y, z)

andrzej

kar

w

o

wski

polite hnika

±l¡ska

pola

i

f

ale

elektr

oma

gnety zne

POLA

SINUSOID

ALNIE

PRZEMIENNE

Nota ja

sym

b

oli zna

W

e¹m

y

p

ole

elektry zne

E

= E

x

+ E

y

= 1

x

E

1

cos(ωt + ϕ

x

) + 1

y

E

2

cos(ωt + ϕ

y

)

= 1

x

Re

E

1

e

jφ

x

e

jωt

+ 1

y

Re

E

2

e

jϕ

y

e

jωt

= Re

(1

x

E

1

e

jϕ

x

+ 1

y

E

2

e

jφ

y

)e

jωt

= Re

E

0

e

jωt

gdzie

E

0

= 1

x

E

1

e

jϕ

x

+ 1

y

E

2

e

jϕ

y

jest

zesp

olon¡

amplitud¡

p

ola

E

.

andrzej

kar

w

o

wski

polite hnika

±l¡ska

pola

i

f

ale

elektr

oma

gnety zne

WSPӊRZ†DNE

PR

OSTOKTNE

(x, y, z)

Ró»ni zki

dªugo± i,

p

o

wierz

hni

i

ob

jto± i

Ró»ni zk

a

dªugo± i

dl = 1

x

dx + 1

y

dy + 1

z

dz

Ró»ni zki

p

o

wierz

hni

ds

x

= 1

x

dydz

ds

y

= 1

y

dxdz

ds

z

= 1

z

dxdy

Ró»ni zk

a

ob

jto± i

dV = dxdydz

andrzej

kar

w

o

wski

polite hnika

±l¡ska

pola

i

f

ale

elektr

oma

gnety zne

WSPӊRZ†DNE

CYLINDR

YCZNE

(r, φ, z)

P

oªo»enie

punktu

w

ukªadzie

wsp

óªrzdn

y

h

w

al o

wy

h

wyzna za

miejs e

prze i ia

si

p

o

wierz

hni

w

al o

w

ej

r

=

onst

z

p

óªpªasz zyzn¡

za

wiera

j¡ ¡

o±

z,

t

w

orz¡ ¡

k

¡t

φ

z

pªasz zyzn¡

xz

,

i

pªasz zyzn¡

z

= onst

ró

wnolegªa

do

pª.

xy

.

T

ró

jk



w

ektoró

w

jednostk

o

wy

h

wi¡»¡

zale»no± i

1

r

×

1

φ

= 1

z

1

φ

×

1

z

= 1

r

1

z

×

1

r

= 1

φ

andrzej

kar

w

o

wski

polite hnika

±l¡ska

pola

i

f

ale

elektr

oma

gnety zne

WSPӊRZ†DNE

CYLINDR

YCZNE

(r, φ, z)

Reprezen

ta ja

w

ektora

W

ektor

A

w

ukªadzie

wsp

óªrzdn

y

h

ylindry zn

y

h

mo»na

zapisa¢

jak

o

A

= A

r

+ A

φ

+ A

z

= 1

r

A

r

+ 1

φ

A

φ

+ 1

z

A

z

W

ogóln

ym

przypadku

k

a»da

ze

skªado

wy

h

w

ektora

A

mo»e

b

y¢

funk

j¡

wszystki

h

trze

h

wsp

óªrzdn

y

h,

tzn.

A

≡ 1

r

A

r

(r, φ, z) + 1

φ

A

φ

(r, φ, , z) + 1

z

A

z

(r, φ, z)

andrzej

kar

w

o

wski

polite hnika

±l¡ska

pola

i

f

ale

elektr

oma

gnety zne

WSPӊRZ†DNE

CYLINDR

YCZNE

(r, φ, z)

Ró»ni zki

dªugo± i,

p

o

wierz

hni

i

ob

jto± i

Ró»ni zk

a

dªugo± i

dl = 1

r

dr + 1

φ

rdφ + 1

z

dz

Ró»ni zki

p

o

wierz

hni

ds

r

= 1

r

rdφdz

ds

φ

= 1

φ

drdz

ds

z

= 1

z

rdrdφ

Ró»ni zk

a

ob

jto± i

dV = rdrdφdz

andrzej

kar

w

o

wski

polite hnika

±l¡ska

pola

i

f

ale

elektr

oma

gnety zne

WSPӊRZ†DNE

SFER

YCZNE

(r, θ, φ)

P

oªo»enie

punktu

w

ukªadzie

wsp

óªrzdn

y

h

sfery zn

y

h

wyzna za

miejs e

prze i ia

si

trze

h

p

o

wierz

hni:

sfery

o

promieniu

r

=

onst

o

±ro

dku

w

p

o

z¡tku

ukªadu,

p

o

wierz

hni

sto»k

a

o

wierz

hoªku

w

p

o

z¡tku

ukªadu,

osi

p

okryw

a

j¡ ej

si

z

osi¡

z

i

rozw

arto± i

2θ

oraz

p

óªpªasz zyzn

y

za

wiera

j¡ ej

o±

z

i

t

w

orz¡ ej

k

¡t

φ

z

pª.

xz

.

T

ró

jk



w

ektoró

w

jednostk

o

wy

h

wi¡»¡

zale»no± i

1

r

×

1

θ

= 1

φ

1

θ

×

1

φ

= 1

r

1

φ

×

1

r

= 1

θ

andrzej

kar

w

o

wski

polite hnika

±l¡ska

pola

i

f

ale

elektr

oma

gnety zne

WSPӊRZ†DNE

SFER

YCZNE

(r, θ, φ)

Reprezen

ta ja

w

ektora

W

ektor

A

w

ukªadzie

wsp

óªrzdn

y

h

ylindry zn

y

h

mo»na

zapisa¢

jak

o

A

= A

r

+ A

θ

+ A

φ

= 1

r

A

r

+ 1

θ

A

θ

+ 1

φ

A

φ

W

ogóln

ym

przypadku

k

a»da

ze

skªado

wy

h

w

ektora

A

mo»e

b

y¢

funk

j¡

wszystki

h

trze

h

wsp

óªrzdn

y

h,

tzn.

A

≡ 1

r

A

r

(r, θ, φ) + 1

θ

A

θ

(r, θ, φ) + 1

φ

A

φ

(r, θ, φ)

andrzej

kar

w

o

wski

polite hnika

±l¡ska

pola

i

f

ale

elektr

oma

gnety zne

WSPӊRZ†DNE

SFER

YCZNE

(r, θ, φ)

Ró»ni zki

dªugo± i,

p

o

wierz

hni

i

ob

jto± i

Ró»ni zk

a

dªugo± i

dl = 1

r

dr + 1

θ

rdθ + 1

φ

r sin θdφ

Ró»ni zki

p

o

wierz

hni

ds

r

= 1

r

r

2

sin θ dθ dφ

ds

θ

= 1

θ

r sin θ dr dφ

ds

φ

= 1

φ

r dr dθ

Ró»ni zk

a

ob

jto± i

dV = r

2

sin θ dr dθ dφ

andrzej

kar

w

o

wski

polite hnika

±l¡ska

pola

i

f

ale

elektr

oma

gnety zne

REPETYTORIUM

MA

TEMA

TYCZNE

Algebra

w

ektoró

w

•

do

da

w

anie

i

o

dejmo

w

anie

w

ektoró

w



trywialne

•

mno»enie

w

ektoró

w

przez

li zb



(sk

alar)



trywialne

•

mno»enie

w

ektoró

w



ilo

zyn

sk

alarn

y



ilo

zyn

w

ektoro

wy

andrzej

kar

w

o

wski

polite hnika

±l¡ska

pola

i

f

ale

elektr

oma

gnety zne

REPETYTORIUM

MA

TEMA

TYCZNE

Ilo

zyn

sk

alarn

y

A · B

= AB cos θ

AB

θ

AB

→

k

¡t

midzy

A

i

B

Z

deni ji

ilo

zyn

u

sk

alarnego

wynik

a,

»e

A · A

= A

2

alb

o

A =

+

√

A · A

Ilo

zyn

sk

alarn

y

sp

eªnia

pra

w

a:

przemienno± i

A · B

= B · A

rozdzielno± i

A ·

(B + C) = A · B + A · C

Zero

w

anie

si

ilo

zyn

u

sk

alarnego

jest

w

arunkiem

prostopadªo± i

dw

ó

h

niezero

wy

h

w

ektoró

w

andrzej

kar

w

o

wski

polite hnika

±l¡ska

pola

i

f

ale

elektr

oma

gnety zne

WSPӊRZ†DNE

PR

OSTOKTNE

(x, y, z)

Ilo

zyn

sk

alarn

y

Ilo

zyn

sk

alarn

y

w

ektoró

w

A

i

B

mo»na

wyrazi¢

przez

i

h

wsp

óªrzdne;

w

ukªadzie

k

artezja«skim

mam

y

A · B

= (1

x

A

x

+ 1

y

A

y

+ 1

z

A

z

) · (1

x

B

x

+ 1

y

B

y

+ 1

z

B

z

)

K

orzysta

j¡

z

pra

w

a

rozdzielno± i

mno»enia

sk

alarnego

wzgldem

do

da

w

ania

i

bior¡

p

o

d

u

w

ag,

»e

1

x

⊥1

y

⊥1

z

oraz

1

c

·

1

c

= 1

dla

c = x, y, z

otrzym

ujem

y

A · B

= A

x

B

x

+ A

y

B

y

+ A

z

B

z

andrzej

kar

w

o

wski

polite hnika

±l¡ska

pola

i

f

ale

elektr

oma

gnety zne

WSPӊRZ†DNE

PR

OSTOKTNE

(x, y, z)

Dªugo±¢

w

ektora,

k

¡t

midzy

w

ektorami

Kªad¡

w

ilo

zynie

sk

alarn

ym

B

= A

otrzym

ujem

y

A · A

= A

2

= A

x

A

x

+ A

y

A

y

+ A

z

A

z

= A

2

x

+ A

2

y

+ A

2

z

zyli

A =

√

A · A

=

q

A

2

x

+ A

2

y

+ A

2

z

Zna

j¡

skªado

w

e

sk

alarne

dw

ó

h

w

ektoró

w

mo»na

ªat

w

o

obli zy¢

k

¡t,

jaki

t

w

orz¡

te

w

ektory

cos θ

AB

=

A · B

AB

=

A

x

B

x

+ A

y

B

y

+ A

z

B

z

q

A

2

x

+ A

2

y

+ A

2

z

q

B

2

x

+ B

2

y

+ B

2

z

andrzej

kar

w

o

wski

polite hnika

±l¡ska

pola

i

f

ale

elektr

oma

gnety zne

REPETYTORIUM

MA

TEMA

TYCZNE

Ilo

zyn

w

ektoro

wy

A × B

= 1

n

|AB sin θ

AB

|

gdzie

1

n

ozna za

w

ektor

jednostk

o

wy

prostopadªy

do

pªasz zyzn

y

wyzna zonej

przez

w

ektory

A

i

B

,

zorien

to

w

an

y

tak,

b

y

A

,

B

i

1

n

t

w

orzyªy

ukªad

pra

w

oskrtn

y

.

Ilo

zyn

w

ektoro

wy

nie

sp

eªnia

pra

w

a

przemienno± i;

± i±lej

A × B

= −A × B

andrzej

kar

w

o

wski

polite hnika

±l¡ska

pola

i

f

ale

elektr

oma

gnety zne

REPETYTORIUM

MA

TEMA

TYCZNE

Ilo

zyn

w

ektoro

wy

Ilo

zyn

w

ektoro

wy

sp

eªnia

pra

w

o

rozdzielno± i,

tzn.

A ×

(B + C) = A × B + A × C

ale,

o

zywi± ie,

nie

sp

eªnia

pra

w

a

ª¡ zno± i,

tj.

A ×

(B × C) 6= (A × B) × C

Zero

w

anie

si

ilo

zyn

u

w

ektoro

w

ego

jest

w

arunkiem

ró

wnolegªo± i

dw

ó

h

w

ektoró

w

andrzej

kar

w

o

wski

polite hnika

±l¡ska

pola

i

f

ale

elektr

oma

gnety zne

WSPӊRZ†DNE

PR

OSTOKTNE

(x, y, z)

Ilo

zyn

w

ektoro

wy

Ilo

zyn

w

ektoro

wy

A

i

B

mo»na

wyrazi¢

przez

i

h

wsp

óªrzdne;

w

ukªadzie

k

artezja«skim

mam

y

A × B

=










1

x

1

y

1

z

A

x

A

y

A

z

B

x

B

y

B

z










Rozwija

j¡

wyzna znik

otrzym

ujem

y

A × B

= 1

x

(A

y

B

z

−A

z

B

y

)+1

y

(A

z

B

x

−A

x

B

z

)+1

z

(A

x

B

y

−A

y

B

x

)

andrzej

kar

w

o

wski

polite hnika

±l¡ska

pola

i

f

ale

elektr

oma

gnety zne

REPETYTORIUM

MA

TEMA

TYCZNE

Ilo

zyn

trze

h

w

ektoró

w

Ilo

zyn

mieszan

y

A ·

(B × C) = B · (C × A) = C · (A × B)

P

o

dw

ó

jn

y

ilo

zyn

w

ektoro

wy

A ×

(B × C) = B(A · C) − C(A · B)

andrzej

kar

w

o

wski

polite hnika

±l¡ska

pola

i

f

ale

elektr

oma

gnety zne

POLA

WEKTOR

O

WE

Przykªady

A

= 3 1

x

+ 3 1

y

+ 2 1

z

0

4

8

x

0

4

8

y

0

4

8

z

0

4

8

x

0

4

8

y

0

4

8

x

0

4

8

y

0

4

8

z

0

8

andrzej

kar

w

o

wski

polite hnika

±l¡ska

pola

i

f

ale

elektr

oma

gnety zne

POLA

WEKTOR

O

WE

Przykªady

A

= x 1

x

+ y 1

y

+ z 1

z

0

4

8

x

0

4

8

y

0

4

8

z

0

4

8

x

0

4

8

y

0

4

8

x

0

4

8

y

0

4

8

z

0

andrzej

kar

w

o

wski

polite hnika

±l¡ska

pola

i

f

ale

elektr

oma

gnety zne

POLA

WEKTOR

O

WE

Przykªady

A

= grad |r − r

0

| ; r = x 1

x

+ y 1

y

+ z 1

z

; r

0

= 4 1

x

+ 4 1

y

+ 4 1

z

0

4

8

x

0

4

8

y

0

4

8

z

0

4

8

x

0

4

8

y

0

4

8

x

0

4

8

y

0

4

8

z

andrzej

kar

w

o

wski

polite hnika

±l¡ska

pola

i

f

ale

elektr

oma

gnety zne

POLA

WEKTOR

O

WE

Przykªady

A

=

y
z

1

x

−

x

z

1

y

-

1

0

1

x

-

1

0

1

y

1

2

3

z

-

1

0

1

x

-

1

0

1

y

-

1

0

1

x

-

1

0

1

y

1

2

3

z

-

1

1

andrzej

kar

w

o

wski

polite hnika

±l¡ska

pola

i

f

ale

elektr

oma

gnety zne

CAŠKI

W

POLU

WEKTOR

O

WYM

Caªk

a

krzyw

olinio

w

a

(linio

w

a

sk

alarna)

A

A

L

1

l

dl

B

Z

L

(AB)

A ·

dl =

Z

L

(AB)

A · 1

l

dl

Cyrkula ja

( aªk

a

okr»na)

A

L

1

l

dl

I

L

A ·

dl =

I

L

A · 1

l

dl

andrzej

kar

w

o

wski

polite hnika

±l¡ska

pola

i

f

ale

elektr

oma

gnety zne

CAŠKI

W

POLU

WEKTOR

O

WYM

Strumie«

Caªk

a

p

o

wierz

hnio

w

a

(strumie«

sk

alarn

y

p

ola

w

ektoro

w

ego)

Z

S

A ·

ds =

Z

S

A · 1

s

ds

Strumie«

przez

zamknit¡

p

o

wierz

hni

I

S

A ·

ds =

I

S

A · 1

s

ds

andrzej

kar

w

o

wski

polite hnika

±l¡ska

pola

i

f

ale

elektr

oma

gnety zne

POLE

WEKTOR

O

WE

Pªat

p

o

wierz

hni

zan

urzon

y

w

p

olu

0

4

8

x

0

4

8

y

0

4

8

z

0

4

4

8

x

4

8

y

4

8

z

4

andrzej

kar

w

o

wski

polite hnika

±l¡ska

pola

i

f

ale

elektr

oma

gnety zne

POLE

WEKTOR

O

WE

Zamknita

p

o

wierz

hnia

zan

urzona

w

p

olu

0

4

8

x

0

4

8

y

0

4

8

z

0

4

x

0

4

y

0

4

8

x

0

4

8

y

0

4

8

z

0

4

andrzej

kar

w

o

wski

polite hnika

±l¡ska

pola

i

f

ale

elektr

oma

gnety zne

POCHODNE

PRZESTRZENNE

POLA

Gradien

t,

dyw

ergen ja,

rota ja

Gradien

t

p

ola

sk

alarnego

U

⇒

gradU

Dyw

ergen ja

p

ola

w

ektoro

w

ego

A

⇒

divA

Rota ja

p

ola

w

ektoro

w

ego

A

⇒

rotA

andrzej

kar

w

o

wski

polite hnika

±l¡ska

pola

i

f

ale

elektr

oma

gnety zne

POCHODNE

PRZESTRZENNE

POLA

Gradien

t

p

ola

sk

alarnego

Gradien

tem

p

ola

sk

alarnego

U

nazyw

am

y

w

ektor

wsk

azuj¡ y

kierunek

na

jszybszego

lok

alnie

wzrostu

p

ola.

W

ukªadzie

wsp

óªrzdn

y

h

k

artezja«ski

h

gradU = 1

x

∂U

∂x

+ 1

y

∂U

∂y

+ 1

z

∂U

∂z

Gradien

t

mo»na

elegan

k

o

zapisa¢

wpro

w

adza

j¡

w

ektoro

wy

op

erator

ró»ni zk

o

wy

nabla

(del;

op

erator

Hamiltona)

∇ = 1

x

∂

∂x

+ 1

y

∂

∂y

+ 1

z

∂

∂z

Mam

y

gradU = ∇U

andrzej

kar

w

o

wski

polite hnika

±l¡ska

pola

i

f

ale

elektr

oma

gnety zne

POCHODNE

PRZESTRZENNE

POLA

Dyw

ergen ja

p

ola

w

ektoro

w

ego

Dyw

ergen j¡

p

ola

w

ektoro

w

ego

A

w

dan

ym

punk

ie

nazyw

am

y

sk

alar

stano

wi¡ y

p

o

ho

dn¡

przestrzenn¡

sk

alarn¡

p

ola

w

t

ym

punk

ie,

tj.

divA = lim

∆V→0

H

S

(V)

A ·

ds

∆V

W

ukªadzie

wsp

óªrzdn

y

h

k

artezja«ski

h

deni ja

ta

pro

w

adzi

do

wyra»enia

divA = ∇ · A =

∂A

x

∂x

+

∂A

y

∂y

+

∂A

z

∂z

andrzej

kar

w

o

wski

polite hnika

±l¡ska

pola

i

f

ale

elektr

oma

gnety zne

POCHODNE

PRZESTRZENNE

POLA

Rota ja

p

ola

w

ektoro

w

ego

Rota j¡

p

ola

w

ektoro

w

ego

A

w

dan

ym

punk

ie

nazyw

am

y

w

ektor

stano

wi¡ y

p

o

ho

dn¡

przestrzenn¡

sk

alarn¡

p

ola

w

t

ym

punk

ie

(rotA)

n

= lim

∆S→0

H

L

(S)

A ·

dl

∆S

Indeks

n

sygnalizuje

skªado

w

¡

rota ji

prostopadª¡

(normaln¡)

do

p

o

wierz

hni

pªaskiego

elemen

tarnego

pªata

prze

ho

dz¡ ego

przez

dan

y

punkt.

andrzej

kar

w

o

wski

polite hnika

±l¡ska

pola

i

f

ale

elektr

oma

gnety zne

POCHODNE

PRZESTRZENNE

POLA

Rota ja

p

ola

w

ektoro

w

ego

W

ukªadzie

wsp

óªrzdn

y

h

k

artezja«ski

h

deni ja

ta

pro

w

adzi

do

wyra»enia

rotA = ∇ × A =










1

x

1

y

1

z

∂

∂x

∂

∂y

∂

∂z

A

x

A

y

A

z










=

1

x

 ∂A

z

∂y

−

∂A

y

∂z



+ 1

y

 ∂A

x

∂z

−

∂A

z

∂x



+ 1

z

 ∂A

y

∂x

−

∂A

x

∂y



andrzej

kar

w

o

wski

polite hnika

±l¡ska

pola

i

f

ale

elektr

oma

gnety zne

POCHODNE

PRZESTRZENNE

POLA

P

o

dsumo

w

anie

Gradien

t

p

ola

sk

alarnego

U

⇒

gradU = ∇U

Dyw

ergen ja

p

ola

w

ektoro

w

ego

A

⇒

divA = ∇ · A

Rota ja

p

ola

w

ektoro

w

ego

A

⇒

rotA = ∇ × A

gdzie

V ≡ V (x, y, z)

A

≡ 1

x

A

x

(x, y, z) + 1

y

A

y

(x, y, z) + 1

z

A

z

(x, y, z)

a

∇

ozna za

w

ektoro

wy

ró»ni zk

o

wy

op

erator

nabla

(del)

∇ = 1

x

∂

∂x

+ 1

y

∂

∂y

+ 1

z

∂

∂z

andrzej

kar

w

o

wski

polite hnika

±l¡ska

pola

i

f

ale

elektr

oma

gnety zne

TWIERDZENIA

CAŠKO

WE

T

wierdzenie

Gaussa-Ostrogradskiego

I

S

A ·

ds =

Z

V

(S)

divA dV =

Z

V

(S)

∇ · A dV

T

wierdzenie

Stok

esa

I

L

A ·

dl =

Z

S

(L)

(rotA) · ds =

Z

S

(L)

(∇ × A) · ds

andrzej

kar

w

o

wski

polite hnika

±l¡ska

pola

i

f

ale

elektr

oma

gnety zne

POLE

ELEKTR

OST

A

TYCZNE

Pra

w

o

Coulom

ba

Dw

a

punkto

w

e

ªadunki

elektry zne

umiesz zone

w

pró»ni

o

ddziaªuj¡

na

siebie

z

siª¡

okre±lon¡

wzorem

F

12

=

1

4πǫ

0

Q

1

Q

2

R

2

12

1

R

12

=

1

4πǫ

0

Q

1

Q

2

R

3

12

R

12

w

którym

R

12

= r

1

− r

2

,

natomiast

ǫ

0

≈ 8.854 × 10

−

12

≈

1

36π

× 10

−

9

(F/m)

ozna za

przenik

alno±¢

elektry zn¡

pró»ni.

andrzej

kar

w

o

wski

polite hnika

±l¡ska

pola

i

f

ale

elektr

oma

gnety zne

POLE

ELEKTR

OST

A

TYCZNE

Pra

w

o

Coulom

ba

W

zór

wyra»a

j¡ y

pra

w

o

Coulom

ba

mo»na

przepisa¢

w

p

osta i

F

=

1

4πǫ

0

Qq

R

3

R

uªat

wia

j¡ ej

wpro

w

adzenie

k

on ep

ji

p

ola

elektry znego

i

jego

nat»enia,

to

zna zy

F

= qE

andrzej

kar

w

o

wski

polite hnika

±l¡ska

pola

i

f

ale

elektr

oma

gnety zne

POLE

ELEKTR

OST

A

TYCZNE

Nat»enie

p

ola

Nat»enie

p

ola

elektry znego

o

d

ªadunku

punkto

w

ego

umiejs o

wionego

w

p

o

z¡tku

ukªadu

wsp

óªrzdn

y

h

E

=

1

4πǫ

0

Q

r

3

r

=

1

4πǫ

0

Q

r

2

1

r

(V/m)

|E| = E =

const

r

2

(V/m)

gdzie

r

= 1

x

x + 1

y

y + 1

z

z

ozna za

w

ektor

w

o

dz¡ y

(w

ektor

miejs a).

andrzej

kar

w

o

wski

polite hnika

±l¡ska

pola

i

f

ale

elektr

oma

gnety zne

POLE

ELEKTR

OST

A

TYCZNE

Nat»enie

p

ola

Je±li

ªadunek

nie

le»y

w

p

o

z¡tku

ukªadu

wsp

óªrzdn

y

h,

le z

w

punk

ie

okre±lon

ym

przez

w

ektor

r

′

,

to

E

=

1

4πǫ

0

Q

|r − r

′

|

3

(r − r

′

)

(V/m)

P

ole

o

d

ukªadu

N

ªadunk

ó

w

punkto

wy

h

E

=

1

4πǫ

0

N

X

i

=1

Q

i

|r − r

′

i

|

3

(r − r

′
i

)

(V/m)

andrzej

kar

w

o

wski

polite hnika

±l¡ska

pola

i

f

ale

elektr

oma

gnety zne

POLE

ELEKTR

OST

A

TYCZNE

Nat»enie

p

ola

P

ole

o

d

ªadunku

rozªo»onego

linio

w

o

z

gsto± i¡

q

l

(C/m)

wzdªu»

krzyw

ej

L

E

=

1

4πǫ

0

Z

L

q

l

(r

′

)

|r − r

′

|

3

(r − r

′

) dl

′

(V/m)

P

ole

o

d

ªadunku

rozªo»onego

na

p

o

wierz

hni

S

z

gsto± i¡

q

s

(C/m

2

)

E

=

1

4πǫ

0

Z

S

q

s

(r

′

)

|r − r

′

|

3

(r − r

′

) ds

′

(V/m)

andrzej

kar

w

o

wski

polite hnika

±l¡ska

pola

i

f

ale

elektr

oma

gnety zne

POLE

ELEKTR

OST

A

TYCZNE

Nat»enie

p

ola

P

ole

o

d

ªadunku

rozªo»onego

przestrzennie

w

obszarze

V

z

gsto± i¡

q

v

(C/m

3

)

E

=

1

4πǫ

0

Z

V

q

v

(r

′

)

|r − r

′

|

3

(r − r

′

) dv

′

(V/m)

andrzej

kar

w

o

wski

polite hnika

±l¡ska

pola

i

f

ale

elektr

oma

gnety zne

POLE

ELEKTR

OST

A

TYCZNE

P

oten jaª

P

ole

elektrostat

y zne

jest

b

ezwiro

w

e

(za

ho

w

a

w

ze).

Ozna za

to,

»e

do

jego

opisu

mo»na

wpro

w

adzi¢

funk

j

sk

alarn¡



p

oten jaª

V

tak

¡,

»e

E

= −∇V

P

oten jaª

p

ola

elektry znego

o

d

ªadunku

punkto

w

ego

umiejs o

wionego

w

punk

ie

wyzna zon

ym

przez

w

ektor

w

o

dz¡ y

r

′

V =

q

4πǫ

0

|r − r

′

|

(V)

andrzej

kar

w

o

wski

polite hnika

±l¡ska

pola

i

f

ale

elektr

oma

gnety zne

POLE

ELEKTR

OST

A

TYCZNE

P

oten jaª

P

oten jaª

p

ola

ukªadu

n

ªadunk

ó

w

punkto

wy

h

q

1

, q

2

, . . . , q

n

umiejs o

wion

y

h

w

punkta

h

r

′
1

, r

′
2

, . . . , r

′
n

jest

sum¡

p

oten jaªó

w

p

o

ho

dz¡ y

h

o

d

indywidualn

y

h

ªadunk

ó

w

V =

1

4πǫ

0

n

X

k

=1

q

k

|r − r

′
k

|

(V)

P

oten jaª

p

ola

p

o

ho

dz¡ ego

o

d

ªadunku

rozªo»onego

z

gsto± i¡

q

l

wzdªu»

krzyw

ej

L

V =

1

4πǫ

0

Z

L

q

l

|r − r

′

|

dl

(V)

andrzej

kar

w

o

wski

polite hnika

±l¡ska

pola

i

f

ale

elektr

oma

gnety zne

POLE

ELEKTR

OST

A

TYCZNE

P

oten jaª

Je±li

ªadunek

jest

rozªo»on

y

z

gsto± i¡

q

s

na

p

o

wierz

hni

S

,

to

V =

1

4πǫ

0

Z

S

q

s

|r − r

′

|

ds

(V)

a

dla

ªadunku

o

gsto± i

przestrzennej

q

v

w

obszarze

V

V =

1

4πǫ

0

Z

V

q

v

|r − r

′

|

dv

(V)

andrzej

kar

w

o

wski

polite hnika

±l¡ska

pola

i

f

ale

elektr

oma

gnety zne

POLE

ELEKTR

OST

A

TYCZNE

Napi ie

Napi ie

midzy

dw

oma

punktami,

zyli

aªk

a

linio

w

a

sk

alarna

w

ektora

nat»enia

p

ola

elektry znego

wzdªu»

krzyw

ej

ª¡ z¡ ej

te

punkt

y

,

nie

zale»y

w

p

olu

elektrostat

y zn

ym

o

d

drogi

aªk

o

w

ania

i

jest

ró

wne

ró»ni y

p

oten jaªó

w

t

y

h

punktó

w

1

E

L

1

l

dl

2

U

12

=

Z

L

(12)

E ·

dl =

Z

L

(12)

E · 1

l

dl = V

1

− V

2

andrzej

kar

w

o

wski

polite hnika

±l¡ska

pola

i

f

ale

elektr

oma

gnety zne

POLE

ELEKTR

OST

A

TYCZNE

Dip

ol

elektry zn

y

(1)

Dip

ol

elektry zn

y



para

jednak

o

wy

h

ªadunk

ó

w

prze iwnego

znaku,

umiesz zon

y

h

w

maªej

o

dlegªo± i

d

.

P

oten jaª

p

ola

wyt

w

orzonego

przez

dip

ol

mo»na

ªat

w

o

obli zy¢

jak

o

sum

p

oten jaªó

w

p

o

ho

dz¡ y

h

o

d

obu

ªadunk

ó

w.

W

rezulta ie

otrzym

ujem

y

V =

p · 1

r

4πǫ

0

r

2

(V)

gdzie

p

= qd

ozna za

momen

t

dip

ola

.

andrzej

kar

w

o

wski

polite hnika

±l¡ska

pola

i

f

ale

elektr

oma

gnety zne

POLE

ELEKTR

OST

A

TYCZNE

Dip

ol

elektry zn

y

Nat»enie

p

ola

E

wyt

w

orzonego

przez

dip

ol

obli zam

y

jak

o

gradien

t

p

oten jaªu.

W

e

wsp

óªrzdn

y

h

sfery zn

y

h

otrzym

ujem

y

E

= −∇V = −1

r

∂V

∂r

− 1

θ

∂V

r∂θ

=

p

4πǫ

0

r

3

(1

r

2 cos θ + 1

θ

sin θ)

(V/m)

andrzej

kar

w

o

wski

polite hnika

±l¡ska

pola

i

f

ale

elektr

oma

gnety zne

POLE

ELEKTR

OST

A

TYCZNE

Przew

o

dniki

w

p

olu

elektrostat

y zn

ym

Z

punktu

widzenia

wªa± iw

o± i

elektry zn

y

h

dostpne

materiaªy

klasykujem

y

z

grubsza

na

przew

o

dniki,

dielektryki

(izolatory)

i

p

óªprzew

o

dniki

.

Ce

h¡

harakteryst

y zn¡

przew

o

dnik

ó

w

jest

ob

e no±¢

w

ni

h

ªadunk

ó

w

elektry zn

y

h

sªab

o

zwi¡zan

y

h

z

sie i¡

krystali zn¡

materiaªu,

tzn.

mog¡ y

h

przemiesz za¢

si

na

makrosk

op

o

w

o

istotne

o

dlegªo± i.

Ob

e no±¢

zewntrznego

p

ola

elektry znego

wy i¡

ga

te

ªadunki

na

p

o

wierz

hni,

gdzie

rozkªada

j¡

si

one

w

taki

sp

osób,

b

y

wyt

w

orzone

przez

nie

p

ole

wtórne

aªk

o

wi ie

sk

omp

enso

w

aªo

p

ole

pierw

otne

w

e

wntrzu

przew

o

dnik

a.

andrzej

kar

w

o

wski

polite hnika

±l¡ska

pola

i

f

ale

elektr

oma

gnety zne

POLE

ELEKTR

OST

A

TYCZNE

Przew

o

dniki

w

p

olu

elektrostat

y zn

ym

W

stanie

ró

wno

w

agi

elektrostat

y znej

w

e

wntrzu

przew

o

dnik

a

m

usi

b

y¢

q

v

= 0

E

= 0

andrzej

kar

w

o

wski

polite hnika

±l¡ska

pola

i

f

ale

elektr

oma

gnety zne

POLE

ELEKTR

OST

A

TYCZNE

Dielektryki

w

p

olu

elektrostat

y zn

ym

Idealne

dielektryki

nie

za

wiera

j¡

ªadunk

ó

w

sw

ob

o

dn

y

h,

ale

za

wiera

j¡

ªadunki

zwi¡zane.

Molekuªy

dielektryku

s¡

elektry znie

ob

o

jtne,

ale

p

o

d

wpªyw

em

zewntrznego

p

ola

elektry znego

nastpuje

w

ni

h

przesuni ie

±ro

dk

ó

w

i»k

o± i

ªadunk

ó

w

do

datni

h

i

ujemn

y

h,

o

p

o

w

o

duje

p

olaryza j

dielektryku,

tzn.

p

o

ja

wienie

si

w

nim

dip

oli

elektry zn

y

h.

Efekt

ten

harakteryzuje

w

ektor

p

olaryza ji

P

P

= lim

∆v→0

n

P

k

=1

∆v

p

k

∆v

(C/m

2

)

andrzej

kar

w

o

wski

polite hnika

±l¡ska

pola

i

f

ale

elektr

oma

gnety zne

POLE

ELEKTR

OST

A

TYCZNE

Dielektryki

w

p

olu

elektrostat

y zn

ym

Do

opisu

p

ola

w

dielektryk

a

h

wpro

w

adza

si

w

ektor

induk

ji

elektry znej

D

zdenio

w

an

y

jak

o

D

= ǫ

0

E

+ P

(C/m

2

)

Zwykle

przyjm

uje

si,

»e

P

= ǫ

0

χ

e

E

skutkiem

zego

D

= ǫ

0

E

+ ǫ

0

χ

e

E

= ǫ

0

(1 + χ

e

)E = ǫ

0

ǫ

r

E

andrzej

kar

w

o

wski

polite hnika

±l¡ska

pola

i

f

ale

elektr

oma

gnety zne

POLE

ELEKTR

OST

A

TYCZNE

Dielektryki

w

p

olu

elektrostat

y zn

ym

Ina zej

D

= ǫE

przy

zym

ǫ = ǫ

0

ǫ

r

gdzie

ǫ

r

= 1 + χ

e

jest

wzgldn¡

(relat

ywn¡)

przenik

alno± i¡

elektry zn¡

materiaªu

.

andrzej

kar

w

o

wski

polite hnika

±l¡ska

pola

i

f

ale

elektr

oma

gnety zne

POLE

ELEKTR

OST

A

TYCZNE

Energia

p

ola

W

p

olu

elektrostat

y zn

ym

energia

jest

rozªo»ona

z

gsto± i¡

przestrzenn¡

w

e

=

1
2

D · E

(J/m

3

)

Sumary zna

energia

zgromadzona

w

obszarze

V

W

e

=

Z

V

w

e

dv =

Z

V

D · E

2

dv

(J)

andrzej

kar

w

o

wski

polite hnika

±l¡ska

pola

i

f

ale

elektr

oma

gnety zne

POLE

ELEKTR

OST

A

TYCZNE

P

o

jemno±¢

elektry zna

P

o

jemno±¢

ukªadu

dw

ó

h

bryª

przew

o

dz¡ y

h

zan

urzon

y

h

w

dielektryku

C =

Q
U

=

H

S

D ·

ds

R

L

E ·

dl

=

H

S

ǫE · ds

R

L

E ·

dl

(C)

gdzie

aªk

o

w

anie

w

ektora

induk

ji

elektry znej

D

przebiega

p

o

p

o

wierz

hni

bryªy

naªado

w

anej

do

datnio,

a

aªk

o

w

anie

w

ektora

E



p

o

do

w

olnej

dro

dze

o

d

bryªy

naªado

w

anej

do

datnio

do

naªado

w

anej

ujemnie.

andrzej

kar

w

o

wski

polite hnika

±l¡ska

pola

i

f

ale

elektr

oma

gnety zne

POLE

ELEKTR

OST

A

TYCZNE



PODSUMO

W

ANIE

POSTULA

TY

ELEKTR

OST

A

TYKI

∇ × E = 0

⇒

I

L

E ·

dl = 0

∇ · D = q

v

⇒

I

S

D ·

ds = Q

V

(S)

Z

t

y

h

p

ostulató

w

b

ezp

o±rednio

wynik

a

j¡

w

arunki

brzego

w

e

dla

stat

y znego

p

ola

elektry znego,

opisuj¡ e

za

ho

w

anie

si

w

ektoró

w

p

ola

na

grani y

o±ro

dk

ó

w

o

ró»n

y

h

wªa± iw

o± ia

h

elektry zn

y

h

E

1t

= E

2t

D

2n

−D

1n

= q

s

andrzej

kar

w

o

wski

polite hnika

±l¡ska

pola

i

f

ale

elektr

oma

gnety zne

PRD

ELEKTR

YCZNY

Gsto±¢

pr¡du,

pra

w

o

Ohma

W

linio

wym,

izotrop

o

wym

o±ro

dku

przew

o

dz¡ ym,

p

o

ddan

ym

dziaªaniu

stat

y znego

p

ola

elektry znego

pªynie

pr¡d

o

gsto± i

J

= σE

(A/m

2

)

gdzie

σ

(S/m)

jest

k

ondukt

ywno± i¡

o±ro

dk

a.

Zale»no±¢

ta

jest

dobrze

znan

ym

pra

w

em

Ohma

(w

p

osta i

lok

alnej!)

Strumie«

w

ektora

gsto± i

pr¡du

przez

p

o

wierz

hni

S

deniuje

si

jak

o

nat»enie

pr¡du

I =

Z

S

J ·

ds

(A)

andrzej

kar

w

o

wski

polite hnika

±l¡ska

pola

i

f

ale

elektr

oma

gnety zne

PRD

ELEKTR

YCZNY

Ró

wnanie

i¡

gªo± i

pr¡du

Z

fundamen

talnego

p

ostulatu

elektro

dynamiki

klasy znej,

jakim

jest

zasada

za

ho

w

ania

ªadunku

elektry znego

,

wynik

a,

»e

I =

I

S

J ·

ds = −

dQ

V

(S)

dt

= −

d

dt

Z

V

(S)

q

v

dv

Na

p

o

dsta

wie

pra

w

a

Gaussa

mam

y

I =

Z

V

(S)

∇ · Jdv = −

Z

V

(S)

∂q

v

∂t

dv

sk

¡d

otrzym

ujem

y

ró

wnanie

i¡

gªo± i

pr¡du

∇ · J = −

∂q

v

∂t

andrzej

kar

w

o

wski

polite hnika

±l¡ska

pola

i

f

ale

elektr

oma

gnety zne

PRD

ELEKTR

YCZNY

Ró

wnanie

i¡

gªo± i

pr¡du

Dla

pr¡du

staªego

∇ · J = 0

zyli

I =

I

S

J ·

ds = 0

andrzej

kar

w

o

wski

polite hnika

±l¡ska

pola

i

f

ale

elektr

oma

gnety zne

PRD

ELEKTR

YCZNY

Strat

y

mo

y

i

pra

w

o

Joule'a

Gsto±¢

mo

y

tra onej

lok

alnie

w

obszarze,

przez

który

przepªyw

a

pr¡d

staªy

p = E · J

(W/m

3

)

Sumary zna

mo

tra ona

na

iepªo

w

obszarze

V

P =

Z

V

p dv =

Z

V

E · J

dv

(W)

andrzej

kar

w

o

wski

polite hnika

±l¡ska

pola

i

f

ale

elektr

oma

gnety zne

PRD

ELEKTR

YCZNY

Rezystan ja

Rezystan ja

ukªadu

dw

ó

h

bryª

przew

o

dz¡ y

h

zan

urzon

y

h

w

stratn

ym

(σ 6= 0)

dielektryku

R =

U

I

=

R

L

E ·

dl

H

S

J ·

ds

=

R

L

E ·

dl

H

S

σE · ds

(Ω)

gdzie

aªk

o

w

anie

przebiega

analogi znie

jak

przy

obli zaniu

p

o

jemno± i.

P

o

jemno±¢

i

rezystan j¡

tego

samego

ukªadu

s¡

p

o

wi¡zane

in

teresuj¡ ¡

zale»no± i¡

RC =

C
G

=

ǫ

σ

andrzej

kar

w

o

wski

polite hnika

±l¡ska

pola

i

f

ale

elektr

oma

gnety zne

POLE

PRZEPŠ

YW

O

WE

PRDU

ST

AŠEGO

PODSUMO

W

ANIE



POSTULA

TY

∇ · J = 0

⇒

I

S

J ·

ds = 0

∇ ×

 J

σ



= 0

⇒

I

L

1

σ

J ·

dl = 0

Z

t

y

h

p

ostulató

w

b

ezp

o±rednio

wynik

a

j¡

w

arunki

brzego

w

e

dla

p

ola

przepªyw

o

w

ego

pr¡du

staªego,

opisuj¡ e

za

ho

w

anie

si

w

ektoró

w

p

ola

na

grani y

o±ro

dk

ó

w

o

ró»n

y

h

k

ondukt

ywno± ia

h

J

2n

= J

1n

J

2t

J

1t

=

σ

2

σ

1

andrzej

kar

w

o

wski

polite hnika

±l¡ska

pola

i

f

ale

elektr

oma

gnety zne

POLE

MA

GNETYCZNE

PRDU

ST

AŠEGO

Siªa

Loren

tza

Na

ªadunek

q

umiesz zon

y

w

p

olu

elektry zn

ym

dziaªa

siªa

F

= F

e

= qE

(N)

Na

p

orusza

j¡ y

si

ªadunek

q

umiesz zon

y

w

p

olu

magnet

y zn

ym

dziaªa

siªa

okre±lona

wzorem

F

m

= qv × B

(N)

w

którym

v

ozna za

w

ektor

prdk

o± i

ªadunku,

a

B

jest

w

ektorem

induk

ji

magnet

y znej

(alb

o

gsto± i¡

strumienia

magnet

y znego).

Jednostk

¡

induk

ji

jest

T

esla

(T)

alb

o

W

eb

er

(V

s)

na

metr

kw

adrato

wy

(Wb/m

2

).

andrzej

kar

w

o

wski

polite hnika

±l¡ska

pola

i

f

ale

elektr

oma

gnety zne

POLE

MA

GNETYCZNE

PRDU

ST

AŠEGO

Siªa

Loren

tza

Sumary zn¡

(wypadk

o

w

¡)

siª

dziaªa

j¡ ¡

na

ªadunek

w

p

olu

elektromagnetostat

y zn

ym

nazyw

am

y

siª¡

Loren

tza

F

= F

e

+ F

m

= q(E + v × B)

(N)

Iloraz

F

m

/q = v × B

mo»na

przyj¡¢

jak

o

deni j

w

ektora

induk

ji

magnet

y znej.

andrzej

kar

w

o

wski

polite hnika

±l¡ska

pola

i

f

ale

elektr

oma

gnety zne

POLE

MA

GNETOST

A

TYCZNE

W

PR

ӛNI

FUND

AMENT

ALNE

POSTULA

TY

∇ · B = 0

⇒

I

S

B ·

ds = 0

∇ × B = µ

0

J

⇒

I

L

B ·

dl = µ

0

I

gdzie

µ

0

= 4π × 10

−

7

(H/m)

ozna za

przenik

alno±¢

magnet

y zn¡

pró»ni

,

a

J

jest

gsto± i¡

pr¡du.

P

oniew

a»

dyw

ergen ja

p

ola

rota ji

jest

to»samo± io

w

o

ró

wna

zeru,

wi

∇ · J = 0

o

jest

sp

ó

jne

z

ró

wnaniem

i¡

gªo± i

pr¡du

staªego.

andrzej

kar

w

o

wski

polite hnika

±l¡ska

pola

i

f

ale

elektr

oma

gnety zne

POLE

MA

GNETOST

A

TYCZNE

W

PR

ӛNI

Pra

w

o

Amp

ere'a

Drugi

z

p

o

dan

y

h

wy»ej

p

ostulató

w

to

pra

w

o

Amp

ere'a

I

L

B ·

dl = µ

0

I

orzek

a

j¡ e,

»e

yrkula ja

w

ektora

induk

ji

magnet

y znej

w

pró»ni

wzdªu»

do

w

olnego

k

on

turu

L

jest

ró

wna

ilo

zyno

wi

µ

0

i

nat»enia

pr¡du

przepªyw

a

j¡ ego

przez

do

w

oln¡

p

o

wierz

hni,

której

brzegiem

jest

ten

k

on

tur.

andrzej

kar

w

o

wski

polite hnika

±l¡ska

pola

i

f

ale

elektr

oma

gnety zne

POLE

MA

GNETOST

A

TYCZNE

W

PR

ӛNI

Pra

w

o

Biota-Sa

v

arta

Induk

j

magnet

y zn¡

dB

o

d

elemen

tu

dl

zamknitego

k

on

turu

(ob

w

o

du)

z

pr¡dem

I

okre±la

wzór

dB =

µ

0

I

4π

 dl × 1

R

R

2



=

µ

0

I

4π

 dl × R

R

3



(T)

w

którym

R

= r − r

′

Induk

ja

magnet

y zna

o

d

aªego

k

on

turu

B

=

I

L

dB =

µ

0

I

4π

I

L

dl × 1

R

R

2

=

µ

0

I

4π

I

L

dl × R

R

3

(T)

Ostatni

wzór

to

pra

w

o

Biota-Sa

v

arta

.

andrzej

kar

w

o

wski

polite hnika

±l¡ska

pola

i

f

ale

elektr

oma

gnety zne

POLE

MA

GNETOST

A

TYCZNE

W

PR

ӛNI

Magnet

y zn

y

p

oten jaª

w

ektoro

wy

P

oniew

a»

k

a»de

p

ole

rota ji

jest

b

ez¹ró

dªo

w

e,

wi

w

ob

e

∇ · B = 0

mo»na

przyj¡¢

B

= rot A = ∇ × A

Zdenio

w

ane

w

ten

sp

osób

p

ole

w

ektoro

w

e

A

jest

nazyw

ane

magnet

y zn

ym

p

oten jaªem

w

ektoro

wym

.

Przy

zaªo»eniu

b

ez¹ró

dªo

w

o± i

p

oten jaªu,

tzn.

∇ · A = 0

,

sp

eªnia

on

w

ektoro

w

e

ró

wnanie

P

oissona

∇

2

A

= −µ

0

J

gdzie

∇

2

A

= ∇(∇ · A) − ∇ × ∇ × A

ozna za

Laplasjan

A

.

andrzej

kar

w

o

wski

polite hnika

±l¡ska

pola

i

f

ale

elektr

oma

gnety zne

POLE

MA

GNETOST

A

TYCZNE

W

PR

ӛNI

Magnet

y zn

y

p

oten jaª

w

ektoro

wy

Ogólne

rozwi¡zanie

ró

wnania

P

oissona

ma

p

osta¢

A

=

µ

0

4π

Z

V

J

R

dv

(Wb/m)

Dla

zamknitego

k

on

turu

L

,

wzdªu»

którego

pªynie

pr¡d

I

mam

y

A

=

µ

0

I

4π

I

L

dl

R

(Wb/m)

andrzej

kar

w

o

wski

polite hnika

±l¡ska

pola

i

f

ale

elektr

oma

gnety zne

POLE

MA

GNETOST

A

TYCZNE

W

PR

ӛNI

Dip

ol

magnet

y zn

y

Maª¡

pªask

¡

p

tl

pr¡do

w

¡

nazyw

am

y

dip

olem

magnet

y zn

ym

.

P

oten jaª

w

ektoro

wy

p

ola

magnet

y znego

wyt

w

arzanego

w

du»ej

o

dlegªo± i

o

d

takiej

p

tli

okre±la

wzór

A

=

µ

0

4π

m

× R

R

3

dv

(Wb/m)

w

którym

m

= 1

n

IS = 1

n

m

(Am

2

)

gdzie

S

ozna za

p

ole

p

o

wierz

hni

dip

ola,

a

1

n



w

ektor

jednostk

o

wy

prostopadªy

do

p

o

wierz

hni

dip

ola,

nazyw

am

y

momen

tem

dip

ola

.

andrzej

kar

w

o

wski

polite hnika

±l¡ska

pola

i

f

ale

elektr

oma

gnety zne

POLE

MA

GNETOST

A

TYCZNE

W

PR

ӛNI

Dip

ol

magnet

y zn

y

Induk

j

B

p

ola

magnet

y znego

wyt

w

orzonego

przez

dip

ol

wyzna zam

y

obli za

j¡

rota je

p

oten jaªu

A

.

Dla

dip

ola

o

momen ie

m

= 1

z

m

umiejs o

wionego

w

p

o

z¡tku

ukªadu

wsp

óªrzdn

y

h

sfery zn

y

h

mam

y

B

=

µ

0

m

4πr

3

1

r

2 cos θ + 1

θ

sin θ

(T)

Na

dip

ol

umiesz zon

y

w

jednoro

dn

ym

p

olu

magnet

y zn

ym

o

induk

ji

B

dziaªa

momen

t

skr a

j¡ y

T

= m × B

(Nm)

andrzej

kar

w

o

wski

polite hnika

±l¡ska

pola

i

f

ale

elektr

oma

gnety zne

POLE

MA

GNETOST

A

TYCZNE

O±ro

dki

materialne

w

p

olu

Ob

e no±¢

mikropr¡dó

w

w

iaªa

h

materialn

y

h

spra

wia,

»e

nie

s¡

one

ob

o

jtne

na

dziaªanie

p

ola

magnet

y znego.

P

ole

to

dziaªa

p

orz¡dkuj¡ o

na

dip

ole

magnet

y zne

istniej¡ e

w

iaªa

h

materialn

y

h.

Efekt

ten

harakteryzuje

w

ektor

namagneso

w

ania

(magnet

yza ji)

M

M

= lim

∆v→0

P

n

∆v

k

=1

M

k

∆v

(A/m)

W

ektor

ten

ma

sens

przestrzennej

gsto± i

momen

tó

w

magnet

y zn

y

h.

andrzej

kar

w

o

wski

polite hnika

±l¡ska

pola

i

f

ale

elektr

oma

gnety zne

POLE

MA

GNETOST

A

TYCZNE

O±ro

dki

materialne

w

p

olu

Do

opisu

p

ola

magnet

y znego

w

o±ro

dk

a

h

materialn

y

h

wpro

w

adza

si

w

ektor

nat»enia

p

ola

H

zdenio

w

an

y

jak

o

H

=

B

µ

0

− M

(A/m)

taki,

»e

∇ × H = J

Zwykle

przyjm

uje

si,

»e

M

= µ

0

χ

m

H

skutkiem

zego

B

= µ

0

(1 + χ

m

)H = µ

0

µ

r

H

andrzej

kar

w

o

wski

polite hnika

±l¡ska

pola

i

f

ale

elektr

oma

gnety zne

POLE

MA

GNETOST

A

TYCZNE

O±ro

dki

materialne

w

p

olu

Ina zej

B

= µH

przy

zym

µ = µ

0

µ

r

gdzie

µ

r

= 1 + χ

m

jest

wzgldn¡

(relat

ywn¡)

przenik

alno± i¡

magnet

y zn¡

materiaªu

.

andrzej

kar

w

o

wski

polite hnika

±l¡ska

pola

i

f

ale

elektr

oma

gnety zne

POLE

MA

GNETOST

A

TYCZNE

O±ro

dki

materialne

w

p

olu

W

zale»no± i

o

d

w

arto± i

przenik

alno± i

wzgldnej

rozró»nia

si

trzy

grup

y

o±ro

dk

ó

w

materialn

y

h

diamagnet

yki



µ

r

≤ 1

(p

o

datno±¢

χ

m

jest

bardzo

maªa

li zb¡

ujemn¡)

paramagnet

yki



µ

r

≥ 1

(p

o

datno±¢

χ

m

jest

bardzo

maªa

li zb¡

do

datni¡)

ferromagnet

yki



µ

r

>> 1

(p

o

datno±¢

χ

m

jest

du»¡

li zb¡

do

datni¡)

andrzej

kar

w

o

wski

polite hnika

±l¡ska

pola

i

f

ale

elektr

oma

gnety zne

POLE

MA

GNETOST

A

TYCZNE

Energia

p

ola

W

p

olu

magnetostat

y zn

ym

energia

jest

rozªo»ona

z

gsto± i¡

przestrzenn¡

w

m

=

1
2

H · B

(J/m

3

)

Sumary zna

energia

zgromadzona

w

obszarze

V

W

m

=

Z

V

w

m

dv =

Z

V

H · B

2

dv

(J)

andrzej

kar

w

o

wski

polite hnika

±l¡ska

pola

i

f

ale

elektr

oma

gnety zne

POLE

MA

GNETOST

A

TYCZNE

Induk

yjno±¢

Stosunek

strumienia

magnet

y znego

sk

o

jarzonego

z

ob

w

o

dem

do

pr¡du

w

t

ym

ob

w

o

dzie

nazyw

am

y

induk

yjno± i¡

wªasn¡

L =

Ψ

I

=

zΦ

I

=

1
I

Z

S

B ·

ds

(H)

Stosunek

strumienia

magnet

y znego

sk

o

jarzonego

z

jedn

ym

ob

w

o

dem

do

pr¡du

w

inn

ym

ob

w

o

dzie

nazyw

am

y

induk

yjno± i¡

wza

jemn¡

L

21

=

Ψ

2

I

1

=

zΦ

2

I

1

=

1

I

1

Z

S

2

B

1

·

ds

2

(H)

andrzej

kar

w

o

wski

polite hnika

±l¡ska

pola

i

f

ale

elektr

oma

gnety zne

POLE

MA

GNETOST

A

TYCZNE

PODSUMO

W

ANIE



POSTULA

TY

∇ · B = 0

⇒

I

S

B ·

ds = 0

∇ × H = J

⇒

I

L

H ·

dl = I

Z

p

ostulató

w

t

y

h

b

ezp

o±rednio

wynik

a

j¡

w

arunki

brzego

w

e

dla

p

ola

magnetostat

y znego

na

grani y

dw

ó

h

o±ro

dk

ó

w

B

2n

= B

1n

1

n

× (H

2

− H

1

) = J

s

andrzej

kar

w

o

wski

polite hnika

±l¡ska

pola

i

f

ale

elektr

oma

gnety zne

POLE

ELEKTR

OMA

GNETOST

A

TYCZNE

FUND

AMENT

ALNE

POSTULA

TY

Elektrostat

yk

a

∇ × E = 0

⇒

I

L

E ·

dl = 0

∇ · D = q

v

⇒

I

S

D ·

ds = Q

V

(S)

D

= ǫE

Magnetostat

yk

a

∇ × H = J

⇒

I

L

H ·

dl = I

S

(L)

∇ · B = 0

⇒

I

S

B ·

ds = 0

B

= µH

andrzej

kar

w

o

wski

polite hnika

±l¡ska

pola

i

f

ale

elektr

oma

gnety zne

POLA

ZMIENNE

W

CZASIE

PRA

W

O

INDUK

CJI

ELEKTR

OMA

GNETYCZNEJ

F

arada

y

(1831)



Pra

w

o

induk

ji

elektromagnet

y znej

∇ × E = −

∂B

∂t

P

ole

elektry zne

to

w

arzysz¡ e

zmiennem

u

p

olu

magnet

y znem

u

jest

wiro

w

e,

zyli

nie

jest

za

ho

w

a

w

ze

i

nie

mo»na

go

wyrazi¢

jak

o

gradien

t

p

oten jaªu

sk

alarnego.

W

p

osta i

aªk

o

w

ej

I

L

E ·

dl = −

Z

S

(L)

∂B

∂t

·

ds

andrzej

kar

w

o

wski

polite hnika

±l¡ska

pola

i

f

ale

elektr

oma

gnety zne

POLA

ZMIENNE

W

CZASIE

PRA

W

O

INDUK

CJI

ELEKTR

OMA

GNETYCZNEJ

Deniuj¡

E =

I

L

E ·

dl

jak

o

siª

elektromotory zn¡

induk

o

w

an¡

wzdªu»

k

on

turu

L

oraz

Φ =

Z

S

(L)

B ·

ds

jak

o

strumie«

magnet

y zn

y

przez

p

o

wierz

hni

rozpit¡

na

k

on

turze

L

mo»em

y

napisa¢

E = −

dΦ

dt

andrzej

kar

w

o

wski

polite hnika

±l¡ska

pola

i

f

ale

elektr

oma

gnety zne

POLA

ZMIENNE

W

CZASIE

PRA

W

O

INDUK

CJI

ELEKTR

OMA

GNETYCZNEJ

Pra

w

o

induk

ji

elektromagnet

y znej:

W

zamknit

ym

ob

w

o

dzie

indukuje

si

siªa

elektromotory zna

E

za

wsze

ilekro

¢

ulega

zmianie

w

zasie

strumie«

magnet

y zn

y

ob

jt

y

przez

ob

w

ó

d.

Jest

przy

t

ym

ob

o

jtne

jakie

przy zyn

y

wyw

oªuj¡

zmian

strumienia.

W

arto±¢

induk

o

w

anej

siªy

jest

ró

wna,

z

dokªadno± i¡

do

znaku,

p

o

ho

dnej

zaso

w

ej

strumienia

magnet

y znego

ob

jtego

przez

ob

w

ó

d.

andrzej

kar

w

o

wski

polite hnika

±l¡ska

pola

i

f

ale

elektr

oma

gnety zne

POLA

ZMIENNE

W

CZASIE

R

Ó

WNANIA

MAXWELLA

P

ostulat

y

p

ola

elektromagnetostat

y znegu

uzup

eªnione

pra

w

em

induk

ji

elektromagnet

y znej

pro

w

adz¡

do

ukªadu

ró

wna«

∇ × E = −

∂B

∂t

∇ × H = J

∇ · D = q

v

∇ · B = 0

Dla

p

ól

zmienn

y

h

w

zasie

ukªad

ten

jest

sprze zn

y

z

zasad¡

za

ho

w

ania

ªadunku

elektry znego,

zyli

ró

wnaniem

i¡

gªo± i

∇ · J = −

∂q

v

∂t

andrzej

kar

w

o

wski

polite hnika

±l¡ska

pola

i

f

ale

elektr

oma

gnety zne

POLA

ZMIENNE

W

CZASIE

R

Ó

WNANIA

MAXWELLA

Šat

w

o

to

spra

wdzi¢

obli za

j¡

dyw

ergen j

drugiego

z

ró

wna«

"rota yjn

y

h"

∇ · (∇ × H) = 0 = ∇ · J

Ró

wnanie

i¡

gªo± i

b

dzie

sp

eªnione

gdy

p

o

pra

w

ej

stronie

dopiszem

y

∂q

v

/∂t

∇ · (∇ × H) = 0 = ∇ · J +

∂q

v

∂t

= ∇ ·



J

+

∂D

∂t



sk

¡d

wynik

a,

»e

∇ × H = J +

∂D

∂t

andrzej

kar

w

o

wski

polite hnika

±l¡ska

pola

i

f

ale

elektr

oma

gnety zne

POLA

ZMIENNE

W

CZASIE

R

Ó

WNANIA

MAXWELLA

Š¡ z¡

to

ró

wnanie

z

p

ozostaªymi

do

ho

dzim

y

do

ró

wna«

Maxw

ella

∇ × E = −

∂B

∂t

∇ × H = J +

∂D

∂t

∇ · D = q

v

∇ · B = 0

Ró

wnania

te,

uzup

eªnione

zwi¡zk

ami

materiaªo

wymi,

opisuj¡

wszystkie

makrosk

op

o

w

e

zja

wisk

a

elektromagnet

y zne.

andrzej

kar

w

o

wski

polite hnika

±l¡ska

pola

i

f

ale

elektr

oma

gnety zne

POLA

ZMIENNE

W

CZASIE

R

Ó

WNANIA

MAXWELLA

Odp

o

wiedniki

aªk

o

w

e

ró

wna«

Maxw

ella

ma

j¡

p

osta¢

I

L

E ·

dl = −

Z

S

(L)

∂B

∂t

·

ds

I

L

H ·

dl =

Z

S

(L)



J

+

∂D

∂t



·

ds

I

S

D ·

ds = Q

V

(S)

I

S

B ·

ds = 0

andrzej

kar

w

o

wski

polite hnika

±l¡ska

pola

i

f

ale

elektr

oma

gnety zne

R

Ó

WNANIA

MAXWELLA

Pr¡d

przesuni ia

Skªadnik

∂D/∂t

p

o

pra

w

ej

stronie

drugiego,

"rota yjnego"

ró

wnania

Maxw

ella

nazyw

a

si

pr¡dem

przesuni ia

J

przes

=

∂D

∂t

=

∂

∂t

(ǫ

0

E

+ P) = ǫ

0

∂E

∂t

+

∂P

∂t

(A/m

2

)

Drugi

skªadnik

deniuje

si

jak

o

pr¡d

p

olaryza yjn

y

J

pol

=

∂P

∂t

(A/m

2

)

Pierwszy

skªadnik,

nieznik

a

j¡ y

na

w

et

w

pró»ni,

wsk

azuj¡ y

,

»e

zmienne

p

ole

elektry zne

jest

¹ró

dªem

p

ola

magnet

y znego,

stano

wi

rdze«

hip

otezy

Maxw

ella!

andrzej

kar

w

o

wski

polite hnika

±l¡ska

pola

i

f

ale

elektr

oma

gnety zne

R

Ó

WNANIA

MAXWELLA

Pr¡d

aªk

o

wit

y

Sum

skªadnik

ó

w

p

o

pra

w

ej

stronie

drugiego,

"rota yjnego"

ró

wnania

Maxw

ella

zsto

nazyw

a

si

pr¡dem

aªk

o

wit

ym

J

calk

= J

przew

+ J

przes

= J

przew

+ J

pol

+ ǫ

0

∂E

∂t

= σE +

∂P

∂t

+ ǫ

0

∂E

∂t

(A/m

2

)

andrzej

kar

w

o

wski

polite hnika

±l¡ska

pola

i

f

ale

elektr

oma

gnety zne

POLA

ZMIENNE

W

CZASIE

R

Ó

WNANIA

MAXWELLA

Bezp

o±rednio

z

ró

wna«

Maxw

ella

wynik

a

j¡

w

arunki

brzego

w

e

okre±la

j¡ e

za

ho

w

anie

si

skªado

wy

h

p

ola

elektromagnet

y znego

na

grani y

dw

ó

h

o±ro

dk

ó

w

E

1t

= E

2t

1

n

× (H

2

− H

1

) = J

s

D

2n

−D

1n

= q

s

B

2n

= B

1n

andrzej

kar

w

o

wski

polite hnika

±l¡ska

pola

i

f

ale

elektr

oma

gnety zne

POLA

ZMIENNE

W

CZASIE

POTENCJAŠ

Y

Z

b

ez¹ró

dªo

w

o± i

p

ola

B

wynik

a,

»e

B

= ∇ × A

P

o

dsta

wia

j¡

wyra»one

w

ten

sp

osób

B

do

pierwszego

ró

wnania

Maxw

ella

mam

y

∇ × E = −

∂

∂t

(∇ × A)

⇒

∇ ×



E

+

∂A

∂t



= 0

sk

¡d

wynik

a,

»e

E

mo»na

przedsta

wi¢

jak

o

E

= −∇V −

∂A

∂t

andrzej

kar

w

o

wski

polite hnika

±l¡ska

pola

i

f

ale

elektr

oma

gnety zne

POLA

ZMIENNE

W

CZASIE

POTENCJAŠ

Y

Jakie

ró

wnania

sp

eªnia

j¡

p

oten jaªy?

Na

p

o

dsta

wie

ró

wnania

∇ × H = J

calk

przy

wyk

orzystaniu

zwi¡zk

ó

w

materiaªo

wy

h

otrzym

ujem

y

∇ × ∇ × A = µJ + µǫ

∂

∂t



−∇V −

∂A

∂t



zyli

∇(∇ · A) − ∇

2

A

= µJ − ∇



µǫ

∂V

∂t



− µǫ

∂

2

A

∂t

2

alb

o

∇

2

A

− µǫ

∂

2

A

∂t

2

= −µJ + ∇



∇ · A + µǫ

∂V

∂t



andrzej

kar

w

o

wski

polite hnika

±l¡ska

pola

i

f

ale

elektr

oma

gnety zne

POLA

ZMIENNE

W

CZASIE

POTENCJAŠ

Y

Przyjm

uj¡

tzw.

e

ho

w

anie

Loren

tza

dla

p

oten jaªo

w

∇ · A + µǫ

∂V

∂t

= 0

otrzym

ujem

y

∇

2

A

− µǫ

∂

2

A

∂t

2

= −µJ

zyli

niejednoro

dne

ró

wnanie

falo

w

e

dla

magnet

y znego

p

oten jaªu

w

ektoro

w

ego

A

.

andrzej

kar

w

o

wski

polite hnika

±l¡ska

pola

i

f

ale

elektr

oma

gnety zne

POLA

ZMIENNE

W

CZASIE

POTENCJAŠ

Y

Ró

wnanie

dla

p

oten jaªu

sk

alarnego

otrzymam

y

wy

ho

dz¡

z

∇ · D = q

v

.

Mam

y

−∇ · ǫ



∇V +

∂A

∂t



= q

v

sk

¡d,

przy

zaªo»eniu

staªego

ǫ

,

otrzym

ujem

y

∇

2

V +

∂

∂t

(∇ · A) = −

q

v

ǫ

W

yk

orzystuj¡

w

arunek

Loren

tza

otrzym

ujem

y

ostate znie

∇

2

V − µǫ

∂

2

V

∂t

2

= −

q

v

ǫ

andrzej

kar

w

o

wski

polite hnika

±l¡ska

pola

i

f

ale

elektr

oma

gnety zne

POLA

ZMIENNE

W

CZASIE

POTENCJAŠ

Y

Rozwi¡zania

ró

wna«

falo

wy

h

dla

p

oten jaªó

w

ma

j¡

p

osta¢

V (R, t) =

1

4πǫ

Z

V

q

v

(t − R/u)

R

dv

(V)

A

(R, t) =

µ

4π

Z

V

J

(t − R/u)

R

dv

(Wb/m)

gdzie

u = 1/

√

ǫµ

jest

prdk

o± i¡

roz

ho

dzenia

si

zaburzenia

elektromagne-

t

y znego.

Jak

wida¢

oba

rozwi¡zania

ma

j¡

harakter

p

oten jaªó

w

op

ó¹nion

y

h.

andrzej

kar

w

o

wski

polite hnika

±l¡ska

pola

i

f

ale

elektr

oma

gnety zne

POLA

ZMIENNE

W

CZASIE

Obszar

b

ez

¹ró

deª

(

q

v

= 0, J = 0

)

Ró

wnania

Maxw

ella

w

"prost

ym"

o±ro

dku

b

ez

¹ró

deª

p

ola

przyjm

uj¡

p

osta¢

∇ × E = −µ

∂H

∂t

∇ × H = ǫ

∂E

∂t

∇ · D = 0

∇ · B = 0

Bior¡

rota j

obu

stron

pierwszego

ró

wnania

i

wyk

orzystuj¡

drugie

otrzym

ujem

y

∇ × ∇ × E = −µ

∂

∂t

(∇ × H) = −µǫ

∂

2

E

∂t

2

andrzej

kar

w

o

wski

polite hnika

±l¡ska

pola

i

f

ale

elektr

oma

gnety zne

POLA

ZMIENNE

W

CZASIE

Obszar

b

ez

¹ró

deª

(

q

v

= 0, J = 0

)

Uwzgldnia

j¡ ,

»e

w

rozw

a»an

ym

przypadku

∇ × ∇ × E = ∇(∇ · E) − ∇

2

E

= −∇

2

E

i

ozna za

j¡

u = 1/√µǫ

otrzym

ujem

y

∇

2

E

−

1

u

2

∂

2

E

∂t

2

= 0

W

analogi zn

y

sp

osób

do

ho

dzim

y

do

ró

wnania

dla

p

ola

H

∇

2

H

−

1

u

2

∂

2

H

∂t

2

= 0

S¡

to

jednoro

dne

w

ektoro

w

e

ró

wnania

falo

w

e.

andrzej

kar

w

o

wski

polite hnika

±l¡ska

pola

i

f

ale

elektr

oma

gnety zne

POLA

SINUSOID

ALNIE

PRZEMIENNE

Nota ja

sym

b

oli zna

W

e¹m

y

p

ole

elektry zne

E

= E

x

+ E

y

= 1

x

E

0x

cos(ωt + φ

x

) + 1

y

E

0y

cos(ωt + φ

y

)

= 1

x

Re{E

0x

e

jφ

x

e

jωt

} + 1

y

Re{E

0y

e

jφ

y

e

jωt

}

= Re{(1

x

E

0x

e

jφ

x

+ 1

y

E

0y

e

jφ

y

)e

jωt

}

= Re{E

0

e

jωt

}

gdzie

E

0

= 1

x

E

0x

e

jφ

x

+ 1

y

E

0y

e

jφ

y

jest

zesp

olon¡

amplitud¡

p

ola

E

.

andrzej

kar

w

o

wski

polite hnika

±l¡ska

pola

i

f

ale

elektr

oma

gnety zne

R

Ó

WNANIA

MAXWELLA

DLA

PÓL

SINUSOID

ALNIE

PRZEMIENNYCH

W

e¹m

y

pierwsze

ró

wnanie

"rota yjne"

∇ × E = −µ

∂H

∂t

Dla

p

ól

sin

usoidalnie

przemienn

y

h

mam

y

∇ × Re{E

0

e

jωt

} = −µ

∂

∂t

Re{H

0

e

jωt

}

zyli

∇ × E

0

= −jωµH

0

gdzie

E

0

i

H

0

ozna za

j¡

amplitudy

zesp

olone

p

ól

E

i

H

,

o

dp

o

wiednio.

andrzej

kar

w

o

wski

polite hnika

±l¡ska

pola

i

f

ale

elektr

oma

gnety zne

R

Ó

WNANIA

MAXWELLA

DLA

PÓL

SINUSOID

ALNIE

PRZEMIENNYCH

∇ × E = −jωµH

∇ × H = J + jωǫE

∇ · D = q

v

∇ · B = 0

gdzie

E

,

H

,

D

,

B

i

q

v

ozna za

j¡

zesp

olone

amplitudy

o

dp

o

wiedni

h

wielk

o± i.

andrzej

kar

w

o

wski

polite hnika

±l¡ska

pola

i

f

ale

elektr

oma

gnety zne

R

Ó

WNANIA

MAXWELLA

O±ro

dek

nieprzew

o

dz¡ y

b

ez

¹ró

deª

W

"prost

ym"

o±ro

dku

nieprzew

o

dz¡ ym

b

ez

ªadunku

przestrzennego

(

σ = 0, J = 0, q

v

= 0

)

ró

wnania

Maxw

ella

redukuj¡

si

do

p

osta i

∇ × E = −jωµH

∇ × H = jωǫE

∇ · E = 0

∇ · H = 0

andrzej

kar

w

o

wski

polite hnika

±l¡ska

pola

i

f

ale

elektr

oma

gnety zne

R

Ó

WNANIA

MAXWELLA

O±ro

dek

nieprzew

o

dz¡ y

b

ez

¹ró

deª

W

"prost

ym"

o±ro

dku

nieprzew

o

dz¡ ym

b

ez

ªadunku

przestrzennego

ró

wnania

falo

w

e

dla

p

ól

E

i

H

przyjm

uj¡

p

osta¢

jednoro

dn

y

h

ró

wna«

Helmholtza

∇

2

E

+ k

2

E

= 0

∇

2

H

+ k

2

H

= 0

w

który

h

k = ω

√

ǫµ =

ω

u

=

2π

λ

ozna za

li zb



falo

w

¡

o±ro

dk

a.

andrzej

kar

w

o

wski

polite hnika

±l¡ska

pola

i

f

ale

elektr

oma

gnety zne

R

Ó

WNANIA

MAXWELLA

O±ro

dek

przew

o

dz¡ y

b

ez

ªadunku

przestrzennego

W

o±ro

dku

przew

o

dz¡ ym

(σ 6= 0)

gsto±¢

pr¡du

J

= σE

jest

niezero

w

a,

skutkiem

zego

∇ × H = J + jωǫE = (σ + jωǫ)E = jω(ǫ − j

σ

ω

)E = jωǫE

gdzie

ǫ = ǫ − j

σ

ω

jest

zastp

z¡

zesp

olon¡

przenik

alno± i¡

elektry zn¡

o±ro

dk

a.

K

onsekw

en

tnie

mo»em

y

te»

zdenio

w

a¢

wzgldn¡

zastp

z¡

zesp

olon¡

przenik

alno± i¡

elektry zn¡

ǫ

r

=

ǫ

ǫ

0

= ǫ

r

− j

σ

ωǫ

0

≈ ǫ

r

− j60λ

0

σ

andrzej

kar

w

o

wski

polite hnika

±l¡ska

pola

i

f

ale

elektr

oma

gnety zne

R

Ó

WNANIA

MAXWELLA

O±ro

dek

przew

o

dz¡ y

W

analizo

w

an

ym

o±ro

dku

przew

o

dz¡ ym

ró

wnania

Maxw

ella

przyjm

uj¡

wi

p

osta¢

∇ × E = −jωµH

∇ × H = jωǫE

∇ · E = 0

∇ · H = 0

formalnie

iden

t

y zn¡

z

ró

wnaniami

opisuj¡ ymi

p

ole

w

o±ro

dku

nieprzew

o

dz¡ ym.

Jedyna

ró»ni a

p

olega

na

p

o

ja

wieniu

si

w

drugim

ró

wnaniu

przenik

alno± i

zesp

olonej.

andrzej

kar

w

o

wski

polite hnika

±l¡ska

pola

i

f

ale

elektr

oma

gnety zne

R

Ó

WNANIA

MAXWELLA

O±ro

dek

przew

o

dz¡ y

Stosunek

z± i

uro

jonej

zastp

zej

przenik

alno± i

elektry znej

do

z± i

rze zywistej

tej

przenik

alno± i

jest

ró

wn

y

stosunk

o

wi

pr¡du

przew

o

dzenia

do

pr¡du

przesuni ia

w

o±ro

dku

i

deniuje

si

go

jak

o

jak

o

tangens

k

¡ta

stratno± i

o±ro

dk

a

tg δ =

σ/ω

ǫ

=

σ

ωǫ

=

σ/(ωǫ

0

)

ǫ

r

≈

60λ

0

σ

ǫ

r

O±ro

dek,

dla

którego

σ >> ωǫ

jest

dobrym

przew

o

dnikiem.

Gdy

σ << ωǫ

,

to

o±ro

dek

kw

alikuje

si

jak

o

dobry

izolator

(dielektryk).

andrzej

kar

w

o

wski

polite hnika

±l¡ska

pola

i

f

ale

elektr

oma

gnety zne

POLA

SINUSOID

ALNIE

PRZEMIENNE

POTENCJAŠ

Y

Ró

wnania

falo

w

e

dla

p

oten jaªó

w

elektro

dynami zn

y

h

p

ól

sin

usoidalnie

przemienn

y

h

przyjm

uj¡

p

osta¢

niejednoro

dn

y

h

ró

wna«

Helmholtza

∇

2

A

+ k

2

A

= −µJ

∇

2

V + k

2

V = −

q

v

ǫ

gdzie

k

ozna za

li zb



falo

w

¡

o±ro

dk

a.

W

arunek

Loren

tza

∇ · A + jωµǫV = 0

andrzej

kar

w

o

wski

polite hnika

±l¡ska

pola

i

f

ale

elektr

oma

gnety zne

POLA

SINUSOID

ALNIE

PRZEMIENNE

POTENCJAŠ

Y

Rozwi¡zania

ró

wna«

Helmholtza

dla

p

oten jaªó

w

ma

j¡

p

osta¢

V (R) =

1

4πǫ

Z

V

q

v

e

−

jkR

R

dv

(V)

A

(R) =

µ

4π

Z

V

J

e

−

jkR

R

dv

(Wb/m)

andrzej

kar

w

o

wski

polite hnika

±l¡ska

pola

i

f

ale

elektr

oma

gnety zne

PŠASKA

F

ALA

ELEKTR

OMA

GNETYCZNA

F

ala

w

w

olnej

przestrzeni

Rozwi¡zanie

ró

wnania

Helmholtza

∇

2

E

+ k

2

0

E

= 0

dla

zesp

olonej

amplitudy

w

ektora

nat»enia

p

ola

elektry znego

w

w

olnej

przestrzeni

(tj.

w

nieograni zon

ym,

nieprzew

o

dz¡ ym

(

σ = 0

)

o±ro

dku

o

parametra

h

ǫ

0

,

µ

0

)

ma

p

osta¢

E

x

(z) = 1

x

E

x

(z) = 1

x

(E

+

x

(z)+E

−

x

(z)) = 1

x

(E

+

0

e

−

jk

0

z

+E

−

0

e

jk

0

z

)

gdzie

k

0

= ω

√

ǫ

0

µ

0

=

ω

c

andrzej

kar

w

o

wski

polite hnika

±l¡ska

pola

i

f

ale

elektr

oma

gnety zne

PŠASKA

F

ALA

ELEKTR

OMA

GNETYCZNA

F

ala

w

w

olnej

przestrzeni

W

e¹m

y

p

o

d

u

w

ag

pierwszy

skªadnik

rozwi¡zania,

tzn.

E

+

x

(z) = 1

x

E

+

x

(z) = 1

x

E

+

0

e

−

jk

0

z

i

o

dp

o

wiada

j¡ y

m

u

rze zywist

y

przebieg

zaso

w

o-przestrzenn

y

E

+

x

(z, t) = 1

x

Re{E

+

0

e

−

jk

0

z

e

jωt

} = 1

x

E

+

0

cos(ωt − k

o

z)

Przebieg

ten

reprezen

tuje

fal

przemiesz za

j¡ ¡

si

w

kierunku

wzrasta

j¡ ej

wsp

óªrzdnej

z

z

prdk

o± i¡

fazo

w

¡

u =

ω

k

0

= c

⇒

k

0

=

ω

c

=

2π

λ

0

andrzej

kar

w

o

wski

polite hnika

±l¡ska

pola

i

f

ale

elektr

oma

gnety zne

PŠASKA

F

ALA

ELEKTR

OMA

GNETYCZNA

F

ala

w

w

olnej

przestrzeni

Sk

o

jarzone

z

E

+

x

(z)

p

ole

magnet

y zne

nietrudno

wyzna zy¢

z

pierwszego

"rota yjnego"

ró

wnania

Maxw

ella;

w

ten

sp

osób

otrzym

ujem

y

H

+

y

(z) =

k

0

ωµ

0

E

+

x

(z) =

1

η

0

E

+

x

(z)

gdzie

η

0

=

r µ

0

ǫ

0

≈ 120π ≈ 377

ozna za

imp

edan j

wªa± iw

¡

w

olnej

przestrzeni

.

andrzej

kar

w

o

wski

polite hnika

±l¡ska

pola

i

f

ale

elektr

oma

gnety zne

PŠASKA

F

ALA

ELEKTR

OMA

GNETYCZNA

F

ala

w

w

olnej

przestrzeni

Przebieg

zaso

w

o-przestrzenn

y

p

ola

magnet

y znego

H

+

y

(z, t) = 1

y

Re{H

+

y

(z)e

jωt

} = 1

y

E

+

0

η

0

cos(ωt − k

o

z)

Przebieg

ten,

p

o

dobnie

jak

przebieg

p

ola

elektry znego,

reprezen

tuje

fal

przemiesz za

j¡ ¡

si

w

kierunku

wzrasta

j¡ ej

wsp

óªrzdnej

z

z

prdk

o± i¡

fazo

w

¡

ró

wn¡

prdk

o± i

±wiatªa.

Oba

przebiegi

razem

wzite

reprezen

tuj¡

fal

TEM,

tzn.

pªask

¡

jednoro

dn¡

fal

elektromagnet

y zn¡

.

andrzej

kar

w

o

wski

polite hnika

±l¡ska

pola

i

f

ale

elektr

oma

gnety zne

PŠASKA

F

ALA

ELEKTR

OMA

GNETYCZNA

Wªa± iw

o± i

•

w

ektory

E

i

H

,

reprezen

tuj¡ e

skªado

w

e

elektry zn¡

i

magnet

y zn¡

fali,

o

dp

o

wiednio,

s¡

wza

jemnie

prostopadªe

i

razem

s¡

prostopadªe

do

kierunku

roz

ho

dzenia

si

fali,

•

amplitudy

skªado

wy

h

elektry znej

i

magnet

y znej

s¡

p

o

wi¡zane

imp

edan j¡

falo

w

¡

o±ro

dk

a,

•

p

o

wierz

hnie

jednak

o

w

ej

amplitudy

i

jednak

o

w

ej

fazy

fali

s¡

pªasz zyznami



dlatego

rozw

a»an¡

fal

nazyw

am

y

fal¡

pªask

¡.

P

oniew

a»

pªasz zyzn

y

te

s¡

ró

wnolegªe,

fal

nazyw

am

y

jednoro

dn¡.

andrzej

kar

w

o

wski

polite hnika

±l¡ska

pola

i

f

ale

elektr

oma

gnety zne

PŠASKA

F

ALA

ELEKTR

OMA

GNETYCZNA

F

ala

w

o±ro

dku

stratn

ym

Ró

wnanie

Helmholtza

dla

zesp

olonej

amplitudy

w

ektora

nat»enia

p

ola

elektry znego

w

o±ro

dku

stratn

ym

ma

p

osta¢

∇

2

E

+ k

2

E

= 0

w

której

k = ω

√

ǫµ

Kªad¡

γ = jk = jω

√

ǫµ = α + jβ

przeksztaªa am

y

ró

wnanie

Helmholtza

do

p

osta i

∇

2

E

− γ

2

E

= 0

andrzej

kar

w

o

wski

polite hnika

±l¡ska

pola

i

f

ale

elektr

oma

gnety zne

PŠASKA

F

ALA

ELEKTR

OMA

GNETYCZNA

F

ala

w

o±ro

dku

stratn

ym

Rozwi¡zanie

o

dp

o

wiada

j¡ e

zesp

olonej

amplitudzie

fali

roz

ho

dz¡ ej

si

w

kierunku

osi

z

ma

p

osta¢

E

+

x

(z) = 1

x

E

+

x

(z) = 1

x

E

+

0

e

−

γz

= 1

x

E

+

0

e

−

αz

e

−

jβz

a

o

dp

o

wiada

j¡ y

m

u

przebieg

zaso

w

o-przestrzenn

y

E

+

x

(z, t) = 1

x

Re{E

+

0

e

−

γz

e

jωt

} = 1

x

E

+

0

e

−

αz

cos(ωt − βz)

Przebieg

ten

reprezen

tuje

fal

tªumion¡,

przemiesz za

j¡ ¡

si

w

kierunku

wzrasta

j¡ ej

wsp

óªrzdnej

z

z

prdk

o± i¡

fazo

w

¡

u =

ω

β

andrzej

kar

w

o

wski

polite hnika

±l¡ska

pola

i

f

ale

elektr

oma

gnety zne

PŠASKA

F

ALA

ELEKTR

OMA

GNETYCZNA

F

ala

w

o±ro

dku

stratn

ym

Zesp

olona

amplituda

skªado

w

ej

magnet

y znej

tej

fali

H

+

y

(z) =

1

η

E

+

x

(z)

a

o

dp

o

wiada

j¡ y

jej

przebieg

zaso

w

o-przestrzenn

y

H

+

y

(z, t) = 1

y

Re{H

+

y

(z)e

jωt

} = 1

y

E

+

0

η

cos(ωt − k

o

z)

gdzie

η =

r

µ

ǫ

ozna za

imp

edan j

wªa± iw

¡

o±ro

dk

a

andrzej

kar

w

o

wski

polite hnika

±l¡ska

pola

i

f

ale

elektr

oma

gnety zne

PŠASKA

F

ALA

ELEKTR

OMA

GNETYCZNA

P

arametry

falo

w

e

W

sp

óª zynnik

propaga ji

γ = α + jβ = jk = jk

0

√

ǫ

r

α



wsp

óª zynnik

tªumienia

β



wsp

óª zynnik

fazy

Gªb

ok

o±¢

wnik

ania

δ =

1

α

andrzej

kar

w

o

wski

polite hnika

±l¡ska

pola

i

f

ale

elektr

oma

gnety zne

PŠASKA

F

ALA

ELEKTR

OMA

GNETYCZNA

P

arametry

falo

w

e

Prdk

o±¢

fazo

w

a

fali

w

o±ro

dku

u =

ω

β

Dªugo±¢

fali

w

o±ro

dku

λ =

u
f

=

2π

β

Imp

edan ja

falo

w

a

(wªa± iw

a)

o±ro

dk

a

η =

r

µ

ǫ

=

µ

=µ

0

−−−→ =

r

µ

0

ǫ

0

ǫ

r

=

η

0

√

ǫ

r

andrzej

kar

w

o

wski

polite hnika

±l¡ska

pola

i

f

ale

elektr

oma

gnety zne

PŠASKA

F

ALA

ELEKTR

OMA

GNETYCZNA

Obli zanie

parametró

w

falo

wy

h

W

sp

óª zynnik

propaga ji

γ = α + jβ = jk = jk

0

√

ǫ

r

Ozna zm

y

√

ǫ

r

=

pǫ

r

− j60λ

0

σ = n − jp

Przyró

wn

uj¡ ,

o

dp

o

wiednio,

z± i

rze zywiste

i

uro

jone

li zb

zesp

olon

y

h

p

o

obu

strona

h

ro

wnania

otrzym

ujem

y

ǫ

r

= n

2

− p

2

60λ

0

σ = 2np

andrzej

kar

w

o

wski

polite hnika

±l¡ska

pola

i

f

ale

elektr

oma

gnety zne

PŠASKA

F

ALA

ELEKTR

OMA

GNETYCZNA

Obli zanie

parametró

w

falo

wy

h

sk

¡d

n

p







=

r 1

2

h

±ǫ

r

+

pǫ

2

r

+ (60λ

0

σ)

2

i

przy

zym

znak

plus

bierzem

y

przy

obli zaniu

n

,

natomiast

znak

min

us



przy

obli zaniu

p

.

Ostate znie

wpro

w

adzam

y

n

i

p

do

wzoru

na

wsp

óª zynnik

propaga ji

i

otrzym

ujem

y

α = k

0

p

β = k

0

n

andrzej

kar

w

o

wski

polite hnika

±l¡ska

pola

i

f

ale

elektr

oma

gnety zne

PŠASKA

F

ALA

ELEKTR

OMA

GNETYCZNA

Obli zanie

parametró

w

falo

wy

h

Nietrudno

tak»e

wyrazi¢

przez

n

i

p

wszystkie

inne

parametry

falo

w

e.

Dla

prakt

yki

obli zenio

w

ej

zwykle

wygo

dnie

jest

wyró»ni¢

dw

a

przypadki

sz zególne,

tzn.

przypadek

o±ro

dk

a

o

maªy

h

strata

h

(sªab

o

przew

o

dz¡ ego)

i

przypadek

o±ro

dk

a

o

du»y

h

strata

h

(dobrze

przew

o

dz¡ ego).

andrzej

kar

w

o

wski

polite hnika

±l¡ska

pola

i

f

ale

elektr

oma

gnety zne

PŠASKA

F

ALA

ELEKTR

OMA

GNETYCZNA

Obli zanie

parametró

w

falo

wy

h

O±ro

dek

sªab

o

przew

o

dz¡ y

(ǫ

r

>> 60λ

0

σ)

n ≈

√

ǫ

r

1 +

1
8

 60λ

0

σ

ǫ

r



2

!

≈

√

ǫ

r

p ≈

30λ

0

σ

√

ǫ

r

andrzej

kar

w

o

wski

polite hnika

±l¡ska

pola

i

f

ale

elektr

oma

gnety zne

PŠASKA

F

ALA

ELEKTR

OMA

GNETYCZNA

Obli zanie

parametró

w

falo

wy

h

W

rezulta ie

•

wsp

óª zynnik

tªumienia

α = k

0

p ≈

2π

λ

0

30λ

0

σ

√

ǫ

r

=

60πσ

√

ǫ

r

•

wsp

óª zynnik

fazy

β = k

0

n ≈

2π

λ

0

√

ǫ

r

•

prdk

o±¢

fazo

w

a

u

roz

ho

dzenia

si

fali

w

o±ro

dku

u =

ω

β

=

ω

k

0

n

=

ω

ω√ǫ

0

µ

0

√

ǫ

r

=

c

√

ǫ

r

andrzej

kar

w

o

wski

polite hnika

±l¡ska

pola

i

f

ale

elektr

oma

gnety zne

PŠASKA

F

ALA

ELEKTR

OMA

GNETYCZNA

Obli zanie

parametró

w

falo

wy

h

•

dªugo±¢

fali

w

o±ro

dku

λ =

u
f

=

c

√

ǫ

r

T =

λ

0

√

ǫ

r

•

imp

edan ja

falo

w

a

(

harakteryst

y zna)

o±ro

dk

a

η =

r

µ

0

ǫ

r

ǫ

0

=

η

0

√

ǫ

r

=

η

0

n − jp

≈

η

0

√

ǫ

r



1 + j

30λ

0

σ

ǫ

r



andrzej

kar

w

o

wski

polite hnika

±l¡ska

pola

i

f

ale

elektr

oma

gnety zne

PŠASKA

F

ALA

ELEKTR

OMA

GNETYCZNA

Obli zanie

parametró

w

falo

wy

h

O±ro

dek

dobrze

przew

o

dz¡ y

(ǫ

r

<< 60λ

0

σ)

W

t

ym

przypadku

mam

y

n ≈ p ≈

p30λ

0

σ

(1)

i

w

rezulta ie

•

wsp

óª zynniki

tªumienia

i

fazy

α ≈ β ≈ k

0

p30λ

0

σ = 2π

r 30σ

λ

0

= 2π

r 30σf

c

andrzej

kar

w

o

wski

polite hnika

±l¡ska

pola

i

f

ale

elektr

oma

gnety zne

PŠASKA

F

ALA

ELEKTR

OMA

GNETYCZNA

Obli zanie

parametró

w

falo

wy

h

•

prdk

o±¢

fazo

w

a

fali

w

o±ro

dku

u =

ω

β

=

c

√

30λ

0

σ

•

dªugo±¢

fali

w

o±ro

dku

λ =

u
f

=

λ

0

√

30λ

0

σ

•

imp

edan ja

falo

w

a

(wªa± iw

a)

o±ro

dk

a

η =

η

0

√

ǫ

r

=

η

0

2

√

30λ

0

σ

(1 + j)

andrzej

kar

w

o

wski

polite hnika

±l¡ska