ODWZOROWANIA WIELOLINIOWE

Definicja

Niech X, Y – przestrzenie wektorowe nad ciałem K,

Odwzorowanie g nazywamy k-liniowym, gdy jest liniowe ze wzgledu na każdą zmienną
osobno, tzn:

↑

tylko w tym miejscu
jest zmienna

Oznaczenie

Zbiór odwozrowań k-liniowych oznaczamy

Twierdzenie

Istnieje izomorfizm, tzn. liniowe odwzorowanie bijektywne pomiędzy
klasami

Zatem odwzorowania z tych dwóch klas możemy ze sobą utożsamiać.

RÓŻNICZKI WYŻSZYCH RZĘDÓW

nad ciałem K,

Definicja

Drugą różniczką

odwozorowania f w punkcie

nazywamy różniczkę pochodnej f ' w

punkcie x

0

i oznaczamy ,

Oczywiście różniczka wyznaczona w punkcie jest odwzorowaniem liniowym

Zatem drugą różniczkę odwzorowania w punkcie utożsamiamy z odwzorowaniem dwuliniowym,

1



 



 

 





Y

X

f

d

x

f

x

U

f

f

U

D

f

Y

U

f

X

U

Y

X

x

,

:

'

:'

,'

pochodna

funkcja

istnieje

Wtedy

.

,

:

,

Top

unormowane

ie

przestrzen

,

,

,

Niech

L





















f

d

x

2

0





Y

X

f

d

x

,

2

2

0

L



U

x



0

'.

:

0

0

2

f

d

f

d

x

x

























ch

dwuliniowy

odwzorowań

klasa

tw

z

x

Y

X

Y

X

X

f

d

,

~

,

,

2

.

2

0

L

L

L













,

,

i

)

,

(

,

1

Y

X

Y

X

X

k

k



L

L

L





.

,Y

X

k

L

.

:

Y

X

g

k











X

x

x

x

x

Y

X

x

x

x

x

g

k

j

k

j

j

k

j

j



















,...,

,

,...,

gdzie

,

,

,...,

,

,

,...,

:

,...,

1

1

1

1

1

1

1

L













,

,

,

,

1

~

Y

X

Y

X

X

k

izomorfizm

k





 L

L

L

Jeśli

to można utworzyć odwozorowanie f'' ,

które nazywamy

drugą pochodną

funkcji f.

Załóżmy, że określimy k-tą różniczkę funkcji f w punkcie
Niech

Wtedy

k-tą pochodną

funkcji f nazywamy odwzorowanie:

możemy utożsamiać te klasy
ponieważ zachodzi izomorfizm

k+1-szą różniczką

odwzorowania f w punkcie nazywamy różniczkę k-tej pochodnej w

punkcie (o ile istnieje) i oznaczamy ,

różniczka k-tej pochodnej
w punkcie

opracował Marcin Uszko

2

.

0

U

x



U

x



0

0

x

f

d

k

x

1

0



0

x

,

2

0

0

f

d

U

x

x











,

,

:

)

(

''

:'

'

2

2

Y

X

f

d

x

f

x

U

f

x

L

















Y

X

Y

X

X

f

d

U

x

k

k

k

x

,

~

)

,

(

,

1

0

0

L

L

L













 









)

,

(

~

,

,

:

1

1

0

0

Y

X

Y

X

X

f

d

f

d

k

k

k

x

k

x











L

L

L

 

 













Y

X

Y

X

X

f

d

x

f

x

U

f

k

k

k

x

k

k

,

~

,

,

:

)

(

:

1

L

L

L











