229

WYKŁAD NR 18

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE – c.d.

UKŁADY RÓWNAŃ RÓŻNICZKOWYCH

G) RÓWNANIE RÓŻNICZKOWE ZUPEŁNE

Równanie postaci: (1)

0

)

,

(

)

,

(

=

+

dy

y

x

N

dx

y

x

M

,

gdzie lewa strona tego równania jest różniczką zupełną funkcji 2 zmiennych. (Patrz

→

Wykład Nr 15)

Ponieważ różniczka zupełna I – go rzędu funkcji

)

,

( y

x

F

przedstawia się następująco:

dy

y

F

dx

x

F

dF

∂

∂

+

∂

∂

=

,

więc równanie (1) można wówczas zapisać w postaci:

0

=

dF

, zatem całka ogólna tego równania wyraża

się następująco:

C

y

x

F

=

)

,

(

.

Wyprowadzimy teraz warunek konieczny i dostateczny na to, aby równanie różniczkowe było równaniem
różniczkowym zupełnym.
Zakładamy wiec, że

0

)

,

(

)

,

(

=

+

dy

y

x

N

dx

y

x

M

jest równaniem różniczkowym zupełnym, czyli istnieje

taka funkcja

)

,

( y

x

F

, że:

dy

y

F

dx

x

F

dy

y

x

N

dx

y

x

M

∂

∂

+

∂

∂

=

+

)

,

(

)

,

(

Zatem

(2)

x

F

y

x

M

∂

∂

=

)

,

(

(3)

y

F

y

x

N

∂

∂

=

)

,

(

(2) różniczkujemy względem y

(3) różniczkujemy względem x

Wówczas

x

y

F

y

M

∂

∂

∂

=

∂

∂

2

y

x

F

x

N

∂

∂

∂

=

∂

∂

2

Przy założeniu, że funkcje

)

,

(

,

)

,

(

y

x

N

y

x

M

ciągłe wraz ze swoimi pochodnymi to zachodzi równość:

x

N

y

M

∂

∂

=

∂

∂

,

co stanowi WARUNEK KONIECZNY I WYSTARCZAJĄCY NA RÓWNANIE RÓŻNICZKOWE
ZUPEŁNE.

Przykład: Rozwiązać równanie różniczkowe:

(

)

0

2

sin

2

cos

2

2

2

=

−

+

dy

y

x

y

ydx

x

z warunkiem

początkowym:

1

)

0

( =

y

.

Rozwiązanie:
1) Sprawdzamy warunek konieczny i dostateczny na równanie zupełne:

Ponieważ

y

x

y

x

M

2

cos

2

)

,

(

=

y

x

y

y

x

N

2

sin

2

)

,

(

2

−

=

Więc

(

)

y

x

y

y

x

y

M

2

sin

2

sin

cos

2

2

−

=

−

⋅

⋅

=

∂

∂

y

x

x

N

2

sin

2

−

=

∂

∂

230

Dla każdej pary

)

,

( y

x

spełniony jest warunek

x

N

y

M

∂

∂

=

∂

∂

.

Zatem równanie (1):

(

)

0

2

sin

2

cos

2

2

2

=

−

+

dy

y

x

y

ydx

x

jest równaniem zupełnym.

2) Szukamy całki ogólnej tego równania zupełnego:

Istnieje taka funkcja

)

,

( y

x

F

, że

)

,

( y

x

M

x

F

=

∂

∂

oraz

)

,

( y

x

N

y

F

=

∂

∂

,

czyli

(2)

y

x

x

F

2

cos

2

=

∂

∂

(3)

y

x

y

y

F

2

sin

2

2

−

=

∂

∂

Całkujemy (2) względem zmiennej x i otrzymujemy:

(4)

)

(

cos

)

,

(

2

2

y

y

x

y

x

F

ϕ

+

=

,

gdzie

)

( y

ϕ

jest dowolną funkcją różniczkowalną pełniącą rolę dowolnej stałej.

Równanie (4) różniczkujemy po zmiennej y, więc

(

)

)

(

sin

cos

2

2

y

y

y

x

y

F

ϕ′

+

−

⋅

⋅

=

∂

∂

czyli

(5)

)

(

2

sin

2

y

y

x

y

F

ϕ′

+

−

=

∂

∂

Porównujemy ze sobą (3) i (5):

y

x

y

y

y

x

2

sin

2

)

(

2

sin

2

2

−

=

ϕ′

+

−

czyli

y

y

2

)

(

=

ϕ′

stąd

(6)

1

2

)

(

C

y

y

+

=

ϕ

,

gdzie

1

C

- dowolna stała.

Wstawiamy (6) do (4) i otrzymujemy:

1

2

2

2

cos

)

,

(

C

y

y

x

y

x

F

+

+

=

Zatem całka ogólna równania zupełnego:

C

y

x

F

=

)

,

(

czyli

C

C

y

y

x

=

+

+

1

2

2

2

cos

stąd ostatecznie:

*

2

2

2

cos

C

y

y

x

=

+

,

gdzie

1

*

C

C

C

−

=

3) Wyznaczamy całkę szczególną:

Korzystamy z warunku początkowego:

1

)

0

( =

y

, tj.

1

,

0

0

0

=

=

y

x

.

Wstawiamy do całki ogólnej:

*

2

2

2

1

1

cos

0

C

=

+

⋅

,

czyli

1

*

=

C

Całka szczególna równania (1):

1

cos

2

2

2

=

+ y

y

x

Ostatecznie rozwiązanie równania

(

)

0

2

sin

2

cos

2

2

2

=

−

+

dy

y

x

y

ydx

x

przy warunku

1

)

0

( =

y

przedstawia się następująco:

1

cos

2

2

2

=

+ y

y

x

.

231

3. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE LINIOWE RZĘDU n O STAŁYCH WSPÓŁCZYNNIKACH

A) RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE LINIOWE JEDNORODNE RZĘDU

n

Def.1.5 (równanie różniczkowe liniowe jednorodne rzędu n )

Równanie różniczkowe postaci:

(1)

( )

(

)

(

)

(

)

0

...

1

3

3

2

2

1

1

=

+

′

+

+

+

+

+

−

−

−

−

y

a

y

a

y

a

y

a

y

a

y

n

n

n

n

n

n

,

gdzie

n

i

a

i

...,

,

2

,

1

, =

∈ R

nazywamy równaniem różniczkowym liniowym jednorodnym n – tego rzędu

o stałych współczynnikach

.

Def.1.6 (liniowo niezależny układ funkcji)

Układ

funkcji

)

(

,

...

),

(

),

(

2

1

x

y

x

y

x

y

n

nazywamy

liniowo

niezależnym

⇔

tożsamość

0

)

(

...

)

(

)

(

2

2

1

1

=

+

+

+

x

y

C

x

y

C

x

y

C

n

n

zachodzi, gdy

0

...,

,

2

,

1

=

=

∀

i

C

n

i

.

Def.1.7 (podstawowy układ całek)

Układ n całek

)

(

,

...

),

(

),

(

2

1

x

y

x

y

x

y

n

równania (1) w przedziale

(

)

b

a

,

nazywamy podstawowym układem

całek

tego równania, jeżeli

(

)

0

,...

,

2

1

≠

n

y

y

y

W

,

gdzie

(

)

(

)

(

)

(

)

)

(

...

)

(

)

(

...

...

...

...

)

(

...

)

(

)

(

)

(

...

)

(

)

(

,...

,

1

1

2

1

1

'

'

2

'

1

2

1

2

1

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

y

y

y

W

n

n

n

n

n

n

n

−

−

−

=

nazywamy wyznacznikiem Wrońskiego (wrońskianem).

Tw.1.3 (o postaci całki ogólnej równania różniczkowego liniowego jednorodnego rzędu n)

Jeżeli funkcje

)

(

,

...

),

(

),

(

2

1

x

y

x

y

x

y

n

stanowią układ n całek szczególnych liniowo niezależnych

równania (1) to

n

i

C

x

y

C

x

y

C

x

y

C

y

i

n

n

...,

,

2

,

1

,

,

)

(

...

)

(

)

(

2

2

1

1

=

∈

+

+

+

=

R

jest całką ogólną tego równania.

WYZNACZANIE

CAŁEK

SZCZEGÓLNYCH

I

CAŁEK

OGÓLNYCH

RÓWNANIA

RÓŻNICZKOWEGO LINIOWEGO JEDNORODNEGO

Rozwiązań szczególnych równania (1) poszukujemy w postaci funkcji wykładniczych:

(2)

rx

e

y

=

,

gdzie r – niewiadoma, którą musimy dobrać tak, aby funkcja (2) spełniała równanie (1).

Obliczamy kolejne pochodne:

(3)

( )

rx

n

n

rx

rx

rx

e

r

y

e

r

y

e

r

y

re

y

=

=

′′′

=

′′

=

′

,

...

,

,

,

3

2

Wstawiamy (2) i (3) do równania (1), stąd

0

...

1

2

2

2

2

1

1

=

+

+

+

+

+

+

−

−

−

−

rx

n

rx

n

rx

n

rx

n

rx

n

rx

n

e

a

re

a

e

r

a

e

r

a

e

r

a

e

r

232

czyli

(

)

0

...

1

2

2

2

2

1

1

=

+

+

+

+

+

+

−

−

−

−

rx

n

n

n

n

n

n

e

a

r

a

r

a

r

a

r

a

r

Ponieważ

0

>

∀

rx

e

x

, zatem po podzieleniu przez

rx

e

otrzymamy równanie:

(4)

0

...

1

2

2

2

2

1

1

=

+

+

+

+

+

+

−

−

−

−

n

n

n

n

n

n

a

r

a

r

a

r

a

r

a

r

Równanie (4) nazywamy równaniem charakterystycznym równania (1).

Postać całek szczególnych

)

(x

y

i

równania wyjściowego zależy od pierwiastków równania

charakterystycznego:

1)

kiedy wszystkie pierwiastki równania (4) są rzeczywiste i różne między sobą:

n

r

r

r

,

...

,

,

2

1

Całki szczególne:

x

r

n

x

r

x

r

n

e

y

e

y

e

y

=

=

=

,

...

,

,

2

1

2

1

Całka ogólna:

x

r

n

x

r

x

r

n

e

C

e

C

e

C

y

+

+

+

=

...

2

1

2

1

2)

kiedy wśród pierwiastków rzeczywistych występuje pierwiastek wielokrotny, np.

1

r

– k – krotny (tzn.

k

r

r

r

=

=

=

...

2

1

),

n

k

r

r

,

...

,

1

+

Całki szczególne:

x

r

n

x

r

k

x

r

k

k

x

r

x

r

x

r

n

k

e

y

e

y

e

x

y

e

x

y

xe

y

e

y

=

=

=

=

=

=

+

+

−

,

...

,

,

,

...

,

,

,

1

1

1

1

1

1

1

2

3

2

1

Całka ogólna:

x

r

n

x

r

k

x

r

k

k

x

r

x

r

x

r

n

k

e

C

e

C

e

x

C

e

x

C

xe

C

e

C

y

...

...

1

1

1

1

1

1

1

2

3

2

1

+

+

+

+

+

+

=

+

+

−

3)

gdy mamy rozwiązanie zespolone: np.

β

+

α

=

j

r

1

(zatem

β

−

α

=

=

j

r

r

1

2

jest rozwiązaniem), czyli

β

+

α

=

j

r

1

,

β

−

α

=

j

r

2

,

n

r

r

r

,

...

,

,

4

3

, przy czym pierwiastki

R

∈

n

r

r

r

,

...

,

,

4

3

i różne między sobą

Całki szczególne:

x

r

n

x

r

x

x

n

e

y

e

y

x

e

y

x

e

y

=

=

β

=

β

=

α

α

,

...

,

,

sin

,

cos

3

3

2

1

Całka ogólna:

x

r

n

x

r

x

x

n

e

C

e

C

x

e

C

x

e

C

y

+

+

+

β

+

β

=

α

α

...

sin

cos

3

3

2

1

Wyjaśnienie:

Całką szczególną jest zarówno część rzeczywista, jak i urojona, gdyż:

(

)

(

)

x

je

x

e

x

j

x

e

e

e

e

e

y

x

x

x

x

j

x

x

j

x

r

β

+

β

=

β

+

β

=

⋅

=

=

=

α

α

α

β

α

β

+

α

sin

cos

sin

cos

1

1

(

)

(

)

x

je

x

e

x

j

x

e

e

e

e

e

y

x

x

x

x

j

x

x

j

x

r

β

−

β

=

β

−

β

=

⋅

=

=

=

α

α

α

β

−

α

β

−

α

sin

cos

sin

cos

2

4)

gdy występuje pierwiastek zespolony wielokrotny:

β

+

α

=

j

r

1

–pierwiastek k – krotny,

β

−

α

=

j

r

2

–

również pierwiastek k – krotny,

n

k

r

r

,

...

,

1

2

+

Całki szczególne:

,

cos

,

...

,

cos

,

cos

1

2

1

x

e

x

y

x

xe

y

x

e

y

x

k

k

x

x

β

=

β

=

β

=

α

−

α

α

,

sin

,

...

,

cos

,

sin

1

2

2

1

x

e

x

y

x

xe

y

x

e

y

x

k

k

x

k

x

k

β

=

β

=

β

=

α

−

α

+

α

+

x

r

n

x

r

k

x

r

k

n

k

k

e

y

e

y

e

y

=

=

=

+

+

+

+

,

...

,

,

2

2

1

2

2

2

1

2

Całka ogólna:

+

β

+

β

+

β

+

+

β

+

β

=

α

+

α

+

α

−

α

α

x

xe

C

x

e

C

x

e

x

C

x

xe

C

x

e

C

y

x

k

x

k

x

k

k

x

x

sin

sin

cos

...

cos

cos

2

1

1

2

1

x

r

n

x

r

k

x

r

k

x

k

k

n

k

k

e

C

e

C

e

C

x

e

x

C

+

+

+

+

β

+

+

+

+

+

+

α

−

...

sin

...

2

2

1

2

2

2

1

2

1

2

233

Przykład: Rozwiązać równanie:

( )

0

16

8

5

=

′

+

′′′

+

y

y

y

Rozwiązanie:
Poszukiwana postać całek szczególnych:

rx

e

y

=

Równanie charakterystyczne:

0

16

8

3

5

=

+

+

r

r

r

(

)

0

16

8

2

4

=

+

+ r

r

r

(

)

0

4

2

2

=

+

r

r

(

) (

)

0

2

2

2

2

=

+

−

j

r

j

r

r

Pierwiastki równania charakterystycznego:

0

1

=

r

,

j

r

2

2

=

(dwukrotny, tzn. k = 2),

j

r

2

3

−

=

(dwukrotny, tzn. k = 2)

Całki szczególne:
Z pierwiastka rzeczywistego

0

1

=

r

otrzymujmy:

1

0

1

=

=

x

e

y

Z dwukrotnych pierwiastków zespolonych, gdzie

2

,

0

=

β

=

α

:

,

2

cos

2

cos

,

2

cos

2

cos

0

3

0

2

x

x

x

xe

y

x

x

e

y

x

x

=

=

=

=

x

x

x

xe

y

x

x

e

y

x

x

2

sin

2

sin

,

2

sin

2

sin

0

5

0

4

=

=

=

=

Całka ogólna jest kombinacją liniową całek szczególnych, tzn.

5

...,

,

2

,

1

,

,

5

5

4

4

3

3

2

2

1

1

=

∈

+

+

+

+

=

i

C

y

C

y

C

y

C

y

C

y

C

y

i

R

Ostatecznie całka ogólna powyższego równania przedstawia się następująco:

x

x

C

x

C

x

x

C

x

C

C

y

2

sin

2

sin

2

cos

2

cos

5

4

3

2

1

+

+

+

+

=

B) RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE LINIOWE NIEJEDNORODNE RZĘDU

n

Def.1.8 (równanie różniczkowe liniowe niejednorodne rzędu n )

Równanie różniczkowe postaci:

(5)

( )

(

)

(

)

(

)

)

(

...

1

3

3

2

2

1

1

x

f

y

a

y

a

y

a

y

a

y

a

y

n

n

n

n

n

n

=

+

′

+

+

+

+

+

−

−

−

−

gdzie stałe

n

i

a

i

...,

,

2

,

1

, =

∈ R

oraz

)

(x

f

jest funkcją ciągłą w pewnym przedziale I, nazywamy

równaniem różniczkowym liniowym niejednorodnym n – tego rzędu o stałych współczynnikach.

Tw.1.4 (o postaci całki ogólnej równania różniczkowego liniowego niejednorodnego rzędu n)

Całka ogólna równania liniowego niejednorodnego (CORRLNJ) rzędu n o stałych współczynnikach (5)
jest sumą dwóch całek:
1° całki ogólnej równania jednorodnego (1):

(CORRLJ),

2° całki szczególnej równania niejednorodnego (5):

(CSRRLNJ)

234

METODY WYZNACZANIA CAŁKI SZCZEGÓLNEJ RÓWNANIA RÓŻNICZKOWEGO
NIEJEDNORODNEGO

METODA PRZEWIDYWAŃ:

Na podstawie postaci funkcji

)

(x

f

przewidujemy postać rozwiązania szczególnego równania

różniczkowego niejednorodnego. Metoda ta ma zastosowanie tylko do pewnych postaci funkcji

)

(x

f

→

Patrz PONIŻSZA TABELA

L.p. Postać funkcji

)

(x

f

Pierwiastek równania
charakterystycznego

Przewidywana postać rozwiązania

0 nie jest

pierwiastkiem

)

(

~

x

P

m

- wielomian stopnia m w

postaci ogólnej

1.

)

(x

P

m

- wielomian stopnia m

0 jest pierwiastkiem

k

– krotnym

)

(

~

x

P

x

m

k

α

nie jest

pierwiastkiem

x

m

e

x

P

α

⋅

)

(

~

2.

x

m

e

x

P

α

⋅

)

(

α

jest pierwiastkiem

k

– krotnym

x

m

k

e

x

P

x

α

)

(

~

⋅

β

± j nie jest

pierwiastkiem

x

x

Q

x

x

P

s

s

β

+

β

sin

)

(

~

cos

)

(

~

{

}

n

m

s

,

max

=

3.

x

x

Q

x

x

P

n

m

β

+

β

sin

)

(

cos

)

(

β

± j jest

pierwiastkiem

k

– krotnym

[

]

x

x

Q

x

x

P

x

s

s

k

β

+

β

sin

)

(

~

cos

)

(

~

{

}

n

m

s

,

max

=

β

±

α

j

nie jest

pierwiastkiem

[

]

x

x

Q

x

x

P

e

s

s

x

β

+

β

α

sin

)

(

~

cos

)

(

~

{

}

n

m

s

,

max

=

4.

[

]

x

x

Q

x

x

P

e

n

m

x

β

+

β

α

sin

)

(

cos

)

(

β

±

α

j

jest

pierwiastkiem

k

– krotnym

[

]

x

x

Q

x

x

P

e

x

s

s

x

k

β

+

β

α

sin

)

(

~

cos

)

(

~

{

}

n

m

s

,

max

=

UWAGA:
Wszystkie wielomiany występujące w postaciach przewidywanych są w POSTACI OGÓLNEJ !!!

Natomiast s jest najwyższym ze stopni występujących wielomianów.

235

Tw.1.5

Jeżeli funkcje

)

(

),

(

2

1

x

y

x

y

są całkami szczególnymi równań niejednorodnych:

1°

( )

(

)

(

)

(

)

)

(

...

1

1

3

3

2

2

1

1

x

f

y

a

y

a

y

a

y

a

y

a

y

n

n

n

n

n

n

=

+

′

+

+

+

+

+

−

−

−

−

2°

( )

(

)

(

)

(

)

)

(

...

2

1

3

3

2

2

1

1

x

f

y

a

y

a

y

a

y

a

y

a

y

n

n

n

n

n

n

=

+

′

+

+

+

+

+

−

−

−

−

to funkcja

)

(

)

(

2

1

x

y

x

y

+

jest całką szczególną równania:

( )

(

)

(

)

(

)

)

(

)

(

...

2

1

1

3

3

2

2

1

1

x

f

x

f

y

a

y

a

y

a

y

a

y

a

y

n

n

n

n

n

n

+

=

+

′

+

+

+

+

+

−

−

−

−

Przykład: Rozwiązać równanie różniczkowe:

( )

1

8

sin

4

4

+

−

=

−

−

x

e

x

y

y

Rozwiązanie:

(*)

( )

1

8

sin

4

4

+

−

=

−

−

x

e

x

y

y

{równanie liniowe rzędu IV-go niejednorodne}

Rozwiązujemy równanie liniowe rzędu IV-go jednorodne:

(**)

( )

0

4

=

− y

y

Rozwiązania równania poszukujemy w postaci funkcji wykładniczej

rx

e

y

=

, gdzie r jest niewiadomą

liczbą, którą należy tak dobrać, aby funkcja ta spełniała równanie jednorodne (**).

Stąd po obliczeniu pochodnych:

(***)

rx

e

y

=

,

rx

re

y

=

′

,

rx

e

r

y

2

=

′′

,

rx

e

r

y

3

=

′′

′

,

( )

rx

e

r

y

4

4

=

Następnie (***) wstawiamy do równania (**) i po podzieleniu przez

rx

e

otrzymujemy równanie

charakterystyczne odpowiadające podanemu równaniu jednorodnemu:

0

1

4

=

−

r

(

)(

)

0

1

1

2

2

=

+

−

r

r

(

)(

)(

)(

)

0

1

1

=

+

−

+

−

j

r

j

r

r

r

j

r

j

r

r

r

−

=

=

−

=

=

4

3

2

1

,

,

1

,

1

{pierwiastki równania charakterystycznego}

Zatem całki szczególne równania jednorodnego (**) mają postać:

x

y

x

y

e

y

e

y

x

x

sin

,

cos

,

,

4

3

2

1

=

=

=

=

−

Całka ogólna równania (**):

x

C

x

C

e

C

e

C

y

x

x

sin

cos

4

3

2

1

0

+

+

+

=

−

Wyznaczamy całkę szczególną równania niejednorodnego (*):

Funkcja

1

8

sin

4

)

(

+

−

=

−

x

e

x

x

f

ma taką postać, na podstawie której nie jesteśmy w stanie przewidzieć

rozwiązania, ale funkcję

)

(x

f

możemy przedstawić korzystając z Tw.1.5 w postaci sumy trzech funkcji

występujących w tabeli podanej na stronie 234.
Zatem

(

)

{

)

(

)

(

)

(

3

2

1

1

8

sin

4

)

(

x

f

x

f

x

x

f

e

x

x

f

+

−

+

=

−

4

3

42

1

3

2

1

236

Stąd

1°

( )

x

y

y

sin

4

4

=

−

2°

( )

x

e

y

y

−

−

=

−

8

4

3°

( )

1

4

=

− y

y

Rozwiązujemy kolejne równania stosując metodę przewidywań.

Ad. 1°

x

x

f

sin

4

)

(

1

=

Wykorzystujemy trzeci wiersz tabeli ze strony 234, gdzie

x

x

Q

x

x

P

x

f

n

m

β

+

β

=

sin

)

(

cos

)

(

)

(

, przy czym

w naszym przypadku mamy:

{

{

x

x

x

f

x

Q

x

P

sin

4

cos

0

)

(

)

(

)

(

1

0

0

⋅

+

⋅

=

{ P

0

(x), Q

0

(x) – wielomiany stopnia zerowego}

Ponieważ

1

=

β

sprawdzamy, czy

j

± jest pierwiastkiem równania charakterystycznego?

TAK,

j

r

=

3

jest pierwiastkiem jednokrotnym (k = 1)

Zatem przewidywana postać rozwiązania szczególnego:

(

)

x

B

x

A

x

y

s

sin

cos

1

+

=

,

gdzie A, B – wielomiany stopnia zerowego w postaci ogólnej.

Obliczamy pochodne:

x

Bx

x

B

x

Ax

x

A

y

s

cos

sin

sin

cos

'

1

+

+

−

=

=

−

+

+

−

−

−

=

x

Bx

x

B

x

B

x

Ax

x

A

x

A

y

s

sin

cos

cos

cos

sin

sin

''

1

x

Bx

x

Ax

x

B

x

A

sin

cos

cos

2

sin

2

−

−

+

−

=

=

−

−

+

−

−

−

=

x

Bx

x

B

x

Ax

x

A

x

Bx

x

A

y

s

cos

sin

sin

cos

sin

2

cos

2

''

'

1

x

Bx

x

Ax

x

B

x

A

cos

sin

sin

3

cos

3

−

+

−

−

=

( )

=

+

−

+

+

−

=

x

Bx

x

B

x

Ax

x

A

x

B

x

A

y

s

sin

cos

cos

sin

cos

3

sin

3

4
1

x

Bx

x

Ax

x

B

x

A

sin

cos

cos

4

sin

4

+

+

−

=

Odpowiednią pochodną

( )

( )

4
1

s

y

oraz przewidywaną postać

(

)

1

s

y

wstawiamy do równania 1°:

x

x

Bx

x

Ax

x

Bx

x

Ax

x

B

x

A

sin

4

sin

cos

sin

cos

cos

4

sin

4

=

−

−

+

+

−

x

x

x

A

x

B

sin

4

cos

0

sin

4

cos

4

+

⋅

=

+

−

Stąd







=

=

−

4

4

0

4

A

B

czyli







=

=

1

0

A

B

Zatem całka szczególna równania 1° ma postać:

x

x

y

s

cos

1

=

Ad.2°
Wykorzystamy drugi wiersz tabeli, gdzie

x

m

e

x

P

x

f

α

⋅

=

)

(

)

(

. W naszym przypadku mamy:

{

x

x

P

e

x

f

−

⋅

−

=

)

(

2

0

8

)

(

Sprawdzamy, czy

1

−

=

α

jest pierwiastkiem równania charakterystycznego?

TAK,

1

2

−

=

r

jest pierwiastkiem jednokrotnym (k = 1)

237

Przewidywana postać rozwiązania szczególnego:

x

s

xAe

y

−

=

2

Zatem

x

x

s

xAe

Ae

y

−

−

−

=

'

2

x

x

x

x

x

s

Axe

Ae

xAe

Ae

Ae

y

−

−

−

−

−

+

−

=

+

−

−

=

2

''

2

x

x

x

x

x

s

Axe

Ae

xAe

Ae

Ae

y

−

−

−

−

−

−

=

−

+

=

3

2

''

'

2

( )

x

x

x

x

x

s

Axe

Ae

xAe

Ae

Ae

y

−

−

−

−

−

+

−

=

+

−

−

=

4

3

4

2

Pochodne i funkcję wstawiamy do równania 2°:

x

x

x

x

e

Axe

Axe

Ae

−

−

−

−

−

=

−

+

−

8

4

x

x

e

Ae

−

−

−

=

−

8

4

czyli

2

=

A

Całka szczególna:

x

s

xe

y

−

= 2

2

Ad.3°

Wykorzystamy pierwszy wiersz tabeli, gdzie

)

(

)

(

x

P

x

f

m

=

. W naszym przypadku mamy:

{

)

(

3

0

1

)

(

x

P

x

f

=

Sprawdzamy, czy 0 jest pierwiastkiem wielomianu?
NIE, wśród pierwiastków równania charakterystycznego 0 nie występuje.

Zatem przewidywana postać:

A

y

s

=

3

Stąd

( )

0

,

0

,

0

,

0

4

3

''

'

3

''

3

'

3

=

=

=

=

s

s

s

s

y

y

y

y

Po wstawieniu do równania 3° mamy:

1

0

=

− A

1

−

=

A

Całka szczególna:

1

3

−

=

s

y

Całka szczególna równania różniczkowego

( )

1

8

sin

4

4

+

−

=

−

−

x

e

x

y

y

jest sumą całek szczególnych

równań: 1°, 2° i 3°.
Zatem

( )

3

2

1

4

3

42

1

4

3

42

1

3

2

1

1

2

cos

s

s

s

y

y

x

y

s

xe

x

x

y

−

+

+

=

−

Na podstawie Tw. 1.4 całka ogólna równania różniczkowego

( )

1

8

sin

4

4

+

−

=

−

−

x

e

x

y

y

jest postaci:

s

y

y

y

+

=

0

,

gdzie

0

y

– oznacza CORRLJ, natomiast

s

y

– CSRRLNJ.

Ostatecznie całka równania liniowego niejednorodnego (CORRLNJ) przedstawia się następująco:

4

4

4

3

4

4

4

2

1

4

4

4

4

4

4

3

4

4

4

4

4

4

2

1

CSRRLNJ

CORRLJ

4

3

2

1

1

2

cos

sin

cos

−

+

+

+

+

+

=

−

−

x

x

x

xe

x

x

x

C

x

C

e

C

e

C

y

238

W przypadkach, gdy prawa strona równania liniowego niejednorodnego (5) jest takiej postaci, że nie
potrafimy przewidzieć postaci całki szczególnej tego równania, stosujemy metodę uzmienniania stałych
(wariacji stałych dowolnych).

METODA UZMIENNIANIA STAŁEJ

Dla równania liniowego niejednorodnego rzędu n

(

)

2

≥

n

metoda ta przedstawia się następująco:

1.

Znajdujemy całkę ogólną równania jednorodnego (1) odpowiadającemu równaniu niejednorodnemu

(5):

n

i

C

x

y

C

x

y

C

x

y

C

y

i

n

n

...,

,

2

,

1

,

,

)

(

...

)

(

)

(

2

2

1

1

=

∈

+

+

+

=

R

2.

Zakładamy, że stałe

n

i

C

i

...,

,

2

,

1

, =

∈ R

są funkcjami zmiennej x, innymi słowy uzmienniamy stałe.

Wówczas:

)

(

)

(

...

)

(

)

(

)

(

)

(

2

2

1

1

x

y

x

C

x

y

x

C

x

y

x

C

y

n

n

+

+

+

=

3.

Tworzymy układ równań:

(

)

(

)

(

)



















=

+

+

+

=

+

+

+

=

+

+

+

=

+

+

+

−

−

−

)

(

)

(

)

(

...

)

(

)

(

)

(

)

(

.........

..........

..........

..........

..........

..........

..........

.

0

)

(

)

(

...

)

(

)

(

)

(

)

(

0

)

(

)

(

...

)

(

)

(

)

(

)

(

0

)

(

)

(

...

)

(

)

(

)

(

)

(

1

'

1

2

'

2

1

1

'

1

''

'

''

2

'

2

''

1

'

1

'

'

'

2

'

2

'

1

'

1

'

2

'

2

1

'

1

x

f

x

y

x

C

x

y

x

C

x

y

x

C

x

y

x

C

x

y

x

C

x

y

x

C

x

y

x

C

x

y

x

C

x

y

x

C

x

y

x

C

x

y

x

C

x

y

x

C

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

4.

Stosując metodę wyznaczników rozwiązujemy układ względem

n

i

x

C

i

...,

,

2

,

1

),

(

'

=

.

Stąd

n

i

W

W

x

C

i

i

...,

,

2

,

1

,

)

(

'

=

=

,

gdzie W – wyznacznik Wrońskiego,

i

W

– wyznacznik, który powstaje z wyznacznika W przez

zastąpienie kolumny i – tej kolumną wyrazów wolnych.

5.

Wyznaczamy

n

i

x

C

i

...,

,

2

,

1

),

(

=

całkując

),

(

'

x

C

i

czyli

n

i

dx

W

W

x

C

i

i

...,

,

2

,

1

,

)

(

=

=

∫

6.

Podstawiając wyznaczone funkcje

n

i

x

C

i

...,

,

2

,

1

),

(

=

do rozwiązania z punktu 2) otrzymujemy całkę

szczególną równania niejednorodnego.

Przykład: Rozwiązać równanie różniczkowe:

x

y

y

2

tg

=

+

′′

1) Wyznaczamy całkę ogólną równania jednorodnego:

0

=

+

′′

y

y

{równanie jednorodne}

0

1

2

=

+

r

{równanie charakterystyczne}

j

r

j

r

=

−

=

2

1

,

{pierwiastki równania charakterystycznego}

x

y

x

y

sin

,

cos

2

1

=

=

{całki szczególne równania jednorodnego}

x

C

x

C

y

sin

cos

2

1

+

=

{całka ogólna równania jednorodnego}

2) Uzmienniamy stałe:

x

x

C

x

x

C

y

sin

)

(

cos

)

(

2

1

+

=

3) Tworzymy układ równań:









=

+

−

=

+

x

x

x

C

x

x

C

x

x

C

x

x

C

2

'

2

'

1

'

2

'

1

tg

cos

)

(

sin

)

(

0

sin

)

(

cos

)

(

239

4) Wyznaczamy

)

(

),

(

'

2

'

1

x

C

x

C

:

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

C

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

C

cos

sin

1

tg

cos

cos

sin

-

sin

cos

tg

sin

0

cos

)

(

,

cos

sin

1

sin

tg

cos

sin

-

sin

cos

cos

tg

sin

0

)

(

2

2

2

'

2

2

3

2

2

'

1

=

=

=

−

=

−

=

=

5) Obliczamy

)

(

),

(

2

1

x

C

x

C

:

(

)

x

x

t

t

dt

t

t

dt

xdx

t

x

dx

x

x

x

dx

x

x

x

C

cos

cos

1

1

1

sin

cos

cos

sin

cos

1

cos

sin

)

(

2

2

2

2

2

3

1

−

−

=

−

−

=

−

=

=

−

=

=

−

−

=

−

=

∫

∫

∫

(

)

∫

∫

∫

∫

−













π

+

=

−

=

−

=

=

x

x

xdx

dx

x

dx

x

x

dx

x

x

x

C

sin

4

2

tg

ln

cos

cos

1

cos

cos

1

cos

sin

)

(

2

2

2

Uwaga: Pomijamy stałe całkowania, gdyż chodzi nam o całki szczególne.

6) Wyznaczamy całkę szczególną równania niejednorodnego:













π

+

+

−

=

=

−













π

+

+

−

−

=













−













π

+

+













−

−

=

4

2

tg

ln

sin

2

sin

4

2

tg

ln

sin

cos

1

sin

sin

4

2

tg

ln

cos

cos

cos

1

2

2

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

y

s

Ostatecznie całka ogólna równania niejednorodnego:













π

+

+

−

+

=

4

2

tg

ln

sin

2

sin

cos

2

1

x

x

x

C

x

C

y

4. UKŁADY RÓWNAŃ RÓŻNICZKOWYCH ZWYCZAJNYCH

Def.1.9 (układ równań różniczkowych zwyczajnych I – go rzędu)

Układem n równań różniczkowych zwyczajnych I – go rzędu

nazywamy układ postaci:

(6)

(

)

(

)

(

)























=

=

=

n

n

n

n

n

y

y

y

x

f

dx

dy

y

y

y

x

f

dx

dy

y

y

y

x

f

dx

dy

,

...

,

,

,

.......

..........

..........

..........

,

...

,

,

,

,

...

,

,

,

2

1

2

1

2

2

2

1

1

1

Niewiadomymi w układzie (6) jest n funkcji

)

(

,

...

),

(

),

(

2

1

x

y

x

y

x

y

n

.

O funkcjach:

(

)

(

)

(

)

n

n

n

n

y

y

y

x

f

y

y

y

x

f

y

y

y

x

f

,

...

,

,

,

,

...

,

,

...

,

,

,

,

,

...

,

,

,

2

1

2

1

2

2

1

1

zakładamy, że są danymi

funkcjami określonymi i ciągłymi w pewnym obszarze przestrzeni

(

)

1

+

n

- wymiarowej.

240

Def.1.10 (rozwiązanie układu)

Rozwiązaniem układu

(6) nazywamy każdy taki układ n funkcji

)

(

,

...

),

(

),

(

2

1

x

y

x

y

x

y

n

, które

podstawione do układu spełniają go dla każdego

x

z pewnego przedziału

(

)

b

a

,

.

Def.1.11 (zagadnienie początkowe)

Zagadnieniem Cauchy’ego (zagadnieniem początkowym)

dla układu równań (6) nazywamy zadanie

polegające na wyznaczeniu takiego rozwiązania:

)

(

,

...

),

(

),

(

2

1

x

y

x

y

x

y

n

tego układu, które dla z góry

danej wartości

0

x

x

=

przyjmuje z góry dane wartości

0

0

2

0

1

,

...

,

,

n

y

y

y

, czyli:

0

0

0

2

0

2

0

1

0

1

)

(

,

...

,

)

(

,

)

(

n

n

y

x

y

y

x

y

y

x

y

=

=

=

WYZNACZANIE CAŁKI OGÓLNEJ UKŁADU RÓWNAŃ METODĄ ELIMINACJI ZMIENNYCH

Metoda ta polega na tym, że drogą rugowania (eliminacji) niewiadomych funkcji sprowadzamy układ
równań (6) do jednego równania różniczkowego n – tego rzędu z jedną niewiadomą funkcją, np.

)

(x

y

n

.

Otrzymujemy wtedy równanie:

(7)

( )

(

)

0

,

...

,

,

,

,

''

'

=

n

n

n

n

n

y

y

y

y

x

F

Znajdujemy następnie całkę ogólną równania różniczkowego (7). Zawiera ona n stałych dowolnych.
Pozostałe niewiadome

)

(

,

...

),

(

),

(

1

2

1

x

y

x

y

x

y

n

−

wyznaczamy z równań uzyskanych drogą rugowania, na

ogół już bez całkowania.

Przykład: Znaleźć całkę ogólną układu równań:












−

−

−

−

=

+

+

=

z

y

x

dx

dz

z

y

x

dx

dy

2

3

2

1

2

Rozwiązanie:
Dla ułatwienia zapisu i komentarzy przyjmijmy następujące oznaczenia poszczególnych równań układu:












−

−

−

−

=

+

+

=

)

2

(

2

3

2

1

)

1

(

2

z

y

x

dx

dz

z

y

x

dx

dy

Z (1) wyznaczamy niewiadomą funkcję z(x): (3)

y

x

dx

dy

z

2

−

−

=

Różniczkujemy (3) i otrzymujemy: (4)

dx

dy

dx

y

d

dx

dz

2

1

2

2

−

−

=

Wyrażenia (3) i (4) wstawiamy do (2):

y

x

dx

dy

y

x

dx

dy

dx

y

d

4

2

2

3

2

1

2

1

2

2

+

+

−

−

−

−

=

−

−

Stąd po przekształceniach: (5)

0

2

2

=

− y

dx

y

d

241

Czyli w innym zapisie:

0

=

−

′′

y

y

{równanie liniowe II – go rzędu jednorodne}

0

1

2

=

−

r

{równanie charakterystyczne}

1

,

1

2

1

−

=

=

r

r

(6)

x

x

e

C

e

C

y

−

+

=

2

1

{całka ogólna równania (5)}

Stąd po wstawieniu (6) oraz obliczonej pochodnej do (3):

x

x

x

x

e

C

e

C

x

e

C

e

C

z

−

−

−

−

−

−

=

2

1

2

1

2

2

Ostatecznie całka ogólna układu:









−

−

−

=

+

=

−

−

x

x

x

x

e

C

e

C

x

z

e

C

e

C

y

2

1

2

1