UKŁADY RÓWNAŃ
WYŻSZYCH
STOPNI
UKŁADY
NIERÓWNOŚCI
UKŁADY RÓWNAŃ
WYŻSZYCH
STOPNI
UKŁADY
NIERÓWNOŚCI
Ćw.1: Rozwiąż algebraicznie układy równań:
a)
b
)
Wyróżnik delta jest ujemny, równanie
kwadratowe wtedy nie ma rozwiązania.
Dlatego nie ma rozwiązania układ równań.
Jedno równanie w układzie jest
kwadratowe, dlatego obliczamy dla niego
deltę i rozwiązania.
c)
d)
Pierwsze równanie w układzie jest
kwadratowe, dlatego obliczamy dla niego
deltę i rozwiązania.
Wracamy do układu równań i
otrzymujemy dwa rozwiązania:
e)
f)
g)
Ćw.2: Rozwiąż graficznie i algebraicznie układy
równań:
a)
Aby graficznie rozwiązać układ równań należy
naszkicować wykresy funkcji zapisanych w układzie
równań:
Wykresem
pierwszego
równania jest
prosta y=-4x.
Wykresem drugiego równania jest
hiperbola.
x
-3
-
2
-1
-
1
2
3
4
y
A
B
•
•
Prosta i hiperbola przecinają
się w dwóch punktach A i B.
Współrzędne tych punktów
spełniają warunki zapisane
w układzie.
b)
Wykresem pierwszego równania jest
prosta y=x.
Wykresem drugiego równania jest
hiperbola o równaniu y=x
3
.
x
-3
-
2
-1
0
1
2
3
y
-
27
-
8
-1
0
1
8
27
Szkicujemy wykresy funkcji zapisanych w układzie
równań:
A
B
C
•
•
•
Prosta i hiperbola przecinają się
w trzech punktach A, B i C.
Współrzędne tych punktów
spełniają warunki zapisane w
układzie.
c)
Wykresem pierwszego równania jest okrąg
o środku S(0,0) i promieniu długości 2.
Wykresem drugiego równania jest
prosta
o równaniu y=x-2.
Szkicujemy wykresy funkcji zapisanych w układzie
równań:
A
B
•
•
-2
Prosta i okrąg przecinają się
w dwóch punktach A i B.
Współrzędne tych punktów
spełniają warunki zapisane
w układzie.
S
d)
Wracamy do układu równań i
otrzymujemy dwa rozwiązania:
S=(-1,-3) r=4
Wykresem drugiego równania jest
prosta
o równaniu y=-x.
Szkicujemy wykresy funkcji zapisanych w układzie
równań:
A
B
•
•
Prosta i okrąg przecinają się
w dwóch punktach A i B.
Współrzędne tych punktów
spełniają warunki zapisane
w układzie.
Wykresem pierwszego równania jest
okrąg, wyznaczymy współrzędne środka i
długość jego promienia.
.S
e)
Wykresami warunków są
parabole.
Szkicujemy wykresy funkcji zapisanych w układzie
równań:
A
•
Parabole przecinają się
w punkcie A. Współrzędne
punktu spełniają warunki
zapisane
w układzie.
Ćw.3: Rozwiąż graficznie układy nierówności:
a)
Rozwiązaniem nierówności jest dwukrotnie zakreskowana
część wspólna obszarów. Współrzędne punktów należących
do części wspólnej spełniają warunki zapisane w układzie.
Szkicujemy wykresy warunków
zapisanych
w układzie.
Rysujemy okrąg o środku w punkcie
S(1,1)
i promieniu długości 1 i zaznaczamy
wnętrze okręgu (warunek pierwszy).
Rysujemy okrąg
o środku w punkcie O(2,1) i promieniu
długości 3 – zaznaczamy wnętrze
okręgu (warunek drugi)
.S .O
b)
Rozwiązaniem nierówności jest dwukrotnie zakreskowana
część wspólna obszarów: półpłaszczyzny i obszaru między
ramionami paraboli. Współrzędne punktów należących do
części wspólnej spełniają warunki zapisane w układzie.
Szkicujemy wykresy warunków
zapisanych
w układzie.
Rysujemy parabolę skierowaną
ramionami do góry, argumenty -2 i 2
są miejscami zerowymi, a punkt W(0,-
4) wierzchołkiem paraboli;
zakreślamy obszar między ramionami.
(warunek pierwszy). Rysujemy prostą
o równaniu y=2x+1 i zaznaczamy
odpowiednią półpłaszczyznę.
(warunek drugi)
.
W
c)
Szkicujemy wykresy warunków
zapisanych
w układzie.
Rysujemy okrąg o środku w punkcie
S(0,0)
i promieniu długości 2 i zaznaczamy
wnętrze okręgu (warunek pierwszy).
Rysujemy prostą
o równaniu y=1 i zaznaczamy
odpowiednią półpłaszczyznę. (warunek
drugi)
Rozwiązaniem nierówności jest dwukrotnie zakreskowana
część wspólna obszarów. Współrzędne punktów należących
do części wspólnej spełniają warunki zapisane w układzie.
S
d)
Rozwiązaniem nierówności jest dwukrotnie zakreskowana
część wspólna obszarów. Współrzędne punktów należących
do części wspólnej spełniają warunki zapisane w układzie.
Szkicujemy wykresy warunków
zapisanych
w układzie.
Rysujemy prostą o równaniu x=2
i zaznaczamy odpowiednią
półpłaszczyznę. (warunek pierwszy)
Rysujemy parabolę skierowaną
ramionami do góry, argument 1 jest
miejscem zerowym, a punkt W(1,0)
wierzchołkiem paraboli, zakreślamy
obszar między ramionami. (warunek
drugi).
W