UKŁADY RÓWNAŃ

WYŻSZYCH

STOPNI

UKŁADY

NIERÓWNOŚCI

Ćw.1: Rozwiąż algebraicznie układy równań:

a)





b
)

Wyróżnik delta jest ujemny, równanie
kwadratowe wtedy nie ma rozwiązania.
Dlatego nie ma rozwiązania układ równań.

Jedno równanie w układzie jest
kwadratowe, dlatego obliczamy dla niego
deltę i rozwiązania.

c)





d)



Pierwsze równanie w układzie jest
kwadratowe, dlatego obliczamy dla niego
deltę i rozwiązania.

Wracamy do układu równań i
otrzymujemy dwa rozwiązania:

e)



f)



g)



Ćw.2: Rozwiąż graficznie i algebraicznie układy
równań:

a)





Aby graficznie rozwiązać układ równań należy
naszkicować wykresy funkcji zapisanych w układzie
równań:

Wykresem
pierwszego
równania jest
prosta y=-4x.

Wykresem drugiego równania jest
hiperbola.

x

-3

-

2

-1

-

1

2

3

4

y

A

B

•

•

Prosta i hiperbola przecinają
się w dwóch punktach A i B.
Współrzędne tych punktów
spełniają warunki zapisane
w układzie.

b)









Wykresem pierwszego równania jest
prosta y=x.

Wykresem drugiego równania jest
hiperbola o równaniu y=x

3

.

x

-3

-

2

-1

0

1

2

3

y

-

27

-

8

-1

0

1

8

27

Szkicujemy wykresy funkcji zapisanych w układzie
równań:

A

B

C

•

•

•

Prosta i hiperbola przecinają się
w trzech punktach A, B i C.
Współrzędne tych punktów
spełniają warunki zapisane w
układzie.

c)





Wykresem pierwszego równania jest okrąg
o środku S(0,0) i promieniu długości 2.

Wykresem drugiego równania jest
prosta
o równaniu y=x-2.

Szkicujemy wykresy funkcji zapisanych w układzie
równań:

A

B

•

•

-2

Prosta i okrąg przecinają się
w dwóch punktach A i B.
Współrzędne tych punktów
spełniają warunki zapisane
w układzie.

S

d)



Wracamy do układu równań i
otrzymujemy dwa rozwiązania:

S=(-1,-3) r=4
Wykresem drugiego równania jest
prosta
o równaniu y=-x.

Szkicujemy wykresy funkcji zapisanych w układzie
równań:

A

B

•

•

Prosta i okrąg przecinają się
w dwóch punktach A i B.
Współrzędne tych punktów
spełniają warunki zapisane
w układzie.

Wykresem pierwszego równania jest
okrąg, wyznaczymy współrzędne środka i
długość jego promienia.

.S

e)

Wykresami warunków są
parabole.

Szkicujemy wykresy funkcji zapisanych w układzie
równań:

A

•

Parabole przecinają się
w punkcie A. Współrzędne
punktu spełniają warunki
zapisane
w układzie.

Ćw.3: Rozwiąż graficznie układy nierówności:

a)

Rozwiązaniem nierówności jest dwukrotnie zakreskowana
część wspólna obszarów. Współrzędne punktów należących
do części wspólnej spełniają warunki zapisane w układzie.

Szkicujemy wykresy warunków
zapisanych
w układzie.
Rysujemy okrąg o środku w punkcie
S(1,1)
i promieniu długości 1 i zaznaczamy
wnętrze okręgu (warunek pierwszy).
Rysujemy okrąg
o środku w punkcie O(2,1) i promieniu
długości 3 – zaznaczamy wnętrze
okręgu (warunek drugi)

.S .O

b)

Rozwiązaniem nierówności jest dwukrotnie zakreskowana
część wspólna obszarów: półpłaszczyzny i obszaru między
ramionami paraboli. Współrzędne punktów należących do
części wspólnej spełniają warunki zapisane w układzie.

Szkicujemy wykresy warunków
zapisanych
w układzie.
Rysujemy parabolę skierowaną
ramionami do góry, argumenty -2 i 2
są miejscami zerowymi, a punkt W(0,-
4) wierzchołkiem paraboli;
zakreślamy obszar między ramionami.
(warunek pierwszy). Rysujemy prostą
o równaniu y=2x+1 i zaznaczamy
odpowiednią półpłaszczyznę.
(warunek drugi)

.
W

c)

Szkicujemy wykresy warunków
zapisanych
w układzie.
Rysujemy okrąg o środku w punkcie
S(0,0)
i promieniu długości 2 i zaznaczamy
wnętrze okręgu (warunek pierwszy).
Rysujemy prostą
o równaniu y=1 i zaznaczamy
odpowiednią półpłaszczyznę. (warunek
drugi)

Rozwiązaniem nierówności jest dwukrotnie zakreskowana
część wspólna obszarów. Współrzędne punktów należących
do części wspólnej spełniają warunki zapisane w układzie.

S

d)

Rozwiązaniem nierówności jest dwukrotnie zakreskowana
część wspólna obszarów. Współrzędne punktów należących
do części wspólnej spełniają warunki zapisane w układzie.

Szkicujemy wykresy warunków
zapisanych
w układzie.
Rysujemy prostą o równaniu x=2
i zaznaczamy odpowiednią
półpłaszczyznę. (warunek pierwszy)
Rysujemy parabolę skierowaną
ramionami do góry, argument 1 jest
miejscem zerowym, a punkt W(1,0)
wierzchołkiem paraboli, zakreślamy
obszar między ramionami. (warunek
drugi).

W