„Matematyka zawiera w sobie nie tylko prawdę, ale i najwyższe piękno – piękno chłodne i surowe, podobne do piękna rzeźby.”

ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ

PIERWSZEGO STOPNIA Z

JEDNĄ NIEWIADOMĄ

Z tej lekcji dowiesz się jak rozwiązać równanie
pierwszego stopnia z jedną niewiadomą
metodą

równań

równoważnych.

Brzmi

strasznie  uczenie?  Nie  martw  się,  na  pewno
zrozumiesz  o  co  chodzi.  Rozwiązywanie
równań z jedną niewiadomą nie jest trudne, a
raz  pojęte  zasady  znajdowania  niewiadomej
pamięta się całe życie…

ODROBINA TEORII.

PRZYKŁAD:

Każde z poniższych równań spełnia liczba 20:
2x + 15 = 3x – 5;

15 + 5 = 3x – 2x;

20 = x

Rozwiązywanie  równań  metodą  równań
równoważnych  polega  na  zapisywaniu
coraz  prostszych  równań  równoważnych
danemu.
Niektóre

operacje

matematyczne

nie

zmieniają

zbioru

rozwiązań

równania,

możemy więc je wykonywać, aby uzyskać
równanie równoważne danemu.

Równania nazywamy równaniami

równoważnymi, gdy mają ten sam zbiór

rozwiązań.

OPERACJE KTÓRE NIE

ZMIENIAJĄ ZBIORU

ROZWIĄZAŃ RÓWNANIA.

Przypomnijmy, każde równanie ma dwie
strony: prawą i lewą.

3x + 9 = 13 + x

Lewa strona

równania

Prawa strona
równania

Operacje które nie zmieniają zbioru rozwiązań
równania:

• dodanie do obu stron równania tego
samego wyrażenia

• odjęcie od obu stron równania tego samego
wyrażenia

• pomnożenie obu stron równania przez tę
samą liczbę różną od zera

• podzielenie obu stron równania przez tę
samą liczbę różną od zera

PRZYKŁADY.

PRZYKŁAD 1.
3x – 5 = 16 | +5

(do obu stron równania dodajemy 5 – to

oznacza zapis | +5)

3x – 5 + 5 = 16 + 5
3x = 21
PRZYKŁAD 2.
6x + 15 = -45 | -15

(od obu stron równania odejmujemy

15)

6x + 15 – 15 = -45 – 15
6x = -60
PRZYKŁAD 3.

(obie strony równania mnożymy przez 2)

PRZYKŁADY.

PRZYKŁAD 3 – ciąg dalszy.

x – 3 = 10
PRZYKŁAD 4.
5(x + 7) = 55 | : 5

(obie strony równania dzielimy przez 5)

5(x + 7) : 5 = 55 : 5
x + 7 = 11
We wszystkich przykładach otrzymaliśmy
równania które łatwo rozwiązać w pamięci,
jednak przy rozwiązywaniu równania dążymy
do otrzymania postaci x = liczba.

ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ.

Oto przykłady rozwiązywania równań metodą
równań równoważnych:
PRZYKŁAD 1.
7x – 6 = 3x + 14 | + 6

(do obu stron równania dodajemy

7x = 3x + 20 | - 3x

(od obu stron równania odejmujemy 3x)

4x = 20 | : 4

(obie strony równania dzielimy przez 4)

x = 5

(rozwiązaniem równania jest liczba 5)

Sprawdźmy czy rozwiązanie jest prawidłowe:
L = 7 ∙ 5 – 6 = 35 – 6 = 29
P = 3 ∙ 5 + 14 = 15 + 14 = 29
L = P a więc nasze równanie jest prawidłowo
rozwiązane.

ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ.

PRZYKŁAD 2.

(mnożymy obie

strony równania przez 8 –

ogólnie: przez liczbę dzięki

której
„pozbędziemy się”
ułamków)

2(x – 1) = 4x + 3 – 2x

(upraszczamy obie strony

równania)

2x – 2 = 2x + 3 | - 2x

(odejmujemy od obu stron

równania 2x)

-2 = 3

(oczywiście jest to sprzeczność, co świadczy o tym, że

dane równanie nie ma
rozwiązania – jest równaniem sprzecznym)

Zawsze, kiedy po rozwiązaniu równania
otrzymamy

sprzeczność,

będzie

oznaczało, że dane równanie jest równaniem
sprzecznym – nie ma rozwiązań.

ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ.

PRZYKŁAD 3.

(mnożymy obie strony

równania przez 2)

12 + 2x + 7 = 2x + 19

(upraszczamy co się da)

2x + 19 = 2x + 19 | - 2x

(od obu stron równania odejmujemy

2x)

19 = 19

(otrzymaliśmy tożsamość, a więc nasze równanie spełnia

każda liczba –
- jest to równanie tożsamościowe)

Zawsze, kiedy po rozwiązaniu równania
otrzymamy tożsamość, oznaczać to będzie, że
dane równanie jest tożsamościowe – spełnia je
każda liczba.

PRZENOSZENIE.

Dodawanie  do  obu  stron  równania  i
odejmowanie  od  obu  stron  równania  tych
samych  wyrażeń  można  interpretować  także
jako  przenoszenie  tych  wyrażeń  na  drugą
stronę  równania  ze  znakiem  zmienionym  na
przeciwny  (jeśli  był  +,  po  drugiej  stronie
równania będzie -, jeśli był – będzie +).
Przy

rozwiązywaniu

bardziej

skomplikowanych

równań

przenoszenie

wyrazów jest o wiele wygodniejsze .

PRZYKŁAD.

Sposób I (jak
wcześniej)

Sposób II
(przenoszenie)

4x + 2 = 3x -1 | - 2

4x + 2 – 2 = 3x – 1 –
2

4x = 3x - 3 | - 3x

4x – 3x = 3x – 3 – 3x

x = - 3

+ 2

3x – 1

(przenosimy 2)

3x – 1

– 2

– 3

(przenosimy

3x)

– 3x

-3

(po zmianie znaku
jest – 2)

(po zmianie znaku
jest – 3x)

PRZYKŁADOWE ZADANIA.

ZADANIE 1.
Zapisz i rozwiąż odpowiednie równanie.
Średnia arytmetyczna trzech liczb: liczby x,

trzykrotności liczby x i liczby o 10 większej
od x wynosi 16. Co to za liczby?

5x + 10 = 48 | - 10
5x = 38 | : 5
x = 7,6
Te liczby to 7,6; 22,8 oraz 17,6.

PRZYKŁADOWE ZADANIA.

ZADANIE 3.
Rozwiąż równanie i sprawdź poprawność
rozwiązania.

2x – 3[x – (4x + 1)] = 4 – (x + 1)

(upraszczamy co się da)

2x – 3(x – 4x – 1) = 4 – x – 1
2x – 3(-3x – 1) = -x + 3
2x + 9x + 3 = -x +3
11x + 3 = -x + 3
11x + x = 3 – 3
12x = 0 | : 12

(przenosimy niewiadome na jedną
stronę równania, a liczby na drugą
stronę)

Document Outline