-chemia: Ile trzeba wziąć 10% roztworu octu, aby po dolaniu 100g wody otrzymać sześcioprocentowy roztwór?
Rozwiązanie: 
=> x=150g.
Jolanta Roszko
Równania z jedną niewiadomą- gimnazjum
Omówione podręczniki to: „Matematyka wokół nas”, „Matematyka 2001”, „Matematyka z plusem”, „Matematyka nowej ery”
W którym miejscu jest wprowadzone, co jest potrzebne aby je wprowadzić?
Równania z jedną niewiadomą wprowadzane są w pierwszej klasie w dziale „Równania i nierówności”.
Potrzebna jest znajomość:
pojęć: wyrażenie algebraiczne, równanie, niewiadoma,
działań na wyrażeniach algebraicznych, redukcja wyrazów podobnych
Sposoby wprowadzenia.
„Matematyka Nowej Ery”
Na wstępie omówione jest w jaki sposób można rozwiązywać równania, później jest kilka zadań dotyczących rozwiązania i sprawdzenia równań, kolejne zadania są na zastosowanie równań do rozwiązywania zadań tekstowych
„Matematyka 2001”
Temat wprowadzono za pomocą zagadki: Pięć puszek i kilogram waży tyle, co trzy puszki i pięć kilogramów. Ile waży puszka? Przedstawione są trzy rysunki wag i należy wybrać który z nich ilustruje zagadkę. Do pozostałych wag należy ułożyć zagadki i równania, a następnie rozwiązać wszystkie równania. Następnie są przedstawione trzy sposoby rozwiązania jednego równania. Kolejne zadania dotyczą doskonalenia umiejętności rozwiązywania równań.
„Matematyka wokół nas”
Na początku omówione jest co to jest równanie z jedną niewiadomą, następnie są dwa przykłady rozwiązania równania, a później już są tylko zadania utrwalające. Najpierw z poleceniem : „Rozwiąż równania”, kolejne to zadania z treścią (pierwsze zadanie z tej serii jest przykładowo rozwiązane)
„Matematyka z plusem”
Zagadnienie jest omówione bardzo szczegółowo i obszernie. Na początku omówione jest do czego służą równania w jakich sytuacjach możemy je wykorzystać, do czego mogą być nam pomocne. Omówione jest to na przykładzie narysowanych domków z zapałek. Pierwsze zadania dotyczą tylko napisania równania do tekstu z zadania. Później omówione są liczby spełniające równania, przykład i objaśnienie pojęć: równanie tożsamościowe, sprzeczne, równoważne, zbiór rozwiązań równania, a następnie kilka zadań utrwalających te pojęcia. Później dokładnie omówione jest w jaki sposób rozwiązuje się równania oraz przykłady, dalej znajdziemy zadania doskonalące umiejętność rozwiązywania równań, a następnie zadania tekstowe poprzedzone przykładowo rozwiązanym zadaniem
Jakie problemy, trudności mogliby mieć uczniowie podczas realizacji tego zagadnienia?
Uczniowie mogą mieć problem z zapisaniem równania, z wykonywaniem działań stronami, z redukcją wyrazów podobnych, zapominają o zmianie znaku przy przenoszeniu wyrazu równania z jednej strony na drugą, nie zawsze zachowują kolejność wykonywania działań, mogą mieć problem gdy zamiast niewiadomej x pojawi się inna litera, ze sprawdzeniem równania, z podaniem odpowiedzi do zadania z treścią (nie zawsze wiedzą co liczą)
Podczas realizacji, jakich tematów są one później wykorzystywane?
Równania z jedną niewiadomą są podstawą do wprowadzenia układów równań. Wykorzystywane są niemal w każdym dziale.
Czy występują i w jakiej postaci na egzaminach zewnętrznych, podać przykłady zadań uwzględniając poszczególne standardy.
Tak występują na egzaminach zewnętrznych
Zadanie 1
Uzupełnij rachunek wystawiony przez firmę budowlaną,
wpisując w wykropkowanych miejscach obliczone wartości.
|
Liczba sztuk |
Cena netto |
VAT (22% ceny netto) |
Razem |
Okno |
1 |
1200 zł |
......................... |
....................... |
Drzwi |
1 |
......................... |
........................ |
3538 zł |
Zapisz obliczenia.
Przykład 1.
Obliczenie podatku VAT za okno - 22% liczby 1200
0,22 · 1200 zł = 264 zł
Obliczenie ceny brutto okna (cena netto + podatek VAT)
1200 zł + 264 zł = 1464 zł
Obliczenie ceny netto drzwi
x - cena netto drzwi
x + 0,22x = 3538
1,22x = 3538
x = 3538 : 1,22
x = 2900 (zł)
Obliczenie podatku VAT za drzwi (cena brutto - podatek VAT)
3538 zł - 2900 zł = 638 zł
Przykład 2.
Obliczenie podatku VAT za okno z proporcji
X - 100%
1200 - 22%
X=(1200 22 )\100= 264 (zł)
1200 + 264 = 1464 (zł) - cena brutto okna
Obliczenie ceny netto drzwi z proporcji% 100 % 122
X - 122%
3538 - 100%
x = 2900 (zł)
Obliczenie podatku VAT za drzwi
3538 - 2900 = 638 (zł)
(V.1 Wykorzystanie wiedzy w praktyce)
Zadanie 2
Trzy lata temu posadzono przed domem krzew. Co roku podwajał on swoją wysokość i teraz ma 144 cm. Jeśli przez x oznaczymy wysokość krzewu w dniu posadzenia, to informacjom z zadania odpowiada równanie
A. x= 144 B. 4x = 144 C. 6x =144 D. 8x = 144
(V.1 Wykorzystanie wiedzy w praktyce)
6) Czy można w jakiś sposób wykorzystać je podczas realizacji ścieżek międzyprzedmiotowych lub podczas realizacji programu z innego przedmiotu?
Można wykorzystać je podczas realizacji programu z innych przedmiotów:
-chemia: Ile trzeba wziąć 10% roztworu octu, aby po dolaniu 100g wody otrzymać sześcioprocentowy roztwór?
Rozwiązanie:
=> x=150g.
- fizyka: Rowerzysta obliczył, że jadąc ze średnią prędkością 20 km\godz. Przyjedzie do miasta na określoną godzinę. Po przebyciu 1/3 drogi zużył 6 min na drobną naprawę i aby zdążyć musiał resztę drogi jechać z prędkością 24 km\godz. Jaką drogę przebył rowerzysta?
- geografia: Kolejka elektryczna jadąca z Gdańska do Gdyni zatrzymuje się na kilkunastu stacjach, między innymi w Oliwie i w Sopocie. Oblicz jak długo jedzie kolejka z Gdańska do Gdyni, jeśli wiadomo, że:
Jedną czwartą tego czasu jedzie z Oliwy do Sopotu
Z Gdańska do Sopotu jedzie 21 min
Z Oliwy do Gdyni jedzie 19 min
- technika: Z drutu o długości 54 cm zrób ramkę w kształcie trójkąta równoramiennego. Jakie będą ramiona tego Trójkąta, gdy podstawa ma 8 cm?
Ścieżki edukacyjne:
- filozoficzna:
Która jest godzina? zapytał ktoś Pitagorasa. Pozostało jeszcze z doby dwie trzecie tego, co już upłynęło odpowiedział filozof. Która była godzina?
-prozdrowotna:
Gdyby Jan, który nigdy nie palił tytoniu, palił przez ostatnie 40 lat po 2 paczki papierosów dziennie, to skróciłby swoje życie o 25%. Gdyby Jan palił przez ostatnie 40 lat o połowę mniej dziennie, to skróciłby swoje życie o 10 lat, czyli żyłby o 10 lat dłużej, niż gdyby palił po 2 paczki w ciągu doby.
Ile lat żył Jan nigdy nie paląc papierosów?
Ile lat by żył Jan, gdyby palił dziennie 2 paczki papierosów przez 40 lat?
-ekologiczna:
W ciągu godz z kapiącego kranu skapie litr wody. O jaką kwotę dostaniemy wyższy rachunek, gdy kran naprawimy:
a) po tygodniu
b) po miesiącu
i wiemy, że za m^3 płacimy 20zł
7) Sformułować cele operacyjne do poszczególnych zagadnień.
Cele operacyjne:
- uczeń zna pojęcia: niewiadoma, wyrażenie algebraiczne, strony równania
- uczeń potrafi: zapisać i rozwiązać równanie do danego zadania, wykonywać działania stronami,
- uczeń umie: redukować wyrazy podobne
8) Przedstawić podstawowe zadania, które należałoby wykonać z uczniami, aby mogli opanować to zagadnienie. Zadania ciekawe, oryginalne, zadania dla uczniów bardzo zdolnych.
Zadania typowe:
Na wycieczkę szkoloną Dawid otrzymał od rodziców pewną sumę pieniędzy. Pierwszego dnia wydał połowę tej sumy, drugiego 
reszty, trzeciego 17zł i okazało się, że zostało mu 3zł. Ile pieniędzy wydał Dawid pierwszego dnia?
Średnia arytmetyczna liczby x i liczby o 7 większej od x wynosi 20.
Zadania ciekawe:
1) Trzej bracia podzielili się pewną kwotą pieniędzy. Jeden wziął 30% całej kwoty, drugi 
tego co pierwszy i jeszcze 240 zł. Okazało się, że dla trzeciego zostało tyle co wziął pierwszy. Jaka była kwota do podziału?
2) Należy zebrać pieniądze na wycieczkę. Jeżeli każdy z uczestników wycieczki zapłaci po 75 zł, to na pokrycie kosztów wycieczki zabraknie 200zł, a jeżeli każdy zapłaci po 80 zł, to zostanie 200zł. Ile osób bierze udział w wycieczce?
3) Na bardzo nudnym wykładzie połowa studentów drzemie, a jedna trzecia rozwiązuje krzyżówki. Wśród pozostałych sześciu słuchaczy pięć osób czyta książkę i tylko jedna studentka pilnie notuje. Ile studentów jest obecnie na tym wykładzie?
Gdy pan N.A.Iwniak zaczynał grę z panem O.Szustem miał tyle samo gotówki co on. Na początku wygrał 20zł, ale potem przegrał 2/3 tego co posiadał. W rezultacie miał 4 razy mniej pieniędzy niż O.Szust. Z jaką kwotą obaj panowie rozpoczęli grę?
9) Jakie ciekawe metody, środki dydaktyczne można wykorzystać podczas realizacji tego zagadnienia?
Za pomocą zagadek matematycznych lub można przynieść wagę jako pomoc