Aleksandra Fiedzkowicz III MF
4.01.2008
Zdarzenia losowe
Gimnazjum
Definicja:
To takie zdarzenia (doświadczenia), które mogą zakończyć się jednym z wielu możliwych wyników, ale nie wiadomo którym. Przy powtarzaniu zdarzeń losowych częstosci poszczególnych wyników (liczby, określające ile razy pojawił się wynik) wydają się przewidywalne. Rozważając zdarzenie losowe staramy się przewidywać, jakie będą częstości wyników, jeśli doświadczenia będziemy wykonywać wiele razy.
W którym miejscu zagadnienie to jest wprowadzone, co jest potrzebne, żeby wprowadzić?
W trzech omówionych przeze mnie programach zagadnienie to pojawia się w różnych miejscach.
Matematyka 2001 - klasa I (ostatni temat)
Matematyka krok po kroku - klasa III (osobny dział nr 3 - Doświadczenia losowe)
Matematyka z plusem - klasa II (w ostatnim dziale - Statystyka)
Aby móc wprowadzić pojęcie zdarzenia losowego potrzebna jest przede wszystkim znajomość układu współrzędnych, obliczanie średniej arytmetycznej, wprowadzenie do statystyki, czyli opracowywanie danych. Uczniowie powinni posiadać już umiejętność tworzenia tabelek i diagramów.
Sposoby wprowadzenia:
W zależności od podręcznika zagadnienie to wprowadzane było w różny sposób:
Matematyka 2001
Nie podano żadnej definicji. Temat wprowadzający do zdarzeń losowych brzmiał: Gra w sumy. Lekcja rozpoczyna się grą w której nauczyciel ustawia 20 uczniów w rzędzie, gdzie każdemu uczniowi jest przyporządkowany numer od 1 do 20, i rzuca dwiema sześciennymi kostkami do gry. W zależności od sumy liczb jakie wypadną na obu kostkach prowadzący podaje numer ucznia, który ma zrobić krok do przodu. Celem jest pokazanie, który z uczniów zrobi jak najwięcej kroków, jeżeli nauczyciel będzie rzucał 20 razy.
Po pewnym czasie uczniowie sami zauważają, że
Nigdy nie wypadnie numer 1, ponieważ najmniejsza suma jaka może wypaść to 2.
Nigdy nie wypadnie numerki od 13 do 20, gdyż największą sumą jest 12.
Najczęściej wypada numer 7, a najrzadziej 2 i 12
Uczniowie sporządzają tabelkę, w której wyraźnie widać jakie wyniki wypadają najczęściej.
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
Następnie uczniowie mają za zadanie odpowiedzieć na pytania do sporządzonej przez siebie tabelki:
a)Na ile sposobów może powstać suma 4 w tej grze.
b)Czy w tej grze suma 6 jest bardziej prawdopodobna niż suma 8?
Podobnie można grać w różnice, iloczyny i tym podobne.
Matematyka krok po kroku
Na początku pojawia się krótka historyjka o naukowcu, który zauważył chaotyczne ruchy cząsteczek gazu (ruchy Browna) i następuję nawiązanie do tego, że cząsteczko zderzają się ze sobą losowo, bez jakiegoś określonego porządku.
Następnie pokazano temperaturę w Słupsku, którą zanotowano w ciągu kilku dni. Widać wyraźnie, że wysokość słupka rtęci jest różna w każdym dniu i nie ma żadnych proporcjonalnych zależności między wysokością temperatury między podanymi dniami. Można powiedzieć, że dana temperatura także występuje losowo.
Później pokazano przykłady z rzutami monetą, talią kart itp.
Po omówieniu powyższych przykładów nastąpiło zdefiniowanie czym jest:
- zdarzenie niemożliwe
- zdarzenie pewne
- zdarzenie elementarne
Matematyka z plusem
Pokazane są na wstępie przykłady rzucania monetą lub kostką do gry i możliwe wyniki. Następnie podane są do rozwiązania zadania o różnym stopniu trudności, pojawiają się już określenia takie jak: co jest bardziej prawdopodobne, oblicz prawdopodobieństwo, itp. Brak dużej ilości przykładów, dokładnego omówienia.
Podczas realizacji jakich tematów są one później wykorzystywane?
Zarówno w Matematyce 2001 jak i Matematyce krok po kroku zagadnienie to jest wykorzystywane przy okazji wprowadzania podstaw rachunku prawdopodobieństwa. Natomiast w Matematyce z plusem temat dotyczący zdarzeń losowych jest sciśle związany z wprowadzeniem do rachunku prawdopodobieństwa, który nie posiada odrębnego tematu w tym podręczniku.
Jakie problemy, trudności mogliby mieć uczniowie podczas realizacji tego zagadnienia?
Zrozumienie faktu, że najczęstszym (oczekiwanym) wynikiem w powtarzanym doświadczeniu jest wartość średnia.
Przyswojenie przez ucznia, że zdarzenia losowe nie zależą od niczego proporcjonalnie, że są chaotyczne.
Czy występują i w jakiej postaci na egzaminach zewnętrznych, podać przykłady zadań uwzględniając poszczególne standardy
Na zadnym egzaminie zewnętrznym nie wystąpiło żadne zadanie poruszające zagadnienie zdarzeń losowych. Mimo to podane przeze mnie zadania możnaby wykorzystać na egzamin:
1. Doświadczenie losowe polega na zakręceniu dwoma bączkami. Narysuj drzewko tego doświadczenia. Podaj wynik, którego szansa wynosi 1/3.
(S. III.1. Wskazywanie prawidłowości w procesach, w funkcjonowaniu układów i systemów)
2. W worku znajdują się 3 kule czerwone i 2 białe. Losujesz jedną kulę i wrzucasz z powrotem. Losujesz drugą. Oblicz szanse zdarzenia, że obie wylosowane kule bedą tego samego koloru.
(S. IV.2 Analizowanie sytuacji problemowej)
3. W worku znajdują się 2 kule białe i 6 czarnych. Losujesz kulę, a następnie wkładasz z powrotem do worka i losujesz po raz drugi. Szanse wylosowania dwukrotnie kuli białej wynoszą:
a) 4/8 b) 4/64 c) 4/16 d) 4/36
(S. IV.2 Analizowanie sytuacji problemowej)
4. W tabelce poniżej mamy wyniki doświadczenia z monetą.
Nr rzutu |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
Wynik |
O |
O |
O |
R |
R |
R |
R |
O |
R |
O |
Odpowiedz na pytania Tak lub Nie:
Szansa, że wypadnie reszka w tym doświadczeniu jest ½.
W tym doświadczeniu częściej wypadał orzeł.
Ilość możliwych zdarzeń w tym doświadczeniu jest równa trzy.
(S. II.1,2 Wyszukiwanie i stosowanie informacji)
Czy można w jakiś sposób wykorzystać je podczas realizacji ścieżek międzyprzedmiotowych i edukacyjnych?
Wprowadzając zdarzenia losowe częstym odnośnikiem są przykłady wzięte z życia, tak jak rzuty monetą czy kostką. Mimo to można w przyrodzie odnaleźć podobne zdarzenia następujące losowo.
Ścieżki międzyprzedmiotowe:
Fizyka
Zad. W otwartym garnku postawionym na ogniu zaczyna wrzeć woda. W ciagu pierwszej sekundy wrzenia wyparowało 10 ml wody. W następnej sekundzie wyparowało 15 ml. W kolejnej 12 ml. O czym świadczą takie wyniki w doświadczeniu? Podaj co najmniej po dwa zdarzenia pewne i niemożliwe w tym doświadczeniu, przyjmując, że woda wrzała cały czas.
Biologia
Zad. Nasze doświadczenie wygląda następująco: kura zniosła 5 jaj i mamy zdarzenia: z jednego wykluły się dwa pisklęta, z dwóch kolejnych po jednym pisklęciu i z dwóch pozostałych jaj jedno pisklę. Czy potrafisz znaleźć w tym doświadczeniu zdarzenie elementarne, pewne i niemożliwe?
2. Ścieżki edukacyjne:
Ekologiczna
Zad. Tabelka poniżej przedstawia ilość odpadów w tonach wyprodukowanych przez jeden z krajów Unii Europejskiej w ciągu ostatnich 10 lat:
1997 |
1998 |
1999 |
2000 |
2001 |
2002 |
2003 |
2004 |
2005 |
2006 |
1,5 |
1,2 |
1,2 |
0,9 |
2,0 |
1,3 |
1,2 |
1,2 |
1,4 |
1,2 |
Zaznacz odpowiedz prawdziwą:
Zdarzenie, że w 2001 kraj ten wyprodukował 2 tony odpadów jest zdarzeniem niemożliwym.
Zdarzenie, że w 2007 roku kraj wyprodukuje więcej niż 2 tony odpadów jest mało prawdopodobne.
Zdarzeniem elementarnym jest tylko jedno z podanych wyżej zdarzeń.
Prozdrowotna
Zad. Co piąty nałogowy palacz, co piętnasty bierny palacz i co dwudziesty niepalący choruje na raka płuc. Co jest bardziej prawdopodobne: zdarzenie, że nałogowy palacz zachoruje na raka, czy zdarzenie, że niepalący nie zachoruje na tą chorobę?
Sformuować cele operacyjne do zagadnienia „Zdarzenia losowe”:
Uczeń:
podaje przykłady zdarzeń losowych (P)
opisuje zbiór zdarzeń elementarnych (P)
określa zdarzenia sprzyjające danemu zdarzeniu (P)
określa zdarzenia pewne i niemożliwe, podaje przykłady takich zdarzeń (P)
podaje przykłady zdarzeń warunkowych i analizuje szansę ich zajścia (P)
wypisuje elementy skończonego zbioru zdarzeń elementarnych (P)
rozpoznaje zdarzenie pewne i niemożliwe (P)
podaje przykłady zdarzeń pewnych i niemożliwych (P)
podaje przykłady zdarzeń losowych z otaczającej go rzeczywistości i modele matematyczne takich zdarzeń (PP)
określa liczbę zdarzeń elementarnych w powtarzającym się doświadczeniu (PP)
wykorzystuje elementy kombinatoryki w obliczeniach dotyczących zdarzeń losowych (PP)
Przedstawić podstawowe zadania, które należałoby wykonać z uczniami, aby mogli opanować to zagadnienie, zadania ciekawe, orginalne, zadania dla uczniów bardzo dobych (rozwijające)
Jakie można wykorzystać ciekawe metody, środki podczas realizacji tego zagadnienia?
Zadania dla opanowania danego zagadnienia
1. Określ, czy dany opis jest przykładem zdarzenia losowego:
- wysokość Pałacu Kultury i Nauki
- wylosowanie damy kier z talii kart
- wyciągnięcie 4 asów w losowaniu 4 kart z talii
2. Przerysuj tabelkę zamieszczoną niżej. Poproś jak najwięcej osób o skreślenie na kuponie trzech liczb. Uporządkuj wyniki badań i przedstaw je tak, aby możnabyło sprawdzić, czy prawdziwe jest zdanie: Osoby wypełniające kuponu rzadziej skreślają liczby umieszczone przy brzegu kuponu.
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
21 |
22 |
23 |
24 |
25 |
Zadania ciekawe, orginalne
1. Z punktu (-4,0) w układzie współrzędnych startuje pszczoła. Jej ruchy zależą od ruchu kostką do gry. Jeżeli wypadnie 1,2,3 lub 4, to pszczoła posuwa się o jednostkę w prawo. Jeżeli 5 lub 6, to posuwa się o jedną jednostkę w górę. Na osi y umieść kwiatek tak, aby pszczoła miała największe szanse w niego trafić. Gdzie go umieścisz i dlaczego wybrałeś takie miejsce?
2. W czasie Juwenalii studenci proponują Ci taką grę. Płacisz 1 zł i za to otrzymujesz możliwość rzutu trzema kostkami. Za każdą otrzymaną szóstkę w tym rzucie dostajesz 2 zł i zwrot złotówki, którą zapłaciłeś. Jeżeli nie ma szóstki, przegrałeś swoją złotówkę. Czy warto grać w taką grę?
3. W jednej szkatułce jest 10 monet złotych i 14 srebrnych, a w drugiej jest 70 monet złotych i 100 srebrnych. Możesz wylosować jedną monetę z jednej z tych szkatułek. Którą szkatułkę wybierzesz, aby mieć większą szansę wylosowania monety złotej?
Zadania dla uczniów bardzo dobrych
1. Określ, czy liczba zdarzeń elementarnych w rzucie n sześciennymi kostkami do gry jest większa od liczby zdarzeń elementarnych w rzucie 3n monetami.
2. Rzucamy złotówkę, 2-złotówkę i 5-złotówkę. Jakie jest prawdopodobieństwo, że na wszystkich trzech monetach wypadnie orzeł?
3. Kostka ma kształt czworościanu foremnego. Jej ściany mają numery 1,2,3,4. Jakie jest prawdopodobieństwo, że po rzuceniu kostką:
- suma liczb na trzech widocznych ścianach będzie równa 7
- suma liczb na trzech widocznych ścianach będzie większa od 7
- suma liczb na trzech widocznych ścianach bedzie równa 5
Napisać konspekt lekcji na jedną jednostkę lekcyjną dotyczącą danego zagadnienia.
Załącznik 1.
Uwagi końcowe:
Literatura:
Matematyka 2001 - podręcznik dla klasy I gimnazjum, A.Bazyluk, J.Chodnicki, WsiP, Warszawa 1999
Matematyka 2001 - podręcznik dla klasy II gimnazjum, A.Bazyluk, J.Chodnicki, WsiP, Warszawa 2000
Matematyka 2001 - podręcznik dla klasy III gimnazjum, A.Bazyluk, J.Chodnicki, WsiP, Warszawa 2001
Matematyka krok po kroku - podręcznik do klasy I gimnazjum, J.Jędrzejewski, K.Gałązka, E.Lesiak, Respolona, Łodź 1999
Matematyka krok po kroku - podręcznik do klasy II gimnazjum, J.Jędrzejewski, K.Gałązka, E.Lesiak, Respolona, Łodź 2000
Matematyka krok po kroku - podręcznik do klasy III gimnazjum, J.Jędrzejewski, K.Gałązka, E.Lesiak, Respolona, Łodź 2000
Matematyka krok po kroku - zbiór zadań do klasy III gimnazjum, J.Jędrzejewski, K.Gałązka, E.Lesiak, Respolona, Łodź 2000
Matematyka krok po kroku - poradnik metodycznydo klasy III gimnazjum, J.Jędrzejewski, K.Gałązka, E.Lesiak, Respolona, Łodź 2000
Matematyka z plusem - podręcznik do klasy I gimnazjum, Z.Bolałek, M.Jucewicz, A.Mysior, GWO, Gdańsk 1999
Matematyka z plusem - podręcznik do klasy II gimnazjum, Z.Bolałek, M.Jucewicz, A.Mysior, GWO, Gdańsk 2000
Matematyka z plusem - podręcznik do klasy III gimnazjum, Z.Bolałek, M.Jucewicz, A.Mysior, GWO, Gdańsk 2001