TWIERDZENIE PITAGORASA I JEGO ZASTOSOWANIE W GIMNAZJUM

„... Nie wierzę w Napoleona!

Wierzę w Pitagorasa, bo pozostało po nim

twierdzenie nie do obalenia.

Przed Pitagorasem biję czołem ....”

Kornel Makuszyński

„Szatan z siódmej klasy ”

WSTĘP

Wprowadzona reforma systemu edukacji istotę procesu opiera na wielowiekowym komunikowaniu się i diagnozowaniu problemów, przed którymi stoi współczesny człowiek. Uczniowie uczą się dostrzegać prawidłowości matematyczne w otaczającym świecie i rozwijać praktyczne umiejętności. Twierdzenie Pitagorasa jest jednym z najbardziej znanych i lubianych twierdzeń przez uczniów. Udowodnił to twierdzenie wybitny matematyk i filozof grecki żyjący w VI w p n e - Pitagoras z Samos.

Materiał programowy realizujący ten dział występuje w klasach VI szkoły podstawowej oraz w II klasie gimnazjum.

Celem niniejszej pracy jest ukazanie zastosowania twierdzenia Pitagorasa w różnych zadaniach matematycznych. W części teoretycznej pracy przedstawiłam bliżej greckiego matematyka na czele szkoły pitagorejskiej, jego zasługi oraz przypuszczalny dowód twierdzenia Pitagorasa.

W rozdziale drugim i trzecim zawarte są przykładowe zadania wraz z rozwiązaniami, scenariusz lekcji i testy. Treści zadań oparte są na autentycznych danych pochodzących ze źródeł takich jak: podręczniki szkolne, zbiory zadań, internet, encyklopedia.

Rozdział I O twierdzeniu Pitagorasa

1.1 Szkoła Pitagorejska

Pitagoras urodził się ok. 572 r. p. n. e na wyspie Samos we wschodniej kolonii jońskiej a zmarł ok. 497 r. p. n. e. Mając około 40 lat opuścił Jonię, która walczyła z Persami i odbył podróż do Indii, gdzie zetknął się z tamtejszymi systemami filozoficzno - religijnymi. Pitagoras był greckim matematykiem i filozofem, twórcą kierunku filozoficznego zwanego pitagoreizmem, a także znawcą astronomii. Nie pozostawił po sobie żadnych prac i o jego działalności wiadomo niewiele. Trudno wyodrębnić odkrycie samego Pitagorasa spośród tych, których dokonali jego uczniowie i następcy zwani pitagorejczykami. Właśnie w Krotonie ok. 530 r. p. n. e założył szkołę filozoficzno - religijną. Szkoła pitagorejska działająca na przełomie V i VI w p. n. e miała wybitnych przedstawicieli m. in. Archytas z Tarentu, Timatios z Lokroj, Eudoksos, Echekrates z Fliuntu, Eurytas i inni. Pitagorejczycy brali udział w ruchu naukowym wraz ze szkołą Anaksagonesa i Demokryta a potem Platona i Arystotelesa.

Zasługą pitagorejczyków stały się:

1. poglądy o dwoistej naturze człowieka,

2. badania naukowe stanowiące początek i wzór dla rozwoju nauki uwieńczone teoriami z dziedziny astronomii

3. koncepcje metafizyczne dotyczące teorii liczb i harmonijności świata,

4. badania nad zjawiskiem akustyki.

Z nauk pitagorejczyków korzystali: komediopisarz Epicharm, rzeźbiarz Poliklet, który swe wyobrażenie o piękności ciała ludzkiego oparł na pitagorejskim pojęciu symetrii i harmonii, Platon i astronom Heraklides z Pontu, którzy rozwijali astronomię z systemem pitagorejskim oraz Arystarch ze szkoły Arystotelesa, który utożsamiwszy środek świata ze Słońcem przyjął dwojaki obrót Ziemi.

Z literatury filozoficznej Greków wynika, że Pitagoras jako pierwszy użył określenia filozofa w rozumieniu „miłość mądrość”, dla zaznaczenia, że mądrość jest rzeczą boską, a jedynie umiłowanie jej dostępne jest dla ludzi.

Głosił ewangelię nowego czystego życia, w którym „cnota, zdrowie i wszelkie dobro nie wyłączając Boga, tworzą harmonię, którą się wszystko utrzymuje”. Twierdził, że dusze ludzkie oczyszcza i podnosi muzyka, oddanie się nauce, studiowanie liczb, figur geometrycznych, ciał niebieskich.

Pitagoras wiele podróżował. W Fenicji i Babilonie miał okazję poznać dokonania tamtejszych matematyków i przenieść myśl matematyczną Egipcjan i Babilończyków do Grecji. Jak świadczą zachowane tabliczki z pismem klinowym twierdzenie zwane twierdzeniem Pitagorasa znane było Babilończykom na długo przed Pitagorasem. Nie był on więc odkrywcą tego twierdzenia, ale prawdopodobnie je udowodnił. Babilończycy znali również złoty podział odcinka. Na tabliczkach babilońskich występuje znak pitagorejczyków - pentagram. Zastosowanie średniej arytmetycznej, geometrycznej i harmonicznej w muzyce zostało przyjęte także od matematyków babilońskich. Pitagorejczycy mieli usystematyzowaną wiedzę a pojęcia wprowadzali na podstawie logicznego rozumowania.

Szczególne znaczenie przypisywali liczbom. Ich mottem było „wszystko jest liczbą”. Od nich pochodzi podział na:

1. liczby parzyste,

2. liczby nieparzyste.

Liczby przedstawiali w formie figur geometrycznych - układając je z kamyków na piasku co przyczyniło się do znalezienia sumy prostych szeregów arytmetycznych. Można ich uznać za twórców początków teorii liczb. Wiedzieli o istnieniu liczb niewymiernych (liczby
), ale musieli zachować to w tajemnicy. Istnienie takich liczb było niezgodne z ich filozofią i harmonią świata.

Znakiem którym pozdrawiali się pitagorejczycy i kreślili go na piasku był pentagram (gwiazda pitagorejska). Był to foremny pięciokąt, którego boki przedłużone w obie strony tworzą pięciokąt gwiaździsty. Suma kątów pentagramu równa się dwóm kątom prostym, przypomina więc o trójkącie, gdzie suma kątów wynosi 180⁰.

Szczególnie ciekawe są trójkąty, których wszystkie trzy boki są wyrażone liczbami naturalnymi spełniającymi warunek pitagorejski. Są to trójkąty pitagorejskie np.:

Jeżeli pomnożymy długości boków każdego z tych trójkątów przez dowolną liczbę naturalną to otrzymamy również trójkąty pitagorejskie.

Inne przykłady trójkątów pitagorejskich:

a = 15, b = 8, c = 17,

a = 7, b = 24, c = 25,

a = 21, b = 20, c = 29,

a = 9, b = 40, c = 41,

Trójkąt o bokach 3,4 i 5 to jedyny trójkąt prostokątny, którego długości boków są kolejnymi liczbami naturalnymi. Nazywa się go trójkątem egipskim, gdyż był używany w Egipcie do wyznaczania kąta prostego w terenie, przy odnawianiu granic gruntowych zmywanych dorocznymi wylewami Nilu.

W słynnej piramidzie Cheopsa tzw. komnata królewska ma wymiary w sposób szczególny związany z liczbami 3,4 i 5.

Proporcje takie archeolodzy znajdują w wymiarach głazów ciosanych piramidy Chefrena, w świątyni Słońca w Baalbeku w Syrii. Trójkąt egipski w starożytności uważany był za figurę magiczną - obwód jego wyraża się liczbą 12, a pole wynosi 6 i jest równe kolejnej liczbie po trzech liczbach oznaczających długości boków. Według Plutarcha jest to najpiękniejszy z trójkątów. Początkowo sądzono, że boki każdego trójkąta prostokątnego można wyrazić takimi liczbami naturalnymi a, b, c, iż będzie spełniony związek a² +b² = c².

Dalsze badania szkoły pitagorejskiej wykazały, że tak nie jest. Np. trójkąt prostokątny równoramienny (stanowiący połowę kwadratu nie jest trójkątem pitagorejskim). Nie można znaleźć takich liczb naturalnych a, b, c żeby spełniony był warunek a² +a² = c² czyli 2a² = c². To dla szkoły było bardzo wstrząsające: załamała się wiara, że wszystkie zjawiska można ująć za pomocą liczb naturalnych.

Wśród zasług Pitagorasa należy wymienić:

1. w dziedzinie zastosowania arytmetyki w geometrii (zauważył, że suma kolejnych liczb nieparzystych daje pełny kwadrat)
   1 + 3 = 2^2,
   1 + 3 + 5 = 3²,
   1 + 3 + 5 + 7 = 4² itd.

2. twierdzenie o sumie kątów trójkąta równej dwóm kątom prostym,

3. odkrycie niewspółmierności boku i przekątnej kwadratu,

4. twierdzenie, że pola figur podobnych mają się do siebie jak kwadraty odpowiednich boków

1. 2 Twierdzenie Pitagorasa

Najsłynniejszym twierdzeniem Pitagorasa jest twierdzenie dotyczące własności trójkątów prostokątnych. Brzmi ono: suma pól kwadratów o bokach równych długościom przyprostokątnych trójkąta równa się polu powierzchni kwadratu o boku równym długości przeciwprostokątnej.

Symboliczny zapis: a² +b² = c² gdzie

a, b - przyprostokątne,

c - przeciwprostokątna.

Przypuszczalny dowód samego Pitagorasa:

Budujemy kwadrat, którego bok równa się sumie przyprostokątnych b i c danego trójkąta prostokątnego. Kwadrat ten dzielimy na dwa kwadraty b² i c² oraz na dwa równe prostokąty o bokach b i c. Podzielimy te prostokąty na 4 równe trójkąty prostokątne I, II, III, IV. Układając te trójkąty w taki sposób, jaki wskazuje rysunek otrzymamy pośrodku kwadrat a².

Stąd wynika, że kwadrat o boku b + c pomniejszony o 2bc, daje w pierwszym przypadku b² + c², a w drugim a², a więc

a² +b² = c²

Legenda głosi, że Pitagoras ofiarował bogom 100 wołów jako wyraz wdzięczności za odkrycie własności trójkątów prostokątnych.

BIBLIOGRAFIA

1. Braun M. i Lech J. - „Matematyka 2” - zbiór zadań dla gimnazjum Matematyka z plusem, GWO, Gdańsk, 2000r

2. Dobrowolska M. - „Matematyka 6” - zeszyt ćwiczeń, geometria, GWO, Gdańsk, 2000r.

3. Grochowska M. - „Matematyka 2 - sprawdziany dla klasy II gimnazjum” GWO, Gdańsk, 2000r

1. Jeleński Sz. - „Śladami Pitagorasa”, PZWS, W-wa, 1968r.

2. Kulczycki S. - „Z dziejów matematyki greckiej” PWN, W-wa 1973r.

6. Waliszewski W. - „Matematyka - encyklopedia szkolna”, WSiP, W-w, 1992r.

Pentagram

5

12

3

5

13

c

a

b

a²

II

III

IV

I

IV

III

II

I

b²

c²

4

---