Natalia Nagórska

Stożek

W klasie I i II gimnazjum nie ma tego tematu.

klasa III

ZAGADNIENIA	„Matematyka z plusem”	„Matematyka Nowej Ery”	„Matematyka krok po kroku”
Miejsce wprowadzenia	Rozdział: Bryły. Tematy: Przykłady brył obrotowych oraz Stożek.	Rozdział 2: Bryły obrotowe. Tematy: Walec, stożek, kula; Przekroje brył obrotowych; Pole powierzchni i objętość bryły obrotowej	Rozdział: Figury przestrzenne. Temat: Stożek.
Co jest potrzebne, aby je wprowadzić?	- co to jest: podstawa, wierzchołek, ściana boczna, wysokość - co to jest: wysokość, promień podstawy = walec - jak się oblicza objętość - znajomość trójkąta
Sposoby wprowadzenia	PRZYKŁADY….. - opis brył obrotowych - przykłady powstawania brył obrotowych: walec, stożek, kula - oś obrotu - opis elementów brył obrotowych: walec, kula i stożek (wierzchołek, tworząca, wysokość, promień podstawy, podstawa) - przekrój osiowy brył obrotowych -stożek= trójkąt równoramienny STOŻEK - Jak robić karnawałową czapeczkę? - ćw. A: wytnij kilka jednakowych kół. Korzystając z instrukcji powyżej, wykonaj czapeczki różnych wielkości. Każda tak wykonana czapeczka ma kształt stożka. - ćw. B: doświadczenie z użyciem kaszy mannej - wynik: objętość stożka jest trzy razy mniejsza niż objętość walca o takiej samej podatnie i wysokości - wzór na objętość stożka w dwóch wersjach: oraz - rysunki i opisy: powierzchni bocznej, wycinka koła, pole powierzchni bocznej stożka oraz pole powierzchni całkowitej stożka	Temat 1: - opis stożka - rysunki stożków - opis tworzenia stożka poprzez obracanie trójkąta prostokątnego - opis i rysunki powierzchni bocznej, tworząca, wierzchołek, wysokość, podstawa, kąt rozwarcia - przykład z rozwiązaniem - zadanie Temat2: - definicja przekroju osiowego bryły - przykład i odp na podstawie walca - zadania o walcu - przykład i rozwiązanie - stożek - zad o stożku - przykład i odp o kuli - zadania o kuli Temat3: - opisy, rysunki i wzory pola powierzchni bocznej, pola podstawy i pola powierzchni całkowitej - zadanie i odpowiedź - 5 zadań do tematu - opis, rysunek i wzór na objętość stożka - przykład z rozwiązaniem - 9 zadań Treść nadobowiązkowa: - stożek ścięty= opis + przykład - opisy, rysunki i wzory na pole powierzchni bocznej, pole podstawy, pole powierzchni całkowitej - zadanie - wzór na objętość stożka ściętego - 5 zadań	- najpierw jest opis jednego z najstarszych przyrządów do pomiaru czasu, czyli zegara wodnego - opis, rysunek i zaznaczone elementy stożka (wysokość, promień podstawy, podstawa, powierzchnia boczna i tworząca) - powierzchnia boczna stożka to wycinek koła i jego własności + rysunek - siatka stożka - pole powierzchni całkowitej - przykład konstrukcji stożka z trójkąta prostokątnego oraz obliczanie pola całkowitego - kąt rozwarty stożka - przykład - objętość stożka - przykład - zadania
Problemy, trudności podczas realizacji tego zagadnienia	- używać wzorów na objętość stożka - wskazać kąt nachylenia tworzącej stożka do podstawy oraz kąt rozwarcia stożka
Późniejsze wykorzystanie	- w zadaniach ze stożkami oraz w połączeniu stożka z innymi bryłami obrotowymi - przekrój brył obrotowych - pole powierzchni i objętość brył obrotowych
Cele operacyjne	- uczeń potrafi obliczyć objętość stożka - uczeń wie jak obliczyć pole powierzchni bocznej stożka - uczeń wie jak obliczyć pole powierzchni całkowitej stożka - uczeń potrafi rozwiązywać zadania ze stożkiem	- uczeń potrafi opisać stożek - uczeń wie, jaką bryłę trzeba obracać, aby powstał stożek - uczeń potrafi wskazać stożek - uczeń potrafi wskazać części stożka (wysokość, promień podstawy i tworzącą) - uczeń wie jak obliczyć pole powierzchni bocznej stożka - uczeń wie jak obliczyć pole podstawy stożka - uczeń wie jak obliczyć pole powierzchni całkowitej stożka - uczeń potrafi obliczyć objętość stożka - uczeń wie, co jest przekrojem osiowym stożka - uczeń potrafi zaznaczyć na stożku jego kąt rozwarcia - uczeń wie, co to jest stożek ścięty - uczeń potrafi obliczyć pole powierzchni bocznej, pole podstawy i pole powierzchni całkowitej stożka ściętego - uczeń wie, jaki jest wzór na obliczenie objętości stożka ściętego i oblicza go	- uczeń potrafi wskazać stożek - uczeń potrafi narysować rzut równoległy stożka - uczeń umie zaznaczyć elementy stożka na rysunku - uczeń wie jak obliczyć pole powierzchni bocznej stożka - uczeń wie jak obliczyć pole podstawy stożka - uczeń wie jak obliczyć pole powierzchni całkowitej stożka - uczeń potrafi obliczyć objętość stożka - uczeń wie jak przekształcić wzór, aby wyznaczyć określoną wielkość
Podstawowe zadania	Obracamy dwa jednakowe trójkąty prostokątne o przyprostokątnych długości 2 cm i 6 cm - jeden wokół krótszej przyprostokątnej, a drugi wokół dłuższej przyprostokątnej. Który z otrzymanych stożków ma większą objętość? Jak zmieni się objętość stożka o promieniu długości r i Wysokości H, gdy: Wysokość zwiększymy dwukrotnie, Promień zwiększymy dwukrotnie Wysokość i promień zwiększymy trzykrotnie Wysokość zwiększymy dwukrotnie i promień zmniejszymy dwukrotnie? Pole powierzchni całkowitej stożka wynosi . Promień podstawy stożka ma długość 4. Oblicz długość tworzącej tego stożka.	Oblicz pole powierzchni całkowitej stożka, mając dany promień podstawy r=12cm i tworzącą stożka l =16cm. Dany jest stożek o objętości V=110 cm^3 i o wysokości H=10cm. Oblicz długość promienia jego podstawy. Przyjmij Π jako 3 1/7. Oblicz objętość stożka, którego promień podstawy ma 4 cm, wiedząc, że kąt rozwarcia stożka jest prosty. Narysuj powierzchnię boczną stożka o promieniu podstawy r =3 cm i wysokości H= 5 cm. W cukierni były wafle do lodów w kształcie stożka o promieniu podstawy r=4cm i głębokości wafla 6 cm. Ile kule lodów o promieniu 1,5cm (po ich roztopieniu) zmieści się w waflu?	Narysuj stożek, którego wysokość będzie dwukrotnie większa od promienia podstawy. Tworząca stożka ma długość 6 cm i jest nachylona do płaszczyzny podstawy stożka pod kątem 60°. Oblicz pole powierzchni całkowitej stożka. Wynikiem obrotu trójkąta równobocznego o boku a=6 cm dookoła wysokości jest stożek. Oblicz jego objętość. Wskaż poprawną odpowiedź: Pole powierzchni bocznej stożka jest równe: 6π 15 12π 15π DANE: r = 3 h = 4 l = 5
Zadania ciekawe, oryginalne, rozwijające	Czy pole powierzchni bocznej stożka może być równe polu powierzchni podstawy tego stożka? Marcin zaplanował wykonanie lampki. Abażur do lampki ma mieć kształt stożka o wysokości 16 cm i średnicy podstawy równej 24 cm. Marcin musi przygotować odpowiedni szablon w kształcie wycinka koła. Jaki to wycinek koła? (Podaj promień koła i miarę kąta środkowego wyznaczającego ten odcinek). Z napełnionego kieliszka w kształcie stożka odlano połowę zawartości. Do jakiej wysokości sięga płyn, który pozostał w kieliszku?	Konstruktor chce zrobić model stożka obrotowego o tworzącej l =4cm i promieniu podstawy r = 1,5cm. Jakiej wielkości prostokątny arkusz musi przygotować, aby móc z niego wyciąć powierzchnię boczną i podstawę? Jak zmieni się objętość stożka, jeżeli: Potroimy jego wysokość, Potroimy promień podstawy, Potroimy wysokość, a promień podstawy zmniejszymy trzykrotnie? W jakiej odległości od wierzchołka należy przeciąć stożek, aby obie powstałe bryły miały taką samą objętość? - stożek ścięty.	Termity budują gniazda przypominające, w dużym uproszczeniu, swym kształtem stożek. Oblicz wysokość kopca termitów. 2m Namiot indiański (wigwam) ma kształt stożka o średnicy podstawy 8m i wysokości o 25% krótszej od promienia. Czy w tym namiocie znajduje się około 50,2 m^3 powietrza? Kąt rozwarcia stożka ma miarę . Wysokość stożka ma 10 cm. Oblicz długość promienia podstawy i długość tworzącej tego stożka.
Ciekawe metody, środki podczas realizacji zagadnienia	Na rysunku jest więcej niż 10 przedmiotów, które kształtem przypominają jakąś bryłę obrotową. Zaznacz jak najwięcej stożków. W jakiej odległości od wierzchołka należy przeciąć stożek, aby obie powstałe bryły miały taką samą objętość? - stożek ścięty.
Egzaminy zewnętrzne, przykłady zadań ze standardami	I.2 -wykonywanie obliczeń w sytuacjach praktycznych I.1 - stosowanie terminów oraz pojęć matematycznych i przyrodniczych I.3 - posługiwanie się własnościami figur Mosiężny stożek o wysokości 30 cm i promieniu podstawy długości 5 cm przetopiono na jednakowe mniejsze stożki, każdy o wysokości 3 cm i promieniu podstawy długości 1 cm. Ile stożków otrzymano? I.2 -wykonywanie obliczeń w sytuacjach praktycznych I.1 - stosowanie terminów oraz pojęć matematycznych i przyrodniczych I.3 - posługiwanie się własnościami figur Rura stalowa ma 10 m długości i 2 cale średnicy (zewnętrznej). Grubość ścianki rurki wynosi 2 mm. Oblicz, ile waży taka rurka, jeśli 1m^3 stali waży 7950000g (1 cal =2,54 cm).
Wykorzystanie podczas realizacji ścieżek międzyprzedmiotowych i innego przedmiotu	BIOLOGIA Koło łowieckie gromadzi siano dla saren układając je w stogi w kształcie stożków o średnicy d=3m i wysokości h=2,5m. Ile co najmniej takich stogów należy ułożyć, aby zgromadzić 4,5 tony siana? Gęstość siana przyjmujemy 150 kg/m^3. CHEMIA Wagon zawierający 50 ton nawozów sztucznych rozładowano za pomocą taśmociągu. Nawóz przybrał kształt stożka, którego wysokość jest równa promieniowi podstawy. Jaką wysokość oraz średnicę podstawy ma usypany stożek, jeżeli gęstość nawozu wynosi 1750 kg/ m^3? GEOGRAFIA Ludy koczownicze w Azji budują okrągłe namioty o ścianach ze skór zwane jurtami. Oblicz ile [m^3] skóry potrzeba na pokrycie jurty (rys) Ile skór owczych o powierzchni 0,9 m^2 każda trzeba przeznaczyć na ten cel? R=2h h 1,5 m 1,5 m 6 m

1

4m

---