Metody numeryczne rozwiązywania równań Maxwella w kwazijednowymiarowych strukturach fotnicznych

Wydział Podstawowych

Problemów Techniki

Metody numeryczne rozwiązywania

równań Maxwella

w kwazijednowymiarowych

strukturach fotonicznych

Praca dyplomowa magisterska

Szymon Kosydor

Promotor:

dr hab. inż. Włodzimierz Salejda, prof. nadzw. w PWr

Wrocław 2007

Serdecznie dziękuję

Panu profesorowi Włodzimierzowi Salejdzie
za nieocenioną pomoc naukową podczas pisania tej pracy.

Spis treści

Wstęp

Wykaz ważniejszych skrótów i oznaczeń

Wprowadzenie

1.1

Struktury i kryształy fotoniczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.1.1

Kwazijednowymiarowy kryształ fotoniczny . . . . . . . . . . . 12

1.2

Równania Maxwella . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.3

Prawoskrętne materiały (RHM) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.4

Lewoskrętne materiały (LHM) – metamateriały . . . . . . . . . . . . 18

1.5

Fala elektromagnetyczna na granicy dwóch ośrodków . . . . . . . . . 19

1.6

Prawo Bragga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.6.1

Siatka Bragga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.7

Propagacja światła w strukturach periodycznych . . . . . . . . . . . . 23

1.8

Model kwazijednowymiarowego kryształu fotonicznego

. . . . . . . . 24

Metody numeryczne

2.1

Zalety i wady metod numerycznych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.2

Metody rozwiązywania równań Maxwella . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.3

Algebraiczne zagadnienie własne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.4

Modele optycznych supersieci aperiodycznych

. . . . . . . . . . . . . 29

2.4.1

Uogólniona supersieć typu Fibonacciego (USF) . . . . . . . . . 30

2.4.2

Uogólniona supersieć typu Thue-Morse’a (USTM) . . . . . . . 31

2.4.3

Supersieć z podwojonym okresem (SPO) . . . . . . . . . . . . 31

2.4.4

Supersieć typu Rudin-Shapiro (SRS) . . . . . . . . . . . . . . 32

2.5

Programowanie zorientowane obiektowo (OOP)

. . . . . . . . . . . . 32

Rezultaty obliczeń numerycznych

3.1

Opis programu

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.2

Wybrane wyniki obliczeń . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.3

Uwagi i wnioski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

Podsumowanie

A Obliczanie wartości własnych

Bibliografia

Wstęp

Główne cele pracy to:

• przedstawienie metod i algorytmów numerycznych obliczania fotonicznej struk-

tury pasmowej optycznych supersieci periodycznych i aperiodycznych,

• wyznaczenie fotonicznej struktury pasmowej dla wybranych ww. układów.

W XXI wieku przesyłanie informacji jest niezwykle istotne dla większości dziedzin

życia. Najszybszym znanym nośnikiem informacji jest światło. W związku z nieustan-
nym rozwojem technologicznym [1], [2], [3] istnieje potrzeba przesyłania ogromnej
ilości danych. Prowadzi to do coraz większej ilości konstruowanych przyrządów opty-
cznych, a także do ich miniaturyzacji [4]. Również zwiększanie prędkości przetwarza-
nia informacji to jedno z głównych wyzwań stawianych przed współczesną nauką.
Jak się okazuje, nawet komputery o największej aktualnie znanej mocy obliczeniowej
nie potrafią sobie poradzić z takimi problemami jak np. symulowanie pogody [5].
Odpowiedzią na te problemy jest komputer kwantowy, który nie operuje na systemie
binarnym, ale na bitach kwantowych, tzw. qubitach [6].

Do konstrukcji urządzeń optycznych, przy postępującej miniaturyzacji, poszuki-

wane są materiały o coraz to lepszych właściwościach filtracyjnych. Jednym z cie-
kawszych rozwiązań w tej dziedzinie jest nowa klasa materiałów o parametrach dużo
lepszych niż dotychczas stosowane, znanych jako kryształy fotoniczne.

Porównanie właściwości takich jak zależności dyspersyjne, które są głównym ba-

danym zagadnieniem tej pracy, przy różnych zadanych parametrach badanych super-
sieci pozwali na analizę zmian ich charakterystyk w zależności od sposobu ułożenia
warstw oraz typu sieci.

Zakres zastosowań struktur fotonicznych jest bardzo szeroki. Można dzięki nim

konstruować światłowody fotoniczne o bardzo małych stratach, światłowody dwu-
rdzeniowe, lustra na krysztale fotonicznym, mikrorezonatory, półprzewodniki fo-
toniczne, lasery z rozłożonym sprzężeniem zwrotnym, diody LED o zwiększonej
sprawności czy też dwuwymiarowe struktury światłowodowe umożliwiające wyko-
nanie ostrych zakrętów w torze światłowodowym.

Przedmiotem naukowych badań w ostatnich latach są optyczne supersieci, [7],

[8], [9] które można traktować jako kwazijednowymiarowe struktury fotoniczne.

Obiektem badań w pracy są optyczne supersieci aperiodyczne kilku rodzajów:

• uogólniona supersieć typu Fibonacciego,

• uogólniona supersieć typu Thue-Morse’a,

• supersieć z podwojonym okresem,

• supersieć typu Rudin-Shapiro.

SPIS TREŚCI

Do wyznaczenia krzywych dyspersyjnych badanych materiałów konieczne jest

zdefiniowanie fizycznych podstaw oraz zjawisk zachodzących w modelowanych struk-
turach fotonicznych. Zostały one przedstawione w rozdziale pierwszym. Poruszono
w nim również temat związany z metamateriałami oraz zjawiskiem ujemnego zała-
mania a także przedstawiono rozwiązanie równania falowego w fotonicznych kwa-
zikryształach. Argumenty przemawiające za i przeciw stosowaniu metod numery-
cznych oraz wybrane zagadnienia z fizyki komputerowej, które zostały użyte do
obliczeń struktury pasmowej, zebrano w rozdziale drugim. Rozdział trzeci przed-
stawia wyniki obliczeń numerycznych, w tym wykresy krzywych dyspersyjnych,
prędkości grupowej oraz efektywnego współczynnika załamania. Ostatni rozdział
stanowi krótkie podsumowanie zaprezentowanych w pracy treści.

Wykaz ważniejszych skrótów
i oznaczeń

Skróty:

AZW – algebraiczne zagadnienie własne;

OSA – optyczne supersieci aperiodyczne;

fala EM– fala elektromagnetyczna;

USF – uogólniona supersieć typu Fibonacciego;

USTM – uogólniona supersieć typu Thue-Morse’a;

SPO – supersieć z podwojonym okresem;

SRS – supersieć typu Rudin-Shapiro;

OOP – (ang.) object-oriented programming (programowanie zorientowane obiek-

towo);

FK – fizyka komputerowa;

LHM – (ang.) left handed materials (materiały lewoskrętne);

RHM – (ang.) right handed materials (materiały prawoskrętne);

Oznaczenia:

E – wektor natężenia pola elektrycznego;

H – wektor natężenia pola magnetycznego;

D – wektor indukcji elektrycznej;

B – wektor indukcji magnetycznej;

ε – przenikalność elektryczna;

– przenikalność elektryczna próżni;

µ – przenikalność magnetyczna;

– przenikalność magnetyczna próżni;

SPIS TREŚCI

n – współczynnik załamania światła;

– współczynnik załamania warstwy typu P ;

– współczynnik załamania warstwy typu Q ;

c – prędkość światła w próżni;

ω – częstość fali elektromagnetycznej;

k – wektor falowy;

d – grubość warstwy;

ε – wartość własna;

I – macierz jednostkowa;

t – czas;

r – wektor położenia;

Rozdział 1

Wprowadzenie

Kryształy fotoniczne to struktury przestrzenne z periodycznym lub aperiodycznym
ułożeniem materiałów dielektrycznych lub metalicznych. To co je odróżnia od in-
nych periodycznych struktur to fakt, że okres periodu ośrodka jest porównywalny
z długością fali świetlnej, która w nim propaguje się.

1.1

Struktury i kryształy fotoniczne

Koncepcja kryształów fotonicznych powstała w roku 1987 jednocześnie w dwóch
ośrodkach naukowych USA [10]. Eli Yablonovitch z Bell Communications Research
w New Jersey próbował stworzyć tranzystor do zastosowań fotonicznych. Podczas
badań odkrył istnienie fotonicznej przerwy wzbronionej,podobnej do tej z jaką
mamy do czynienia w półprzewodnikach. Jednocześnie Sajeev John z Princeton
University pracując nad laserami natknął się na to samo zjawisko. Pierwszy sztu-
czny kryształ fotoniczny został stworzony przez Yablonovitcha i in. w 1991 roku
[11], miał współczynnik załamania równy 3.6 i został on nazwany na cześć twórcy
”Yablonovite”. Yablonovitch do stworzenia swojego kryształu fotonicznego (Rys. 1.1)
użył materiału ceramicznego, w którym wywiercono siatkę otworów.

Rysunek 1.1: Yablonovite

Struktury fotoniczne, jak się okazuje zostały już wcześniej stworzone przez naturę.

Istnieje tropikalny motyl o nazwie Morpho sulkowskyi, którego skrzydła mają piękny
błękitny kolor, patrz Rys. 1.2. Pomimo tego, że skrzydła wyglądają, jak gdyby były

ROZDZIAŁ 1. WPROWADZENIE

nasycone barwnikiem, to są one prawie całkowicie białe. Wyjaśnienie tej ciekawostki
można znaleźć oglądając skrzydło w skali mikroskopowej. Jak się okazuje struktura
skrzydła składa się z periodycznie ułożonych, ściśle upakowanych heksagonalnych
kształtów z otworami, patrz Rys. 1.3. Dzięki takiemu sposobowi ułożenia otworów
powstaje struktura fotoniczna, która odbija tylko określoną długość fali (w tym
przypadku światło niebieskie) [12].

Rysunek 1.2: Morpho Sulkowskyi

Rysunek 1.3: Powiększenie fragmentu skrzydła Morpho Sulkowskyi

Modelem najprostszego, jednowymiarowego kryształu fotonicznego [15] jest stru-

ktura złożona z naprzemiennie ułożonych warstw o różnych współczynnikach zała-
mania. Obszar koloru czerwonego na Rys. 1.4 odpowiada warstwie o współczynniku
załamania n

natomiast warstwa koloru żółtego reprezentuje materiał o współczyn-

niku załamania równym n

, przy czym n

6= n

. W związku z tym, że wartość

współczynnika załamania zmienia się tylko w jednym kierunku nazwany został on
jednowymiarowym kryształem fotonicznym. Jak już wspomniano okres takiego ma-
teriału powinien być rzędu długości fali, aby wykazywał właściwości charakterysty-
czne dla kryształów fotonicznych.

ROZDZIAŁ 1. WPROWADZENIE

Rysunek 1.4: Model jednowymiarowego kryształu fotonicznego

Podobnie jak w przypadku jednowymiarowym, rozważać można strukturę zło-

żoną z dwóch różnych materiałów. Zakładając że jej współczynnik załamania zmienia
się w dwóch kierunkach otrzymamy dwuwymiarowy kryształ fotoniczny, co ilustruje
Rys. 1.5

Rysunek 1.5: Model dwuwymiarowego kryształu fotonicznego

Analogicznie postępując w przypadku materiału, w którym współczynnik załamania
zmienia się w trzech kierunkach otrzymamy trójwymiarowy kryształ fotoniczny.

Rysunek 1.6: Model trójwymiarowego kryształu fotonicznego

Jeśli fala elektromagnetyczna pada na taką strukturę periodyczną, to na każdej
granicy warstw ulega ona odbiciu i załamaniu. Zachowanie się fali w takich struk-
turach zostało przedstawione w następnych podrozdziałach.

W fotonice zastosowanie kryształów fotonicznych, ze względu na ich właściwości

filtracyjne, jest bardzo szerokie. Z powodu coraz większego zainteresowania materi-
ałami fotonicznymi, wiele ośrodków naukowo-badawczych [10], [16], [17] zajęło się
konstrukcją falowodów wykorzystujących ich wyjątkowe właściwości. Na Rys. 1.7
przedstawiono porowatą płytkę krzemową realizującą dwuwymiarowy kryształ fo-
toniczny [18]. Wśród metod wytwarzania tego typu materiałów można wyróżnić
technikę uporządkowanego elektrochemicznego wzrostu na podłożu krzemowym.
Kryształ przedstawiony na Rys. 1.7 został wykonany właśnie tą technologią. Jak

ROZDZIAŁ 1. WPROWADZENIE

Rysunek 1.7: Dwuwymiarowy kryształ fotoniczny

widać na powiększeniu 1.7d zastosowanie tej techniki pozwala osiągnąć bardzo dużą
precyzję wykonania. Bardziej interesujące, pod względem powszechnego wykorzys-
tania w urządzeniach optycznych, są dwuwymiarowe tory światłowodowe. Przykład
aplikacyjny takiego falowodu na krysztale fotonicznym został przedstawiony na Rys.
1.8, który został także wyprodukowany przy użyciu krzemu.

Rysunek 1.8: Dwuwymiarowy kryształ fotoniczny – przykład aplikacji

Pierwszy z zaprezentowanych rysunków 1.8a przedstawia zakręt w torze światło-
wodowym. W praktyce możliwe jest wykonanie, spełniających swoje funkcje, tego
typu zakrętów pod kątem 90 stopni i większym (wspomniane wcześniej ostre za-
kręty w torze światłowodowym). Drugim przykładem jest rozdzielacz na Rys. 1.8b,
który działa prawie identycznie jak rozdzielacz światłowodowy, tzn. fala propaguje
się częściowo w każdym z kierunków. Ostatni z rysunków 1.8c prezentuje rezonator
światłowodowy.

Pomimo tego, że fabrykowanie trójwymiarowych kryształów fotonicznych jest

procesem dużo bardziej skomplikowanym, w ostatnich latach otrzymano kryształy

ROZDZIAŁ 1. WPROWADZENIE

trójwymiarowe, które wykazują fotoniczną przerwę wzbronioną dla długości 1.5
mikrona [19].

1.1.1

Kwazijednowymiarowy kryształ fotoniczny

Kryształy kwazijednowymiarowe, inaczej jednowymiarowe kryształy, to struktury
wielowarstwowe, których własności optyczne zmieniają się wzdłuż wybranego kie-
runku (wybranej osi, najczęściej OX). Dla uproszczenia zakładamy, że są to warstwy
nieprzewodzące i niemagnetyczne.

W optoelektronice przez długi czas poszukiwano idealnego lustra. Konwencjo-

nalne lustra dielektryczne cechowały się co prawda odbiciem z małymi stratami, ale
ich działanie było w dużej mierze zależne od kąta padania na strukturę. Drugim
rodzajem tego typu materiałów są lustra metaliczne, które cechują się małą zale-
żnością od kąta padania, ale straty przy odbiciu są bardzo duże. Kryształy fotoniczne
rozwiązują oba problemy. Posiadają małe straty oraz małą zależność od kąta.

Kwazikryształy fotoniczne nadają się idealnie do konstrukcji filtrów pasmowo–

przepustowych. Więcej informacji na ten temat znajduje się w rozdziale 1.6.1.
W światłowodach można wykorzystać fotoniczne kwazikryształy jako lustra optoelek-
troniczne pomiędzy rdzeniem a płaszczem.
Strukturę tej postaci

zwija się dookoła rdzenia i ostatecznie otrzymuje się światłowód, którego schematy-
czny model został przedstawiony na Rys. 1.9

Rysunek 1.9:

Jeśli odpowiednio dobierze się parametry tego kryształu owiniętego dookoła rdzenia,
czyli jeśli będzie odbijać długość fali propagującej się w światłowodzie otrzymamy
światłowód o bardzo małych stratach. Umożliwi to przesyłanie informacji na znacznie
dłuższe odległości, niż jak ma to miejsce w przypadku światłowodów gradientowych.

ROZDZIAŁ 1. WPROWADZENIE

1.2

Równania Maxwella

Teoria elektromagnetyzmu oparta jest o równania Jamesa Clerka Maxwella, dzięki
którym można określić przyszłe położenie i prędkości dowolnego układu oddziałują-
cych ze sobą naładowanych cząstek [20], [21], [22].

Maxwell zebrał prawo Gaussa (dla elektryczności i magnetyzmu), prawo Fara-

daya oraz poprawione prawo Amp`

ere‘a i połączył je w zbiór równań pozwala-

jących opisać cały elektromagnetyzm. Równania te można zapisać w postaci róż-
niczkowej i całkowej, obie formy łącznie z ich znaczeniem fizycznym przedstawiono
w Tabeli 1.

Tabela 1

Postać

Nazwa

Fakty fizyczne

różniczkowa

całkowa

wynikające z równania

∇ · ~

D = ρ

E · d~s =

R ρ

· dV = Q

Prawo Gaussa

Źródłem pola

dla elektryczności

elektrycznego są ładunki

Pole magnetyczne jest

∇ · ~

B = 0

B · d~s = 0

Prawo Gaussa

bezźródłowe, linie

dla magnetyzmu

pola magnetycznego

są zamknięte

Zmienne w czasie pole

∇ × ~

E = −

∂ ~

∂t

E · d~I = −

dΦ

Prawo Faradaya

magnetyczne wytwarza

wirowe pole elektryczne

Przepływający prąd oraz

∇ × ~

H = ~j +

∂ ~

∂t

B · d~I = µ

(ε

dΦ

+ I)

Prawo

zmienne pole elektryczne

Amp`

ere‘a–Maxwella

wytwarzają wirowe

pole magnetyczne

Równania materiałowe mają postać

D = ε

E ,

(1.1)

B = µ

H ,

(1.2)

gdzie ∇ (nabla) jest operatorem wektorowym postaci

∇ =

∂

∂x

∂

∂y

∂

∂z

(1.3)

Propagację fali EM w ośrodku jednorodnym, izotropowym i dielektrycznym

opisują równania Maxwella, które przyjmują postaci

∇ × ~

E (~

r , t) = −

∂ ~

B (~

r , t)

∂t

(1.4)

∇ × ~

H (~

r , t) =

∂ ~

D (~

r , t)

∂t

(1.5)

∇ · ~

D (~

r , t) = 0,

(1.6)

∇ · ~

B (~

r , t) = 0, .

(1.7)

ROZDZIAŁ 1. WPROWADZENIE

Dokonując prostych przekształceń mamy

∇ × ~

B (~

r , t) = µ

∂ ~

E (~

r , t)

∂t

(1.8)

Różniczkując równanie (1.8) względem czasu otrzymamy

∇ ×

∂ ~

H (~

r , t)

∂t

= ε

∂

E (~

r , t)

∂

(1.9)

Wyznaczając z równania (1.4) pochodną dH

i podstawiając do powyższego równa-

nia mamy

∇ × (∇ × ~

E (~

r , t)) = −µ

∂

E (~

r , t)

∂t

(1.10)

W równaniu (1.10) korzystając z tożsamości

a × (b × c) = b(a · c) − c(a · b),

(1.11)

otrzymujemy

∇(∇ · ~

E (~

r , t)) − (∇ · ∇) ~

E (~

r , t) = −µ

∂

E (~

r , t)

∂t

(1.12)

Zgodnie z prawem Gaussa ∇ · E = 0. Dlatego pierwszy człon powyższego równania
zeruje się. Operator ∇ · ∇ jest nazywany laplasjanem i jest oznaczany przez ∇

Podstawiając ∇ · ∇ = ∇

do równania (1.12) otrzymujemy równanie fali EM w

liniowym ośrodku jednorodnym [22]

∇

E (~

r , t) = µ

∂

E (~

r , t)

∂t

(1.13)

i analogicznie dla pola magnetycznego

∇

B (~

r , t) = µ

∂

B (~

r , t)

∂t

(1.14)

W obu wzorach występuje wyrażenie µ

jest równe

, gdzie ϑ to prędkość

fali EM, więc

(1.15)

gdzie n to współczynnik załamania, a c to prędkość światła w próżni

c =

√

(1.16)

= ε

(1.17)

Przybliżając falę EM falą płaską

E (~

r , t) = E

i(ωt−~

k ·~

r )

(1.18)

H (~

r , t) = H

i(ωt−~

k ·~

r )

(1.19)

ROZDZIAŁ 1. WPROWADZENIE

Wstawiając teraz powyższe wzory do równań Maxwella (1.4 – 1.7) i różniczkując
względem czasu otrzymujemy stacjonarne równania Maxwella (niezależne od czasu)

∇ × ~

E (~

r ) = −iωµ

H (~

r ),

(1.20)

∇ × ~

H (~

r ) = iωε

E (~

r ),

(1.21)

∇ · ~

E (~

r ) = 0,

(1.22)

∇ · ~

H (~

r ) = 0.

(1.23)

Z równań (1.20) i (1.21) wynika, że wektory ~

E i ~

H są do siebie prostopadłe i że są

prostopadłe do kierunku propagacji, czyli do wektora falowego

k =

nω

(1.24)

Dla rzeczywistych wartości n z równania (1.17) oraz (1.20), (1.21), (1.24) wynikają
następujące związki matematyczne

n = +

√

(1.25)

n = −

√

(1.26)

n = +

(−ε

)(−µ

(1.27)

n = −

(−ε

)(−µ

(1.28)

Równania Maxwella dopuszczają dwa przypadki (1.25) oraz (1.28) [56], [21]:

• gdy µ

> 0 i ε

> 0,

to n > 0 – dotyczy ośrodka prawoskrętnego

• gdy µ

< 0 i ε

< 0,

to n < 0 – odnosi się do ośrodka lewoskrętnego

ROZDZIAŁ 1. WPROWADZENIE

1.3

Prawoskrętne materiały (RHM)

Ośrodki dielektryczne, w których współczynnik załamania n przyjmuje wartości
dodatnie (1.25), są grupą najczęściej występujących materiałów, należą do nich na
przykład powietrze, woda, kwarc. Ich właściwości optyczne zostały szeroko poznane
i opisane w literaturze [20], [22]. Jak już wspomniano, współrzędne wektorów ~

E , ~

oraz ~

k fali płaskiej są do siebie prostopadłe

k × ~

E = ~

H ,

k × ~

H = ~

E ,

(1.29)

gdzie

k jest wersorem na kierunek ~

k , oraz tworzą układ współrzędnych jak na Rys.

1.10. Także wektor Poyntinga ~

S = ~

E × ~

H =

E × ~

(1.30)

odnoszący się do strumienia energii przenoszonej przez falę jest prostopadły do wek-
torów ~

E i ~

Rysunek 1.10: Położenie wektorów ~

E , ~

H względem ~

k i ~

S w RHM

Załamanie fali na granicy dwóch ośrodków spełnia prawo Snelliusa

[22], a promień

załamuje się po przeciwnej stronie normalnej

Rysunek 1.11: Załamanie fali na granicy dwóch ośrodków RHM

Prędkość fazowa fali harmonicznej, czyli prędkość z jaką rozchodzą się fragmenty

W literaturze spotykana jest także nazwa prawo Snella

ROZDZIAŁ 1. WPROWADZENIE

fali o tej samej fazie jest definiowana jako

= ω

2π

= λ · f =

(1.31)

Z zależności częstości ω fali EM od wektora falowego

ω(k) =

n(k)

(1.32)

wynika, że prędkość fazowa może być, dla n < 1, większa od prędkości światła.
Prędkość ta, nie jest jednak szybkością przenoszenia informacji, gdyż stało by to
w sprzeczności ze szczególną teorią względności Einsteina.

Szybkość rozprzestrzeniania się fali (tym samym szybkość przenoszenia informa-

cji) opisuje prędkość grupowa

∂ω

∂k

1 + ω

∂n

∂ω

n + ω ∂n

∂ω

(1.33)

W ośrodkach, w których występuje zależność współczynnika załamania od długości
fali n = n(ω) mamy do czynienia ze zjawiskiem dyspersji. Ze związku prędkości
grupowej z fazową (1.33) wynikają dwa przypadki:

∂n
∂ω

> 0 – prędkość grupowa jest mniejsza od prędkości fazowej,

∂n
∂ω

< 0 – prędkość grupowa jest większa od prędkości fazowej.

W pierwszym z nich mamy do czynienia z dyspersją normalną, a w drugim z dys-
persją anormalną [22]. W większości materiałów dla zakresu widzialnego mamy
do czynienia z dyspersją normalną.

Przy superpozycji dwóch fal harmonicznych o nieco różnych częstościach pow-

staje fala wypadkowa, Rys. 1.12, której obwiednia (linia przerywana na Rys. (1.13))
propaguje się z prędkością grupową

Rysunek 1.12: Superpozycja fal

ROZDZIAŁ 1. WPROWADZENIE

Rysunek 1.13: Obwiednia fali wypadkowej

1.4

Lewoskrętne materiały (LHM) –
metamateriały

W 1967 roku Victor Veselago przewidział teoretycznie istnienie materiałów posia-
dających ujemny współczynnik załamania, które nazwał lewoskrętnymi materia-
łami (LHM) [21], [56]. Ponad 30 lat później fenomen ujemnego załamania został
potwierdzony doświadczalnie [63]. Powodem intensywnych badań w ostatnich la-
tach tej dziedziny było pojawienie się nowej klasy sztucznych struktur materiałów
zwanych metamateriałami wskazujących nieoczekiwane i interesujące właściwości
z punktu widzenia zastosowań.

Biorąc pod uwagę, że obie względne przenikalności µ

oraz ε

będą miały wartości

ujemne (1.28), materiał będzie charakteryzował się ujemnym współczynnikiem zała-
mania, a wzajemne położenie wektorów ~

E , ~

H oraz ~

k można przedstawić w następu-

jący sposób

k × ~

E = ~

H ,

k × ~

H = − ~

E .

(1.34)

Na Rys. (1.14) przedstawiono wzajemną konfigurację tych wektorów

Rysunek 1.14: Położenie wektorów ~

E , ~

H względem ~

k i ~

S w LHM

Podstawową różnicą dzielącą ośrodki na prawoskrętne i lewoskrętne jest sposób,
w jaki fala się załamuje na granicy ośrodków. Na granicy ośrodków, których współ-
czynniki załamania mają znaki przeciwne, kąt ugięcia fali załamanej będzie leżał po
tej samej stronie normalnej, Rys.1.15, przy czym wartość współczynnika załamania
ośrodka 2 jest mniejsza od zera n

< 0.

ROZDZIAŁ 1. WPROWADZENIE

Rysunek 1.15: Załamanie fali na granicy ośrodka RHM i LHM

1.5

Fala elektromagnetyczna na granicy
dwóch ośrodków

Zakładamy, że fala EM pada na granicę dwóch ośrodków izotropowych o współczyn-
nikach załamania odpowiednio n

i n

, Rys. 1.16. Na granicy tych ośrodków za-

chowanie fali można opisać następującymi zależnościami [22],[7]:

• przy kącie padania θ

różnym od zera fala ulega załamaniu zgodnie z prawem

Snelliusa

|| sin θ

| = |n

|| sin θ

(1.35)

Rysunek 1.16: Odbicie i załamanie na granicy ośrodków

• fala ulega odbiciu, przy czym θ

= θ

• wektory falowe k

, k

i k

leżą w płaszczyźnie padania (przyjmujemy taki

układ współrzędnych, że jest to płaszczyzna xz, natomiast płaszczyznę podzi-
ału ośrodków oznaczmy jako yz ),

• nie zmienia się częstość ω fali.

ROZDZIAŁ 1. WPROWADZENIE

Rozwiązanie niezależnych od czasu równań Maxwella (1.4 – 1.7) dla tego przypadku
jest superpozycją fali padającej i odbitej

E =

(

(+)
1

−ik

+ E

(−)
1

−ik

0
1

x < 0,

(+)
2

−ik

+ E

(−)
2

−ik

0
2

x > 0,

(1.36)

gdzie E

(+)
1

– amplituda fali padającej, E

(−)
1

– amplituda fali odbitej, E

(+)
2

– amplituda

fali załamanej. Biorąc pod uwagę, że w obszarze x > 0 nie ma fali odbitej, człon
E

(−)
2

w równaniu (1.36) zeruje się.

Jeśli założymy, że wektor pola elektrycznego jest prostopadły do płaszczyzny

padania

E = [0, E

, 0],

(1.37)

to mamy do czynienia z polaryzacją typu s.
Natomiast gdy wektor pola magnetycznego jest prostopadły do płaszczyzny padania

H = [0, H

, 0],

(1.38)

to mówimy o polaryzacji typu p.
Rysunek (1.17) przedstawia rozkład wektorów E i H dla polaryzacji s i p[7]

Rysunek 1.17: Polaryzacje s i p

1.6

Prawo Bragga

Jeśli światło o długości fali λ pada na strukturę krystaliczną o stałej sieci krystali-
cznej d (średniej odległości między kolejnymi atomami sieci) oraz jeśli λ jest znacznie
różna od d to propagacja fali odbywa się przez ośrodek bez rozproszenia. Sytuacja
jest inna w przypadku gdy λ ∼ d, wtedy następuje ugięcie fali na atomach sieci,
Rys. 1.18. Fale odbite od kolejnych płaszczyzn sieci interferują ze sobą i następuje
superpozycja fal odbitych. Jakościowy opis tego zjawiska prezentuje prawo Bragga
[66], które łączy w sobie zależność jaka wiąże stałą sieci krystalicznej, długość pada-
jącego promieniowania oraz kąta odbicia od płaszczyzn sieci krystalicznej.
Wzór opisujący prawo Bragga ma postać

nλ = 2d sin(θ),

n = 0, 1, 2, . . . ,

(1.39)

gdzie

ROZDZIAŁ 1. WPROWADZENIE

Rysunek 1.18: Interferencja fal odbitych od atomów sieci krystalicznej

n – kolejne płaszczyzny sieci (liczba naturalna),

λ – długość fali,

d – średnia

odległość powtarzalnych warstw atomów, na których zachodzi rozpraszanie,

θ – kąt odbicia mierzony pomiędzy wiązką pierwotną a płaszczyzną odbijającą.

1.6.1

Siatka Bragga

Rozpatrzmy strukturę złożoną z naprzemiennie ułożonych warstw o różnych współ-
czynnikach załamania jak na Rys. (1.19)

Rysunek 1.19: Przykład siatki Bragga

przy czym

1 – pierwszy rodzaj warstwy,

2 – drugi rodzaj warstwy,

– fala padająca,

– fala odbita, n

oraz n

– dwa różne współczynniki załamania warstw.

W oparciu o zależności przytoczone w poprzednim podrozdziale wiemy, że na

granicy każdej z tych warstw fala EM ulega odbiciu i załamaniu.

W sytuacji, gdy światło pada na taką strukturę, to ze względu na prawo Bragga

powstaje filtr pasmowo–przepustowy, który w zależności od ilości tych dwuwarstw

posiada szerszą lub węższą rozpiętość częstotliwościową.

Rysunek 1.20 przedstawia zależność współczynnika odbicia dla 10, 18 i 27 dwu-

warstw [65]. Jak widać dla większej ilości dwuwarstw otrzymujemy lepszą filtrację
częstotliwości. Wynika to z tego, że fale padające na kolejne płaszczyzny sieci po
odbiciu interferują ze sobą i mogą się albo wzmocnić albo wygasić. Szerokość pasma
przepustowego takiego filtra można wyznaczyć korzystając z prawa Bragga

∆ω = ω

− ω2 =

2πc

−

2πc

−

2πc

≈ n

− n

= ∆n

(1.40)

przy czym

dwuwarstwa – struktura złożona z dwóch warstw o współczynnikach n

oraz n

ROZDZIAŁ 1. WPROWADZENIE

Rysunek 1.20: Współczynnik odbicia w zależności od ilości dwuwarstw

a – grubość warstwy,

= 2an

– dolna granica pasma

przepustowego,

– górna granica pasma przepustowego.

ROZDZIAŁ 1. WPROWADZENIE

1.7

Propagacja światła w strukturach periodycznych
– fotoniczna przerwa wzbroniona

Jak już wspomniano w poprzednim podrozdziale, fala padająca na strukturę pe-
riodyczną, której długość fali λ jest bliska periodu ośrodka, ulega wielokrotnym
odbiciom. W strukturze jak na Rys. 1.21,

Rysunek 1.21: Model struktury periodycznej

ze względu na periodyczność, współczynnik załamania ośrodka

n(~

r ) = n(~

r + ~

a ),

(1.41)

a także funkcja przenikalności elektrycznej

ε(~

r ) = ε(~

r + ~

a ),

(1.42)

gdzie ~

a jest wektorem sieci, są okresowymi funkcjami położenia [7].

Zgodnie z twierdzeniem Blocha-Floqueta ogólnym rozwiązaniem stacjonarnego

równania falowego w ośrodku periodycznym będą funkcje Blocha [7], [54], [55] postaci

E (~

r ) = u

r )exp(i~

k ~

r ),

(1.43)

gdzie

r ) = u

r + ~

a ),

(1.44)

co dla przypadku jednowymiarowego przyjmuje postać

E(x) = u

(x)exp(ikx).

(1.45)

Rozwiązaniami równania falowego są także funkcje periodyczne w stosunku do wek-
tora falowego ~

E (~

k ) = ~

E (~

k + ~

· ~

= 2πδ

(1.46)

przy czym ~

jest wektorem sieci odwrotnej. W przypadku jednowymiarowym

E(k) = E(k +

2π

(1.47)

Funkcja własna, zgodnie z twierdzeniem Blocha przyjmie postać

E(x + a) = E(x)exp(ika),

(1.48)

gdzie wektor k przyjmuje niezależne wartości z przedziału −π/a ¬ k < π/a, który
nazywamy pierwszą strefą Brillouina. Dla różnych wartości własnych, z za-
leżności ω(k) można wygenerować strukturę pasmową ośrodka (zależność dysper-
syjną), która dla ośrodków jednorodnych ma postać przedstawioną na rysunku 1.22

ROZDZIAŁ 1. WPROWADZENIE

Rysunek 1.22: zależność dyspersyjna w ośrodkach jednorodnych

W kryształach fotonicznych natomiast powstaje fotoniczna przerwa wzbroniona

Rysunek 1.23: zależność dyspersyjna w kryształach fotonicznych

Na wykresach z Rys 1.22 i 1.23 przedstawiono nieredukowalną strefę Brillouina
(połowę pełnej pierwszej strefy). Przewodzenie światła w takich materiałach oz-
nacza, że fale elektromagnetyczne o określonej częstotliwości, należącej do fotoni-
cznych pasm przewodzenia będą przepuszczane, natomiast inne, należące do fo-
tonicznej przerwy wzbronionej nie będą propagować się. Pasma transmisji i pasma
wzbronione tworzą fotoniczną strukturę pasmową kryształu fotonicznego. Przypo-
mina ona strukturę pasmową półprzewodników, dlatego materiały te nazywane są
półprzewodnikami światła. Szerokość przerwy wzbronionej, jak wykazano w podroz-
dziale poświęconym prawu Bragga (1.40), powinna być proporcjonalna do różnicy
współczynników załamania ośrodków. Wykresy krzywych dyspersyjnych jakie otrzy-
mano w programie zostały przedstawione w rozdziale czwartym.

1.8

Kwazijednowymiarowy kryształ fotoniczny

Rozważana struktura zmienia swoje właściwości optyczne tylko w kierunku osi X,
która jest jednocześnie osią symetrii badanego ośrodka. Materiał struktury jest
nieprzewodzący, niemagnetyczny ( ~

B = µ

H , µ = 1), liniowy ( ~

D = ε ~

E ) oraz nie

występuje w nim dyssypacja energii (=(ε) = 0). Przyjmujemy, że światło pada na
obiekt w płaszczyźnie YZ pod kątem θ, a zmienność jego właściwości w kierunku
osi X jest opisana zależnością ε(x) = n

(x). Wektory natężeń pól elektrycznego

ROZDZIAŁ 1. WPROWADZENIE

i magnetycznego, ~

E i ~

H w interesującej nas strukturze przyjmują postaci

E (~

r , t) =






(x)






i(ωt−βz)

H (~

r , t) =






(x)






i(ωt−βz)

(1.49)

Kontynuując rozważania z rozdziału pierwszego dotyczącego równania Maxwella,
otrzymaliśmy równanie falowe (1.13)

∇

E (~

r , t) =

∂

E (~

r , t)

∂t

Przy założeniu, że fala EM rozchodzi się jedynie wzdłuż osi x otrzymujemy

∂

E(x, t)

∂x

∂

E(x, t)

∂t

(1.50)

Przyjmując, że rozchodząca się fala EM jest falą harmoniczną E(x, t) = E(x)exp(−iωt)
oraz różniczkując względem czasu otrzymujemy

∂

E(x)

∂x

= ω

E(x),

(1.51)

gdzie ω jest częstością fali. Zakładając, że wektory E i H są zależne tylko od x (1.49)
oraz podstawiając je do równań Maxwella (1.4)-(1.7) otrzymujemy stacjonarne rów-
nania falowe dla badanych supersieci:
dla polaryzacji s (E

= [0, E

(x), 0] i H

= [H

(x), 0, H

(x)])

−

+ β

(1.52)

gdzie

= −

;

(1.53)

natomiast dla polaryzacji p (E

= [E

(x), 0, E

(x)] i H

= [0, H

(x), 0])

−

δH

δx

(1.54)

gdzie

= −

(1.55)

Powyższe wzory mają analogiczną postać, w sensie matematycznym, jak równanie
Schr¨

odingera. Równanie Schr¨

odingera było rozwiązywane dla periodycznych potenc-

jałów, co w naszym przypadku odpowiada periodycznym zmianom współczynnika
załamania, w ramach fizyki ciała stałego. W związku z tym modele rozwiązań z
fizyki ciała stałego mogą być tutaj także zastosowane.

Rozdział 2

Metody numeryczne

Mając na uwadze fakt, że obliczenie struktury pasmowej dla struktur fotonicznych
nie jest możliwe na drodze analitycznej, do ich wyznaczenia posłużono się metodami
numerycznymi.

2.1

Zalety i wady metod numerycznych

Metody numeryczne w modelowaniu zjawisk fizycznych mają swoje wady i zalety.
Do zalet należą:

• Niewielkie koszty – nie trzeba budować danych układów, które chcemy zbadać,

nie trzeba inwestować dużej ilości pieniędzy i ludzi, przestrzeni itd.

• Szybkość – programy komputerowe potrafią wykonywać w stosunkowo krótkim

czasie skomplikowane przekształcenia i obliczenia matematyczne.

• Możliwość przeprowadzania eksperymentów naukowych – symulowanie ekstre-

malnych problemów bez konieczności ich fizycznej produkcji.

• Projektowanie materiałów – możliwość wpływająca bezpośrednio na koszty

realizacji.

• Dostępność – w większości przypadków wystarczy średniej klasy komputer

osobisty do modelowania znacznej liczby zjawisk lub procesów.

Natomiast wady i ograniczenia wynikają głównie z błędów czynnika ludzkiego
w całym procesie i można do nich zaliczyć:

• Konieczność dobrej znajomości narzędzi programistycznych używanych przy

modelowaniu problemu.

• Rozwiązywalne są zagadnienia o potęgowym stopniu złożoności algorytmicznej.

• Nieuwzględnienie wszystkich czynników (np. luk technologicznych).

• Problem źle uwarunkowanych zagadnień.

• Błędy modelu.

• Błędy metody.

ROZDZIAŁ 2. METODY NUMERYCZNE

• Błędy zaokrągleń i dyskretyzacji, a także ograniczenia np. długości typów

zmiennych.

• Błędy danych wejściowych.

• Rozwiązania komputerowe są najczęściej przybliżeniami rozwiązań dokład-

nych.

2.2

Metody rozwiązywania równań Maxwella

Od czasu sformułowania przez Maxwella równań opisujących własności pola elektro-
magnetycznego powstał rozbudowany aparat matematyczny służący do ich rozwiązy-
wania. Do bardziej popularnych metod rozwiązywania równań Maxwella należą [36]:

• Metoda elementów skończonych (finite-element method) – polega na rozkładzie

badanego obszaru na skończone elementy (najczęściej jest to rozkład skomp-
likowanych obszarów na proste figury geometryczne) i problem jest definiowany
osobno, dla każdego z tych mniej skomplikowanych elementów. Przeprowadza
się obliczenia służące rozwiązaniu problemu dla wszystkich obszarów z os-
obna a następnie łączy się wyniki obliczeń (zachowując ciągłość na granicach
łączenia aproksymując wyniki z najbliższych węzłów) i w ten sposób otrzymuje
się rozwiązanie dla bardziej skomplikowanego obszaru początkowego. Wybór
elementów najczęściej jest dokonywany tak, by były zachowane zbliżone właś-
ciwości lub kształty podobszarów, co znacznie usprawnia algorytmy oblicze-
niowe.

• FDTD (finite difference time-domain) – metoda różnic skończonych w dzie-

dzinie czasu. Istotą tej metody jest stworzenie dyskretnego modelu siatkowego
badanego obiektu złożonego z komórek elementarnych (zwanych komórkami
Yee) a następnie rozwiązanie równań Maxwella z zależnością od czasu pola
elektrycznego i magnetycznego. Aproksymuje się pochodne ilorazem różni-
cowym

→ lim

∆x→0

f (x + ∆x) − f (x − ∆x)

2∆x

(2.1)

a obliczenia przeprowadza się w zadanych odstępach czasu. Metoda ta jest
bardzo rozpowszechniona głównie ze względu na swoją prostotę i intuicyjność
w podejściu do problemu [34], [35].

• Metoda macierzy przejścia (transfer matrix method) – podobnie do poprzed-

nio opisanych metod opiera się na podzieleniu badanego obszaru na n elemen-
tów. Następnie szuka się wszystkich macierzy (macierzy przejścia) opisujących
zmianę stanu badanego układu w kolejnych krokach rozwiązując równanie

] = T

i+1

]

(2.2)

gdzie a

– i-ty element, T

i+1

– macierz przejścia dla elementu i+1, a

i+1

–

element i+1.

Po przemnożeniu macierzy dla wszystkich kroków otrzymujemy macierz prze-
jścia od stanu początkowego do końcowego

] = T

∗ T

∗ ... ∗ T

n−1

∗ T

∗ [a

]

(2.3)

ROZDZIAŁ 2. METODY NUMERYCZNE

2.3

Algebraiczne zagadnienie własne

Jak wspomniano w poprzednim rozdziale, modele rozwiązań równania Schr¨

odingera

można zastosować do obliczania rozkładu pola elektromagnetycznego w badanych
strukturach.

Algebraicznym zagadnieniem własnym (AZW) nazywamy zadanie polegające na

wyznaczeniu wartości i wektorów własnych macierzy, której elementy stanowią liczby
rzeczywiste lub zespolone.

Wartość własną ˜

ε macierzy A nazywamy liczbę, dla której istnieje niezerowy

wektor własny ψ spełniający równość

Aψ = ˜

εψ.

(2.4)

W mechanice kwantowej w zagadnieniu własnym A reprezentuje wielkość fizy-

czną, natomiast ψ jest funkcją opisującą stan badanego układu.

Równanie Schr¨

odingera jest także zagadnieniem własnym operatora energii, czyli

hamiltonianu ˆ

Hψ = Eψ

(2.5)

Rozwiązanie tego równania prowadzi do znalezienia kwantowomechanicznego opisu
badanego układu.

Przy założeniu periodycznych warunków brzegowych oraz sprowadzając rów-

nania falowe do dyskretnych postaci otrzymujemy zagadnienia własne z kwazi-
symetryczną macierzą trójdiagonalną:

• dla polaryzacji s

S ¯

E =

N ¯

(2.6)

gdzie

S =













+ 2

−1

−e

−1

+ 2 −1

−1

. ..

+ 2

−1

−e

−iQ

−1

+ 2













N =












2
1

2
2

. ..

2
J −1

2
J












;

(2.7)

• dla polaryzacji p

P ¯

H =

(2.8)

gdzie

P =














2
1/2

2
1

2
3/2

−

2
3/2

−

2
1/2

−

2
3/2

. ..

2
J −3/2

2
J −1

2
J −1/2

−

2
J −1/2

−

−iQ

2
1/2

−

2
J −1/2

2
J

2
1/2














(2.9)

ROZDZIAŁ 2. METODY NUMERYCZNE

oraz

E =












J −1












H =












J −1












(2.10)

2.4

Modele optycznych supersieci aperiodycznych

Supersieć to struktura, która powstaje w wyniku nałożenia co najmniej dwóch
różnych warstw materiałów.

Supersieci optyczne to struktury, w których nałożone warstwy zmieniają swoje

właściwości optyczne ( współczynnik załamania, przenikalność elektryczna i magne-
tyczna ). Aktualnie nie ma technologicznych barier odnośnie kolejności czy grubości
nakładanych warstw, a co za tym idzie możliwe jest skonstruowanie struktury o prak-
tycznie dowolnej konfiguracji i grubości. Przykładem może tutaj być technika wyt-
warzania warstw na podłożu krystalicznym o nazwie epitaksja z wiązki moleku-
larnej

, która pozwala na produkcję warstw z tempem wzrostu 1 do 300 nanometrów

na minutę.

W pracy scharakteryzowano OSA składające się z dwóch rodzajów warstw, okre-

ślanych przez P i Q o parametrach optycznych odpowiednio:

• współczynniki załamania: n

oraz n

• przenikalności elektryczne: ε

oraz ε

• przenikalności magnetyczne: µ

oraz µ

• grubości: d

oraz d

Model takiej sieci przedstawiono na Rys. 2.1

Rysunek 2.1: Model OSA

W modelu zakłada się również, że powierzchnie styku materiałów są idealnie równo-
ległymi płaszczyznami, a zmiana właściwości optycznych ma charakter skokowy.
Grubość warstw poszczególnych materiałów można zasymulować sposobem ułoże-
nia warstw (2 warstwy tego samego typu spełniają taką samą rolę jak jedna warstwa
podwójnej grubości)

Molecular Beam Epitaxy (MBE)

ROZDZIAŁ 2. METODY NUMERYCZNE

Dla uzyskania różnorodności w modelowanych łańcuchach wzięto pod uwagę

cztery matematyczne struktury, których wzajemne ułożenie wyrazów, odpowiada
sposobowi układania warstw w badanych OSA. Poddane analizie zostały przykłady
modeli ułożenia warstw takie jak:

• Uogólniona supersieć typu Fibonacciego (USF) [7]

• Uogólniona supersieć typu Thue-Morse’a (USTM)

• Supersieć z podwojonym okresem (SPO)

• Supersieć typu Rudin-Shapiro (SRS)

2.4.1

Uogólniona supersieć typu Fibonacciego (USF)

Uogólniona supersieć typu Fibonacciego (USF) to przykład supersieci, której kon-
strukcja polega na podstawieniach:

Q → PQ,

Q → P

(2.11)

Konstrukcję supersieci rozpoczyna się od wyrazu S

=Q, gdzie S

to łańcuch i -

tego pokolenia. Wzór rekurencyjny do tworzenia kolejnego (i+1 ) pokolenia USF
ma postać

i+1

= S

i−1

(2.12)

gdzie a określa ilość powtórzeń i -tego pokolenia, a b ilość powtórzeń pokolenia (i-
1 ). Ze wzoru (2.12) wynika, że pierwsze dwa pokolenia niezależnie od zadanych
parametrów będą zawsze takie same, tj.

= Q,

= P

(2.13)

Innymi słowy są to ”warunki początkowe”generowania OSA. Warto zauważyć, że za
S

i S

można przyjąć pojedyncze warstwy, ale w ogólności może to być zbiór wielu

warstw. Należy zaznaczyć, że wyrażenie S

i−1

nie określa mnożenia logicznego tylko

proste łączenie łańcuchów tekstowych. W dalszej części pracy zapis USF(a,b) będzie
reprezentował supersieć o określonych parametrach odpowiednio a oraz b.

Cała rodzina OSA typu Fibonacciego charakteryzuje się stałą liczbą warstw typu

Q sąsiadujących ze sobą oraz zmienną ilością warstw typu P. Dla przykładu pokazano
czwarte pokolenie USF(1,2), trzecie pokolenie USF(2,2) oraz trzecie pokolenie USF(2,3):

ROZDZIAŁ 2. METODY NUMERYCZNE

PQQPPPQQPQQ → P QQ PPP QQ P QQ

PPQQPPQQPPPP → PP QQ PP QQ PPPP

PPQQQPPQQQPPPPPP → PP QQQ PP QQQ PPPPPP

W grupie USF można wyróżnić także nazwane modele, które mają określone

parametry a i b. Ich nazwy zwyczajowe przedstawiamy poniżej [7]

• USF(1,1) – złota,

• USF(1,2) – miedziana,

• USF(1,3) – niklowa,

• USF(2,1) – srebrna,

• USF(3,1) – brązowa.

2.4.2

Uogólniona supersieć typu Thue-Morse’a (USTM)

USTM to model sieci, do konstrukcji którego potrzebna jest sieć pomocnicza. Wzór
rekurencyjny potrzebny do tworzenia USTM wygląda następująco:

i+1

= S

(2.14)

gdzie ˜

we wzorze (2.14) przyjmuje postać

= ˜

i−1

(2.15)

W modelu tym przyjmuje się, że pierwsze elementy łańcuchów mają postaci

odpowiednio S

= P oraz ˜

= Q. Ze względu na to, że początkowe wyrazy S

oraz ˜

są warstwami przeciwnego typu w USTM w których a=b wzór użyty do

konstruowania ciągu pokazuje pewną prawidłowość. W miejscu, gdzie w pierwszym
łańcuchu występuje P w drugim łańcuchu występuje Q, a tam gdzie w pierwszym
jest Q w drugim występuje P.

Dla przykładu, drugie pokolenie USTM przy a=b=2 ma postać:

= PPQQPPQQQQPPQQPP

= QQPPQQPPPPQQPPQQ

2.4.3

Supersieć z podwojonym okresem (SPO)

Supersieć z podwojonym okresem jest odmianą modelu miedzianej supersieci Fi-
bonacciego USF(1,2), z tą różnicą, że zerowe pokolenie (i=0) jest równe Q a pierwsze
(L=1) QP. Zatem wzór rekurencyjny dla tego modelu ma postać

= S

i−1

i−2

(2.16)

gdzie S

= Q i S

= QP.

Pozostałe właściwości tej odmiany struktury pozostają takie same jak w przypadku
supersieci Fibonacciego.

ROZDZIAŁ 2. METODY NUMERYCZNE

2.4.4

Supersieć typu Rudin-Shapiro (SRS)

Supersieć typu Rudin-Shapiro charakteryzuje się największym zróżnicowaniem
w ułożeniu warstw i z tego powodu wydaje się być najbardziej interesująca pod
względem naukowym, ponieważ wprowadza największą różnorodność do badanych
modeli. W oryginale budowa tego typu sieci powstaje z czterech typów warstw. Dla
potrzeb bieżącej pracy obliczenia przeprowadzono dodatkowo dla dwóch przypadku,
gdy trzeci i czwarty typ warstwy zastąpione zostały przez warstwę typu Q. Przy
konstrukcji tego modelu należy wprowadzić sieci pomocnicze. Wzór rekurencyjny
do konstrukcji SRS przyjmuje postać

i+1

= S

(2.17)

gdzie : S

= P, S

= P, ˜

= Q, ˜

= Q

Natomiast pomocnicze wzory mają postaci

i+1

= S

i+1

= ˜

i+1

= ˜

(2.18)

2.5

Programowanie zorientowane obiektowo
(OOP)

Programowanie obiektowe to podejście do programowania w sposób, który umożli-
wia traktowanie logicznych bloków/elementów programu jako oddzielne obiekty, po-
siadających określone cechy (właściwości) oraz pewne procedury/funkcje (metody).
Podejście obiektowe jest niejako odwzorowaniem sposobu w jaki postrzegamy rze-
czywistość. Zamiast traktować bloki kodu realizujące dane zadanie jako funkcje,
które są nie związanymi z innymi elementami, dużo łatwiej pod względem log-
icznym podejść do nich jak do obiektów, które potrafią realizować dane zadanie.
W programie, który jest integralną częścią tej pracy, starano się zrealizować założe-
nia programowania zorientowanego obiektowo, głównie w takich przypadkach jak
klasa supersieci (OSA), która potrafi generować konkretne łańcuchy na podstawie
podanych parametrów. Dzięki temu możliwe będzie wykorzystanie, bez ingerencji
w kod, tej klasy do innych programów w przyszłości. Głównymi paradygmatami
podejścia obiektowego do programowania są:

• Abstrakcja – każdy obiekt posiada pewną funkcjonalność, dzięki której bez

ujawniania konkretnej implementacji potrafi się komunikować z resztą sys-
temu.

• Hermetyzacja – czyli ukrywanie implementacji, oddzielone od siebie obiekty

nie ingerują w działanie innych obiektów, uniemożliwia to popełnianie błędów
omyłkowego nadpisania zmiennych globalnych, co często się zdarza przy pro-
gramowaniu proceduralnym.

• Polimorfizm – każda klasa może tworzyć dowolną ilość instancji obiektu

(egzemplarzy danego modelu) Oddzielone instancje mogą realizować równole-
gle te same zadania z różnymi parametrami

ROZDZIAŁ 2. METODY NUMERYCZNE

• Dziedziczenie – umożliwia implementacje wyspecjalizowanych obiektów dzie-

dziczących właściwości i metody z bardziej ogólnych, dzięki temu unika się
duplikowania części kodu, co znacznie wpływa na szybkość wykonywanych
operacji

Rozdział 3

Rezultaty obliczeń numerycznych

3.1

Opis programu

Obliczenia numeryczne struktury pasmowej, prędkości grupowej v

oraz efektywnego

współczynnika załamania n

zostały przeprowadzone dla badanych supersieci przy

następujących parametrach:

1. Typ polaryzacji – s lub p;

2. Liczba punktów siatki;

3. Kąta padania θ w zakresie od 0 do π/2;

4. Długości fali promieniowania λ – w zakresie światła widzialnego: od 300 nm

do 700 nm;

5. Wartości współczynników załamania warstw typu P i Q – odpowiednio n

oraz n

;

6. Grubości warstw typu P i Q – odpowiednio d

oraz d

;

7. Typu badanej sieci – Fibonacciego (USF), Thue-Morse‘a (USTM), z podwo-

jonym okresem (SPO), Rudin-Shapiro (SRS);

8. Parametrów sieci – pokolenie supersieci, współczynniki potrzebne do kon-

strukcji a oraz b dla sieci USF oraz USTM.

Do napisania programu zostało wykorzystane środowisko programistyczne Delphi.
Program na podstawie zadanych parametrów wyznacza model badanej supersieci,
następnie dokonuje próbkowania współczynnika załamania i na jego podstawie ob-
licza wartości własne. Większość obliczeń jest wykonywana na podstawie danych
bezwymiarowych, żeby uniknąć sytuacji wystąpienia błędów związanych z ogranicze-
niem długości typów zmiennych. Wartości własne zostały obliczone w oparciu o twier-
dzenie Martina-Dean‘a (znalezienia przedziału wartości, na którym znajduje się
tylko jedna wartość własna), a następnie metodą bisekcji wyznaczone z dokładno-
ścią 10

−10

. Dokładność obliczeń w znacznym stopniu wpływa na obciążenie proce-

sora oraz na czas wykonywanych operacji. Przy dokładności rzędu 10

−6

wyznaczenie

wartości własnych daje satysfakcjonujące wyniki odnośnie struktury pasmowej, ale

ROZDZIAŁ 3. REZULTATY OBLICZEŃ NUMERYCZNYCH

wyniki obliczeń prędkości grupowej i efektywnego współczynnika załamania obar-
czone są znacznym błędem. Z powodu braku translacyjnej niezmienniczości w krysz-
tałach fotonicznych należało narzucić periodyczne warunki brzegowe [7]

E(x + D) = E(x)

=⇒

E (0) = ~

E (D)e

ikD

gdzie D to całkowita grubość struktury.
Obliczenia prędkości grupowej i efektywnego współczynnika załamania dokonano na
podstawie wyznaczonych wcześniej wartości własnych przy pomocy wzorów na:

• prędkość grupową v

= dω(k)/dk,

• efektywny współczynnik załamania n

Prędkość grupową oraz efektywny współczynnik załamania obliczano dla niere-
dukowalnej strefy Brillouina (od 0 do Π).

ROZDZIAŁ 3. REZULTATY OBLICZEŃ NUMERYCZNYCH

3.2

Wybrane wyniki obliczeń

Rezultaty obliczeń zostały przedstawione w postaci wykresów:

1. zależności długości fali (nm) od wektora falowego λ(k),

2. zależności dyspersyjnej (bezwymiarowe wartości ω) ω(k),

3. prędkości grupowej,

4. efektywnego współczynnika załamania,

dla różnych zadanych parametrów wejściowych.

Nazwa OSA,

Ciąg

Polaryzacja,

, n

, θ

pokolenie

nr rysunku

SRS, 3

PPQ

s, (3.1)-(3.4)

2.3, 2.3, 0

SRS, 6

PPQQQPPQP

s, (3.5)-(3.8)

1.43, 2.3, 0

SRS, 6

PPQQQPPQP

p, (3.9)-(3.12)

1.43, 2.3, 0

SRS, 6

PPQSQRPQR

s, (3.13)-(3.16)

1.43, 2.3, 0

=1.6,n

=1.8

SRS, 6

PPQSQRPQR

p, (3.17)-(3.20)

1.43, 2.3, 0

=1.6, n

=1.8

USF(1,1), 2

s, (3.21)-(3.24)

1.43, 2.3, 0

USF(1,1), 2

p, (3.25)-(3.28)

1.43, 2.3, 0

USF(1,2), 4

PQQPPPQQPQQ

s, (3.29)-(3.32)

1.43, 2.3, 0

USF(1,2), 4

PQQPPPQQPQQ

p, (3.33)-(3.36)

1.43, 2.3, 0

USTM(1,1), 3

PQQPQPPQ

s, (3.37)-(3.40)

1.4, 2.3, 0

USTM(1,1), 3

PQQPQPPQ

p, (3.41)-(3.44)

1.4, 2.3, 0

USTM(1,1), 3

PQQPQPPQ

s, (3.45)-(3.48)

1.5, 2.3, 0

USTM(1,1), 3

PQQPQPPQ

p, (3.49)-(3.52)

1.5, 2.3, 0

USTM(1,1), 3

PQQPQPPQ

s, (3.53)-(3.56)

1.7, 2.3, 0

USTM(1,1), 3

PQQPQPPQ

p, (3.57)-(3.60)

1.7, 2.3, 0

SPO, 3

QPQQQPQP

s, (3.61)-(3.64)

1.3, 4.3, 0

SPO, 3

QPQQQPQP

s, (3.65)-(3.68)

1.3, 4.3, 0.05

SPO, 3

QPQQQPQP

s, (3.69)-(3.72)

1.3, 4.3, 0.1

Obliczenia wartości prędkości grupowej oraz efektywnego współczynnika załama-
nia zostały przeprowadzone dla k > 0. Właściwości OSA badano zmieniając – typ
sieci (łącznie z parametrami), kąt padania, grubość warstw oraz współczynniki za-
łamania warstw (dla 300nm < λ < 700nm). Gęstość próbkowania współczynnika
załamania dla badanej struktury, przy ilości warstw mniejszych niż 10, z powodu
potęgowej zależności czasu obliczeń i obciążenia procesora od ilości próbek, była
najczęściej równa 200 próbek/D, gdzie D to całkowita grubość struktury. W celu
sprawdzenia czy algorytm obliczeniowy jest prawidłowy, zasymulowano ośrodek jed-
norodny dobierając takie same wartości współczynnika n

= n

= 2.3 dla trzeciego

pokolenia SRS (PPQ). Wynik obliczeń został przedstawiony na wykresach (3.1) –
(3.4) Jak widać na wykresach fotoniczna przerwa wzbroniona w takiej strukturze
nie występuje. W konsekwencji tego faktu wykresy prędkości grupowych i efekty-
wnego współczynnika załamania powinny mieć wartość stałą, jednak ze względu na
dokładność wyznaczenia częstości (10

−10

) oraz nieznaczne błędy zaokrągleń, mają

ROZDZIAŁ 3. REZULTATY OBLICZEŃ NUMERYCZNYCH

one lekkie nachylenie. Następnie przeprowadzono obliczenia dla ośrodków aperiody-
cznych, w tabeli powyżej przedstawiono badane sieci wraz z parametrami, przy
jakich przeprowadzane były obliczenia.

ROZDZIAŁ 3. REZULTATY OBLICZEŃ NUMERYCZNYCH

Rysunek 3.1: Struktura pasmowa λ(k) dla sieci SRS, pokolenie 3 (PPQ) przy n

= 2.3

Rysunek 3.2: Struktura pasmowa ω(k) dla sieci SRS, pokolenie 3 (PPQ) przy n

= 2.3

Rysunek 3.3: Prędkość grupowa dla sieci SRS, pokolenie 3 (PPQ) przy n

= n

2.3

ROZDZIAŁ 3. REZULTATY OBLICZEŃ NUMERYCZNYCH

Rysunek 3.4: Efektywny współczynnik załamania dla sieci SRS, pokolenie 3 (PPQ)
przy n

= n

= 2.3

Rysunek 3.5: Struktura pasmowa λ(k) dla sieci SRS, pokolenie 6 (PPQQQPPQP),
polaryzacja s

Rysunek 3.6: Struktura pasmowa ω(k) dla sieci SRS, pokolenie 6 (PPQQQPPQP),
polaryzacja s

ROZDZIAŁ 3. REZULTATY OBLICZEŃ NUMERYCZNYCH

Rysunek 3.7: Prędkość grupowa dla sieci SRS, pokolenie 6 (PPQQQPPQP), po-
laryzacja s

Rysunek 3.8: Efektywny współczynnik załamania dla sieci SRS, pokolenie 6
(PPQQQPPQP), polaryzacja s

Rysunek 3.9: Struktura pasmowa λ(k) dla sieci SRS, pokolenie 6 (PPQQQPPQP),
polaryzacja p

ROZDZIAŁ 3. REZULTATY OBLICZEŃ NUMERYCZNYCH

Rysunek 3.10: Struktura pasmowa ω(k) dla sieci SRS, pokolenie 6 (PPQQQPPQP),
polaryzacja p

Rysunek 3.11: Prędkość grupowa dla sieci SRS, pokolenie 6 (PPQQQPPQP), po-
laryzacja p

Rysunek 3.12: Efektywny współczynnik załamania dla sieci SRS, pokolenie 6
(PPQQQPPQP), polaryzacja p

ROZDZIAŁ 3. REZULTATY OBLICZEŃ NUMERYCZNYCH

Rysunek 3.13: Struktura pasmowa λ(k) dla sieci SRS, pokolenie 6 (PPQSQRPQR),
polaryzacja s

Rysunek 3.14: Struktura pasmowa ω(k) dla sieci SRS, pokolenie 6 (PPQSQRPQR),
polaryzacja s

Rysunek 3.15: Prędkość grupowa dla sieci SRS, pokolenie 6 (PPQSQRPQR), po-
laryzacja s

ROZDZIAŁ 3. REZULTATY OBLICZEŃ NUMERYCZNYCH

Rysunek 3.16: Efektywny współczynnik załamania dla sieci SRS, pokolenie 6
(PPQSQRPQR), polaryzacja s

Rysunek 3.17: Struktura pasmowa λ(k) dla sieci SRS, pokolenie 6 (PPQSQRPQR),
polaryzacja p

Rysunek 3.18: Struktura pasmowa ω(k) dla sieci SRS, pokolenie 6 (PPQSQRPQR),
polaryzacja p

ROZDZIAŁ 3. REZULTATY OBLICZEŃ NUMERYCZNYCH

Rysunek 3.19: Prędkość grupowa dla sieci SRS, pokolenie 6 (PPQSQRPQR), po-
laryzacja p

Rysunek 3.20: Efektywny współczynnik załamania dla sieci SRS, pokolenie 6
(PPQSQRPQR), polaryzacja p

Rysunek 3.21: Struktura pasmowa λ(k) dla sieci USF(1,1) pokolenie 2 (PQ), po-
laryzacja s

ROZDZIAŁ 3. REZULTATY OBLICZEŃ NUMERYCZNYCH

Rysunek 3.22: Struktura pasmowa ω(k) dla sieci USF(1,1) pokolenie 2 (PQ), po-
laryzacja s

Rysunek 3.23: Prędkość grupowa dla sieci USF(1,1) pokolenie 2 (PQ), polaryzacja s

Rysunek 3.24: Efektywny współczynnik załamania dla sieci USF(1,1) pokolenie 2
(PQ), polaryzacja s

ROZDZIAŁ 3. REZULTATY OBLICZEŃ NUMERYCZNYCH

Rysunek 3.25: Struktura pasmowa λ(k) dla sieci USF(1,1) pokolenie 2 (PQ), po-
laryzacja p

Rysunek 3.26: Struktura pasmowa ω(k) dla sieci USF(1,1) pokolenie 2 (PQ), po-
laryzacja p

Rysunek 3.27: Prędkość grupowa dla sieci USF(1,1) pokolenie 2 (PQ), polaryzacja p

ROZDZIAŁ 3. REZULTATY OBLICZEŃ NUMERYCZNYCH

Rysunek 3.28: Efektywny współczynnik załamania dla sieci USF(1,1) pokolenie 2
(PQ), polaryzacja p

Rysunek 3.29: Struktura pasmowa λ(k) dla sieci USF(1,2) pokolenie 4 (PQQPP-
PQQPQQ), polaryzacja s

Rysunek 3.30: Struktura pasmowa ω(k) dla sieci USF(1,2) pokolenie 4 (PQQPP-
PQQPQQ), polaryzacja s

ROZDZIAŁ 3. REZULTATY OBLICZEŃ NUMERYCZNYCH

Rysunek 3.31: Prędkość grupowa dla sieci USF(1,2) pokolenie 4 (PQQPPPQQPQQ),
polaryzacja s

Rysunek 3.32: Efektywny współczynnik załamania dla sieci USF(1,2) pokolenie 4
(PQQPPPQQPQQ), polaryzacja s

Rysunek 3.33: Struktura pasmowa λ(k) dla sieci USF(1,2) pokolenie 4 (PQQPP-
PQQPQQ), polaryzacja p

ROZDZIAŁ 3. REZULTATY OBLICZEŃ NUMERYCZNYCH

Rysunek 3.34: Struktura pasmowa ω(k) dla sieci USF(1,2) pokolenie 4 (PQQPP-
PQQPQQ), polaryzacja p

Rysunek 3.35: Prędkość grupowa dla sieci USF(1,2) pokolenie 4 (PQQPPPQQPQQ),
polaryzacja p

Rysunek 3.36: Efektywny współczynnik załamania dla sieci USF(1,2) pokolenie 4
(PQQPPPQQPQQ), polaryzacja p

ROZDZIAŁ 3. REZULTATY OBLICZEŃ NUMERYCZNYCH

Rysunek 3.37: Struktura pasmowa λ(k) dla sieci USTM(1,1) pokolenie 3
(PQQPQPPQ), polaryzacja s, współczynniki załamania n

= 1.4, n

= 2.3

Rysunek 3.38: Struktura pasmowa ω(k) dla sieci USTM(1,1) pokolenie 3
(PQQPQPPQ), polaryzacja s, współczynniki załamania n

= 1.4, n

= 2.3

Rysunek 3.39: Prędkość grupowa dla sieci USTM(1,1) pokolenie 3 (PQQPQPPQ),
polaryzacja s, współczynniki załamania n

= 1.4, n

= 2.3

ROZDZIAŁ 3. REZULTATY OBLICZEŃ NUMERYCZNYCH

Rysunek 3.40: Efektywny współczynnik załamania dla sieci USTM(1,1) pokolenie 3
(PQQPQPPQ), polaryzacja s, współczynniki załamania n

= 1.4, n

= 2.3

Rysunek 3.41: Struktura pasmowa λ(k) dla sieci USTM(1,1) pokolenie 3
(PQQPQPPQ), polaryzacja p, współczynniki załamania n

= 1.4, n

= 2.3

Rysunek 3.42: Struktura pasmowa ω(k) dla sieci USTM(1,1) pokolenie 3
(PQQPQPPQ), polaryzacja p, współczynniki załamania n

= 1.4, n

= 2.3

ROZDZIAŁ 3. REZULTATY OBLICZEŃ NUMERYCZNYCH

Rysunek 3.43: Prędkość grupowa dla sieci USTM(1,1) pokolenie 3 (PQQPQPPQ),
polaryzacja p, współczynniki załamania n

= 1.4, n

= 2.3

Rysunek 3.44: Efektywny współczynnik załamania dla sieci USTM(1,1) pokolenie 3
(PQQPQPPQ), polaryzacja p, współczynniki załamania n

= 1.4, n

= 2.3

Rysunek 3.45: Struktura pasmowa λ(k) dla sieci USTM(1,1) pokolenie 3
(PQQPQPPQ), polaryzacja s, współczynniki załamania n

= 1.5, n

= 2.3

ROZDZIAŁ 3. REZULTATY OBLICZEŃ NUMERYCZNYCH

Rysunek 3.46: Struktura pasmowa ω(k) dla sieci USTM(1,1) pokolenie 3
(PQQPQPPQ), polaryzacja s, współczynniki załamania n

= 1.5, n

= 2.3

Rysunek 3.47: Prędkość grupowa dla sieci USTM(1,1) pokolenie 3 (PQQPQPPQ),
polaryzacja s, współczynniki załamania n

= 1.5, n

= 2.3

Rysunek 3.48: Efektywny współczynnik załamania dla sieci USTM(1,1) pokolenie 3
(PQQPQPPQ), polaryzacja s, współczynniki załamania n

= 1.5, n

= 2.3

ROZDZIAŁ 3. REZULTATY OBLICZEŃ NUMERYCZNYCH

Rysunek 3.49: Struktura pasmowa λ(k) dla sieci USTM(1,1) pokolenie 3
(PQQPQPPQ), polaryzacja p, współczynniki załamania n

= 1.5, n

= 2.3

Rysunek 3.50: Struktura pasmowa ω(k) dla sieci USTM(1,1) pokolenie 3
(PQQPQPPQ), polaryzacja p, współczynniki załamania n

= 1.5, n

= 2.3

Rysunek 3.51: Prędkość grupowa dla sieci USTM(1,1) pokolenie 3 (PQQPQPPQ),
polaryzacja p, współczynniki załamania n

= 1.5, n

= 2.3

ROZDZIAŁ 3. REZULTATY OBLICZEŃ NUMERYCZNYCH

Rysunek 3.52: Efektywny współczynnik załamania dla sieci USTM(1,1) pokolenie 3
(PQQPQPPQ), polaryzacja p, współczynniki załamania n

= 1.5, n

= 2.3

Rysunek 3.53: Struktura pasmowa λ(k) dla sieci USTM(1,1) pokolenie 3
(PQQPQPPQ), polaryzacja s, współczynniki załamania n

= 1.7, n

= 2.3

Rysunek 3.54: Struktura pasmowa ω(k) dla sieci USTM(1,1) pokolenie 3
(PQQPQPPQ), polaryzacja s, współczynniki załamania n

= 1.7, n

= 2.3

ROZDZIAŁ 3. REZULTATY OBLICZEŃ NUMERYCZNYCH

Rysunek 3.55: Prędkość grupowa dla sieci USTM(1,1) pokolenie 3 (PQQPQPPQ),
polaryzacja s, współczynniki załamania n

= 1.7, n

= 2.3

Rysunek 3.56: Efektywny współczynnik załamania dla sieci USTM(1,1) pokolenie 3
(PQQPQPPQ), polaryzacja s, współczynniki załamania n

= 1.7, n

= 2.3

Rysunek 3.57: Struktura pasmowa λ(k) dla sieci USTM(1,1) pokolenie 3
(PQQPQPPQ), polaryzacja p, współczynnik współczynniki załamania n

= 1.7,

= 2.3

ROZDZIAŁ 3. REZULTATY OBLICZEŃ NUMERYCZNYCH

Rysunek 3.58: Struktura pasmowa ω(k) dla sieci USTM(1,1) pokolenie 3
(PQQPQPPQ), polaryzacja p, współczynnik współczynniki załamania n

= 1.7,

= 2.3

Rysunek 3.59: Prędkość grupowa dla sieci USTM(1,1) pokolenie 3 (PQQPQPPQ),
polaryzacja p, współczynniki załamania n

= 1.7, n

= 2.3

Rysunek 3.60: Efektywny współczynnik załamania dla sieci USTM(1,1) pokolenie 3
(PQQPQPPQ), polaryzacja p, współczynniki załamania n

= 1.7, n

= 2.3

ROZDZIAŁ 3. REZULTATY OBLICZEŃ NUMERYCZNYCH

Rysunek 3.61: Struktura pasmowa λ(k) dla sieci SPO pokolenie 3 (QPQQQPQP),
polaryzacja s, kąt padania 0

Rysunek 3.62: Struktura pasmowa ω(k) dla sieci SPO pokolenie 3 (QPQQQPQP),
polaryzacja s, kąt padania 0

Rysunek 3.63: Prędkość grupowa dla sieci SPO pokolenie 3 (QPQQQPQP), po-
laryzacja s, kąt padania 0

ROZDZIAŁ 3. REZULTATY OBLICZEŃ NUMERYCZNYCH

Rysunek 3.64: Efektywny współczynnik załamania dla sieci SPO pokolenie 3
(QPQQQPQP), polaryzacja s, kąt padania 0

Rysunek 3.65: Struktura pasmowa λ(k) dla sieci SPO pokolenie 3 (QPQQQPQP),
polaryzacja s, kąt padania 0.05

Rysunek 3.66: Struktura pasmowa ω(k) dla sieci SPO pokolenie 3 (QPQQQPQP),
polaryzacja s, kąt padania 0.05

ROZDZIAŁ 3. REZULTATY OBLICZEŃ NUMERYCZNYCH

Rysunek 3.67: Prędkość grupowa dla sieci SPO pokolenie 3 (QPQQQPQP), po-
laryzacja s, kąt padania 0.05

Rysunek 3.68: Efektywny współczynnik załamania dla sieci SPO pokolenie 3
(QPQQQPQP), polaryzacja s, kąt padania 0.05

Rysunek 3.69: Struktura pasmowa λ(k) dla sieci SPO pokolenie 3 (QPQQQPQP),
polaryzacja s, kąt padania 0.1

ROZDZIAŁ 3. REZULTATY OBLICZEŃ NUMERYCZNYCH

Rysunek 3.70: Struktura pasmowa ω(k) dla sieci SPO pokolenie 3 (QPQQQPQP),
polaryzacja s, kąt padania 0.1

Rysunek 3.71: Prędkość grupowa dla sieci SPO pokolenie 3 (QPQQQPQP), po-
laryzacja s, kąt padania 0.1

Rysunek 3.72: Efektywny współczynnik załamania dla sieci SPO pokolenie 3
(QPQQQPQP), polaryzacja s, kąt padania 0.1

ROZDZIAŁ 3. REZULTATY OBLICZEŃ NUMERYCZNYCH

3.3

Uwagi i wnioski

Z uzyskanych obliczeń i wykresów płyną następujące wnioski:

• Położenie oraz charakter fotonicznej przerwy wzbronionej jest silnie uzależ-

niony od sposobu ułożenia warstw, a tym samym od typu supersieci (Rys.
3.1)-(Rys. 3.72).

• Przerwa energetyczna dla struktury tego samego typu, ale dla różnych po-

laryzacji, leży mniej więcej w tym samym obszarze częstości, ich szerokości
najczęściej są nieznacznie różne (Rys. 3.21)–(Rys. 3.28).

• W miarę zmniejszania różnicy współczynników załamania warstw (n

= 1.4 =⇒

= 1.5 =⇒ n

= 1.7 przy n

= 2.3) (Rys. 3.37)–(Rys. 3.60), tak jak

przewidywano, przerwy energetyczne stają się coraz węższe, następstwem czego
jest poszerzenie pasm przewodzenia.

• W miarę zwiększania kąta padania (Rys. 3.61)–(Rys. 3.72) szerokość przerwy

energetycznej pozostaje stała, ale przesuwa się w kierunku wyższych częstości.

• Z wypukłości i wklęsłości wykresów prędkości grupowych oraz efektywnego

współczynnika załamania wynika, że najszybsze zmiany struktury pasmowej
występują na granicach strefy Brillouina (Rys. 3.1)-(Rys. 3.72).

• Zaobserwowano wyraźną zależność pomiędzy szerokością przerwy fotonicznej

oraz pasma dozwolonego od numeru wartości własnej. W miarę zwiększania
długości fali szerokość przerwy wzbronionej i pasma przewodzenia staje się
coraz większa (Rys. 3.13), (Rys. 3.17), (Rys. 3.21), (Rys. 3.25)

• Zmiana wartości współczynników załamania kilku wybranych warstw w bar-

dziej skomplikowanej strukturze (Rys. 3.5)–(Rys. 3.12) =⇒ (Rys. 3.13) – (Rys.
3.20) spowodowała istotną zmianę szerokości tylko jednej przerwy fotonicznej.

• Nie zaobserwowano znaczących różnic w charakterystykach struktur pasmo-

wych dla takich samych warunków początkowych ale różnych polaryzacji (Rys.
3.1)-(Rys. 3.72).

Rozdział 4

Podsumowanie

Kryształy fotoniczne są bardzo obiecującymi pod względem technologicznym ma-
teriałami. Świadczy o tym coraz większe zainteresowanie ze strony największych
ośrodków naukowych na świecie [15], [16], [17]. Pomimo tego, że struktury foton-
iczne mają dość krótką historię, w porównaniu do innych dziedzin, to zaangażowanie
takich centrów uniwersyteckich jak MIT gwarantuje im stałe miejsce we współczes-
nej nauce. Przedstawiono możliwe praktyczne realizacje aplikacyjne opartych na
tego typu strukturach. Najwięcej uwagi w pracy poświęcono podstawom fizycznym
zjawisk zachodzących przy propagacji światła w strukturach o zmiennym współ-
czynniku załamania (Rozdział 1). Omówiono także najciekawsze fakty dotyczące
ujemnego załamania oraz materiałów lewoskrętnych, które są równie interesującym
pod względem naukowo-technicznym zagadnieniem.

W rozdziale drugim został przedstawiony aparat matematyczny do modelowa-

nia kwazijednowymiarowego kryształu fotonicznego. Jego zastosowanie przy kon-
strukcji powszechnych urządzeniach optoelektronicznych, a nie jak to ma miejsce
w chwili obecnej głównie w laboratoriach naukowych, wydaje się być nieuniknione.
Pytanie jakie można postawić to ”Kiedy to nastąpi ?”Faktem jest, że produkuje się
już na skalę komercyjną światłowody fotoniczne [69], ale ich cena, głównie wynika-
jąca z potrzeby precyzji wykonania i wykorzystania zaawansowanych technologi,
jest dużo większa niż światłowodów tradycyjnych. Metody komputerowe wspoma-
gają modelowanie struktur fotonicznych co znacznie obniża koszty oraz czas trwania
badań naukowych. W pracy badano zależności dyspersyjne dla czterech typów OSA
(Fibonacciego, Thue-Morse‘a, z podwojonym okresem, Rudin-Shapiro). Ich zróżni-
cowanie pozwala modelować praktycznie każdy sposób ułożenia warstw w struktu-
rach aperiodycznych. Szeroka gama możliwych zastosowań kryształów fotonicznych
pozwala sądzić, że ich ekspansja w coraz więcej dziedzin życia jest gwarantowana.

Analiza wyników prowadzi do wniosku, że za pomocą kryształów fotonicznych

można budować bardzo różnorodne pod względem optycznym materiały (Rozdział
3). Modelując odpowiednio strukturę badanego ośrodka można uzyskać bardzo róż-
norodne charakterystyki ”przewodzenia światła”, a w konsekwencji wykorzystać
struktury fotoniczne do bardzo szerokiej gamy zastosowań w optoelektronice. Wszys-
tkie badane struktury były badane pod kątem wykorzystania ich w zakresie światła
widzialnego. Błędy, które się ujawniły podczas przeprowadzanych badań nie wpły-
nęły znacząco na wyniki obliczeń.

Dodatek A

Obliczanie wartości własnych

Do obliczania wartości własnych algebraicznego zagadnienia własnego (AZW)
zastosowano algorytm Martina-Dean. Algorytm ten pozwala znaleźć przedział,
w którym znajduje się tylko jedna wartość własna, którą następnie wyznacza się za
pomocą bisekcji z zadaną dokładnością.

Wyprowadzenie twierdzenia Martina-Deana (o ujemnych wartościach własnych

macierzy blokowo kwazi-trójdiagonalnej):

Niech M będzie macierzą o wymiarach NxN

M =


















. .. ...
. .. ...

. ..

. .. d

N −2

N −1

?
0

N −1


















(A.1)

a η(M ) niech oznacza liczbę wartości własnych (lww ) mniejszych od liczby rzeczy-
wistej x macierzy M, wtedy

lww = η(M − xI) =

i=1

η(u

)

(A.2)

(x) = (M − xI) =


















− x

. .. ...
. .. ...

. ..

. .. d

N −2

− x

N −2

N −1

− x

N −1

?
0

N −1

− x


















(A.3)

DODATEK A. OBLICZANIE WARTOŚCI WŁASNYCH

Teraz podzielmy tę macierz na cztery części według schematu

(x) =


















− x

· · ·

− x

. .. ...

. ..

. .. d

N −2

− x

N −2

N −1

− x

N −1

?
0

N −1

− x


















(A.4)

wprowadzimy nowe zmienne

(x) =

(A.5)

gdzie

= d

− x,

(A.6)

, 0, · · · , 0, e

(A.7)












?
0












(A.8)


















− x

. .. ...
. .. ...

. ..

. .. d

N −2

− x

N −2

N −1

− x

N −1

− x


















(A.9)

Z twierdzenia o ujemnych wartościach własnych dla macierzy M

(x) otrzymujemy

η(M

(x)) = η(X

) + η(Z

− Y

−1

)

(A.10)

W wyrażeniu (A.10) η(X

) jest skalarem o wartości d

− x natomiast Z

− Y

−1

po wymnożeniu jest macierzą kwadratową o wymiarach (N-1)x(N-1), którą zajmiemy
się w następnym kroku, o postaci

(x) =



















− x +

2
1

x−d

· · ·

x−d

− x

. .. ...

. ..

. .. d

N −2

− x

N −2

N −1

− x

N −1

?
0

x−d

N −1

− x +

?
0

x−d



















(A.11)

DODATEK A. OBLICZANIE WARTOŚCI WŁASNYCH

Jak widać, oprócz wymiarów macierzy zmieniły się elementy [1,1], [1,N-1], [N-

1,1], [N-1,N-1]. Wprowadzając nowe oznaczenia

x − d

2
1

x − d

?
0

x − d

(A.12)

macierz M

(x) przyjmie postać

(x) =


















− x + a

· · ·

· a

− x

. .. ...

. ..

. .. d

N −2

− x

N −2

N −1

− x

N −1

?
0

· a

N −1

− x + a


















(A.13)

(x) =

(A.14)

Sytuacja jest analogiczna jak w poprzednim kroku, macierz M

(x) = Z

− Y

−1

wygląda następująco:

(x) =
















− x +

2
2

x−d

−a

· · ·

x−d

−a

− x

. ..

. .. d

N −2

− x

N −2

N −1

− x

N −1

?
0

x−d

−a

N −1

− x + a

)(e

?
0

)

x−d

−a
















(A.15)

Można zauważyć, że postępując analogicznie w każdym następnym kroku sytuacja
będzie się powtarzała, więc i -ty krok będzie miał postać

(x) = Z

i−1

− Y

i−1

−1

i−1

(i > 1)

(A.16)

(x) =

(A.17)

η(M

(x)) = η(X

) + η(Z

− Y

−1

)

(A.18)

Wyraz w lewym górnym narożniku macierzy będzie się rekurencyjnie zwiększał
w stosunku do poprzedniego kroku (dla i > 1), także elementy w pozostałych
narożnikach przy kolejnych krokach zmniejszania wymiaru macierzy będą się powięk-
szały o kolejne elementy, ostatecznie u

we wzorze (A.2) stanie się ciągiem liczbowym

postaci [23]

= d

− x,

= d

− x −

2
i−1

i−1

(i = 2, . . . , n − 1),

DODATEK A. OBLICZANIE WARTOŚCI WŁASNYCH

= d

−

n−2

i=1

− x −

N −1

+ s

N −1

(A.19)

= e

= −

i−1

(i = 2, . . . , n − 1)

Bibliografia

[1] Gordon Moore, http://pl.wikipedia.org/wiki/Prawo Moore’a

[2] Włodzimierz Salejda, wykład habilitacyjny pt. Co wiedzieć powinien inżynier

o fizycznej naturze informacji i procesach jej przetwarzania?, Politechnika
Wrocławska – Instytut Fizyki, Wrocław 1999

[3] Wojciech Cellary, Raport pt. Polska w drodze do globalnego społeczeństwa in-

formacyjnego, http://www.kti.ae.poznan.pl/specials/nhdr2002/

[4] L. Jacak, P. Hawrylak, A.Wójs, Quantum Dots, Springer-Verlag, Berlin Heidel-

berg New York 1998; Nanostructured Materials and Nanotechnology, Ed.: H. S.
Nalwa, Academic Press, New York 2002.

[5] Paweł Masiak, Mechanika kwantowa. Komputer kwantowy. Zastosowania,

http://www.gazetawyborcza.pl/1,75476,93646.html , 1995

[6] Michael A. Nielsen, Isaac L. Chuang, Quantum Computation and Quantum

Information, Cambridge University Press, wrzesień 2000

[7] Agnieszka Klauzer-Kruszyna, praca doktorancka pt. Propagacja światła spo-

laryzowanego w wybranych supersieciach aperiodycznych, Instytut Fizyki Po-
litechniki Wrocławskiej, Wrocław, czerwiec 2005

[8] M. Inoue, H. Miyazaki, Optical properties of one-dimensional quasi-periodic

crystals. II. Modified Fibonacci lattice with arbitrary initial conditions, J. Phys.
Soc. Japan 59, 2549-2562, 1990

[9] M. Inoue, H. Miyazaki, Optical properties of one-dimensional quasiperiodic

crystals. III. Optical reflectivity spectrum and structure of a generalized Fi-
bonacci lattice, J. Phys. Soc. Japan 59, 2563-2577, 1990

[10] Greg Parker G, M Charlton Photonic crystals, Physics World, Wrzesień 2000

[11] History of Photonic Crystals, http://www.bergen.org/istf/02-598/comp1.html

[12] http://www.sciencebase.com/mar03 iss.html

[13] Steven G. Johnson, John D. Joannopoulos, Photonic Crystals – The Road from

Theory to Practice, Kluwer Academic Publishers, Norwell 2002

[14] John D. Joannopoulos, Robert D. Meade, Joushua N. Winn Photonic Crystals

Molding the Flow of Light, Princeton University Press, Princeton, 1995

[15] Steven G. Johnson http://ab-initio.mit.edu/photons/tutorial/, MIT

BIBLIOGRAFIA

[16] David R Smith, http://www.ee.duke.edu/˜

drsmith/

[17] R. B. Wehrspohn, http://www.mpi-halle.mpg.de/˜

porous m/, Max-Planck-

Intitut f¨

ur Mikrostrukturphysik

[18] http://photonics.tfp.uni-karlsruhe.de/research.html, Institut fur Theoretische

Festkorperphysik – Photonics Group

[19] Sajeev John, http://www2.physics.utoronto.ca/˜

john/

[20] Jay Orear, Fizyka, Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, Warszawa 1998

[21] Milena Dziębaj, praca magisterska pt. Metody otrzymywania i właściwości

optyczne materiałów z ujemnym współczynnikiem załamania, Politechnika
Wrocławska – Wydział Podstawowych Problemów Techniki, Wrocław 2006

[22] Z.Kleszczewski Wybrane zagadnienia z optyki falowej, Wydawnictwo Politech-

niki Śląskiej, Gliwice 2003

[23] Włodzimierz Salejda, Michał H. Tyc, Marcin Just, Algebraiczne metody

rozwiązywania

równania

Schr¨

odingera,

Wydawnictwo

Naukowe

PWN,

Warszawa 2002

[24] Griffiths, D. J., Podstawy elektrodynamiki, Wydawnictwo Naukowe PWN,

Warszawa, 2006

[25] Jackson, J. D., Elektrodynamika klasyczna, Wydawnictwo Naukowe PWN,

Warszawa, 1982

[26] Suffczynski, M., Elektrodynamika, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa,

1980

[27] M. Bertolotti, P. Masciulli, C. Sibilia, F.Wijnands,H.Hoekstra,Transmission

properties of a Cantor corrugated waveguide, J. Opt. Soc. Am., B 13, 628-634,
1996

[28] F. Garzia, P.Masciulli, C. Sibilia, M. Bertolotti, Temporal pulse response of a

Cantor filter, Opt. Comm., 147, 333-340, 1998

[29] E. Cojocaru, Temporal pulse response of quasiperiodic Fibonacci Fabry-Perot

type optical filters, Opt. Appl., 32, 85-92, 2002

[30] X. Huang, Y. Liu, D. Mo, Transmission of Light through a Class of Quasiperi-

odic Multilayers, Sol. St. Comm., 87, 601-604, 1993

[31] C. Schwartz, Reflection properties of pseudorandom multilayers, Appl. Opt., 27,

1232-1234, 1988

[32] Agnieszka Klauzer-Kruszyna, Włodzimierz Salejda, Michał H. Tyc, Polarized

light transmission through generalized Fibonacci multilayers: I. Dynamical maps
approach, Optik/Optics, 2004, vol. 115, s. 257 266

[33] Agnieszka Klauzer-Kruszyna, Włodzimierz Salejda, Michał H. Tyc, Polarized

light transmission through generalized Fibonacci multilayers: II.Numerical re-
sults, Optik/Optics, 2004, vol. 115, s. 267 276

BIBLIOGRAFIA

[34] Allen Taflove, Susan C. Hagness, Computational Electrodynamics – the Finite-

Difference Time-Domain Method, Third edition, Artech Hous, Norwood 2005

[35] Karol Lech Tarnowski, Analiza numeryczna rozkładu i propagacji pola elek-

trycznego w metamateriałach metodą FDTD

[36] Matthew N.O. Sadiku, Numerical Techniques in Electromagnetics, Second Edi-

tion, CRC Press LLC., 2000

[37] M. Kohmoto, B. Sutherland, K. Iguchi, Localization in Optics: Quasiperiodic

Media, Phys. Rev. Lett., 58, 2436-2838, 1987

[38] K. Iguchi, Optical property of a quasi-periodic multilayer, Mat. Sc. En., B 15,

L13-L17, 1992

[39] W. Gellermann, M. Kohmoto, B. Sutherland, P. C. Taylor, Localization of Light

Waves in Fibonacci Dieletric Multilayers, Phys. Rev. Lett., 72, 633-636, 1994

[40] M. Kanzari, B. Rezig, Optical polychromatic filter by the combination of periodic

and quasi-periodic one-dimensional, dielectric photonic bandgap structures, J.
Opt. A: Pure Appl. Opt., 3, 201-207, 2001

[41] Y. W. Lee, F. C. Fan, Y. C. Huang, B. Y. Gu, B. Z. Dong, M. H. Chou,

Nonlinear multiwavelength conversion based on an aperiodic optical superlattice
in lithium niobate, Opt. Lett. 27, 2191-2193, 2002

[42] Y. Avishai, D. Berend, Transmission through Fibonacci chain, Phys. Rev., 41,

5492- 5499, 1990

[43] Z. C. Tao, M. Singh, Theoretical calculations of reflectance and transmission

spectra of periodic and quasiperiodic multiple layers, Sol. St. Comm., 81, 717-
720, 1992

[44] D. Munzar, L. Bocaek, J. Humlicek, K. Ploog, Fractal structure in optical spec-

tra of Fibonacci superlattices, J. Phys.: Cond. Matt., 6, 4107-4118, 1994

[45] X. Q. Huang, S. S. Jiang, R. W. Peng, A. Hu, Perfect transmission and self-

similar optical transmission spectra in symmetric Fibonacci-class multilayers,
Phys. Rev., B 63, 245104-245112, 2001

[46] H. Miyazaki, M. Inoue, Optical properties of one-dimensional quasi-periodic

crystals. I. Optical reflectivity spectrum of a Fibonacci lattice, J. Phys. Soc.
Japan 59, 2536-2548, 1990

[47] G. J. Jin, Z. D. Wang, A. Hu, S. S. Jiang, Scaling properties of coupled optical

interface modes in Fibonacci dielectric superlattices, J. Phys.: Cond.Matt. 8,
10285-10292, 1996

[48] X. Q. Huang, Y. Wang, C. D. Gong, Numerical Investigation of Light Wave Lo-

calization in Optical Fibonacci Superlattices with Symmetric Internal Structure,
J. Phys.: Cond. Matt. 11, 7645-7651, 1999

[49] X. B. Yang, Y. Y. Liu, X. J. Fu, Transmission properties of light through the

Fibonacciclass multilayers, Phys. Rev., B 59, 4545-4548, 1999

BIBLIOGRAFIA

[50] X. Wang, S. Pan, G. Yang, Antitrace maps and light transmission coefficients

for a generalized Fibonacci multilayers, arXiv: cond-mat/0106378, 2001

[51] M. Dulea, M. Severin, R. Riklund, Transmission of light through deterministic

aperiodic non-Fibonaccian multilayers, Phys. Rev. B 42, 3680-3689, 1990

[52] R. Riklund, M. Severin, Optical properties of perfect and non-perfect quasiperi-

odic multilayers: a comparison with periodic and disordered multilayers, J. Phys.
C: Solid State Phys., 21, 3217-3228, 1988

[53] M. S. Vasconcelos, E. L. Albuquerque, A. M. Mariz, Optical localization in

quasi-periodic multilayers, J. Phys.: Cond. Matt., 10, 5839-5894, 1998

[54] Jerzy Zachorowski, Lasery i elementy optoelektroniki, Instytut Fizyki Uniwer-

sytetu Jagielońskiego

[55] Rafał Kotyński, Metody Obliczeniowe Mikrooptyki i Fotoniki, Zakład Optyki

Informacyjnej, Wydział Fizyki UW

[56] V.G.Veselago, The electrodynamics of substances with simultaneously negative

values of e and m, Sov. Phys. Usp. 10, s.509-14, (1968);

[57] E. Yablonovitch, Inhibited Spontaneous Emission in Solid-State Physics and

Electronics, Phys. Rev. Lett., 58, 2059 (1987); S. John, Strong localization of
photons incertain disordered dielectric superlattices, Phys. Rev. Lett., 58, 2486
(1987)

[58] Zbigniew Kąkol, Wykłady z Fizyki, http://galaxy.uci.agh.edu.pl/˜

kakol

[59] Marcin Stachurski, metody numeryczne w programie MATLAB, Wydawnictwo

MIKOM, Listopad 2003

[60] Bernard Baron et alm Metody numeryczne w Delphi 4, Wydawnictwo Helion,

Listopad 1999

[61] Fortuna Zenon, Macukow Bohdan, Wąsowski Janusz, Metody numeryczne,

Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, Kwiecień 2005

[62] Richard Feynman, The Character of Physical Law, BBC, 1965

[63] David R Smith, Beating the diffraction limit, Physics in Action, Maj 2004

[64] David R.Smith, Willie J. Padilla, D. C. Vier, S. C. Nemat-Nasser i S. Schultz

Composite Medium with Simultaneously Negative Permeability and Permittiv-
ity, Phisycal Review Letters, vol.84 nr.18, 1 Maj 2000

[65] Batop optoelectronics GmbH, http://www.batop.de/informations/r Bragg.html

[66] http://pl.wikipedia.org/wiki/Prawo Bragga

[67] R. A. Shelby, D. R. Smith, S. Schultz, Experimental Verification of a Negative

Index of Refraction, SCIENCE http://www.sciencemag.org, Kwiecień 2001

[68] J.B.Pendry, Negative refraction makes a perfect lens, Phys.Rev.Lett. vol. 85, nr

18, 3966-9 (2000);

BIBLIOGRAFIA

[69] http://www.crystal-fibre.com/

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
3 Metody numeryczne rozwiązywania równań algebraicznych
4 Metody numeryczne rozwiązywania układów równań2
Metody jednokrokowe rozwiązywania równań różniczkowych, aaa, studia 22.10.2014, całe sttudia, III se
4 Metody numeryczne rozwiązywania układów równań
rownania nieliniowe, Automatyka i robotyka air pwr, VI SEMESTR, Notatki.. z ASE, metody numeryczne,
IV.13.14.15 Metody numeryczne rozwiązywania układów liniowyc, IV
Numeryczne rozwiązywanie równań i układów równań nieliniowych
rownania nieliniowe, Automatyka i robotyka air pwr, VI SEMESTR, Notatki.. z ASE, metody numeryczne,
rozwiązywanie układów równań liniowych spr, Politechnika Lubelska, Studia, Studia, sem III, sprawka,
02 Wybrane metody numeryczne (aproksymacja funkcji, rozwiazy
METODY ROZWIĄZYWANIA RÓWNAŃ RÓŻNICZKOWYCH , RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE JEDNORODNE WZGLĘDEM X i Y
chomik Wybrane modele ekologiczne oraz metody rozwiązywania równań różniczkowych zwyczajnych

więcej podobnych podstron