Wykład 24b. Powtórka
J ˛edrzej Piszcz, Mikołaj Kaczmarek
CHUJ CHUJ CHUJ
J ˛edrzej Piszcz, Mikołaj Kaczmarek
CHUJ CHUJ CHUJ
1 / 35
Spis tre´sci
1
Metoda najmniejszych kwadratów
2
3
Obliczanie wyznacznika macierzy
Macierz 2 × 2
Macierz 3 × 3
Dopełnienie algebraiczne elementu macierzy
Macierz 4 × 4
4
J ˛edrzej Piszcz, Mikołaj Kaczmarek
CHUJ CHUJ CHUJ
2 / 35
Metoda najmniejszych kwadratów
Problem
Znalezienie najbli˙zszego rozwi ˛
azania układu równa ´n nie
posiadaj ˛
acego rozwi ˛
azania
Przedstawmy prosty układ równa ´n nie posiadaj ˛
acy rozwi ˛
aza ´n na
układzie kartezja ´nskim
C + D
=
1
C + 2D
=
2
C + 3D
=
2
J ˛edrzej Piszcz, Mikołaj Kaczmarek
CHUJ CHUJ CHUJ
3 / 35
Metoda najmniejszych kwadratów
Najlepszym rozwi ˛
azaniem jest linia y=C+Dt, której suma kwadratów
odległo´sci w ka˙zdym punkcie jest najmniejsza
J ˛edrzej Piszcz, Mikołaj Kaczmarek
CHUJ CHUJ CHUJ
4 / 35
Metoda najmniejszych kwadratów
Równanie
C + D
=
1
C + 2D
=
2
C + 3D
=
2
Mo˙zna zapisa´c w postaci Ax=b, otrzymuj ˛
ac
1
1
1
2
1
3
C
D
=
1
2
2
J ˛edrzej Piszcz, Mikołaj Kaczmarek
CHUJ CHUJ CHUJ
5 / 35
Metoda najmnieszych kwadratów
Poniewa˙z równanie to nie ma rozwi ˛
azania, zamiast niego rozwi ˛
a˙zemy
równanie
Aˆ
x = p
Gdzie wektor b nie nale˙z ˛
acy do przestrzeni kolumnowej A został
zast ˛
apiony rzutem prostok ˛
atnym p na t ˛e przestrze ´n. P nie musi by´c
obliczane, poniewa˙z wystarczy obliczy´c wyra˙zenie
A
T
Aˆ
x = A
T
b
istniej ˛
a dwa sposoby na rowi ˛
azanie:
J ˛edrzej Piszcz, Mikołaj Kaczmarek
CHUJ CHUJ CHUJ
6 / 35
Metoda najmniejszych kwadratów
Pierwszy sposób:
zauwa˙zmy, ˙ze ka˙zdy bł ˛
ad jest równy: e = Aˆ
x − b
obliczmy sum ˛e kwadratów bł ˛edów w ka˙zdym punkcie
e
2
1
+ e
2
2
+ e
2
3
= (C + D − 1)
2
+ (C + 2D − 2)
2
+ (C + 3D − 2)
2
=
3C
2
+ 14D
2
+ 12CD − 10C − 22D + 9
obliczamy pochodne wzgl ˛edem C i D oraz przyrównujemy je do
zera, otrzymuj ˛
ac:
3C + 6D = 5
6C + 14D = 11
J ˛edrzej Piszcz, Mikołaj Kaczmarek
CHUJ CHUJ CHUJ
7 / 35
Metoda najmniejszych kwadratów
Pierwszy sposób:
zauwa˙zmy, ˙ze ka˙zdy bł ˛
ad jest równy: e = Aˆ
x − b
obliczmy sum ˛e kwadratów bł ˛edów w ka˙zdym punkcie
e
2
1
+ e
2
2
+ e
2
3
= (C + D − 1)
2
+ (C + 2D − 2)
2
+ (C + 3D − 2)
2
=
3C
2
+ 14D
2
+ 12CD − 10C − 22D + 9
obliczamy pochodne wzgl ˛edem C i D oraz przyrównujemy je do
zera, otrzymuj ˛
ac:
3C + 6D = 5
6C + 14D = 11
J ˛edrzej Piszcz, Mikołaj Kaczmarek
CHUJ CHUJ CHUJ
7 / 35
Metoda najmniejszych kwadratów
Pierwszy sposób:
zauwa˙zmy, ˙ze ka˙zdy bł ˛
ad jest równy: e = Aˆ
x − b
obliczmy sum ˛e kwadratów bł ˛edów w ka˙zdym punkcie
e
2
1
+ e
2
2
+ e
2
3
= (C + D − 1)
2
+ (C + 2D − 2)
2
+ (C + 3D − 2)
2
=
3C
2
+ 14D
2
+ 12CD − 10C − 22D + 9
obliczamy pochodne wzgl ˛edem C i D oraz przyrównujemy je do
zera, otrzymuj ˛
ac:
3C + 6D = 5
6C + 14D = 11
J ˛edrzej Piszcz, Mikołaj Kaczmarek
CHUJ CHUJ CHUJ
7 / 35
Metoda najmniejszych kwadratów
Pierwszy sposób:
zauwa˙zmy, ˙ze ka˙zdy bł ˛
ad jest równy: e = Aˆ
x − b
obliczmy sum ˛e kwadratów bł ˛edów w ka˙zdym punkcie
e
2
1
+ e
2
2
+ e
2
3
= (C + D − 1)
2
+ (C + 2D − 2)
2
+ (C + 3D − 2)
2
=
3C
2
+ 14D
2
+ 12CD − 10C − 22D + 9
obliczamy pochodne wzgl ˛edem C i D oraz przyrównujemy je do
zera, otrzymuj ˛
ac:
3C + 6D = 5
6C + 14D = 11
J ˛edrzej Piszcz, Mikołaj Kaczmarek
CHUJ CHUJ CHUJ
7 / 35
Metoda najmniejszych kwadratów
Drugi sposób:
korzystamy ze wzoru A
T
Aˆ
x = A
T
b
, w tym przypadku:
A =
1
1
1
2
1
3
ˆ
x =
C
D
b =
1
2
2
a zatem:
A
T
A =
3
6
6
14
A
T
b =
5
11
wi ˛ec:
3C + 6D = 5
6C + 14D = 11
J ˛edrzej Piszcz, Mikołaj Kaczmarek
CHUJ CHUJ CHUJ
8 / 35
Metoda najmniejszych kwadratów
Drugi sposób:
korzystamy ze wzoru A
T
Aˆ
x = A
T
b
, w tym przypadku:
A =
1
1
1
2
1
3
ˆ
x =
C
D
b =
1
2
2
a zatem:
A
T
A =
3
6
6
14
A
T
b =
5
11
wi ˛ec:
3C + 6D = 5
6C + 14D = 11
J ˛edrzej Piszcz, Mikołaj Kaczmarek
CHUJ CHUJ CHUJ
8 / 35
Metoda najmniejszych kwadratów
Drugi sposób:
korzystamy ze wzoru A
T
Aˆ
x = A
T
b
, w tym przypadku:
A =
1
1
1
2
1
3
ˆ
x =
C
D
b =
1
2
2
a zatem:
A
T
A =
3
6
6
14
A
T
b =
5
11
wi ˛ec:
3C + 6D = 5
6C + 14D = 11
J ˛edrzej Piszcz, Mikołaj Kaczmarek
CHUJ CHUJ CHUJ
8 / 35
Metoda najmniejszych kwadratów
Drugi sposób:
korzystamy ze wzoru A
T
Aˆ
x = A
T
b
, w tym przypadku:
A =
1
1
1
2
1
3
ˆ
x =
C
D
b =
1
2
2
a zatem:
A
T
A =
3
6
6
14
A
T
b =
5
11
wi ˛ec:
3C + 6D = 5
6C + 14D = 11
J ˛edrzej Piszcz, Mikołaj Kaczmarek
CHUJ CHUJ CHUJ
8 / 35
Metoda najmniejszych kwadratów
Otrzymujemy wyniki:
D =
1
2
; C =
2
3
A zatem najlepsz ˛
a prost ˛
a jest:
y =
2
3
+
1
2
t
zauwa˙zmy, ˙ze dodaj ˛
ac bł ˛
ad w ka˙zdym punkcie do jego przybli˙zonego
poło˙zenia w tym punkcie otrzymamy jego dokładn ˛
a warto´s´c
J ˛edrzej Piszcz, Mikołaj Kaczmarek
CHUJ CHUJ CHUJ
9 / 35
Metoda Grama-Schmidta
Dane s ˛
a dwa wektory:
a
1
=
1
2
3
a
2
=
1
1
1
Opisuj ˛
ace płaszczyzn ˛e. Nale˙zy znale´z´c dwa wektory ortogonalne
le˙z ˛
ace w tej płaszczy´znie
J ˛edrzej Piszcz, Mikołaj Kaczmarek
CHUJ CHUJ CHUJ
10 / 35
Metoda Grama-Schmidta
Zastosujmy metod ˛e Grama-Schmidta aby znale´z´c wektor b
prostopadły do wektora a
1
.
Od wektora a
2
odejmujemy rzut wektora a
2
na wektor a
1
otrzymuj ˛
ac
wektor b ortogonalny do a
1
B = a
2
−
a
T
1
a
2
a
T
1
a
1
a
1
=
1
1
1
−
6
14
1
2
3
=
1
1
1
−
3/7
6/7
9/7
=
4/7
1/7
−2/7
Iloczyn wektora a
1
oraz b jest równy 0. Zatem s ˛
a one prostopadłe
J ˛edrzej Piszcz, Mikołaj Kaczmarek
CHUJ CHUJ CHUJ
11 / 35
Metoda Grama-Schmidta
Przykład nr. 2:
v
1
=
3
1
v
2
=
2
2
Obliczmy wektor ortogonalny do wektora v
1
b =
2
2
− proj
3
1
2
2
=
2
2
−
8
10
3
1
=
−
2
5
6
5
J ˛edrzej Piszcz, Mikołaj Kaczmarek
CHUJ CHUJ CHUJ
12 / 35
Definicja wyznacznika macierzy
Wyznacznik - funkcja przyporz ˛
adkowuj ˛
aca ka˙zdej macierzy
kwadratowej M pewien element tego pier´scienia (oznaczany
symbolem detM ), która spełnia nast ˛epuj ˛
ace warunki:
Warto´sci ˛
a tej funkcji na macierzy 1x1 [a] jest a,
Je´sli
M =
a
11
a
12
· · ·
a
1n
a
21
a
22
· · ·
a
2n
..
.
..
.
. ..
..
.
a
m1
a
m2
· · ·
a
mn
jest macierz ˛
a kwadratow ˛
a stopnia n > 1, to warto´s´c tej funkcji dla
macierzy M równa si ˛e
P
n
i=1
(−1)
i+j
a
ij
detM
i,j
gdzie j jest
dowoln ˛
a liczb ˛
a naturaln ˛
a z zakresu 1 6 j 6 n, a przez M
i,j
oznaczamy macierz stopnia n-1, powstał ˛
a z macierzy M poprzez
skre´slenie i-tego wiersza i j-tej kolumny
J ˛edrzej Piszcz, Mikołaj Kaczmarek
CHUJ CHUJ CHUJ
13 / 35
Obliczanie wyznacznika macierzy
Rozpatrzymy trzy przypadki:
macierz 2 × 2
macierz 3 × 3
macierz 4 × 4
J ˛edrzej Piszcz, Mikołaj Kaczmarek
CHUJ CHUJ CHUJ
14 / 35
Macierz 2 × 2
Wyznacznik macierzy A =
a
11
a
12
a
21
a
22
oblicza si ˛e za pomoc ˛
a prostego
wzoru:
detA =
a
11
a
12
a
21
a
22
= a
11
a
22
− a
12
a
21
J ˛edrzej Piszcz, Mikołaj Kaczmarek
CHUJ CHUJ CHUJ
15 / 35
Macierz 3 × 3
Wyznacznik macierzy A =
a
11
a
12
a
13
a
21
a
22
a
23
a
31
a
32
a
33
Rozwi ˛
azujemy za pomoc ˛
a
schematu - dodajemy pierwsze dwie kolumny macierzy z prawej
strony:
a
11
a
12
a
13
a
11
a
12
a
21
a
22
a
23
a
21
a
22
a
31
a
32
a
33
a
31
a
32
J ˛edrzej Piszcz, Mikołaj Kaczmarek
CHUJ CHUJ CHUJ
16 / 35
Macierz 3 × 3
a
11
a
12
a
13
a
11
a
12
a
21
a
22
a
23
a
21
a
22
a
31
a
32
a
33
a
31
a
32
A nast ˛epnie dodajemy sumy iloczynów elementów po ’przek ˛
atnych od
lewej’: a
11
a
22
a
33
+ a
12
a
23
a
31
+ a
13
a
21
a
32
oraz odejmujemy iloczyny po przeciwnych ’przek ˛
atnych’:
−a
12
a
21
a
33
− a
11
a
23
a
32
− a
13
a
22
a
31
Determinant(A)
A zatem detA =
a
11
a
22
a
33
+ a
12
a
23
a
31
+ a
13
a
21
a
32
− a
12
a
21
a
33
− a
11
a
23
a
32
− a
13
a
22
a
31
J ˛edrzej Piszcz, Mikołaj Kaczmarek
CHUJ CHUJ CHUJ
17 / 35
Dopełnienie algebraiczne elementu macierzy
Dopełnienie algebraiczne elementu a
ij
danej macierzy kwadratowej
jest to iloczyn (−1)
i+j
oraz minora M
ij
czyli wyznacznika podmacierzy
stopnia n-1 powstałego z usuni ˛ecia i-tego wiersza oraz j-ej kolumny
macierzy A.
J ˛edrzej Piszcz, Mikołaj Kaczmarek
CHUJ CHUJ CHUJ
18 / 35
Dopełnienie algebraiczne elementu macierzy
Przykład:
Dana jest macierz:
a
11
a
12
a
13
a
21
a
22
a
23
a
31
a
32
a
33
=
1
−2
0
3
0
1
−1
1
−3
a
ij
= (−1)
i+j
· M
ij
Dopełnienia algebraiczne elementów a
11
oraz a
23
tej macierzy
wynosz ˛
a, odpowiednio:
A
11
= (−1)
1+1
·
0
1
1
−3
= −1
A
23
= (−1)
2+3
·
1
−2
−1
1
= 1
J ˛edrzej Piszcz, Mikołaj Kaczmarek
CHUJ CHUJ CHUJ
19 / 35
Macierz 4 × 4
Rozpatrzmy przypadek, gdy A =
0
1
2
7
1
2
3
4
5
6
7
8
−1 1 −1 1
Wygenerujmy jak najwi ˛ecej zer w ostatnim wierszu (z wyj ˛
atkiem np.
ostatniego wyrazu): dodajmy czwart ˛
a kolumn ˛e do pierwszej oraz
trzeciej, za´s odejmijmy j ˛
a od drugiej:
detA =
0 + 7
1 − 7
2 + 7
7
1 + 4
2 − 4
3 + 4
4
5 + 8
6 − 8
7 + 8
8
−1 + 1 1 − 1 −1 + 1 1
=
7
−6
9
7
5
−2
7
4
13
−2 15 8
0
0
0
1
J ˛edrzej Piszcz, Mikołaj Kaczmarek
CHUJ CHUJ CHUJ
20 / 35
Macierz 4 × 4
Rozpatrzmy przypadek, gdy A =
0
1
2
7
1
2
3
4
5
6
7
8
−1 1 −1 1
Wygenerujmy jak najwi ˛ecej zer w ostatnim wierszu (z wyj ˛
atkiem np.
ostatniego wyrazu): dodajmy czwart ˛
a kolumn ˛e do pierwszej oraz
trzeciej, za´s odejmijmy j ˛
a od drugiej:
detA =
0 + 7
1 − 7
2 + 7
7
1 + 4
2 − 4
3 + 4
4
5 + 8
6 − 8
7 + 8
8
−1 + 1 1 − 1 −1 + 1 1
=
7
−6
9
7
5
−2
7
4
13
−2 15 8
0
0
0
1
J ˛edrzej Piszcz, Mikołaj Kaczmarek
CHUJ CHUJ CHUJ
20 / 35
Macierz 4 × 4
Rozpatrzmy przypadek, gdy A =
0
1
2
7
1
2
3
4
5
6
7
8
−1 1 −1 1
Wygenerujmy jak najwi ˛ecej zer w ostatnim wierszu (z wyj ˛
atkiem np.
ostatniego wyrazu): dodajmy czwart ˛
a kolumn ˛e do pierwszej oraz
trzeciej, za´s odejmijmy j ˛
a od drugiej:
detA =
0 + 7
1 − 7
2 + 7
7
1 + 4
2 − 4
3 + 4
4
5 + 8
6 − 8
7 + 8
8
−1 + 1 1 − 1 −1 + 1 1
=
7
−6
9
7
5
−2
7
4
13
−2 15 8
0
0
0
1
J ˛edrzej Piszcz, Mikołaj Kaczmarek
CHUJ CHUJ CHUJ
20 / 35
Macierz 4 × 4
Redukujemy w ten sposób wyznacznik macierzy czwartego stopnia do
iloczynu skalara, oraz wyznacznika macierzy trzeciego stopnia.
Stosuj ˛
ac rozwini ˛ecie Laplace’a wzgl ˛edem czwartego wiersza
(pami ˛eta´c nale˙zy o znakach wyliczanych minorów) dostaniemy:
detA =
7
−6
9
7
5
−2
7
4
13
−2 15 8
0
0
0
1
= (−1)
4+1
· 0 ·
−6
9
7
−2
7
4
−2 15 8
+
+(−1)
4+2
· 0 ·
7
9
7
5
7
4
13
15
8
+ (−1)
4+3
· 0 ·
7
−6 7
5
−2 4
13
−2 8
+
+(−1)
4+4
· 1 ·
7
−6
9
5
−2
7
13
−2 15
=
7
−6
9
5
−2
7
13
−2 15
J ˛edrzej Piszcz, Mikołaj Kaczmarek
CHUJ CHUJ CHUJ
21 / 35
Macierz 4 × 4
Redukujemy w ten sposób wyznacznik macierzy czwartego stopnia do
iloczynu skalara, oraz wyznacznika macierzy trzeciego stopnia.
Stosuj ˛
ac rozwini ˛ecie Laplace’a wzgl ˛edem czwartego wiersza
(pami ˛eta´c nale˙zy o znakach wyliczanych minorów) dostaniemy:
detA =
7
−6
9
7
5
−2
7
4
13
−2 15 8
0
0
0
1
= (−1)
4+1
· 0 ·
−6
9
7
−2
7
4
−2 15 8
+
+(−1)
4+2
· 0 ·
7
9
7
5
7
4
13
15
8
+ (−1)
4+3
· 0 ·
7
−6 7
5
−2 4
13
−2 8
+
+(−1)
4+4
· 1 ·
7
−6
9
5
−2
7
13
−2 15
=
7
−6
9
5
−2
7
13
−2 15
J ˛edrzej Piszcz, Mikołaj Kaczmarek
CHUJ CHUJ CHUJ
21 / 35
Macierz 4 × 4
7
−6
9
5
−2
7
13
−2 15
Czyli wyznacznik macierzy 3 × 3 równy:
−210 − 546 − 90 + 450 + 98 + 234 = −64
J ˛edrzej Piszcz, Mikołaj Kaczmarek
CHUJ CHUJ CHUJ
22 / 35
Wyznaczniki macierzy
Przy obliczaniu wyznaczników nale˙zy pamieta´c:
Dodanie wielokrotno´sci jednego wiersza (lub kolumny) do innego
wiersza (innej kolumny) nie zmienia warto´sci wyznacznika
Pomno˙zenie wiersza (kolumny) przez liczb ˛e powoduje
pomno˙zenie wyznacznika przez t ˛e liczb ˛e
Zamiana miejscami dwóch wierszy, tak jak i zamiana miejscami
dwóch kolumn, zmienia znak wyznacznika.
Zastosowanie
Wyznacznik macierzy pozwala stwierdzi´c, czy macierz jest
odwracalna. Je˙zeli detA 6= 0 to macierz mo˙zna odwróci´c.
J ˛edrzej Piszcz, Mikołaj Kaczmarek
CHUJ CHUJ CHUJ
23 / 35
Wyznaczniki macierzy
Przy obliczaniu wyznaczników nale˙zy pamieta´c:
Dodanie wielokrotno´sci jednego wiersza (lub kolumny) do innego
wiersza (innej kolumny) nie zmienia warto´sci wyznacznika
Pomno˙zenie wiersza (kolumny) przez liczb ˛e powoduje
pomno˙zenie wyznacznika przez t ˛e liczb ˛e
Zamiana miejscami dwóch wierszy, tak jak i zamiana miejscami
dwóch kolumn, zmienia znak wyznacznika.
Zastosowanie
Wyznacznik macierzy pozwala stwierdzi´c, czy macierz jest
odwracalna. Je˙zeli detA 6= 0 to macierz mo˙zna odwróci´c.
J ˛edrzej Piszcz, Mikołaj Kaczmarek
CHUJ CHUJ CHUJ
23 / 35
Wyznaczniki macierzy
Przy obliczaniu wyznaczników nale˙zy pamieta´c:
Dodanie wielokrotno´sci jednego wiersza (lub kolumny) do innego
wiersza (innej kolumny) nie zmienia warto´sci wyznacznika
Pomno˙zenie wiersza (kolumny) przez liczb ˛e powoduje
pomno˙zenie wyznacznika przez t ˛e liczb ˛e
Zamiana miejscami dwóch wierszy, tak jak i zamiana miejscami
dwóch kolumn, zmienia znak wyznacznika.
Zastosowanie
Wyznacznik macierzy pozwala stwierdzi´c, czy macierz jest
odwracalna. Je˙zeli detA 6= 0 to macierz mo˙zna odwróci´c.
J ˛edrzej Piszcz, Mikołaj Kaczmarek
CHUJ CHUJ CHUJ
23 / 35
Wyznaczniki macierzy
Przy obliczaniu wyznaczników nale˙zy pamieta´c:
Dodanie wielokrotno´sci jednego wiersza (lub kolumny) do innego
wiersza (innej kolumny) nie zmienia warto´sci wyznacznika
Pomno˙zenie wiersza (kolumny) przez liczb ˛e powoduje
pomno˙zenie wyznacznika przez t ˛e liczb ˛e
Zamiana miejscami dwóch wierszy, tak jak i zamiana miejscami
dwóch kolumn, zmienia znak wyznacznika.
Zastosowanie
Wyznacznik macierzy pozwala stwierdzi´c, czy macierz jest
odwracalna. Je˙zeli detA 6= 0 to macierz mo˙zna odwróci´c.
J ˛edrzej Piszcz, Mikołaj Kaczmarek
CHUJ CHUJ CHUJ
23 / 35
Wyznaczniki macierzy
Przy obliczaniu wyznaczników nale˙zy pamieta´c:
Dodanie wielokrotno´sci jednego wiersza (lub kolumny) do innego
wiersza (innej kolumny) nie zmienia warto´sci wyznacznika
Pomno˙zenie wiersza (kolumny) przez liczb ˛e powoduje
pomno˙zenie wyznacznika przez t ˛e liczb ˛e
Zamiana miejscami dwóch wierszy, tak jak i zamiana miejscami
dwóch kolumn, zmienia znak wyznacznika.
Zastosowanie
Wyznacznik macierzy pozwala stwierdzi´c, czy macierz jest
odwracalna. Je˙zeli detA 6= 0 to macierz mo˙zna odwróci´c.
J ˛edrzej Piszcz, Mikołaj Kaczmarek
CHUJ CHUJ CHUJ
23 / 35
Zadanie
Dana jest macierz trójdiagonalna, np. macierz
A
4
=
1
1
0
0
1
1
1
0
0
1
1
1
0
0
1
1
Niech D
n
= detA
n
J ˛edrzej Piszcz, Mikołaj Kaczmarek
CHUJ CHUJ CHUJ
24 / 35
Zadanie
A
4
=
1
1
0
0
1
1
1
0
0
1
1
1
0
0
1
1
; D
n
= detA
n
Oblicz a i b ze wzoru: D
n
= aD
n−1
+ bD
n−2
Stosuj ˛
ac rozwini ˛ecie Laplace’a dla pierwszego wiersza, otrzymujemy:
D
4
= 1
1
1
0
1
1
1
0
1
1
− 1
1
1
0
0
1
1
0
1
1
+ 0 − 0 = 1D
3
− 1 · 1D
2
= D
3
− D
2
odpowiedzi ˛
a jest a = 1 i b = −1
J ˛edrzej Piszcz, Mikołaj Kaczmarek
CHUJ CHUJ CHUJ
25 / 35
Warto´sci oraz wektory własne
Niech A b ˛edzie macierz ˛
a, a x wektorem. Zastanówmy si ˛e najpierw jak
’działa’ macierz A na wektor x
Ax
Wyra˙zenie to działa w pewnym sensie jak funkcja. Wektor x
przetwarza na wektor Ax, tak samo jak funkcja przetwarza argument w
warto´s´c.
Wektory własne macierzy, to te które po przetworzeniu maj ˛
a ten sam
kierunek, co przed przetworzeniem
J ˛edrzej Piszcz, Mikołaj Kaczmarek
CHUJ CHUJ CHUJ
26 / 35
Warto´sci oraz wektory własne
Wektory takie mo˙zna łatwo opisa´c za pomoc ˛
a zale˙zno´sci:
Ax = λx
Gdzie:
A
-macierz
x
-wektor
λ
-wielokrotno´s´c (skalar), czyli warto´s´c własna
(A − λI)x = 0
Uwaga
Skalar λ nale˙zy pomno˙zy´c przez macierz identyczno´sciow ˛
a, aby móc
odj ˛
ac t ˛e wielko´s´c od macierzy.
J ˛edrzej Piszcz, Mikołaj Kaczmarek
CHUJ CHUJ CHUJ
27 / 35
Warto´sci oraz wektory własne
Ilo´s´c warto´sci własnych macierzy
Macierz n na n posiada n warto´sci własnych, a ich suma jest sum ˛
a
warto´sci na diagonali:
a
11
+ a
22
+ · · · + a
nn
Sum ˛e warto´sci na diagonali nazywamy "´sladem"
Wielomian charakterystyczny
λ
jest wartoscia własn ˛
a macierzy A wtedy i tylko wtedy, gdy detA = 0,
czyli gdy λ jest pierwiastkiem wielomianu charakterystycznego w
A
.
J ˛edrzej Piszcz, Mikołaj Kaczmarek
CHUJ CHUJ CHUJ
28 / 35
Warto´sci oraz wektory własne - przykład
Niech A =
3 1
1
3
. Wtedy:
det(A − λI) =
3 − λ
1
1
3 − λ
= (3 − λ)
2
− 1 = λ
2
− 6λ + 8
Zwi ˛
azek mi ˛edzy ´sladem, wyznacznikem, a warto´sci ˛
a własn ˛
a
Dla macierzy 2 × 2 mo˙zemy przyj ˛
a´c, ˙ze współczynnik przy λ jest
´sladem (trace) macierzy, a wyraz wolny to wyznacznik (determinant,
det) macierzy A
λ
2
− trace(A) · λ + det(A) = 0
J ˛edrzej Piszcz, Mikołaj Kaczmarek
CHUJ CHUJ CHUJ
29 / 35
Warto´sci oraz wektory własne - przykład
Dla A =
3 1
1
3
: λ
2
− 6λ + 8 = 0
Obliczamy równanie kwadratowe: λ
1
= 4; λ
2
= 2
Dla λ = 4 :
(A − λ
1
I)x
1
= 0
(
3 1
1
3
−
4 0
0
4
)x
1
= 0
−1
1
1
−1
x
1
= 0
Wi ˛ec:
x
1
=
1
1
J ˛edrzej Piszcz, Mikołaj Kaczmarek
CHUJ CHUJ CHUJ
30 / 35
Warto´sci oraz wektory własne - przykład
Dla A =
3 1
1
3
: λ
2
− 6λ + 8 = 0
Obliczamy równanie kwadratowe: λ
1
= 4; λ
2
= 2
Dla λ = 4 :
(A − λ
1
I)x
1
= 0
(
3 1
1
3
−
4 0
0
4
)x
1
= 0
−1
1
1
−1
x
1
= 0
Wi ˛ec:
x
1
=
1
1
J ˛edrzej Piszcz, Mikołaj Kaczmarek
CHUJ CHUJ CHUJ
30 / 35
Warto´sci oraz wektory własne - przykład
Dla A =
3 1
1
3
: λ
2
− 6λ + 8 = 0
Obliczamy równanie kwadratowe: λ
1
= 4; λ
2
= 2
Dla λ = 4 :
(A − λ
1
I)x
1
= 0
(
3 1
1
3
−
4 0
0
4
)x
1
= 0
−1
1
1
−1
x
1
= 0
Wi ˛ec:
x
1
=
1
1
J ˛edrzej Piszcz, Mikołaj Kaczmarek
CHUJ CHUJ CHUJ
30 / 35
Warto´sci oraz wektory własne - przykład
Dla A =
3 1
1
3
: λ
2
− 6λ + 8 = 0
Obliczamy równanie kwadratowe: λ
1
= 4; λ
2
= 2
Dla λ = 4 :
(A − λ
1
I)x
1
= 0
(
3 1
1
3
−
4 0
0
4
)x
1
= 0
−1
1
1
−1
x
1
= 0
Wi ˛ec:
x
1
=
1
1
J ˛edrzej Piszcz, Mikołaj Kaczmarek
CHUJ CHUJ CHUJ
30 / 35
Warto´sci oraz wektory własne - przykład
Dla A =
3 1
1
3
: λ
2
− 6λ + 8 = 0
Obliczamy równanie kwadratowe: λ
1
= 4; λ
2
= 2
Dla λ = 2 :
(A − λ
1
I)x
1
= 0
(
3 1
1
3
−
2 0
0
2
)x
1
= 0
1 1
1
1
x
1
= 0
Wi ˛ec:
x
1
=
−1
1
J ˛edrzej Piszcz, Mikołaj Kaczmarek
CHUJ CHUJ CHUJ
31 / 35
Warto´sci oraz wektory własne - przykład
Dla A =
3 1
1
3
: λ
2
− 6λ + 8 = 0
Obliczamy równanie kwadratowe: λ
1
= 4; λ
2
= 2
Dla λ = 2 :
(A − λ
1
I)x
1
= 0
(
3 1
1
3
−
2 0
0
2
)x
1
= 0
1 1
1
1
x
1
= 0
Wi ˛ec:
x
1
=
−1
1
J ˛edrzej Piszcz, Mikołaj Kaczmarek
CHUJ CHUJ CHUJ
31 / 35
Warto´sci oraz wektory własne - przykład
Dla A =
3 1
1
3
: λ
2
− 6λ + 8 = 0
Obliczamy równanie kwadratowe: λ
1
= 4; λ
2
= 2
Dla λ = 2 :
(A − λ
1
I)x
1
= 0
(
3 1
1
3
−
2 0
0
2
)x
1
= 0
1 1
1
1
x
1
= 0
Wi ˛ec:
x
1
=
−1
1
J ˛edrzej Piszcz, Mikołaj Kaczmarek
CHUJ CHUJ CHUJ
31 / 35
Warto´sci oraz wektory własne - przykład
Dla A =
3 1
1
3
: λ
2
− 6λ + 8 = 0
Obliczamy równanie kwadratowe: λ
1
= 4; λ
2
= 2
Dla λ = 2 :
(A − λ
1
I)x
1
= 0
(
3 1
1
3
−
2 0
0
2
)x
1
= 0
1 1
1
1
x
1
= 0
Wi ˛ec:
x
1
=
−1
1
J ˛edrzej Piszcz, Mikołaj Kaczmarek
CHUJ CHUJ CHUJ
31 / 35
Warto´sci oraz wektory własne - przykład
Przestrze ´n zerowa
Warto zauwa˙zy´c, ˙ze wyra˙zenie
A − λ
i
I
W podanych przykładach równe dla λ = 4:
−1
1
1
−1
lub dla λ = 2:
1 1
1
1
opisuje przestrze ´n zerow ˛
a danej macierzy
J ˛edrzej Piszcz, Mikołaj Kaczmarek
CHUJ CHUJ CHUJ
32 / 35
Warto´sci oraz wektory własne - przykład
Dana jest macierz A 4 × 4 z warto´sciami własnymi λ
1
, λ
2
, λ
3
, λ
4
.
Jakie warunki musi spełnia´c λ
i
aby macierz była odwracalna?
Macierz jest odwracalna, gdy wszystkie λ s ˛
a ró˙zne od 0
Je˙zeli λ = 0 to w przestrzeni zerowej znajduje si ˛e niezerowy wektor i
macierz A jest nieodwracalna
J ˛edrzej Piszcz, Mikołaj Kaczmarek
CHUJ CHUJ CHUJ
33 / 35
Warto´sci oraz wektory własne - przykład
Dana jest macierz A 4 × 4 z warto´sciami własnymi λ
1
, λ
2
, λ
3
, λ
4
.
Jakie warunki musi spełnia´c λ
i
aby macierz była odwracalna?
Macierz jest odwracalna, gdy wszystkie λ s ˛
a ró˙zne od 0
Je˙zeli λ = 0 to w przestrzeni zerowej znajduje si ˛e niezerowy wektor i
macierz A jest nieodwracalna
J ˛edrzej Piszcz, Mikołaj Kaczmarek
CHUJ CHUJ CHUJ
33 / 35
Warto´sci oraz wektory własne - przykład
Dana jest macierz A 4 × 4 z warto´sciami własnymi λ
1
, λ
2
, λ
3
, λ
4
.
Jakie warunki musi spełnia´c λ
i
aby macierz była odwracalna?
Macierz jest odwracalna, gdy wszystkie λ s ˛
a ró˙zne od 0
Je˙zeli λ = 0 to w przestrzeni zerowej znajduje si ˛e niezerowy wektor i
macierz A jest nieodwracalna
J ˛edrzej Piszcz, Mikołaj Kaczmarek
CHUJ CHUJ CHUJ
33 / 35
Warto´sci oraz wektory własne - przykład
Dana jest macierz A 4 × 4 z warto´sciami własnymi λ
1
, λ
2
, λ
3
, λ
4
.
Ile wynosi detA
−1
?
Warto´sci własne A
−1
s ˛
a odwrotno´sciami macierzy A, wi ˛ec
wyznacznik A
−1
to:
detA
−1
= (
1
λ
1
)(
1
λ
2
)(
1
λ
3
)(
1
λ
4
)
J ˛edrzej Piszcz, Mikołaj Kaczmarek
CHUJ CHUJ CHUJ
34 / 35
Warto´sci oraz wektory własne - przykład
Dana jest macierz A 4 × 4 z warto´sciami własnymi λ
1
, λ
2
, λ
3
, λ
4
.
Ile wynosi detA
−1
?
Warto´sci własne A
−1
s ˛
a odwrotno´sciami macierzy A, wi ˛ec
wyznacznik A
−1
to:
detA
−1
= (
1
λ
1
)(
1
λ
2
)(
1
λ
3
)(
1
λ
4
)
J ˛edrzej Piszcz, Mikołaj Kaczmarek
CHUJ CHUJ CHUJ
34 / 35
Warto´sci oraz wektory własne - przykład
Dana jest macierz A 4 × 4 z warto´sciami własnymi λ
1
, λ
2
, λ
3
, λ
4
.
Ile wynosi detA
−1
?
Warto´sci własne A
−1
s ˛
a odwrotno´sciami macierzy A, wi ˛ec
wyznacznik A
−1
to:
detA
−1
= (
1
λ
1
)(
1
λ
2
)(
1
λ
3
)(
1
λ
4
)
J ˛edrzej Piszcz, Mikołaj Kaczmarek
CHUJ CHUJ CHUJ
34 / 35
Warto´sci oraz wektory własne - przykład
Dana jest macierz A 4 × 4 z warto´sciami własnymi λ
1
, λ
2
, λ
3
, λ
4
.
Jaka jest warto´s´c (A + I)?
Je˙zeli wiemy, ˙ze ´slad A jest sum ˛
a warto´sci własnych A, to ´slad
macierzy
(A+I) = (λ
1
+1)+(λ
2
+1)+(λ
3
+1)+(λ
4
+1) = λ
1
+λ
2
+λ
3
+λ
4
+4
J ˛edrzej Piszcz, Mikołaj Kaczmarek
CHUJ CHUJ CHUJ
35 / 35
Warto´sci oraz wektory własne - przykład
Dana jest macierz A 4 × 4 z warto´sciami własnymi λ
1
, λ
2
, λ
3
, λ
4
.
Jaka jest warto´s´c (A + I)?
Je˙zeli wiemy, ˙ze ´slad A jest sum ˛
a warto´sci własnych A, to ´slad
macierzy
(A+I) = (λ
1
+1)+(λ
2
+1)+(λ
3
+1)+(λ
4
+1) = λ
1
+λ
2
+λ
3
+λ
4
+4
J ˛edrzej Piszcz, Mikołaj Kaczmarek
CHUJ CHUJ CHUJ
35 / 35
Document Outline
- Metoda najmniejszych kwadratów
- Metoda Grama-Schmidta
- Obliczanie wyznacznika macierzy
- Wartosci oraz wektory własne
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
prezentacja finanse ludnosci
prezentacja mikro Kubska 2
Religia Mezopotamii prezentacja
Prezentacja konsument ostateczna
Strategie marketingowe prezentacje wykład
motumbo www prezentacje org
lab5 prezentacja
Prezentacja 18
Materialy pomocnicze prezentacja maturalna
Prezentacja na seminarium
Lato prezentacja 3
Prezentacja1
Prezentacja 2 analiza akcji zadania dla studentow
prezentacja soc rodziny
więcej podobnych podstron