16
Prosta w przestrzeni trójwymiarowej
Rozważamy przestrzeń afiniczną R
3
ze standardowym iloczynem skalarnym.
Współrzędne punktu lub wektora x ∈ R
3
oznaczamy przez (x
1
, x
2
, x
3
).
Definicja 16.1. Równaniem parametrycznym prostej p+lin (v) nazywamy układ
równań
x = p
1
+ tv
1
y = p
2
+ tv
2
z = p
3
+ tv
3
często nie wspominając już, że t ∈ R.
Stwierdzenie 16.2. Dwie nierównoległe płaszczyzny w przestrzeni R
3
przeci-
nają się wzdłuż prostej.
Definicja 16.3. Przedstawienie prostej jako zbioru rozwiązań układu dwóch
liniowo niezależnych równań liniowych nazywamy równaniem krawędziowym tej
prostej.
Przykład 16.4. Prostą
θ + lin (e
1
) = {(x, 0, 0) | x ∈ R}
można przedstawić w postaci krawędziowej jako
y = 0
z = 0
ale także jako
2y + 4z = 0
−y + 5z = 0
jak i na (nieskończenie) wiele innych sposobów.
Definicja 16.5. Układ równań postaci
x − a
k
=
y − b
l
=
z − c
m
nazywamy równaniem kanonicznym prostej w R
3
.
Powstaje ono z równania parametrycznego, gdy v
1
, v
2
, v
3
6= 0 poprzez przyję-
cie
a = p
1
, b = p
2
, c = p
3
, k = v
1
, l = v
2
, m = v
3
.
Definicja 16.6. Płaszczyzną normalną do prostej L = p + lin (v) nazywamy
każdą płaszczyznę prostopadłą do L, lub — co na jedno wychodzi — mającą
wektor v jako swój wektor normalny.
Pośród płaszczyzn normalnych do L wyróżniamy tę przechodzącą przez θ,
którą można utożsamić z podprzestrzenią liniową
v
⊥
= {u ∈ R
3
| hu, vi = 0}.
1
