16

Prosta w przestrzeni trójwymiarowej

Rozważamy przestrzeń afiniczną R

3

ze standardowym iloczynem skalarnym.

Współrzędne punktu lub wektora x ∈ R

3

oznaczamy przez (x

1

, x

2

, x

3

).

Definicja 16.1. Równaniem parametrycznym prostej p+lin (v) nazywamy układ
równań







x = p

1

+ tv

1

y = p

2

+ tv

2

z = p

3

+ tv

3

często nie wspominając już, że t ∈ R.

Stwierdzenie 16.2. Dwie nierównoległe płaszczyzny w przestrzeni R

3

przeci-

nają się wzdłuż prostej.

Definicja 16.3. Przedstawienie prostej jako zbioru rozwiązań układu dwóch
liniowo niezależnych równań liniowych nazywamy równaniem krawędziowym tej
prostej.

Przykład 16.4. Prostą

θ + lin (e

1

) = {(x, 0, 0) | x ∈ R}

można przedstawić w postaci krawędziowej jako



y = 0
z = 0

ale także jako



2y + 4z = 0
−y + 5z = 0

jak i na (nieskończenie) wiele innych sposobów.

Definicja 16.5. Układ równań postaci

x − a

k

=

y − b

l

=

z − c

m

nazywamy równaniem kanonicznym prostej w R

3

.

Powstaje ono z równania parametrycznego, gdy v

1

, v

2

, v

3

6= 0 poprzez przyję-

cie

a = p

1

, b = p

2

, c = p

3

, k = v

1

, l = v

2

, m = v

3

.

Definicja 16.6. Płaszczyzną normalną do prostej L = p + lin (v) nazywamy
każdą płaszczyznę prostopadłą do L, lub — co na jedno wychodzi — mającą
wektor v jako swój wektor normalny.

Pośród płaszczyzn normalnych do L wyróżniamy tę przechodzącą przez θ,

którą można utożsamić z podprzestrzenią liniową

v

⊥

= {u ∈ R

3

| hu, vi = 0}.

1

Definicja 16.7. Kąt pomiędzy pomiędzy prostymi w przestrzeni określamy
podobnie jak na płaszczyźnie jako kąt pomiedzy ich wektorami kierunkowymi.

Kątem pomiędzy prostą L a płaszczyzną π, przy czym v jest wektorem kierunk-

owym prostej L, zaś N wektorem normalnym płaszczyzny π, nazywamy liczbę

^(L, π) :=

π

2

− ^(v, N),

gdzie za

^(v, N ) bierzemy kąt ostry lub prosty.

Stwierdzenie 16.8. Kąt pomiędzy prostą i płaszczyzną jest najmniejszym z
kątów jaki tworzą wektor równoległy do prostej z wektorem równoległym do
płaszczyzny.

Stwierdzenie 16.9. Odległość nierównoległych prostych L

1

= p + lin (v) oraz

L

2

= q + lin (w) wyraża się wzorem

d(L

1

, L

2

) =

|hv × w, −

→

pqi|

kv × wk

2