Krzywe stopnia drugiego na płaszczyżnie
(stożkowe)
Definicja 18.1. Funkcją kwadratową w przestrzeni n
R
nazywamy funkcję P :
n
R
→ R postaci
n
n
X
X
X
P ( x 1 , . . . , xn) =
aiix 2 + 2
a
b
i
ij xixj +
ixi + c,
i=1
1 ¬i<j¬n
i=1
gdzie co najmniej jedna z liczb aij jest różna od zera.
Twierdzenie 18.2. Jeżeli P jest funkcją kwadratową na n
R , to w pewnym
układzie współrzędnych zbiór
P − 1(0) = {( x 1 , . . . , xn) | P ( x 1 , . . . , xn) = 0 }
opisuje jedno z równań:
p
p+ q
X
X
Cpq
x 2 −
x 2 = 0 ,
1 ¬ p + q ¬ n
i
i
i=1
i= p+1
p
p+ q
X
X
EHpq
x 2 −
x 2 + 1 = 0 ,
1 ¬ p + q ¬ n
i
i
i=1
i= p+1
p
p+ q
X
X
Ppq
x 2 −
x 2 + x
i
i
p+ q+1 = 0 ,
1 ¬ p + q ¬ n − 1
i=1
i= p+1
Innymi słowy dla każdej funkcji kwadratowej P istnieje takie wzajemnie jednoznaczne przekształcenie afiniczne, które tak zmienia współrzędne, że zbiór P − 1(0) wyraża się jednym z powyższych równań.
Definicja 18.3. W przestrzeni afinicznej
2
R
każdy zbiór będący przeciwo-
brazem zera funkcji kwadratowej nazywamy stożkową.
Zbiór afinicznie równoważny zbiorowi typu E H 02 nazywamy elipsą, zbiór afinicznie równoważny zbiorowi typu E H 11 — hiperbolą, zaś zbiór afinicznie równoważny zbiorowi typu P 01 — parabolą.
Twierdzenie 18.4. (klasyfikacja stożkowych w przestrzeni 2
R ) Jeżeli
P jest funkcją kwadratową na przestrzeni afinicznej 2
R , to zbiór P − 1(0) jest
afinicznie równoważny dokładnie jednemu ze zbiorów z poniższej listy: 1. zbiór pusty
2. punkt
3. prosta
4. suma mnogościowa dwóch różnych prostych równoległych 5. suma mnogościowa dwóch prostych przecinających się (różnych) 6. elipsa
1
8. parabola
Stwierdzenie 18.5.
1. Dla dowolnej elipsy istnieją takie liczby a > b > 0
oraz izometrią przestrzeni
2
R , która przekształca daną elipsę na elipsę o
równaniu
x 2
y 2
+
= 1 .
a 2
b 2
2. Dla dowolnej hiperboli istnieją takie liczby a, b > 0 oraz izometrią przestrzeni 2
R , która przekształca daną hiperbolę na hiperbolę o równaniu x 2
y 2
−
= 1 .
a 2
b 2
3. Dla dowolnej paraboli istnieje taka liczba p > 0 oraz izometrią przestrzeni 2
R , która przekształca daną parabolę na parabolę o równaniu y 2 = 2 px.
Definicja 18.6. Niech dana będzie elipsa x 2 + y 2 = 1, a > b > 0. Punkty a 2
b 2
√
F 1 = ( −c, 0) i F 2 = ( c, 0), gdzie c =
a 2 − b 2, nazywamy ogniskami, liczby 2 a i 2 b odpowiednio osią wielką i osią małą, proste x = ± a 2 — kierownicami, a c
liczbę e = c — mimośrodem elipsy.
a
Definicja 18.7. Niech dana będzie hiperbola x 2 − y 2 = 1. Punkty F
a 2
b 2
1 = ( −c, 0) i
√
F 2 = ( c, 0), gdzie c =
a 2 + b 2, nazywamy ogniskami, liczby 2 a i 2 b odpowiednio osią rzeczywistą i osią urojoną, proste x = ± a 2 — kierownicami, proste x = ± b x c
a
— asymptotami, a liczbę e = c — mimośrodem hiperboli.
a
Definicja 18.8. Niech dana będzie parabola y 2 = 2 px. Punkt F = ( p , 0) nazy-2
wamy ogniskiem, prostą x = − p — kierownicą, a liczbę e = 1 — mimośrodem 2
paraboli.
Stwierdzenie 18.9. Elipsa x 2 + y 2 = 1, gdzie a > b > 0, jest zbiorem wszyst-a 2
b 2
√
kich punktów płaszczyzny, których suma odległości od ognisk F 1 = ( − a 2 − b 2 , 0)
√
i F 2 = ( a 2 − b 2 , 0) wynosi 2 a.
Dowód:
Stwierdzenie 18.10. Hiperbola x 2 − y 2 = 1, gdzie a, b > 0, jest zbiorem a 2
b 2
wszystkich punktów płaszczyzny, których różnica odległości od ognisk F 1 =
√
√
( − a 2 + b 2 , 0) i F 2 = ( a 2 + b 2 , 0) wynosi 2 a.
Stwierdzenie 18.11. Parabola y 2 = 2 px, gdzie p > 0, jest zbiorem wszystkich punktów płaszczyzny, których odległość od ogniska F = ( p , 0) jest równa 2
odległości od kierownicy x = − p .
2
Stwierdzenie 18.12. Mimośród elipsy (odpowiednio hiperboli, paraboli) jest równy stosunkowi odległości dowolnego jej punktu od najbliższego ogniska do odelgłości tego punktu od najbliższej kierownicy.
2
1. Elipsę x 2 + y 2 = 1 można opisać równaniem parame-a 2
b 2
trycznym
x = a cos t
y = b sin t
przy czym do jednokrotnego obiegu wystarczy wziąć t ∈ [0 , 2 π).
2. Hiperbola x 2 − y 2 = 1 ma dwie gałęzie. Prawą gałąź ( x > 0) można opisać a 2
b 2
równaniem parametrycznym
x = a cosh t
y = b sinh t
a lewą ( x < 0) — równaniem parametrycznym
x = −a cosh t
y = −b sinh t
3. Parabolę y 2 = 2 px można opisać równaniem parametrycznym (
x = t 2
2 p
y = t
3