Twierdzenie 29

Niech A, B, C ∈ M_m × n(K) i a, b ∈ K, wówczas

●(A+B) + C = A + (B + C),

●A + B = B + A,

●A + 0 = 0 + A = A, gdzie 0 – macierz zerowa (złożona z samych zer).

●A + (−A) = −A + A = 0

●a(A+B) = aA + aB

●(a+b) ⋅ A = aA + bA

●1 ⋅ A = A ⋅ 1 = A

●a(bA) = (ab)A

Twierdzenie 30

Niech A ∈ M_m × k(K) i B, C ∈ M_k × n(K). Wówczas A(B+C) = AB + AC.

Twierdzenie 31

Niech A ∈ M_m × p(K), B ∈ M_p × k(K) i C ∈ M_k × n(K). Wówczas:

●(A⋅B) ⋅ C = A ⋅ (B ⋅ C)

●$A^{n} = \underset{n\ czynnikow}{}$

Twierdzenie 32

Niech A, B ∈ M_m × n(K), a, b ∈ K. Wówczas

●(A^T)^T = A

●(A+B)^T = A^T + B^T

●(aA)^T = a ⋅ A^T

●(AB)^T = B^T ⋅ A^T

Twierdzenie 33

Niech A, B ∈ M_m × n(K) i niech A, B będą odwracalne, wówczas:

●(A⁻¹)⁻¹ = A

●(AB)⁻¹ = B⁻¹ ⋅ A⁻¹

●(A^T)⁻¹ = (A⁻¹)^T

Własności wyznaczników:

Mamy daną macierz:

$A = \begin{bmatrix} \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \ldots \\ a_{21} & a_{22} & \ldots \\ \vdots & \vdots & \ddots \\ \end{matrix} & \begin{matrix} a_{1j} & \ldots & a_{1n} \\ a_{2j} & \ldots & a_{2n} \\ \vdots & \ldots & \vdots \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} a_{i1} & a_{i2} & \ldots \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots \\ \end{matrix} & \begin{matrix} a_{\text{ij}} & \ldots & a_{\text{in}} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{\text{nj}} & \ldots & a_{\text{nn}} \\ \end{matrix} \\ \end{bmatrix}$, gdzie j ∈ {1,…,n}. Macierz tą można zapisać jako funkcję kolumn, lub też wierszy: A_j = [a_j1,a_j2,…,a_jn] oraz $A = \begin{bmatrix} \begin{matrix} A_{1} \\ A_{2} \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} \vdots \\ A_{n} \\ \end{matrix} \\ \end{bmatrix}$.

Twierdzenie 34

Odwzorowanie det ma następujące własności:

(1) det[A₁,A₂,…,A_j+A_j^′,…,A_n] = det[A₁,A₂,…,A_j,…,A_n] + det[A₁,A₂,…,A_j^′,…,A_n]. Jest to addytywność względem j-tej kolumny.

(2) det[A₁,A₂,…,aA_j,…,A_n] = a ⋅ det[A₁,A₂,…,A_j,…,A_n]. Odwzorowanie n-liniowe.

(3) Dla i < j det[A₁,A₂,…,A_i,…,A_j,…,A_n] = det[A₁,A₂,…,A_j,…,A_i,…,A_n]

(4) $\det\begin{bmatrix} \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{matrix} & \begin{matrix} \ldots & 0 \\ \ldots & 0 \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} \vdots & \vdots \\ 0 & 0 \\ \end{matrix} & \begin{matrix} \ddots & \vdots \\ \ldots & 1 \\ \end{matrix} \\ \end{bmatrix} = 1$

Te cztery punkty definiują wyznacznik. Dodatkowe własności:

(5) detA = detA^T.

(6) det[A_σ(1),A_σ(2),…,A_σ(n)] = sgn σdet[A₁,A₂,…,A_n].

(7) det[A₁,A₂…,A_i,…,A_i,…,A_n] = 0

(8) Jeśli A_j = 0 (kolumna/wiersz), to det[A₁,A₂,…,A_j,…,A_n] = 0

(9) Jeśli A_j = ΠA_i to det[A₁,A₂,…,A_n] = 0.