Dyfrakcja i interferencja promieniowania laserowego.

Wyznaczanie stałej siatki dyfrakcyjnej.

Ćw.13

Cel ćwiczenia

Poznanie zjawisk dyfrakcji i interferencji fal świetlnych. Wyznaczenie stałej siatki dyfrakcyjnej dla siatki polimerowej

i siatki fotograficznej.

Zakres obowiązującego materiału teoretycznego

Falowo-korpuskularna natura światła. Zasada Huygensa - Fresnela. Spójność światła. Dyfrakcja światła, warunki

maksimów i minimów dyfrakcyjnych.

Przyrządy użyte w doświadczeniu

Laser gazowy, ława optyczna, siatki dyfrakcyjne, ekran z podziałką.

Pomiary doświadczalne

Wykonanie pomiarów obrazów interferencyjnych zespołu szczelin.

Wprowadzenie

Światło jest falą elektromagnetyczną. Podobnie więc jak inne fale elektromagnetyczne ulega ono odbiciu i

załamaniu na granicach przezroczystych dla niego ośrodków oraz wykazuje zjawiska dyfrakcji, interferencji i

polaryzacji.

Fale elektromagnetyczne opisujemy jako drgania dwóch wektorów: Wektora natężenia pola elektrycznego E i

wektora pola magnetycznego H. Obydwa wektory drgają w płaszczyznach wzajemnie prostopadłych z tymi samymi

fazami. Prędkość V rozchodzenia się promieniowania świetlnego jest prostopadła do kierunku obu wektorów E i H

(rys.1)

Rys.1 Fala elektromagnetyczna

1

Zmysł widzenia jest związany z działaniem pola elektrycznego fali świetlnej na oko ludzkie. Detektory światła reagują

podobnie jak oko na działanie wektora elektrycznego.

Natężenie pola elektrycznego fali świetlnej wyraża się równaniem fali:

























λ

−

π

=

x

T

t

2

sin

E

E

0

(1)

Jest to zapis równania fali poprzecznej, w której faza początkowa jest równa zero.

Interferencja fal świetlnych

Interferencją nazywamy nakładanie się co najmniej dwóch spójnych ciągów falowych o równych amplitudach i

długościach fali (rys.2). Interferencja prowadzi do zwiększenia lub zmniejszenia amplitudy fali wypadkowej, w

zależności od różnicy faz fal składowych. Interferencja zachodzi dla wszystkich rodzajów fal, niezależnie od ich

natury.

Rys.2 Nakładanie się dwu ciągów falowych w punkcie A ekranu

Dwa spójne źródła promieniowania S

1

i S

2

wysyłają ciągi falowe nakładające się w punkcie A. Punkt A jest

zlokalizowany w odległości x

1

i x

2

od źródeł promieniowania. Wektor amplitudy promieniowania E w punkcie A jest

sumą wektorów amplitud w punkcie A pochodzących od źródeł S

1

i S

2

:































λ

−

π

+































λ

−

π

=

2

0

1

0

x

T

t

2

sin

E

x

T

t

2

sin

E

E

(2)

Zastosowanie odpowiednich wzorów trygonometrycznych do równania (2) prowadzi do wyrażenia (2a):































λ

+

−

π































λ

−

π

=

2

x

x

T

t

2

sin

x

x

cos

E

2

E

2

1

2

1

0

(2a)

Wypadkowa amplituda drgań wektora Ε w punkcie A zależy od wartości czynnika:

2































λ

−

π

2

1

0

x

x

cos

E

2

(3)

to jest od różnicy dróg optycznych x

1

i x

2

.

Zjawisko wygaszania drgań w punkcie A zaobserwujemy wówczas, gdy wyrażenie (3) równe będzie zeru. Warunek

ten będzie spełniony dla różnicy dróg x

1

i x

2

równej:

(

)

2

1

n

2

x

x

2

1

λ

−

=

−

(4)

Wzmocnienie amplitudy drgań w punkcie A zaobserwujemy wówczas, gdy wyrażenie (3) równe będzie 2E

o

.

Odpowiada to różnicy dróg optycznych ∆x=x

1

-x

2

spełniających warunek (5):

λ

=

λ

=

−

n

2

n

2

x

x

2

1

(5)

Zjawiska interferencji fal znajdują ważne zastosowania, głównie przy rozwiązywaniu zadań pomiarowych.

Zastosowania oparte są na związku długości fali λ i różnicy dróg optycznych ∆x z rozkładem maksimów
interferencyjnych.

Zjawiska dyfrakcji promieniowania świetlnego

Dyfrakcja fal (ugięcie fal) oznacza zespól zjawisk związany z odstępstwami od zasad optyki geometrycznej,

występującymi podczas rozchodzenia się fal w ośrodkach niejednorodnych. W wyniku dyfrakcji mogą pojawić się

nowe, nieprzewidziane przez optykę geometryczna, kierunki rozchodzenia się fal.

Zjawiska dyfrakcji światła występują w szczególności przy przechodzeniu światła przez niewielkie otwory lub w pobliżu

ostrych krawędzi. Skala tego zjawiska zależy od stosunku wielkości przegrody do długości fali. Rys.3 przedstawia

schemat urządzenia do obserwacji zjawiska dyfrakcji.

Rys.3a Rys.3b

Rys.3 Dyfrakcja od okrągłego otworu w promieniach równoległych: (a) schemat ilustrujący zjawisko, (b)

obraz dyfrakcyjny wraz z naniesioną krzywą rozkładu oświetlenia.

3

W wiązce promieni równoległych umieszczamy nieprzezroczystą przesłonę z otworem kołowym o średnicy ab.

Przesłona ogranicza wiązkę promieni, która następnie pada na ekran. Na ekranie obserwujemy obraz dyfrakcyjny,

którego wygląd zależy od kształtu i rozmiarów otworu w przesłonie i od długości padającej fali. Jeżeli średnica otworu

kołowego ab >> λ to na ekranie obserwujemy dokładne punktowe zogniskowanie wiązki. Obraz na ekranie stanie się
bardziej złożony, jeżeli będziemy stopniowo zmniejszać średnicę otworu kołowego szczeliny.

Przy stopniowym zmniejszaniu otworu ab otrzymamy najpierw odwzorowanie ogniska soczewki otoczonej granicą

półcienia, a przy dalszym zmniejszaniu szczeliny na ekranie pojawią się prążki dyfrakcyjne.

Najprostszy sposób otrzymania obrazu dyfrakcyjnego na pojedynczej i dwóch szczelinach liniowych pokazano na

rys.4:

Rys.4 Dyfrakcja światła na pojedynczej (a) i dwóch szczelinach (b).

Wiązka równoległego i spójnego promieniowania (laser gazowy), pada na pojedynczą szczelinę, na której zgodnie z

zasada Huygensa ulega ugięciu (dyfrakcji), a następnie pada na ekran E. Powyżej ekranu przedstawiono rozkład

natężenia promieniowania poszczególnych prążków dyfrakcyjnych. Największe natężenie ma tzw. prążek zerowy,

czyli nieugięty. Natężenia dalszych prążków szybko maleją wraz ze wzrostem kąta ugięcia.

Różnica dróg (x

1

-x

2

) - miedzy skrajnymi promieniami 1 i 2 docierającymi do dowolnego punktu ekranu jest równa

BC=dsin

α. Wzmocnienie na ekranie występuje dla kąta ugięcia α spełniającego warunek.

λ

=

α k

sin

d

dla k=1, 2,...

(6)

4

Dla minimów dyfrakcyjnych obowiązuje równanie:

(

)

2

1

k

2

sin

d

λ

−

=

α

(7)

W sytuacji znacznej odległości ekranu od szczeliny można zastosować przybliżenie:

D

x

tg

sin

k

=

α

=

α

(8)

gdzie: D - odległość szczeliny od ekranu; x

k

- odległość minimum lub maksimum dyfrakcyjnego od centralnej

części prążka zerowego (rys.4).

Po wprowadzeniu równania (8) do wyrażenia (6) otrzymujemy dla jasnych prążków związek:

d

Dk

x

k

λ

=

(9)

Z analizy wyrażenia (9) wynika, ze obraz dyfrakcyjny można zaobserwować, gdy szerokość szczeliny d jest

współmierna z długością fali λ. Dla szerokości szczeliny d >> λ wartości x

k

są na tyle małe, ze trudno jest

zaobserwować prążki dyfrakcyjne wystarczająco rozdzielone.

Dyfrakcja na zespole szczelin

Światło padające na zespól szczelin doznaje ugięcia na każdej szczelinie a ponadto światło ugięte na

poszczególnych szczelinach ulega interferencji na ekranie. Każda ze szczelin jest źródłem promieniowania

ugiętego. Promieniowanie ugięte na poszczególnych szczelinach mogą się wzajemnie wzmocnić lub wygasić.

Prążki interferencyjne są szczególnie wyraźne, gdy wzmacniają się promienie wychodzące ze wszystkich szczelin.

Następuje to wtedy, gdy miedzy promieniami wychodzącymi z dwóch sąsiednich szczelin różnica dróg wynosi k λ,
czyli dla kąta ugięcia α określonego wyrażeniem:

λ

=

α k

sin

d

(10)

gdzie: d - odległość wzajemna szczelin; k - rzędowość prążka interferencyjnego (k=0,1, 2, ...)

W każdym prążku interferencyjnym obserwowanym na ekranie mają udział wszystkie szczeliny zawarte w wiązce

promieniowania laserowego. Prowadzi to do istotnych zmian w rozkładzie natężenia poszczególnych prążków

interferencyjnych.

Cześć doświadczalna - wyznaczanie stałej siatki

W skład układu pomiarowego wchodzą: laser gazowy, siatki dyfrakcyjne fotograficzna i polimerowa oraz ekran z

podziałką milimetrową. Laser gazowy He-Ne działa w sposób ciągły wytwarzając spójna i monochromatyczną wiązkę

promieniowania o długości fali λ = 632,8 nm. Duże natężenie światła lasera pozwala obserwować obraz dyfrakcyjny

5

na ekranie bez dodatkowych urządzeń optycznych.

UWAGA ! Światło lasera jest szkodliwe dla wzroku, jeśli pada bezpośrednio na oczy.

Siatka dyfrakcyjna fotograficzna (ciemna)

Na drodze promienia laserowego ustawiamy siatkę dyfrakcyjna fotograficzną w maksymalnej odległości od ekranu.

Na ekranie otrzymujemy prążki interferencyjne zerowego i dalszych rzędów. Ze względu na stosunkowo dużą stałą

siatki, na ekranie mogą być widoczne prążki nawet czwartego rzędu. Pomiar polega na wyznaczeniu sinusa kąta

ugięcia kolejnych maksimów interferencyjnych jako stosunek odległości prążka x

k

do drogi optycznej (D

2

+x

k

2

)

0,5

.

Rys.4. Wyrażenie (10) przyjmie postać:

(

)

d

k

x

D

x

sin

y

5

.

0

2

k

2

k

λ

=

+

=

α

=

(11)

Położenie prążków interferencyjnych 1-go, 2-go i k-go rzędu wyznaczamy jako średnią z wartości x

k

w prawo i lewo od

prążka centralnego.

Równanie (11) jest równaniem prostej sinα = ak, w której wartość sinα = x

k

/(D

2

+x

k

2

)

0.5

,

,

natomiast współczynnik

nachylenia prostej równy jest λ / d. Współczynnik nachylenia prostej a wyznaczamy metodą najmniejszych
kwadratów (instrukcja nr 17) z zależności prostoliniowej sinα = f(k), przyjmując za zmienną y = sinα, a za zmienną
x rzędowość prążka, a więc wartość k. Stałą siatki d wyznaczamy ze wzoru:

a

d

λ

=

(12)

Błąd wyznaczenia stałej siatki d obliczamy metodą różniczki zupełnej:

2

a

a

d

∆

λ

=

∆

(13)

Gdzie: ∆a jest błędem oceny współczynnika nachylenia prostej z metody najmniejszych kwadratów.

W przypadku niemożliwości zaobserwowania prążków najwyższego rzędu z przyczyn wyższych odpowiednie uwagi

zamieścić w sprawozdaniu.

Wyniki i obliczenia przedstawiamy w poniższej tabeli a następnie zgłaszamy się do prowadzącego ćwiczenie.

6

Tabela 1

k

x

i

x

p

2

x

x

x

p

l

k

+

=

(

)

5

.

0

2

k

2

k

x

D

x

sin

+

=

α

[-] [m] [m] [m]

[-]

1

2

.

.

.

n

D= ............ [m]

∆D= ............ [m]

∆x= ............ [m]

Zależność prostoliniową sinα = ak wraz z naniesionymi punktami doświadczalnymi należy narysować na papierze
milimetrowym i umieścić w sprawozdaniu.

Siatka dyfrakcyjna polimerowa (przezroczysta)

Ze względu na małą stałą siatki, możliwa jest obserwacja tylko prążków 1-go i 2-go rzędu. Prążki wyższych rzędów z

uwagi na duże kąty ugięcia nie zmieszczą się na listwie pomiarowej. Stosowanie metody analogicznej jak w przypadku

siatki polimerowej nie jest zasadne. Stałą siatki dyfrakcyjnej d, w tym przypadku, wyliczamy bezpośrednio z zależności

(11):

(

)

k

5

.

0

2

k

2

x

x

D

k

d

+

λ

=

(14)

W celu poprawienia dokładności wyznaczenia stałej d wykonujemy serię pomiarów x

k

( dla k=1 i 2) dla trzech rożnych

odległości D

1

, dla której prążek 2-go rzędu znajdzie się na skraju skali pomiarowej ekranu, drugą wartość D

2

wybieramy równa około 2/3D

1

, a jako trzecia D

3

równa około 1/3D

1

.

Wyznaczamy położenie prążków 1-go i 2-go rzędu jako średnie wartości z położeń prążków wychylonych w lewo x

L

i

w prawo x

p

od prążka centralnego.

W przypadku niemożliwości zaobserwowania prążków najwyższego rzędu z przyczyn wyższych odpowiednie uwagi

zamieścić w sprawozdaniu.

Wyniki i obliczenia wartości d przedstawiamy w tabeli 2, a następnie zgłaszamy się do prowadzącego ćwiczenie.

7

Tabela 2

D

k

x

l

x

p

2

x

x

x

p

l

k

+

=

(

)

k

5

.

0

2

k

2

x

x

D

k

d

+

λ

=

[mm] [-] [m] [m]

[m]

[m]

1

2

1

2

1

2

∆D= ............ [m]

∆x= ............ [m]

Podczas wykonywania sprawozdania należy wyliczyć średnią wartość d, odchylenie standartowe oraz błąd ∆d

metodą Studenta-Fischera - instrukcja nr 17.

Przykład obliczenia błędu dla wielkości x (x reprezentuje stałą siatki d):

Błąd pomiaru wielkości x określa wyrażenie:

1

n

S

t

x

−

=

∆

α

Gdzie:

S - odchylenie standardowe wyrażone wzorem:

(

)

n

x

x

S

n

1

i

2

i

∑

=

−

=

x

- wartość średnia wielkości x wyliczona ze wzoru:

n

x

x

n

1

i

i

∑

=

=

x

i

- i-ty pomiar wielkości x;

n - liczba pomiarów;

α - poziom istotności α=0,05;
t

α

- współczynnik Studenta odczytany z tablic (instrukcja Nr 17) dla r=n-1 stopni swobody i α=0,05 ;

8

Wynik pomiaru wynosi:

x

x

x

∆

±

=

Wartość x zaokrąglamy do dwu cyfr znaczących tj. do pierwszych dwu cyfr, które nie są zerami. Np. Wyliczoną
kalkulatorem wartość ∆x = 0. 0567890,należy zaokrąglić do wartości ∆x = 0.057. Końcową wartość x podajemy
z dokładnością do trzeciego miejsca po przecinku.


Opracowanie sprawozdania

Sprawozdanie powinno zawierać:

a. Wypełnioną tabelę pomiarów łącznie z przykładem obliczeń, które należy wykonać oraz ewentualnymi

uwagami;

b. Wykres zależności sinα = f(k) dla siatki otrzymanej metodą fotograficzną.
c. Obliczone wartości stałej siatki fotograficznej i polimerowej z uwzględnieniem rachunku błędu.

9