Prawdopodobieństwo i statystyka

17.01.2005 r.

___________________________________________________________________________

Zadanie 1.
Wykonujemy rzuty symetryczną kością do gry do chwili uzyskania drugiej „szóstki”.
Niech Y oznacza zmienną losową równą liczbie rzutów, w których uzyskaliśmy inne
wyniki niż „szóstka”, a X zmienną losową równą liczbie rzutów, w których
uzyskaliśmy „jedynkę”. Oblicz

)

4

|

(

=

−

X

X

Y

E

.

(A) 12

(B) 14

(C) 16

(D) 18

(E) 20

1

Prawdopodobieństwo i statystyka

17.01.2005 r.

___________________________________________________________________________

Zadanie 2.

Niech

będą niezależnymi zmiennymi losowymi, przy czym

ma

rozkład Pareto(1,1) a

mają jednakowy rozkład Pareto (1,2). Oblicz

4

3

2

1

,

,

,

X

X

X

X

X

1

X

4

3

2

,

,

X

X

))

,

,

(

max

)

,

,

(

min

(

4

3

2

1

4

3

2

X

X

X

X

X

X

X

P

<

<

.

Rozkład Pareto

)

,

(

θ

λ

jest rozkładem o gęstości









≤

>

+

=

+

.

0

gdy

0

0

gdy

)

(

)

(

1

x

x

x

x

f

θ

θ

λ

θ

λ

(A)

5

2

(B)

3

1

(C)

2

1

(D)

3

2

(E)

5

3

2

Prawdopodobieństwo i statystyka

17.01.2005 r.

___________________________________________________________________________

Zadanie 3.
Niech będzie dwuwymiarową zmienną losową o funkcji gęstości

)

,

(

Y

X









<

+

>

>

=

przypadku.

przeciwnym

w

0

1

i

0

i

0

gdy

4

)

,

(

2

2

y

x

y

x

y

x

f

π

Niech

X

Y

Z

=

i V

. Wtedy łączny rozkład zmiennych Z, V jest taki, że

2

2

Y

X

+

=

(A)

1

=

EZ

(B) funkcja

gęstości rozkładu brzegowego zmiennej

Z wyraża się wzorem

)

1

(

2

)

(

2

z

z

g

+

=

π

dla

)

,

0

(

+∞

∈

z

(C)

mediana rozkładu brzegowego zmiennej Z jest równa 3

(D) zmienne

Z i V są zależne

(E) funkcja

gęstości rozkładu brzegowego zmiennej V wyraża się wzorem

dla v

3

4

)

(

v

v

g

V

=

)

1

,

0

(

∈

3

Prawdopodobieństwo i statystyka

17.01.2005 r.

___________________________________________________________________________

Zadanie 4.

Niech

będą zmiennymi losowymi o rozkładzie normalnym

każda i Y

zmiennymi losowymi o rozkładzie normalnym

każda.

Wszystkie zmienne są niezależne. Hipotezę

m

X

X

X

,

,

,

2

1

K

n

Y

Y

,

,

,

2

1

K

)

,

(

2

1

σ

µ

N

)

2

σ

,

(

2

µ

N

2

1

0

:

µ

µ

=

H

przy alternatywie

2

1

:

1

µ

µ

>

X

X

X

,

,

,

2

1

K

0

H

H

weryfikujemy w następujący sposób. Zliczamy liczbę S elementów w

próbce

większych od wszystkich elementów próbki Y

.

Hipotezę

odrzucamy, gdy

, gdzie s jest wartością krytyczną. Przypuśćmy,

że m=7 i n=8. Podaj rozmiar testu, gdy s=2.

m

n

Y

Y

,

,

,

2

1

K

s

S

≥

(A)

0,15

(B) 0,10

(C) 0,20

(D)

0,05

(E)

0,25

4

Prawdopodobieństwo i statystyka

17.01.2005 r.

___________________________________________________________________________

Zadanie 5.
Niech

będą niezależnymi zmiennymi losowymi z rozkładu o gęstości

n

X

X

X

,

,

,

2

1

K







∉

∈

=

).

1

;

0

(

gdy

0

)

1

;

0

(

gdy

2

)

(

x

x

x

x

f

θ

Niech

∏

=

=

n

i

n

i

n

X

1

1

T

.

Które z poniższych stwierdzeń jest prawdziwe?

(A)

023

,

0

}

2

)

{(

lim

5

,

0

5

,

0

=

>

−

−

−

∞

→

e

n

e

T

P

n

n

(B)

023

,

0

}

2

|

{|

lim

5

,

0

5

,

0

=

>

−

∞

→

e

n

e

T

P

n

n

(C)

1

}

{

lim

5

,

0

=

<

−

∞

→

e

T

P

n

n

(D)

046

,

0

}

|

{|

lim

5

,

0

5

,

0

=

>

−

−

−

∞

→

e

n

e

T

P

n

n

(E)

1

}

{

lim

5

,

0

=

>

∞

→

e

T

P

n

n

5

Prawdopodobieństwo i statystyka

17.01.2005 r.

___________________________________________________________________________

Zadanie 6.
Ustawiamy w ciąg 6 elementów typu a i 9 elementów typu b. Wszystkie ciągi są
jednakowo prawdopodobne. Serią nazywamy ciąg elementów jednego typu, przed i za
którym występuje element drugiego typu, na przykład w ciągu : aaabbbbaabbbbba
jest 5 serii (3 serie elementów typu a i 2 serie elementów typu b). Oblicz
prawdopodobieństwo, że w ciągu będzie 6 serii.

(A)

143

8

(B)

143

96

(C)

143

16

(D)

143

48

(E)

143

24

6

Prawdopodobieństwo i statystyka

17.01.2005 r.

___________________________________________________________________________

Zadanie

7.

Niech

będą niezależnymi zmiennymi losowymi, przy czym zmienne

losowe

i

mają rozkład Weibulla o gęstości

n

m

X

X

X

+

,

,

,

2

1

K

i

X

m

K

,

2

,

1

=









≤

>

=

−

0

gdy

0

0

gdy

2

)

(

x

x

e

x

x

f

x

θ

θ

θ

a

, i

i

X

n

m

m

m

+

+

+

=

,

,

2

,

1

K

są zmiennymi losowymi o rozkładzie Weibulla o

gęstości









≤

>

=

−

0

gdy

0

0

gdy

)

(

2

x

x

e

x

x

g

x

θ

θ

θ

,

gdzie

0

>

θ

jest nieznanym parametrem. Jeśli

5

=

= n

m

, to błąd średniokwadratowy

estymatora największej wiarogodności wyznaczonego na podstawie próby

jest równy

n

m

X

X

+

,

1

X

,

,

2

K

(A)

2

3

2

θ

(B)

2

3

1

θ

(C)

2

θ

(D)

2

9

1

θ

(E)

2

6

1

θ

7

Prawdopodobieństwo i statystyka

17.01.2005 r.

___________________________________________________________________________

Zadanie

8.

Niech

będą zmiennymi losowymi o rozkładzie Pareto

a

będą zmiennymi losowymi o rozkładzie Pareto

(

, gdzie

a

są

nieznanymi parametrami. Wszystkie zmienne są niezależne. Na poziomie ufności

n

X

X

X

,

,

,

2

1

K

m

Y

,

K

)

,

1

(

1

a

0

2

>

a

Y

Y

,

,

2

1

)

,

1

2

a

,

1

α

−

1

budujemy przedział ufności dla ilorazu parametrów

]

,

[

cT

dT

2

1

a

a

na podstawie

estymatora największej wiarogodności T tego ilorazu w ten sposób, że

2

)

(

)

(

2

1

,

2

1

,

2

1

2

1

α

=

>

=

<

a

a

dT

P

a

a

cT

P

a

a

a

a

.

Jeśli 1

,

0

=

α

i m=4 i n=5, to przedział ufności ma długość

(A) 3,02T

(B) 2,77T

(C) 6,06T

(D) 5,03T

(E) 4,42T

Uwaga:

Rozkład Pareto (

)

,

θ

λ

jest rozkładem o gęstości









≤

>

+

=

+

0

gdy

0

0

gdy

)

(

)

(

1

x

x

x

x

f

θ

θ

λ

θ

λ

8

Prawdopodobieństwo i statystyka

17.01.2005 r.

___________________________________________________________________________

Zadanie

9.

Zmienne losowe

mają jednakową wartość oczekiwaną

n

X

X

X

,

,

,

2

1

K

µ

, jednakową

wariancję

i współczynnik korelacji

2

σ

ρ

=

)

,

(

j

i

X

X

Corr

dla

j

i

≠ . Zmienne losowe

są nawzajem niezależne oraz niezależne od zmiennych losowych

i mają rozkłady postaci

n

Z

,

n

X

,

Z

Z

,

,

2

1

K

X

X

,

,

2

1

K

2

1

=

)

1

=

(

)

0

(

=

=

i

i

Z

P

Z

P

. Oblicz wariancję

zmiennej losowej

.

∑

=

n

i

i

i

X

Z

1

(A)

)

(

4

)

1

(

2

2

2

2

µ

ρσ

σ

−

−

+

n

n

n

(B)













−

+

+

ρ

σ

µ

4

1

1

2

4

2

2

n

n

n

(C)

4

2

2

2

σ

µ

+

n

(D)













−

+

+

ρ

σ

µ

2

1

1

2

4

2

2

n

n

n

(E)

)

(

4

)

1

(

2

2

2

2

µ

ρσ

σ

+

−

+

n

n

n

9

Prawdopodobieństwo i statystyka

17.01.2005 r.

___________________________________________________________________________

Zadanie

10.

Niech

będą niezależnymi zmiennymi losowymi. Zmienne

mają rozkłady wykładnicze o wartości oczekiwanej 1, zmienne losowe

mają rozkłady wykładnicze o wartości oczekiwanej 2. Warunkowy

rozkład zmiennej losowej N przy danym

K

K

,

,

,

,

,

,

,

2

1

2

1

Y

Y

X

X

N

K

,

2

,

1

=

K

,

2

,

1

, i

X

i

,

=

i

Y

i

λ

=

Λ

jest rozkładem Poissona o wartości

oczekiwanej

λ

. Rozkład brzegowy zmiennej

Λ jest rozkładem gamma o gęstości







≤

>

=

−

0

gdy

0

0

gdy

16

)

(

4

λ

λ

λ

λ

λ

e

f

.

Niech

















=

>

=

=

>

=

∑

∑

=

=

0

gdy

0

0

gdy

i

0

gdy

0

0

gdy

1

1

N

N

Y

T

N

N

X

S

N

i

i

N

i

i

Oblicz współczynnik korelacji

.

)

,

( T

S

Corr

(A)

0

(B)

15

2

(C)

2

1

(D)

9

4

(E)

9

5

10

Prawdopodobieństwo i statystyka

17.01.2005 r.

___________________________________________________________________________

11

Egzamin dla Aktuariuszy z 17 stycznia 2005 r.

Prawdopodobieństwo i statystyka

Arkusz odpowiedzi

*

Imię i nazwisko : ........................... K L U C Z O D P O W I E D Z I ...........................
Pesel ...........................................

Zadanie nr

Odpowiedź Punktacja

♦

1 A

2 A

3 B

4 C

5 D

6 C

7 E

8 A

9 D

10 E

*

Oceniane są wyłącznie odpowiedzi umieszczone w Arkuszu odpowiedzi.

♦

Wypełnia Komisja Egzaminacyjna.