Egzamin dla Aktuariuszy z 17 stycznia 2005 r.

Prawdopodobieństwo i Statystyka

Zadanie 1

Y=N-2

N – ilość rzutów do uzyskania 2 szóstek 2 miejsca przez 6 zajęte; prawdopodobieństwo sukcesu: wybór z (1,...,5) P(

k −

 k −





  

X = 4 N = k ) 4

6

2

1

4

=

   





 4



 5   5 

k −2

1

1  5 

P( N = k) =

( k − )

1

 

6

6  6 

4

k −6

k −

 k − 2 

 1   4 

1

 5  2

   





( k − 

)

1



P( N = k X = 4)  4



 5   5 

36

 6 

=

∞

∑ LICZ

k =6

k

k −6

k −2

k −6

k −

( k − )

2 !

1 4

1

5

 k −1 120 4

5 2

 k −1  1  2 

LICZ =

( k − )

1

=

4

−6

2

−2





= 5

 

−2





k

k

k

k

2 (

4 k − )

6 ! 5 5

6

6

 k − 6 24 5

6

 k − 6 46  3 

∞

k

∞

l +6

6

∑ LICZ = ∑  k −1  1  2

k − 6 = l

6

l 1 1

2

2

1

1

5

 

6





=

= ∑  + − 

 

 

5

 

5

3

5

6





=  

=

6

6

6

k

k

l

l

k =

6 4

3

6

l

4

3

3

6 

− 

 

= +

=0 



 

  4

2

1  − 1 

 2 

P( N = k

= 4)

k

k

X

=

 

6 





2  k − 6 

 3 

E(

k

l 6

N X =

k

k

l

l

4)

∞

∞

+

= ∑ 1  −1 

 2 

− 6 =

1

6

1

2

k

 

( l

)

6

6 





=

= ∑

 + − 





+

 

6 





=

k

k

l

l

k =

2

6

3

6

l

2

3

6

 −







= +

=0











2



6

 6 ⋅



1  2 

6 

3

=

  3

+ 6 = 18

26  3 

 1







 3



E( Y X = 4) = E( N − 2 X = 4) = 18 − 2 = 16

E( Y − X X = 4) = 16 − 4 = 12

Zadanie 2

1

1

x

f

=

, F ( x) = 1 −

=

X 1

1

( + x)2

1 + x

1 + x

2

2

2

 1 

2 x + x

f

=

, F ( x) = 1 − 

 =

X 2

3

2

1

( + x)

1 + x 

1

( + x)

∞

P = ∫ P(min < x < max) f ( x) 1

0

P(min < x < max) = P( x < max) − P( x < min) = 1 − P(max < x) − P(min > x) =

3

3

2

6

3

=

x

x

x

x x

1 − 3

P ( X < x) − 3

2

1

1

(

)

(

2)

1

P

X

x

1

2

( 2 > )









+

+

− [

+ ] −









= −

−

=

=



2 



2 

 1

( + x) 

 1

( + x) 

1

( +

6

x)

1 + 6 x +

2

15 x +

3

20 x +

4

15 x +

5

6 x + 6

x − 6

x −

5

6 x −

4

12 x −

3

8 x −

=

1 =

1

( +

6

x)

4

3

2

3 x + 12 x + 15 x + 6 x 3 x( 3

2

x + 4 x + 5 x + 2) 2

3 x( x + )

1 ( x + 2)

3 x( x + 2)

=

=

=

=

6

6

6

4

1

( + x)

1

( + x)

( x + )

1

( x + )

1

2

x + 3 x + 2

3

x + 4 2

x + 5 x + 2 : ( x + ) 1

3

2

−

∆ = − ⋅ =

x − x

9

4 2

1

− 3 −1

3

2

x + 5 x + 2

x =

= 2

−

1

2

− 3 2

x − 3 x

− 3 +1

x =

= 1

−

2

x + 2

2

2

-

2x -

2

∞

∞

∞

∞

P

∫ 3 x( x +

=

2) = x +

t

t

1 = t =

(

3

)

1 (

)

1

1

3

3

2

3 t

3 t

1

6

∫ −

+ =

6

∫ −4

−





−

6 = −

+

= − =



3

5 

( x + )

1

t

 t

5 t 

5

5

0

1

1

1

Zadanie 3

y = tx, t = tgφ, φ = arctgt



1

Y



4

x =

arctgt

arctgt

r cos φ

4

2

2

P

< t  = ∫ =

= ∫ ∫ r drdφ = ∫

=

arctgt

 X



Π

y = r sin φ

Π

Π Π

∆

0

0

0

f ( x

Z

=

x

Π( 2

)

∈

∞

1

2

+ x ),

( ;

0

)

Zadanie 4

P( S ≥ 2) = 1 − P( S = ) 1 − P( S = 0)

7

P( S = )

0 = P ( X < max( Y ,..., Y

1

8 )

P( S = )

1 = 7 P( X > max( Y ,..., Y P X < m Y ,..., Y

1

) 6

8

(

( 1

8 )

P( X > Y , Y ,..., Y =

=

1

2

8 )

!

8

1

!

9

9

7

6

 8 

1  8 

ODP = 1 −   − 7 ⋅   ≈ , 0 2

 9 

9  9 

Zadanie 5

t

e

P(ln X < t) = ∫ 2 x = 2 t e

0

− ∑ln X

i ≅ Γ( ,

n )

2



 1





1 



po przekształceniach: P ∑ ln X

ln

1

5

,

0

l

u

b

ln

ln 1

5

,

0

i > n



+  − n

∑ Xi < n  −

 −

n =







 n





n 





 1





1 

= P − ∑ln X

5

,

0

ln

1 l

u

b

ln

5

,

0

ln 1

i <

n − n 

+ 

− ∑ Xi >

n − n  −

 =







 n





n 



n

n



 − ∑ln X

ln

i −

− ∑ Xi −





 1





1 

2

2



= P

< −2 n ln

+ 

1 l

ub

> −2 n ln1−

 →



1

 n



1



n 



n

n





2

2





− n 



− n 





1 







1 



→ Φ lim− 2ln 1

 +



+1− Φ lim− 2ln 1





 −



= Φ(2) +1− Φ( 2

− ) ≈ ,

0 046









n 







n 



Zadanie 6

Zadanie z liczby ciągów binarnych i serii (patrz: WYKŁADY Z KOMBINATORYKI)

 n + m

Ω =





n = ,

6 m = ,

9 R = 2 ⋅ k = 2 ⋅ 3 = , 6 k = 3

 n



 n −1 

 m − 

1

5 

 8 

A = 

2





 = 

2







 k −1 

 k −1 

 2 

 2

2 ⋅10 ⋅ 28

16

ODP =

=

1 !

5

143

!

9

!

6

Zadanie 7

5

10

5

− θ∑ X

5

i

−2 θ∑ Xi

θ

θ

i =1

i =

L =

6

e

e

5

2 ∏

5

X

X

i

∏10 i

i=1

i=6

5

5

10

10

ln L = 5 ln θ − 5 ln 2 − ∑ ln X

θ

X

θ

X

θ

X

i −

∑

i + 5 ln

− ∑ln

i − 2 ∑

i

i=1

i=1

i=6

i=6

∂

5

10

= 5 − ∑ X

X

θ

i + 5 − 2∑

i =

→ =

10

ˆ

0

∂

5

10

θ

θ

θ

i=1

i=6

∑ X

X

i + 2∑

i

i=1

i=6

i ∈ ,

1

( ..., )

5

P(

2

t

x

w

t

θ

X

t

e

e

θ

dw

wykl θ

i <

)

=

= ∫

− θ x =

θw

1

= ∫ −

→

( )

2 x

dx = dw

0

0

2 x

i ∈ ( ,

6 ... 1

, 0)

2

t

P(

2 x

w

4

t

θ

2 X

t

e

e

θ

wykl θ

i <

)

=

= ∫

−2 θ x =

w

θ

1

= ∫ − →

( )

x

= dw

0

0

x

10

ˆ

θ =

, X ≅ Γ 1

( ;

0 θ)

X

∞

10

1 θ

α =

ˆ

θ

E = 10∫

9

9 −

x e x

θ

=

= 10 θ

x

!

9

β = θ

9

0

∞

10

1 θ

α = 8

2

ˆ

θ

E

= 100∫

9 −

x e x

θ

=

= 25 2

θ

2

x

!

9

β = θ

18

0





E(ˆ θ − θ)2

25

10

2

1 2

= 

− 2 ⋅

+1 θ



= θ

 18

9



6

Zadanie 8

a

a

1

X

i ≅

,

2

Yi ≅

, n = ,

5 m = ,

4 α = 1

,

0

a +

a +

1

( + x)

1

1

1

( + y)

1

2

5

4

L =

a

a

1

2

∏5(

4

1 + x

y

i ) 1

a +1 ∏(1+ i ) a 2+1

i=1

i=1

5

4

ln L = 5 ln a

a

1

ln 1

x

4 ln a

a

1

ln 1

y

1 − ( 1 + )∑

( + i )+

2 − ( 2 + )∑

( + i )

i=1

i=1

∂

5

= 5 − ∑ln(1+ x

a

i ) =

→

5

0

1 =

∂

5

a

a

1

1

i=1

∑ln(1+ xi )

i=1

∂

4

= 4 − ∑ln(1+ y

a

i ) =

→

4

0

2 =

∂

4

a

a

2

2

i=1

∑ln(1+ yi )

i=1

2

∂

5

2

∂

4

2

∂

= −

,

= −

,

= 0

2

2

2

2

∂ a

a

∂ a

a

∂ a a

1

1

2

2

1 2

5

−

0

2



a

20 

1

= 



>

0

i f

a a

< 0 → max

4

2

2

1, 2

0



−

a a

1

2  ˆ a , ˆ

1 a 2

2

a 2

4

∑

5

ln(1 + yi )

ˆ

i=

T =

1

5

4∑ ln(1 + xi )

i=1

t

e −

P(

1

a

ln 1

( + y) < t) = P(1+ y < t e ) = P( y < t e − )

1 = ∫

2

= 1+ x = w =

a 2 +

1

( +

1

x)

0

t

e

= ∫ a 2 =1− − a t

e 2 ≅ wykl( a

2 )

a 2 +

w

1

1

analogicznie: P(ln 1

( + x) < t ) = wykl( a 1 )

t

w

2

1

1

P(

λ

t

−

2 X

λ

< t)



t 

= P X <

 = ∫ − λx

λe

= 2 x

λ = w = ∫

 

e 2 ≅ wykl  →



2 λ 

2

 2 

0

0

→ 2 a ln

y

a

x

wykl

2

(1+ i ) ≅ 2 ln

1

(1+ i )

 1 

≅

 

 2 

2 a

5 X



1 





2

1

Tˆ

2 =

X ≅ Γ ,

4

 ≅ χ

)

8

( , Y ≅ Γ ,

5

2

 ≅ χ 1

( 0)

2 a

4 Y



2 

 2 

1

 ≅ }

F (8 1

, 0)









X



 a

1 

 5 X

1 

2



1

8



P T

<  = P

<  = P

<





 a

c

1



 4 Y

c 

Y

c





 10







 X







 a

1 

1

1

2

 8



P T

>  = P

>

→ = ,

3 07

a

d

 Y

d 



d

1







 10



1

1

1

wiemy, że: kw

( ,

0 0 )

5

F

=

→ =

( 1

,

8 0)

kw

( 9

,

0

)

5

c

3

,

3 5

F 1

( 0,8)



1 

ODP = T ( c − d ) = T  3

,

3 5 −

 ≈ ,

3 0 T

2



,

3 07 

Zadanie 9

var( ZX ) = E( 2 2

Z X )

2

1

− E ( ZX ) = ( 2

2

σ + µ ) 1 2

1 2

1 2

− µ = µ + σ

2

4

4

2

E( 2 2

Z X )

2

2

1

= EZ EX = ( 2

2

σ + µ )

2

1

E( ZX ) =

µ

2

cov( Z X Z X =

−

=

+

−

=

i

i

j

j )

E( Z Z X X

i

j

i

j )

2

E ( Z X

i

i )

1

,

[ 2 2

pσ

µ ] 1 2

1

2

µ

pσ

4

4

4

E( Z Z X X =

+

=

+

i

j

i

j )

2

E ( Zi )[cov( X X

i

j )

EX EX

i

j ]

1

,

[ 2 2

pσ

µ ]

4

 1

n

2

1



 

2

1

2

1

2

1

2

( n − )

1

2

2

2

npσ

µ

σ 

1



ODP = n µ +

σ  + 

2



pσ =

nµ +

nσ +

= n

+ n

1 +

p( n − )

1 

 4

2



 2 4

4

2

4

4

2 

2



Zadanie 10

λ ≅ Γ( ,

2 4)

var S = var N ⋅ ( EX )2 + EN ⋅ var X

var T = var N ⋅ ( EY )2 + EN ⋅ var Y

EN = EE( N λ) 1

= Eλ =

2

var N = E(var( N λ) + var( E( N λ) 1

2

5

= Eλ + var λ = +

=

2

16

8

5

1

9

var S =

+ =

8

2

8

5

1

9

var T =

⋅ 4 + ⋅ 4 = 5

,

4

=

8

2

2

var( S + T ) = var S + var T + 2 cov( S, T ) N

S + T = ∑ ( X

Y

i +

i )

i=1

var( S + T ) = var

2

N ⋅ E ( X + Y ) + EN ⋅ var( X + Y ) E(X+Y)=1+2=3

var(X+Y)=1+4=5

5

1

45

5

45 + 20

65

var( S + T ) =

⋅9 + ⋅5 =

+ =

=

8

2

8

2

8

8

 65 9

9  1

65 − 36 − 9 1

5

cov( S, T ) = 

− −  =

=

 8

2

8  2

8

2

4

5

5 4

5

4

corr( S, T ) =

=

=

3

3

4 9

9

8

2