Egzamin dla Aktuariuszy z 17 stycznia 2005 r.
Prawdopodobieństwo i Statystyka
Zadanie 1
Y=N-2
N – ilość rzutów do uzyskania 2 szóstek 2 miejsca przez 6 zajęte; prawdopodobieństwo sukcesu: wybór z (1,...,5) P(
k −
k −
X = 4 N = k ) 4
6
2
1
4
=
4
5 5
k −2
1
1 5
P( N = k) =
( k − )
1
6
6 6
4
k −6
k −
k − 2
1 4
1
5 2
( k −
)
1
P( N = k X = 4) 4
5 5
36
6
=
∞
∑ LICZ
k =6
k
k −6
k −2
k −6
k −
( k − )
2 !
1 4
1
5
k −1 120 4
5 2
k −1 1 2
LICZ =
( k − )
1
=
4
−6
2
−2
= 5
−2
k
k
k
k
2 (
4 k − )
6 ! 5 5
6
6
k − 6 24 5
6
k − 6 46 3
∞
k
∞
l +6
6
∑ LICZ = ∑ k −1 1 2
k − 6 = l
6
l 1 1
2
2
1
1
5
6
=
= ∑ + −
5
5
3
5
6
=
=
6
6
6
k
k
l
l
k =
6 4
3
6
l
4
3
3
6
−
= +
=0
4
2
1 − 1
2
P( N = k
= 4)
k
k
X
=
6
2 k − 6
3
E(
k
l 6
N X =
k
k
l
l
4)
∞
∞
+
= ∑ 1 −1
2
− 6 =
1
6
1
2
k
( l
)
6
6
=
= ∑
+ −
+
6
=
k
k
l
l
k =
2
6
3
6
l
2
3
6
−
= +
=0
2
6
6 ⋅
1 2
6
3
=
3
+ 6 = 18
26 3
1
3
E( Y X = 4) = E( N − 2 X = 4) = 18 − 2 = 16
E( Y − X X = 4) = 16 − 4 = 12
Zadanie 2
1
1
x
f
=
, F ( x) = 1 −
=
X 1
1
( + x)2
1 + x
1 + x
2
2
2
1
2 x + x
f
=
, F ( x) = 1 −
=
X 2
3
2
1
( + x)
1 + x
1
( + x)
∞
P = ∫ P(min < x < max) f ( x) 1
0
P(min < x < max) = P( x < max) − P( x < min) = 1 − P(max < x) − P(min > x) =
3
3
2
6
3
=
x
x
x
x x
1 − 3
P ( X < x) − 3
2
1
1
(
)
(
2)
1
P
X
x
1
2
( 2 > )
+
+
− [
+ ] −
= −
−
=
=
2
2
1
( + x)
1
( + x)
1
( +
6
x)
1 + 6 x +
2
15 x +
3
20 x +
4
15 x +
5
6 x + 6
x − 6
x −
5
6 x −
4
12 x −
3
8 x −
=
1 =
1
( +
6
x)
4
3
2
3 x + 12 x + 15 x + 6 x 3 x( 3
2
x + 4 x + 5 x + 2) 2
3 x( x + )
1 ( x + 2)
3 x( x + 2)
=
=
=
=
6
6
6
4
1
( + x)
1
( + x)
( x + )
1
( x + )
1
2
x + 3 x + 2
3
x + 4 2
x + 5 x + 2 : ( x + ) 1
3
2
−
∆ = − ⋅ =
x − x
9
4 2
1
− 3 −1
3
2
x + 5 x + 2
x =
= 2
−
1
2
− 3 2
x − 3 x
− 3 +1
x =
= 1
−
2
x + 2
2
2
-
2x -
2
∞
∞
∞
∞
P
∫ 3 x( x +
=
2) = x +
t
t
1 = t =
(
3
)
1 (
)
1
1
3
3
2
3 t
3 t
1
6
∫ −
+ =
6
∫ −4
−
−
6 = −
+
= − =
3
5
( x + )
1
t
t
5 t
5
5
0
1
1
1
Zadanie 3
y = tx, t = tgφ, φ = arctgt
1
Y
4
x =
arctgt
arctgt
r cos φ
4
2
2
P
< t = ∫ =
= ∫ ∫ r drdφ = ∫
=
arctgt
X
Π
y = r sin φ
Π
Π Π
∆
0
0
0
f ( x
Z
=
x
Π( 2
)
∈
∞
1
2
+ x ),
( ;
0
)
Zadanie 4
P( S ≥ 2) = 1 − P( S = ) 1 − P( S = 0)
7
P( S = )
0 = P ( X < max( Y ,..., Y
1
8 )
P( S = )
1 = 7 P( X > max( Y ,..., Y P X < m Y ,..., Y
1
) 6
8
(
( 1
8 )
=
1
2
8 )
!
8
1
!
9
9
7
6
8
1 8
ODP = 1 − − 7 ⋅ ≈ , 0 2
9
9 9
Zadanie 5
t
e
P(ln X < t) = ∫ 2 x = 2 t e
0
− ∑ln X
i ≅ Γ( ,
n )
2
1
1
po przekształceniach: P ∑ ln X
ln
1
5
,
0
l
u
b
ln
ln 1
5
,
0
i > n
+ − n
∑ Xi < n −
−
n =
n
n
1
1
= P − ∑ln X
5
,
0
ln
1 l
u
b
ln
5
,
0
ln 1
i <
n − n
+
− ∑ Xi >
n − n −
=
n
n
n
n
− ∑ln X
ln
i −
− ∑ Xi −
1
1
2
2
= P
< −2 n ln
+
1 l
ub
> −2 n ln1−
→
1
n
1
n
n
n
2
2
− n
− n
1
1
→ Φ lim− 2ln 1
+
+1− Φ lim− 2ln 1
−
= Φ(2) +1− Φ( 2
− ) ≈ ,
0 046
n
n
Zadanie 6
Zadanie z liczby ciągów binarnych i serii (patrz: WYKŁADY Z KOMBINATORYKI)
n + m
Ω =
n = ,
6 m = ,
9 R = 2 ⋅ k = 2 ⋅ 3 = , 6 k = 3
n
n −1
m −
1
5
8
A =
2
=
2
k −1
k −1
2
2
2 ⋅10 ⋅ 28
16
ODP =
=
1 !
5
143
!
9
!
6
Zadanie 7
5
10
5
− θ∑ X
5
i
−2 θ∑ Xi
θ
θ
i =1
i =
L =
6
e
e
5
2 ∏
5
X
X
i
∏10 i
i=1
i=6
5
5
10
10
ln L = 5 ln θ − 5 ln 2 − ∑ ln X
θ
X
θ
X
θ
X
i −
∑
i + 5 ln
− ∑ln
i − 2 ∑
i
i=1
i=1
i=6
i=6
∂
5
10
= 5 − ∑ X
X
θ
i + 5 − 2∑
i =
→ =
10
ˆ
0
∂
5
10
θ
θ
θ
i=1
i=6
∑ X
X
i + 2∑
i
i=1
i=6
i ∈ ,
1
( ..., )
5
P(
2
t
x
w
t
θ
X
t
e
e
θ
dw
wykl θ
i <
)
=
= ∫
− θ x =
θw
1
= ∫ −
→
( )
2 x
dx = dw
0
0
2 x
i ∈ ( ,
6 ... 1
, 0)
2
t
P(
2 x
w
4
t
θ
2 X
t
e
e
θ
wykl θ
i <
)
=
= ∫
−2 θ x =
w
θ
1
= ∫ − →
( )
x
= dw
0
0
x
10
ˆ
θ =
, X ≅ Γ 1
( ;
0 θ)
X
∞
10
1 θ
α =
ˆ
θ
E = 10∫
9
9 −
x e x
θ
=
= 10 θ
x
!
9
β = θ
9
0
∞
10
1 θ
α = 8
2
ˆ
θ
E
= 100∫
9 −
x e x
θ
=
= 25 2
θ
2
x
!
9
β = θ
18
0
E(ˆ θ − θ)2
25
10
2
1 2
=
− 2 ⋅
+1 θ
= θ
18
9
6
Zadanie 8
a
a
1
X
i ≅
,
2
Yi ≅
, n = ,
5 m = ,
4 α = 1
,
0
a +
a +
1
( + x)
1
1
1
( + y)
1
2
5
4
L =
a
a
1
2
∏5(
4
1 + x
y
i ) 1
a +1 ∏(1+ i ) a 2+1
i=1
i=1
5
4
ln L = 5 ln a
a
1
ln 1
x
4 ln a
a
1
ln 1
y
1 − ( 1 + )∑
( + i )+
2 − ( 2 + )∑
( + i )
i=1
i=1
∂
5
= 5 − ∑ln(1+ x
a
i ) =
→
5
0
1 =
∂
5
a
a
1
1
i=1
∑ln(1+ xi )
i=1
∂
4
= 4 − ∑ln(1+ y
a
i ) =
→
4
0
2 =
∂
4
a
a
2
2
i=1
∑ln(1+ yi )
i=1
∂
5
2
∂
4
2
∂
= −
,
= −
,
= 0
2
2
2
2
∂ a
a
∂ a
a
∂ a a
1
1
2
2
1 2
5
−
0
2
a
20
1
=
>
0
i f
a a
< 0 → max
4
2
2
1, 2
0
−
a a
1
2 ˆ a , ˆ
1 a 2
2
a 2
4
∑
5
ln(1 + yi )
ˆ
i=
T =
1
5
4∑ ln(1 + xi )
i=1
t
e −
P(
1
a
ln 1
( + y) < t) = P(1+ y < t e ) = P( y < t e − )
1 = ∫
2
= 1+ x = w =
a 2 +
1
( +
1
x)
0
t
e
= ∫ a 2 =1− − a t
e 2 ≅ wykl( a
2 )
a 2 +
w
1
1
analogicznie: P(ln 1
( + x) < t ) = wykl( a 1 )
t
w
2
1
1
P(
λ
t
−
2 X
λ
< t)
t
= P X <
= ∫ − λx
λe
= 2 x
λ = w = ∫
e 2 ≅ wykl →
2 λ
2
2
0
0
→ 2 a ln
y
a
x
wykl
2
(1+ i ) ≅ 2 ln
1
(1+ i )
1
≅
2
2 a
5 X
1
2
1
Tˆ
2 =
X ≅ Γ ,
4
≅ χ
)
8
( , Y ≅ Γ ,
5
2
≅ χ 1
( 0)
2 a
4 Y
2
2
1
≅ }
F (8 1
, 0)
X
a
1
5 X
1
2
1
8
P T
< = P
< = P
<
a
c
1
4 Y
c
Y
c
10
X
a
1
1
1
2
8
P T
> = P
>
→ = ,
3 07
a
d
Y
d
d
1
10
1
1
1
wiemy, Ŝe: kw
( ,
0 0 )
5
F
=
→ =
( 1
,
8 0)
kw
( 9
,
0
)
5
c
3
,
3 5
F 1
( 0,8)
1
ODP = T ( c − d ) = T 3
,
3 5 −
≈ ,
3 0 T
2
,
3 07
var( ZX ) = E( 2 2
Z X )
2
1
− E ( ZX ) = ( 2
2
σ + µ ) 1 2
1 2
1 2
− µ = µ + σ
2
4
4
2
E( 2 2
Z X )
2
2
1
= EZ EX = ( 2
2
σ + µ )
2
1
E( ZX ) =
µ
2
cov( Z X Z X =
−
=
+
−
=
i
i
j
j )
E( Z Z X X
i
j
i
j )
2
E ( Z X
i
i )
1
,
[ 2 2
pσ
µ ] 1 2
1
2
µ
pσ
4
4
4
E( Z Z X X =
+
=
+
i
j
i
j )
2
E ( Zi )[cov( X X
i
j )
EX EX
i
j ]
1
,
[ 2 2
pσ
µ ]
4
1
n
2
1
2
1
2
1
2
1
2
( n − )
1
2
2
2
npσ
µ
σ
1
ODP = n µ +
σ +
2
pσ =
nµ +
nσ +
= n
+ n
1 +
p( n − )
1
4
2
2 4
4
2
4
4
2
2
Zadanie 10
λ ≅ Γ( ,
2 4)
var S = var N ⋅ ( EX )2 + EN ⋅ var X
var T = var N ⋅ ( EY )2 + EN ⋅ var Y
EN = EE( N λ) 1
= Eλ =
2
var N = E(var( N λ) + var( E( N λ) 1
2
5
= Eλ + var λ = +
=
2
16
8
5
1
9
var S =
+ =
8
2
8
5
1
9
var T =
⋅ 4 + ⋅ 4 = 5
,
4
=
8
2
2
var( S + T ) = var S + var T + 2 cov( S, T ) N
S + T = ∑ ( X
Y
i +
i )
i=1
var( S + T ) = var
2
N ⋅ E ( X + Y ) + EN ⋅ var( X + Y ) E(X+Y)=1+2=3
var(X+Y)=1+4=5
5
1
45
5
45 + 20
65
var( S + T ) =
⋅9 + ⋅5 =
+ =
=
8
2
8
2
8
8
65 9
9 1
65 − 36 − 9 1
5
cov( S, T ) =
− − =
=
8
2
8 2
8
2
4
5
5 4
5
4
corr( S, T ) =
=
=
3
3
4 9
9
8
2