2000 01 15 prawdopodobie stwo i statystykaid 21565

background image

Egzamin dla Aktuariuszy z 15 stycznia 2000 r.

Prawdopodobieństwo i Statystyka

Zadanie 1

(

)

(

)

(

)

%

9

,

20

7

1

6

1

5

1

4

1

3

1

2

1

6

1

3

1

6

1

)

(

k

II

w

b

3

1

6

1

II)

w

(

II

w

b

2

II

w

b

2

6

1

+

+

+

+

+

=

=

=

=

k

k

P

P

b

P

P

P


Zadanie 2

Długość cięciwy =

2

sin

2

φ

r

( )

=

dr

r

f

r

E

ODP

)

(

( )

(

)

Π

Π

Π

Π

Π

Π

=

2

0

1

1

1

2

1

2

2

,

max

sin

2

d

r

r

E

bo ustalamy kąt pierwszego jabłka i wtedy

drugie

)

2

;

0

(

Π

[

]

Π

=

+

Π

=



Π

Π

+

Π

Π

=



Π

Π

+

Π

Π

=

Π

Π

Π

Π

Π

Π

r

r

r

r

4

2

2

2

2

cos

2

2

cos

2

2

2

sin

2

sin

2

1

0

1

0

2

1

1

Π

=

Π

=

Π

=

0

2

637

,

0

2

2

1

4

2

4

r

e

r

ODP


Zadanie 3

(

)

3

4

5

6

7

8

2160

3

2

4

3

4

1

5

4

6

5

7

2

8

6

6

4

3

2

1

=

+

=

B

B

B

C

B

P

(

)

3

4

5

6

7

8

2880

5

4

6

5

7

2

8

6

4

3

2

1

=

=

B

B

C

B

P

( )

3

4

5

6

7

8

15120

4

2

5

3

6

4

7

5

8

6

4

3

5

2

6

4

7

5

8

6

4

3

5

4

6

2

7

5

8

6

4

3

5

4

6

5

7

2

8

6

4

3

5

4

6

5

7

6

8

2

3

1

3

2

4

2

5

3

6

4

7

5

8

6

1

czarna

ostatnia

i

wystapily

czarne

2

ze

uklady

6

=

+

+

+

+

=

4

4

4

4

4

4

4

4

4

4

4

4

8

4

4

4

4

4

4

4

4

4

4

4

4

7

6

B

P

układy że 2 czarne wystąpiły i ostatnia czarna: cbbbbc, bcbbbc, bbcbbc, bbbcbbc, bbbbcc

sprawdzamy A

3

4

5

6

7

8

15120

3

4

5

6

7

8

2880

3

4

5

6

7

8

2160

=

L=P






background image

Zadanie 4

=

1

..

1

2

p

p

σ

WYNIK

)

1

;

1

(

1

2

<

p

p

ale

( )

>

>





+

=

1

;

1

1

1

1

0

2

2

var

n

n

p

p

n

n


Zadanie 5

(

)

2

5

5

;

5

σ

µ

N

S

(

)

2

20

20

;

20

σ

µ

N

S

(

)

2

15

15

;

15

σ

µ

N

S

(

)

(

)

(

)

(

)

15

5

5

2

15

5

5

20

5

2

20

5

var

var

S

S

S

E

S

S

S

S

S

E

S

S

ODP

+

+

+

=

+

=

(

)

2

15

5

5

5

,

cov

σ

S

S

S

=

+

2

1

100

5

20

5

5

2

2

2

=

=

=

σ

σ

σ

p

(

)

(

)

20

20

20

15

5

5

25

,

0

5

25

,

0

5

20

20

5

5

,

0

5

S

µ

S

µ

µ

S

σ

σ

µ

S

S

S

E

=

+

=

+

=

+

(

)

(

)

2

2

2

2

20

5

4

15

4

3

5

5

5

,

0

1

var

σ

σ

σ

S

S

=

=

=

2

20

2

16

1

4

15

S

σ

ODP

+

=


Zadanie 6

Obliczenia pomocnicze:

...

3

2

3

2

2

2

1

+

+

+

=

e

e

e

u

...

3

2

4

2

3

2

2

1

+

+

+

=

e

e

e

ue

(

)

(

) (

)

...

5

3

...

2

3

1

2

1

3

2

1

3

2

2

2

2

2

1

1

+

+

+

=

+

+

+

=

e

e

e

e

e

e

e

u

(

)

...

5

3

1

4

3

2

1

1

+

+

+

=

e

e

e

e

e

u

(

)(

)

1

2

1

1

2

1

1

3

2

1

1

1

1

1

1

...

2

2

1

1

+

=

+

=

+

+

+

=

e

e

e

e

e

e

e

e

e

e

e

e

u

bo:

...

2

2

1

+

+

=

e

e

x

...

2

3

2

1

+

+

=

e

e

xe

(

)

(

)

2

1

1

1

1

2

1

1

1

1

...

1

=

=

+

+

=

e

e

x

e

e

e

e

e

x

background image

 

(

)

=

=

=

1

1

1

1

1

1

k

k

e

e

e

ke

X

E

1

1

1

1

1

2

1

1

1

=

>=

<

e

e

e

e

X

E

 

(

) ( )

∑ ∫

=

+

=

=

+

+

=

=

=

=

1

1

1

1

2

1

2

1

1

2

)

1

(

2

2

2

2

1

1

k

k

k

k

k

k

k

k

x

e

e

e

e

e

k

e

k

e

k

e

k

X

E

 

(

) (

) (

)

2

1

1

2

1

2

2

1

2

1

1

1

1

var

=

+

=

e

e

e

e

e

e

e

X

 

 

(

)

X

X

X

X

X

,

cov

2

var

var

var

+

>=

<

.....

var

>=

<

X

 

(

)

[

]

(

)

∑ ∫

=

+

=

=

+

=

=

>

<

1

1

1

1

2

1

1

1

)

(

k

k

k

k

k

k

k

k

k

k

k

x

e

e

e

k

e

e

e

e

e

ke

e

ke

k

e

k

x

k

X

X

E

(

) ( ) ( )

=

=

=

1

1

2

1

1

1

2

1

1

2

1

k

k

e

e

e

e

ke

 

(

)

(

)

(

) (

)

0

0

1

2

1

1

1

2

1

,

cov

1

1

1

1

2

1

1

1

=

=

=

>

<

corr

e

e

e

e

e

e

e

X

X


Zadanie 7

0

1

σ

σ

>

(

)

(

)

Π

Π

=

0

2

1

2

0

1

2

exp

2

exp

2

1

2

1

/

0

1

σ

µ

X

σ

µ

X

σ

σ

p

p

i

i

σ

σ

rosnące dla

(

)

2

µ

X

i

(

)

307

,

18

05

,

0

)

10

(

2

1

2

=

=

>

=

c

c

µ

X

P

χ

i

σ

4

48

4

47

6

moc:

(

)

2

2

)

10

(

2

2

307

,

18

865

,

4

9

,

0

307

,

18

σ

σ

σ

µ

X

P

χ

i

>

>

4

4 8

4

4 7

6

7628

,

3

865

,

4

307

,

18

2

σ


Zadanie 8

2

1

)

(

1

1

)

(

r

r

r

f

r

r

r

CBC

P

=

=

background image

3

)

2

(

)

(

r

r

r

r

f

=

Z tego:

2

ˆ

=

r


Zadanie 9

)

1

,

0

(

J

X

i

(

)

(

)

+

=

=

+

2

ln

)

1

(

ln

2

1

5

,

0

2

1

n

X

P

X

P

X

P

i

n

i

i

n

dla

)

0

;

(

−∞

t

(

)

=

=

<

=

<

t

e

t

t

e

e

X

P

t

X

P

0

..

)

(ln

(

)

=

=

>

=

<

=

<

1

1

..

1

)

ln

(

t

e

t

t

t

e

e

X

P

e

X

P

t

X

P

t

e

X

f

=

)

ln

(

wykładniczy

)

1

;

(n

Y

n

Γ

(

) (

)

+

=

=

+

=

Π

2

ln

)

1

(

0

1

1

1

)!

1

(

1

)!

1

(

1

2

ln

)

1

(

5

,

0

n

x

n

x

n

n

n

dx

e

x

n

dx

e

x

n

n

Y

P

P

(

)

+

+

Γ

=

=

Π

2

ln

)

1

(

0

2

ln

)

1

(

0

0

1

1

1

1

)

(

1

1

1

1

)!

1

(

1

1

5

,

0

n

n

x

n

x

n

x

n

n

n

e

x

e

x

e

x

n

P

czyli odpowiedź C jest prawidłowa

Zadanie 10

(

)

(

)

=

=

=

+

+

+

+

+

+

=

+

=

n

i

n

i

n

i

m

n

n

m

n

i

m

n

m

n

i

i

m

n

i

X

n

X

n

X

X

X

X

X

X

X

X

1

1

1

2

2

2

2

2

2

2

(

)

=

+

=

n

i

i

µ

σ

n

X

E

1

2

2

2

[

]

2

2

2

2

1

1

1

)

(

1

...

...

...

µ

nm

µ

n

σ

n

m

n

n

n

X

X

m

n

X

X

X

X

E

X

X

E

n

m

n

n

n

n

m

n

+

+

+

=

+

+

+

+

+

+

+

+

=

+

+

+

[

]

2

2

2

2

2

1

)

(

)

(

)

(

1

...

µ

m

n

σ

m

n

m

n

m

n

X

X

E

m

n

+

+

+

+

=

+

+

+

+

(

)

(

)

(

)

[

]

(

)

[

]

=

+

+

+

+

+

+

+

+

+

=

+

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

)

(

)

(

1

)

(

2

µ

m

n

σ

m

n

m

n

n

µ

nm

µ

n

σ

n

m

n

n

n

µ

σ

n

X

X

E

m

n

i

=



+

+

+

+

+

+

+

=

n

m

n

nm

m

n

n

n

µ

m

n

n

m

n

n

n

σ

2

2

2

2

2

2

background image

)

(

)

1

(

2

2

)

1

(

2

2

2

2

2

2

D

m

n

m

n

n

σ

m

n

nm

n

nm

n

nm

n

µ

m

n

m

n

n

σ

+

+

=

+

+

+

+

+

+

+

=



Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
2000.01.15 prawdopodobie stwo i statystyka
2002 06 15 prawdopodobie stwo i statystykaid 21643
2000 12 09 prawdopodobie stwo i statystykaid 21582
2002 01 12 prawdopodobie stwo i statystykaid 21637
2002.01.12 prawdopodobie stwo i statystyka
2008 12 15 prawdopodobie stwo i statystykaid 26466
2000.04.08 prawdopodobie stwo i statystyka
2008.12.15 prawdopodobie stwo i statystyka
2003.01.25 prawdopodobie stwo i statystyka
2000.10.14 prawdopodobie stwo i statystyka
2002.06.15 prawdopodobie stwo i statystyka
2000.12.09 prawdopodobie stwo i statystyka
2005.01.17 prawdopodobie stwo i statystyka
1997.01.18 prawdopodobie stwo i statystyka
2003 01 25 prawdopodobie stwo i statystykaid 21695
2007 01 08 prawdopodobie stwo i statystykaid 25641
2000 06 17 prawdopodobie stwo i statystykaid 21573
2005 01 17 prawdopodobie stwo i statystykaid 25338

więcej podobnych podstron