Egzamin dla Aktuariuszy z 17 czerwca 2000 r.
Prawdopodobieństwo i Statystyka
Zadanie 1
i
X - czas oczekiwania na różny wynik od i wyników
(
)
5
4
3
2
1
1
X
X
X
X
X
E
ODP
+
+
+
+
+
=
∑
∞
=
−
+
+
+
−
=
−
=
1
2
1
...
6
3
6
2
1
6
6
6
6
6
k
k
i
i
i
i
i
i
k
EX
...
6
3
6
2
1
2
+
+
+
=
i
i
A
...
6
2
6
6
2
+
+
=
i
i
i
A
2
2
6
6
6
6
6
1
1
...
6
6
1
6
1
−
=
→
−
=
−
=
+
+
+
=
−
i
A
i
i
i
i
i
A
i
i
i
EX
i
−
=
−
−
=
6
6
6
6
6
6
2
7
,
14
6
2
6
3
6
4
6
5
6
1
=
+
+
+
+
+
=
ODP
Zadanie 2
(2b,3c) (3b,2c),..
(
) (
)
)
2
(
)
5
(
5
2
2
5
b
P
b
P
b
b
P
b
b
P
×
×
×
×
=
×
×
k – ilość białych
(
)
∑
=
=
+
+
+
=
×
=
×
5
0
5
10
5
6
5
10
2
5
1
4
4
6
2
4
5
10
2
5
2
4
3
6
2
3
2
5
5
10
2
2
3
4
2
6
)
(
2
)
2
(
k
k
P
k
b
P
b
P
3
1
21
7
63
21
252
84
2520
840
252
6
10
252
4
15
6
10
252
6
20
3
10
252
4
15
=
=
=
=
=
+
⋅
⋅
⋅
+
⋅
⋅
⋅
+
⋅
⋅
=
14
1
28
2
84
6
252
18
3
252
6
=
=
=
=
⋅
=
ODP
Zadanie 3
x
F
F
1
1
=
−
′
(równanie różniczkowe)
∫
∫
=
−
→
+
=
−
C
F
x
C
x
F
dF
)
1
(
ln
1
1
C
e
F
x
=
−
)
1
(
x
e
F
C
=
−
1
0
,
1
1
>
−
=
−
=
C
x
C
x
e
F
C
ale z prawostronnej ciągłości dystrybuanty
F(1)=0 1-C/1=0 z tego C=1
2
1
)
2
(
1
1
)
(
=
>
→
−
=
X
P
x
x
F
Zadanie 4
0
,
2
1
,
1
var
,
12
1
var
=
=
=
=
EY
EX
Y
X
czyli
(
) (
)
(
)
1
1
3
)
(
3
2
−
=
−
=
=
=
Y
X
E
Y
X
E
XY
E
ρ
(
)
(
)
1
2
1
1
2
1
)
(
−
=
−
=
=
Y
X
E
Y
X
E
XY
E
(
)
(
)
(
) (
)
1
1
1
2
1
1
2
1
1
2
1
=
−
=
+
=
→
=
−
=
+
=
Y
X
E
Y
X
E
Y
X
E
Y
X
E
(
)
(
)
→
=
−
=
≤
+
=
≤
=
≤
t
Y
t
X
P
Y
t
X
P
t
X
P
2
1
1
2
1
1
)
(
muszą być ciągłe lub jedno równe 0
z tego max gdy
(
)
(
)
0
1
,
2
1
1
=
−
=
=
=
Y
X
E
Y
X
E
min gdy odwrotnie
Prawidłowa odpowiedź:
−
2
3
;
2
3
Zadanie 5
(
)
∫ ∫
∫
∞
−
−
+
−
=
+
=
+
=
=
1
0
1
0
1
0
2
2
3
2
x
x
x
x
x
y
x
x
e
xe
e
dydx
ye
Ey
(
)
∫ ∫
∫
∞
−
−
−
−
=
+
+
=
+
+
=
+
+
=
=
1
0
1
0
1
0
2
3
2
2
2
3
10
2
1
3
1
2
3
2
2
x
x
x
x
x
x
y
x
x
x
e
xe
e
x
e
dydx
e
e
y
Ey
12
13
12
27
40
4
9
3
10
var
=
−
=
−
=
Y
Zadanie 6
(
)
(
)
(
)
(
)
S
N
E
S
N
E
N
a
a
a
var
var
var
+
=
(
)
(
)
S
N
E
p
n
a
var
ˆ
var
3
2
=
(
)
(
)
(
)
1
n
bo
ˆ
var
)
1
(
)
1
(
0
)
1
(
1
var
var
1
ˆ
var
2
3
2
2
3
>
=
−
<
−
=
−
−
≤
−
=
p
n
p
p
n
p
p
n
p
p
n
S
N
E
N
n
p
a
a
(
)
n
p
p
N
pn
EN
p
p
k
n
k
N
P
a
a
k
n
k
a
)
1
(
var
,
)
1
(
−
=
=
→
−
=
=
−
z tego:
2
2
2
ˆ
)
1
(
ˆ
var
,
ˆ
p
n
p
p
p
p
p
E
→
−
=
=
nieobciążony
i
X
λ
n
Y
),
,
1
(
−
Γ
≅
ma rozkład wykładniczy
>
=
−
wpp
0
a
X
1
zmienna
X
i
( ) (
) (
)
=
=
+
>
=
>
=
S
Y
X
a
X
P
S
a
X
P
S
X
E
i
i
i
i
(
)
(
)
1
1
1
)
(
2
1
)
(
)!
1
(
)
(
)!
2
(
,
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
=
−
−
−
=
=
+
>
=
+
=
∫
n
n
s
λ
n
n
s
a
x
s
λ
n
n
x
λ
i
i
i
s
a
s
e
s
n
λ
e
x
s
n
λ
e
λ
S
Y
X
P
a
X
S
Y
X
P
( )
≤
>
−
=
−
a
S
a
S
S
a
S
S
X
E
n
i
0
1
(
)
>
−
=
−
wpp
0
1
a
S
S
a
S
n
S
N
E
n
a
Z tego:
3
1
ˆ
.....
p
czyli
a
S
S
a
S
n
E
pn
EN
n
a
>
−
=
=
−
nieobciążony
Prawidłowa odpowiedź (E)
Zadanie 7
)
1
(
)
1
(
2
2
−
≅
−
n
χ
σ
n
S
)
1
(
1
1
1
−
≅
−
−
=
n
χ
X
X
n
R
1
1
2
)
1
(
1
2
2
2
+
−
−
−
=
X
n
X
n
R
(
)
(
)
=
−
+
−
+
−
−
=
+
−
−
−
−
+
−
−
=
1
1
2
2
2
)
1
(
1
1
)
1
(
1
2
)
1
(
2
2
)
1
(
1
2
2
2
2
2
n
n
n
n
n
n
n
n
n
ER
201
1
200
100
1
1
2
1
1
1
1
1
1
?
=
→
−
=
→
=
−
=
−
+
−
+
=
−
−
+
=
n
n
n
n
n
n
n
n
Zadanie 8
1,96 JACEK
+
−
10
96
,
1
;
10
96
,
1
σ
X
σ
X
2,262 PLACEK
+
−
3
262
,
2
;
3
262
,
2
10
10
S
X
S
X
(
)
10
2
2
10
∑
−
=
X
X
S
i
x
P
J
J
xP
≥
=
1
,
0
=
≥
x
dlP
dlJ
P
)
9
(
10
1
,
0
3
262
,
2
2
10
96
,
1
2
2
2
10
10
χ
σ
S
x
S
σ
P
≅
⋅
=
≥
⋅
⋅
1
,
0
524
,
4
3
10
92
,
3
10
=
≥
x
S
σ
P
)
9
(
1
,
0
92
,
3
3
524
,
4
1
χ
Y
x
Y
P
≅
=
⋅
≥
25
,
1
168
,
4
524
,
4
92
,
3
3
524
,
4
92
,
3
3
168
,
4
1
,
0
524
,
4
3
92
,
3
2
2
≈
⋅
=
→
⋅
=
→
=
⋅
≤
x
x
x
Y
P
Zadanie 9
(
) (
)
(
)
θ
θ
d
θ
θ
χ
θ
X
X
f
θ
f
θ
X
X
f
X
X
θ
n
M
n
n
n
n
≤
=
=
Π
∫
M
dla
1
)
;
0
(
1
,....,
)
(
,...,
,...,
1
0
1
1
1
1
1
−
=
n
MIAN
czyli
(
)
[ ]
-n
1
do
alna
proporcjon
czyli
M,1
dla
)
1
(
,...,
θ
n
θ
X
X
θ
n
n
−
=
Π
−
Zadanie 10
[
]
[
]
4
3
2
1
2
2
4
3
2
1
,
,
,
0
0
0
1
1
0
0
0
1
0
)
1
(
)
1
(
)
1
(
,
,
,
Π
Π
Π
Π
=
−
−
−
−
−
Π
Π
Π
Π
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
→
Π
=
Π
+
Π
+
Π
Π
=
−
Π
+
−
Π
Π
=
−
Π
+
−
Π
Π
=
Π
+
−
Π
4
3
2
2
1
3
3
1
2
2
1
1
4
2
1
)
1
(
)
1
(
)
1
(
)
1
(
)
1
(
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
(
)
3
1
3
1
2
1
2
2
1
)
1
(
)
1
(
)
1
(
)
1
1
(
Π
=
−
Π
Π
=
−
Π
Π
=
−
Π
+
−
Π
=
−
Π
q
q
q
q
q
q
q
q
[
]
(
)
(
)
4
2
1
4
2
1
4
2
1
2
2
1
1
1
)
1
(
Π
=
−
Π
Π
=
−
+
−
Π
Π
−
=
−
−
Π
q
q
q
q
q
(
)
1
2
)
1
(
)
1
(
2
1
1
1
1
=
−
Π
+
−
Π
+
−
Π
+
Π
q
q
q
q
(
)
1
2
1
1
1
2
1
=
−
+
−
+
−
+
Π
q
q
q
q
(
)
1
3
2
1
=
−
Π
q
jest stacjonarny
2
2
4
2
3
2
2
2
1
3
2
,
3
1
,
3
1
,
3
1
q
q
q
q
q
q
q
q
−
−
=
Π
−
−
=
Π
−
−
=
Π
−
=
Π
2
2
2
2
2
2
2
1
2
2
1
2
1
3
1
)
1
(
3
1
2
3
2
3
1
3
1
p
p
p
p
p
p
p
p
q
q
q
q
q
ODP
−
+
+
=
−
+
−
+
=
−
−
+
−
=
−
−
=
−
−
+
−
=
Π
+
Π
=
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
2002 06 15 prawdopodobie stwo i statystykaid 21643
2000 12 09 prawdopodobie stwo i statystykaid 21582
2008.06.02 prawdopodobie stwo i statystyka
1997.06.21 prawdopodobie stwo i statystyka
2003.05.17 prawdopodobie stwo i statystyka
2008 03 17 prawdopodobie stwo i statystykaid 26449
2003 05 17 prawdopodobie stwo i statystykaid 21698
2008 06 02 prawdopodobie stwo i statystykaid 26454
1999.06.19 prawdopodobie stwo i statystyka
2011.06.20 prawdopodobie stwo i statystyka
2001.06.02 prawdopodobie stwo i statystyka
2000.04.08 prawdopodobie stwo i statystyka
2001 06 02 prawdopodobie stwo i statystykaid 21607
2006 06 05 prawdopodobie stwo i statystykaid 25461
2000.10.14 prawdopodobie stwo i statystyka
2002.06.15 prawdopodobie stwo i statystyka
2000.01.15 prawdopodobie stwo i statystyka
2004.06.07 prawdopodobie stwo i statystyka
więcej podobnych podstron