Egzamin dla Aktuariuszy z 20 czerwca 2011 r.
Prawdopodobieństwo i Statystyka
Zadanie 1
X – ilość powtórzeń
Y - czas oczekiwania na i-tą cyfrę i
X = 1 + Y + Y + Y + Y
2
3
4
5
Rozkład Y jest geometryczny: i
k 1
−
P(
Y = k =
k =
2
) 4 1
,
1 ,
2 ....
5 5
k 1
−
P(
Y = k =
3
) 2
3
5
5
k 1
−
P(
Y = k =
4
) 3
2
5
5
k 1
−
P(
Y = k =
5
) 4
1
5
5
EX = 1 + EY + EY + EY + EY
2
3
4
5
∞
k −1
∞
l
4 1
4 1
1 5
5
EY
k
( l
)
1
1
2 = ∑
= ∑
+
=
+ =
k =
5 5
l
5 5
5 4
4
1
=0
2
5
EY =
+1 =
3
3
3
3
5
EY =
+1 =
4
2
2
EY = 4 + 1 = 5
5
5
5
5
12 + 15 + 20 + 30 + 60
137
5
EX = 1 +
+ + + 5 =
=
= 11
4
3
2
12
12
12
Zadanie 2
X ≅ J (
)
1
,
0
i
P(min( X ,... X
< t = 1− P min X ,..., X > t = 1− P X > t = 1− 1
( − t)
1
n )
)
( ( 1
) )
n
n
(
)
n
i
ε
ε
P( T
ε
ε
ε
n − 1 >
)= P( Tn > +1∨ Tn <1− )
= P min( X
X
X
X
1
n )
+
>
1
,...,
∨ min( ,...
1
n )
1 −
<
=
n + 1
n + 1
n
n
ε +1
1 − ε
ε +1
1 − ε
= Pmin( X ,..., X
1
>
+ P min X ,... X
1
<
= 1−
+1− 1−
n )
(
n )
n + 1
n + 1
n + 1
n + 1
ε +
ε
⋅
1
1
n
−
n+1
n
n+
n+1
1
⋅
n+1
ε +1ε+1
1 − ε −
1 ε
lim 1 −
+ 1 − 1 −
=
n→∞
n + 1
n + 1
ε +1
1 − ε
ε 1
−
−ε 1
= exp− lim
+1− exp− lim
= 1
−
− e + e
n→∞
1
n→∞
1
1 +
1 +
n
n
Zadanie 3
E(θˆ −θ )2 = D (θˆ)+ ( b(θˆ) 2
2
,
b(θˆ
)= E(θˆ)−θ
var c∑
n
n
X
c 2
var X
i
= ∑
i
i=1
i=1
X = EX 2
var
− E 2 X
2
= σ − E 2 X
i
i
i
i
E c∑
n
n
X
c
E X
i
= ∑
i
i=1
i=1
2
2
E(
n
n
ˆ
σ
σ
c 2
2
σ
E 2 X
c
E X
σ
c −
) = ∑( −
i )
+ ∑
i −
i=1
i=1
∞
2
− x
t
1
2
x
t
σ
2
=
∞
−
E X = 2∫
2σ
xe
=
= 2∫ 1 1 2 2σ
e
dt =
1
2
σ = 2
2
2 σ
xdx
dt
σ
σ
0
Π
2
=
2
0
Π 2
2Π
2Π
E(
2
2
2
σ
n
σ
σ
ˆ
σ
c − σ )
4
2 =
4
2
2
2
2
2
c σ n − n
+ c
− 2σ cn
+ σ =
Π
2
Π
2
Π
2
σ n
σ n
σ n
2
2 2 2
2 2
4 2
2
2
= σ n +
−
c −
c + σ → min
Π
Π
2Π
2
4σ n
b
2Π
Minimum dla c = −
=
=
2 a
2
2σ
2σ
2
n 2
2 n
2 σ n +
−
Π
Π
2 2
σ n
2
2Π
2σ nΠ
2Π
2Π
=
=
=
=
2
Πσ n + 2 2 2
σ n − 2 2
σ n
2
2
Πσ n(Π + 2 n − 2)
2Π (Π + 2 n − 2)
Π + 2 n − 2
Π
Zadanie 4
− x
X ≅ e
i
1
N ≅ uj. dwu
m
;
2
4
q
q
var S
N =
2
r
m
m
2 +
1
p
p
q
ES
= r m
N
1
p
m = E( IX ) 1
2
( 2 2)
1
1
m = E( I ) E( X ) =
⋅1 =
1
2
2
E( 2 2
I X )
2
2
1
= EI EX = (1+12 )= 1
2
,
0 25
,
0 25
2
2
1 1
13 2
13
var S
N = 2 ⋅
1+
⋅ 5
,
0
= 1+
=
=
,
0 75
,
0 75
3
3 4
12 3
18
,
0 25
1 1
1
ES
N = 2 ⋅
⋅ 5
,
0
= 2 ⋅ ⋅ =
,
0 75
3 2
3
13
13 ⋅ 9
13
ODP =
⋅ 3 =
=
18
18
2
Zadanie 5
X ≅ Γ ,
3
( 4)
Y ≅ Γ( ,
2 4)
X + Y ≅ Γ ,
5
( 4)
∫( x − y 3
) 2 x 2 e−4 x ⋅16 ye−4 y dxdy E( X − Y X + Y = s) L
= ∆
=
f
( s)
M
X + Y
x > 0
y = s − x
∆ = y > 0
→ x − y = 2 x − s
x + y = s
x ∈ ( ;
0 s)
s
L = ∫ (2 x − s) ⋅ 32 ⋅
2
−4 x
16 x e
( s −
−4( s− x
x) e
) dx =
0
s
3
2
4
2
2
2
sx 4
4
x 5
s 2 x 3 s
=
− s
512 e
∫ x (2 xs − 2 x − s + sx) dx =
− s
512 e
−
−
=
4
5
3
0
0
5
5
5
−
−
−
s
3 s
2 s
s
− s
45
24
20
512
4
4
5
−4 s 5
= 512 e
−
−
= 512 e
s
=
e
s
4
5
3
60
60
5
4
4
−4 s
f
( s) =
s e
X + Y
Γ )
5
(
512 e−4 ss 5 512 24
24
1
ODP
60
=
=
⋅ s =
s =
s
45
60
4
−4
45
120
5
s e s
Γ )
5
(
x 2
8
∏
P
i
> t = P
2
ln
8 ln 2
ln
0
8
0
∏ 2 > 8 = ∑ 2 >
+
=
H
H
( x
t
i
) P
x
t
P
H
i
2
0 =1
i
t
t
e
θ
1
P(
e
ln x
t
P x
e
dx
1 e θ
wykl(θ )
i <
) = ( < t
i
)= ∫
= −
= − − t ≅
θ +1
θ
x
x
1
1
→ ∑ln x
i ≅ Γ
;
8
( θ )
1
K : P = P
ln
4 ln 2
ln
H
∑ xi >
+
t = α
0
2
1
β : P ln
4 ln 2
ln
H
∑ xi <
+
t
1
2
1
w = 4 ln 2 +
ln t
2
∞
8
w
8
4
2
f ( w) = ∫
7
−4 x
x e
dx + ∫
7
−2 x
x e
dx → szukamy minimum po w
Γ )
8
(
Γ )
8
(
w
0
48
7
−4 w
28
f (
′ )
7
−2
w = −
w e
+
w e w = 0 → w = 4 ln 2
Γ )
8
(
Γ )
8
(
ODP = f (4 ln 2)
x
x
∞
−
−
7
4 w
7
2
2
1
1
f ( w) = po p
odstawie i
n ach = t
x
= ∫
x e
dx +
i to są całki po
8
∫
x e
dx
2
Γ )
8
(
2
Γ
8
)
8
(
2
8 w
0
gęstościach z rozkładu
2
χ 1
( 6)
f ( )
w = 1 − P(4 w < X < 8 w) = P( X < 4 ) w + P( X > 8 ) w = aproksymu e
j my r
ozkladem n
ormalnym =
4 w −16
8 w −16
= P N <
+ P N >
≈ P( N < − 8
,
0 7) + P( N > ,
1 09) = 5
,
0 − 3
,
0 0785 + 5
,
0 − 3
,
0 6214 =
32
32
=0,33001 czyli najbliżej odpowiedź B
2 w
t
8
2
Ewentualnie po podstawieniu przy f(w) w pierwszej całce x = f ( w) = 1 − ∫
7
−2 x
x e
dx
2
Γ )
8
(
w
I obliczamy całkę: ∫ 7 −2 x
x e
Po żmudnych rachunkach:
∫
1
7
21
105
210
630
630
630
7
−2 x
7
−2 x
6
−2 x
5
−2 x
4
−2 x
3
−2 x
2
−2 x
−2 x
−
x e
= − x e
− x e
−
x e
−
x e
−
x e
−
x e
−
xe
−
2 x
e
2
4
4
8
8
16
16
32
28
ODP = 1 −
⋅ A, gdzie
!
7
8
−
1
− 6
A = 2 a − 2
a
1
2
a =
+
+
+
+
+
+
+
1
(4ln2)7 7
6
21
5
105
4
210
3
630
2
630
630
(4 ln 2)
(4 ln 2)
(4 ln 2)
(4 ln 2)
(4 ln 2)
(4 ln 2)
2
4
4
8
8
16
16
32
1
7
7
6
21
5
105
4
210
3
630
2
630
630
a =
8
( ln 2) +
8
( ln 2) +
8
( ln 2) +
8
( ln 2) +
8
( ln 2) +
8
( ln 2) +
8
( ln 2) +
2
2
4
4
8
8
16
16
32
→ ODP = 3,
0 336
Zadanie 7
P( X
≤ z ≤ X
= Q k n p − Q l n p
k: n
p
l: n )
( , , )
( , , )
n
Q( k, n, p) = ∑ n i n− i
p 1
( − p)
i
i= k
1
U nas: p =
, k = ,
3 l = 7, n = 10
2
1
1
10
10
ODP =
10
10
Q 1
,
3
,
0
− Q7 1
, ,
0
= ∑ 10
10
5
,
0
− ∑
5
,
0
=
2
2
i
i
i=3
i=7
10 10 10 10
8 9 10
7 8 9 10
6 7 8 9 10
10
⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
=
10
+
+
+
5
,
0
=
+ 2 ⋅
+
5
,
0
=
3 4 5 6
6
24
120
= (120 + 420 + 252) 1
792
99
=
=
1024
1024
128
Zadanie 8
10
L = ∏ f ( y x
i
i >
)1
i=1
t 1
+∫3 2 3−
x e x
θ
θ
dx
P(
P
< X < t +
X −1 < t X > ) 1
(
)
1
1
1
=
=
P( X > )
1
P( X > )
1
∞
3
∞
=
3
x
w
∞
2
− x
θ
1
P( X > t) = ∫ 3 x θ e dx =
= ∫3
− w
θ
− w
θ
− t
θ e dw = − e
= e θ
2
[
]
3
3
t
x dx = dw
t
3
3
3
t
P(
3
( t
)
1
X −
e
e
1 < t X > )
−θ +
1 −
− (
−θ
1 −
)
θ
− ( t+ 3
)
1
θ
+
1 =
= 1−
θ
−
e
e
f ( y x
eθ e θ
θ
t
θ t
eθ e θ
i
i >
)
3
3
− ( t+ )
1
2
2
− ( t+ )
1
1 =
⋅ (
3 + )
1
= 3 ( + )
1
10
θ
θ
L = (
y
3 e
θ )10 (
i
y
e
i +
)
3
2
− ∑( + )
∏
1
1
i=1
10
10
ln L = 10 ln(3 e
θ θ )+ 2∑ln( y
θ
y
i +
)1− ∑( i + )3
1
i=1
i=1
3
∂
10
10
+ θ −θ ∑ yi +
=
+10 − ∑( y
θ
i +
)
10 10
3
(
)1
10
ˆ
1
= 0 →
= 0 → = 10
∂θ
θ
θ
i 1
=
∑( yi + )
1 3 −10
i 1
=
<
P( X < t X > t =
= − − − →
przesunięty wykładniczy
i
i
) P(1
3
X
t
3
i
)
θ ( t )
1
P( X >
i
)
1 e
wykl(θ )
1
;
1
10
10
→ ∑ 3
X
θ
X
θ
i
≅ Γ(1 ;
0
1
; 0) p
rzesunie y
t → ∑ 3 i −10 ≅ Γ 1
( ;
0
)
i=1
i=1
10
P θ
< c
= 9
,
0
,
5 gdzi
e X ≅ Γ 1
( ;
0 θ )
X
10 c
θ
10
20
10
θ
P(
c
X
θ < 1 c
0 )
c
=
9
θ
t
P X <
= ∫
− x
x e
dx = x
θ = = ∫ 2
χ (2 )
0 = 9
,
0 5 →
θ
Γ 1
(
)
0
2
0
0
→ 20 c = 3 ,
1 41 → c ≈ 5
,
1 7
Zadanie 9
P( Y ≤ 3 =
0
) 1
dl
a n ≥ 2
P( Y
P Y
X
P X
P Y
X
P X
n ≤ 3) =
( n ≤ 3 n = 4) ( n = 4)+ ( n ≤ 3 n < 4) ( n < 4)=
3
= P(min( Y , X
−
≤ 3 X < 4
n 1
n )
n
)
4 1
4
4
4
4
4
2
4
4
4
4
4
3
A
A = P(min(
1
Y
X
X
n− ,
1
n ) ≤
,
3
n < 4) ⋅ P( X
4
n
) =
<
= [ P(
1
Y
X
P Y
X
n−1 ≤
,
3
n < 4) +
( n−1 > ,3 n ≤ 3)] P( X 4
n
) =
<
P( Y
P X
P Y
P X
n−
≤
n <
+
n−
>
n ≤
1
)3 (
4)
( 1 )3 (
)3
=
P(
= P Y
P Y
n−
≤ + −
n−
≤
=
X n < 4)
( 1 )3 (1 ( 1 )3 1
→ P( Y
ciąg stały
n ≤
) 3
3 = 4
3
Czyli lim P( Y
n ≤ 3) =
n→∞
4
Zadanie 10
Przy H : Y ≅ N x 0
i
( i )1
;
Przy H : Y
N
x
i ≅
i −
1
(2
)1
;
1
1 n
n
( Y 2 x
2
1
i −
i +
)
f
exp
1 =
− ∑
2Π
2
i=1
1 n
n
( Y x 2
i −
i )
f
exp
0 =
− ∑
2Π
2
i=1
n
n
− ∑( Y
x
Y
x
i − 2 i +
)12 + ∑( i − i )
2
f 1
i=1
i=
= ex
p
1
f
2
0
∑( Y 2 2
2
2
4
4 2
2
4
1
i
− x Y
i
i + xi
− Yi + x Y
i
i −
xi − Yi + xi − )
f
1
i=1
P
H
> t = PH
> t =
0
0
f 0
2
n
∑(
2 x Y
i
i − 3
2
xi − 2 Yi −1 + 4 xi )
i 1
=
= P
H
> t = ,
0 05
0
2
1
4
4
4
4
4
2
4
4
4
4
4
3
Z
Przy H :
0
n
n
EZ = 2∑ x
n
x 2
i −
− ∑ i
i=1
i=1
n
var Z = ∑ (2 x
2
2
i −
)
i=1
Szukamy t:
n
n
2∑ x n
x 2
i −
− ∑
1
P
W
t
,
0 0 ,
5 gdzie W
N
1
;
2 x
2
1
2
H (
i
n
> )
=
≅
i=
i=
∑( i − )
0
2
4
i=1
n
n
2
2
∑ x n
x
i −
− ∑ i
i 1
=
i 1
t −
=
2
→
= ,1645
1 ∑ n(2 xi − 2)2
2
i 1
=
∑ n(
n
n
2 x Y
x
Y
x
x
n
x
i
i − 3
2
i
− 2 i −1+ 4 i )
2
2
n
∑ i − − ∑
1
i
ODP : i=
> ,1645 ⋅
∑(2 x
i − 2)2
1
i 1
=
i 1
=
+
2
2
i 1
=
2
n
n
n
∑ (
2 x Y
x
Y
x
x
n
x
i
i − 3
2
i
− 2 i −1+ 4 i ) 2
2
∑ i − − ∑ i
i 1
=
i 1
=
i 1
=
−
⋅ 2
2
2
> ,
1 645
∑ n(2 xi − 2)2
i 1
=
n
n
n
n
n
2∑ x Y
x
Y
n
x
x
n
i
i − 2
2
∑ i − 2∑ i − + 4∑ i − 2∑ i +
i 1
=
i 1
=
i 1
=
i 1
=
i 1
=
> ,
1 645
∑ n(2 xi − 2)2
i 1
=
n
n
n
2∑ x Y
x
Y
x
i
i − 2
2
∑ i − 2∑ i + 2∑ i i 1
=
i 1
=
i 1
=
i 1
=
> ,
1 645
∑ n(2 xi − 2)2
i 1
=
∑ n( Y x x
i −
i )( i −
)1
i 1
=
> ,
1 645
∑ n(1− xi )2
i 1
=