Egzamin dla Aktuariuszy z 5 czerwca 2006 r.
Prawdopodobieństwo i Statystyka
Zadanie 1
(
) (
)
(
)
(
)
Z
Y
X
E
Z
E
Z
Z
Y
X
EE
Z
Y
X
E
2
2
2
2
2
2
)
(
)
(
)
(
−
=
−
=
−
E(X-Y)=0
Var(X-Y)=varX+varY-2cov(X,Y)=4+1-2=3
Cov(X-Y,Z)=cov(X,Z)-cov(Y,Z)=2-1=1
(
)
Z
Z
Y
X
E
4
1
=
−
z regresji
(
)
4
11
3
12
11
3
4
3
1
1
var
=
⋅
=
⋅
−
=
−
Z
Y
X
(
)
14
3
11
4
3
16
1
4
4
11
16
1
4
11
16
1
4
11
)
(
2
4
2
2
2
2
2
=
+
=
⋅
⋅
+
⋅
=
+
=
+
=
−
EZ
EZ
Z
Z
E
Z
Y
X
E
(
)
1
0
1
0
2
)
,
cov(
)
,
cov(
)
(
=
−
−
+
=
−
−
+
=
−
=
−
EYEZ
Z
Y
EXEZ
Z
X
EYZ
EXZ
Z
Y
X
E
var((X-Y)Z)=14-1=13
Zadanie 2
(
)
(
)
(
)
4
4
6
6
i
4
10
10
7
7
10
=
=
≤
=
≤
=
=
S
P
S
S
P
S
S
P
ODP
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
4
5
,
0
1
4
4
7
1
4
6
1
4
6
10
10
10
10
7
10
7
10
7
=
−
=
=
=
∧
=
−
=
=
>
−
=
=
≤
S
P
S
P
S
S
P
S
S
P
S
S
P
(
)
(
)
(
)
10
10
10
10
10
5
,
0
4
4
5
,
0
1
4
−
=
=
=
−
=
=
S
P
S
P
S
P
ODP
(
)
4
10
=
S
P
- moŜliwe tylko gdy 7x jedynka 3razy –1
Z tego:
(
)
10
10
10
10
2
120
2
6
10
9
8
2
7
10
4
=
⋅
⋅
⋅
=
=
=
S
P
1024
119
2
1
120
10
=
−
=
ODP
Zadanie 3
(
)
1
5
ˆ
1
1
+
+
Π
=
θ
i
θ
x
θ
L
(
)
∑
+
+
−
=
i
θ
x
θ
θ
L
1
ln
)
1
(
ln
5
ln
1
ˆ
(
)
(
)
∑
∑
+
=
→
=
+
−
=
∂
∂
i
i
x
θ
x
θ
θ
1
ln
5
ˆ
0
1
ln
5
1
1
analogicznie:
(
)
∑
+
=
i
y
θ
1
ln
4
ˆ
2
(
)
(
)
∫
−
−
+
≅
−
=
+
=
−
<
=
<
+
1
0
1
)
(
1
)
1
(
1
)
1
ln(
t
e
t
θ
θ
t
θ
wykl
e
x
θ
e
X
P
t
X
P
∑
Γ
≅
+
)
1
ln(
X
dla X mającego rozkład gamma:
(
)
∫
∫
Γ
≅
Γ
=
Γ
=
<
−
−
θ
t
t
w
x
θ
e
θ
w
θ
e
x
θ
t
X
θ
P
0
0
5
4
5
4
5
)
1
,
5
(
)
5
(
)
5
(
(
)
∑
Γ
≅
+
)
1
,
4
(
1
ln
i
y
θ
dla X mającego rozkład gamma(n,1)
)
2
(
)
2
(
2
n
χ
t
X
P
≅
<
teraz dla
)
10
(
),
8
(
2
2
χ
X
χ
Y
≅
≅
}
299
,
0
35
,
3
1
)
95
,
0
(
1
10
8
5
4
ˆ
ˆ
)
8
,
10
(
)
10
,
8
(
2
1
≅
=
=
<
=
<
=
<
≅
F
F
kw
a
X
Y
P
a
X
Y
P
a
θ
θ
P
(
)
072
,
3
)
95
,
0
(
05
,
0
)
10
,
8
(
ˆ
ˆ
)
10
,
8
(
2
1
=
→
=
>
=
>
F
kw
a
F
P
b
θ
θ
P
Zadanie 4
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (
)
b
III
P
III
A
P
b
II
P
II
A
P
b
I
P
I
A
P
b
A
P
2
2
2
2
+
+
=
( ) ( )
( ) ( )
(
) (
)
)
2
(
)
(
2
2
,
)
2
(
)
(
2
2
,
)
2
(
)
(
2
2
b
P
III
P
III
b
P
b
III
P
b
P
II
P
II
b
P
b
II
P
b
P
I
P
I
b
P
b
I
P
=
=
=
3
1
3
1
10
1
10
3
10
6
3
1
2
5
2
2
2
5
2
3
2
5
2
4
)
2
(
=
+
+
=
+
+
=
b
P
( )
( )
(
)
10
1
2
,
10
3
3
1
3
1
10
3
2
,
5
3
3
1
3
1
5
3
2
=
=
=
=
=
b
III
P
b
II
P
b
I
P
30
15
2
1
50
1
6
18
10
1
5
1
10
3
5
2
5
3
5
3
=
=
+
+
=
+
+
=
ODP
Zadanie 5
2
2
2
2
2
1 Z
V
Y
V
Z
V
Y
ZV
X
−
=
−
=
=
)
1
,
0
(
∈
V
∆
=
−
∈
<
+
=
:
)
1
,
1
(
1
2
2
2
2
Z
Y
X
X
Z
2
2
1
1
Z
V
y
Z
VZ
Z
y
Z
V
x
V
z
X
−
=
∂
∂
−
−
=
∂
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
(
)
0
1
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
≠
−
=
−
+
−
=
−
+
−
=
−
−
−
=
Z
V
Z
V
Z
Z
V
Z
V
Z
Z
V
Z
Z
VZ
Z
V
D
)
1
,
0
(
),
1
,
1
(
1
2
)
,
(
2
∈
−
∈
−
Π
=
V
Z
Z
V
V
Z
f
∫
−
Π
=
∈
=
Γ
Π
⋅
Π
=
−
Π
=
1
1
2
)
1
,
0
(
2
2
)
5
,
0
(
2
2
1
2
)
(
v
v
v
dz
z
v
v
f
8
7
6
Zadanie 6
i
X - czas oczekiwania na i-ty numer
1
1
=
X
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
6
5
4
3
2
1
X
E
X
E
X
E
X
E
X
E
ODP
+
+
+
+
+
=
i
X czas oczekiwania na sukces z
6
7
i
p
−
=
(
)
−
−
=
=
−
6
7
6
1
1
i
i
k
X
P
k
i
- przesunięty geometryczny
Z tego:
i
i
i
i
i
i
i
i
EX
i
−
=
−
−
+
−
=
+
−
−
=
+
−
−
=
7
6
7
7
1
1
7
1
1
7
6
6
1
7
,
14
20
14
2
12
4
6
5
6
12
6
2
6
3
6
4
6
5
6
1
=
+
+
=
+
+
=
+
+
+
+
+
=
ODP
Zadanie 7
(
)
(
)
...
0
2
1
4
4
3
3
2
2
1
1
1
=
−
+
+
+
=
∂
∂
X
m
X
a
X
a
X
a
X
a
E
a
