Egzamin dla Aktuariuszy z 5 grudnia 2005 r.

Prawdopodobieństwo i Statystyka

Zadanie 1

N – ilość którzy doszli do 3 etapu P(K+M=k)=P(N=n-k)

2

 

2

2

4

P(dojdzie do 3 etapu)= 1

( − θ) =   =

 5 

25

n− k

k

k

n

k

n− k

k

 n



 4 

 21

 n 1 25 4 21

 n 4

21

P( K + M = k) =













=  

=  

2 n

k

k

2 n

 n − k 

 25 

 25 

 k  5

4

25

 k 

5

Zadanie 2

L = 40

θ

1

( −

120

40

θ)

P

( T ≥ 6) = 40

θ

1

( −

120

θ)

[ θ 1(− 6

θ) + θ 1

( − θ) + .. ]60

7

.

=

360

−

40

120

60 1

(

θ)

40

480

= θ 1

( − θ)

θ

= θ 1

( − θ)

60

θ

ln L = 40 ln θ + 480 ln 1

( − θ)

∂

40

480

40 1

( − θ) − 480 θ

− 520 θ + 40

40

1

ˆ

=

−

=

=

= 0 → θ =

=

∂ θ

θ

1 − θ

θ 1

( − θ)

θ 1

( − θ)

520

13

Zadanie 3

∑( Z

i − Z )2 = ∑

2

Zi −

2

Z

n

Z ≅ N ( ;

0 2 2

σ )

Z = X − Y

i

i

i



2 

2 σ

X − Y = X − Y





Z ≅ N ;

0





15 















2





Z





Z

2 

P

> c = P

> c =



1

2

1

2



∑( Zi − Z )



2



+15 Z





∑( Zi − Z )

2



+ Z



 15



 15



2







 Z 15 

















2 σ 





2

X

= P

2





>

 ∑(

= 

>

,



2

2

Z − Z







 +



i

)

c

P

c

gdzie

Y

X

Z 15







+











2 σ 2





2 σ 



2

X ≅ χ

)

1

( ,

2

Y ≅ χ 1

( 4

)

i n

z

l

 }

≅ F 1

;

1

(

4)







14 X

14 2

c

14 2





= P

>

→

c

= 6

,

4

→ c ≈ ,

0 4973

 Y

1

2

− c 

1

2

−





c





Zadanie 4

p ≅ J (

)

1

,

0

P(

+

7 ×

P

T

12)

(

7 w 1

2

T

)

=

P(

7 w 1

2)

1 12

121

12

LICZ = ∫

7

5

8

2

3

4

5

1

1

10

10

5

1



 p 1

( − p) p =  ∫ p (1− 5 p +10 p −10 p + 5 p − p )





=   − + − + − 

 7 

 7 

7 9

2

11

12

13

14 

0

0

1 12

12

MIAN = ∫

1 5 10 10

5

1 

7

5



 p 1

( − p) =   − +

−

+

− 

7 

7 8

9

10

11

12

13

0

LICZ

8

=

MIAN

14

Zadanie 5

(∑ X 2, X - STAT dostateczna i zupełna i

∑ i )

2



σ 

weźmy naturalnie: ˆ µ = X , 2

σ = S, X ≅ N  ; µ

 i

X , S n

zl







9 

≅ t(8)





 4

6

4

7 8

 (



X − µ)3

3



8 



E

= 0 → E = E

 g

dzi

e

2

X ≅ χ

)

8

(









S

S

 σ X 









∞

∞





7 −



8 

E

=

1

8

1

1

3

x / 2

8

1

x / 2





∫

−

x e

=

x

e

0,5

4

∫

2

−

=

 σ X 

σ

x

2 Γ

4

( )

4

σ

2 Γ( )

4

0

0

∞

7 −

x

1 −

= 8

1

1

8

)

5

,

3

(

1

x

e

dx 2

)

5

,

3

(

)

5

,

3

(

4

∫

,

3 5

Γ

2

2

⋅

Γ

=

=

Γ

→

σ 2 Γ

,

3 5

( )

4

2

Γ

)

5

,

3

(

2 σ Γ( )

4

3 σ

0

 3 µ 

→

3 µ 1

µ

E

 =

Γ

)

5

,

3

(

= Γ

)

5

,

3

(

→

 S 

σ 3

σ

 3 X 

µ

 3 X 

µ

→ E

 =

Γ

)

5

,

3

(

→ E

 =

i statystyka dostateczna i zupełna

 S 

σ

 SΓ

)

5

,

3

(



σ

Z tego odpowiedź (B) jest prawidłowa Zadanie 6

N - liczba kostek w III rundzie 3

N

- liczba kostek w II rundzie

2

3

P( )

A = ∑ P( A k ) P( N

k

3 =

)

k =0

P(

3

N

k

P N

k N

m P N

m

3 =

) = ∑ ( 3 = 2 = ) ( 2 = )

m= k

P(

1

N = 0 =

2

) 36

2

P(

3 5  1 

15

N = 1 =

 

 

=

2

)

3

1  6  6 

6

2

P(

3 

 5  1

75

N = 2 =

 

 

=

2

)

3

 2 

 6  6

6

3

P(

3 

 5 

125

N = 3 =

 

 

=

2

)

3

3 

 6 

6

P( N = 0 N = 0 =

3

2

) 1

P( N = 0 N = =

3

2

) 1

1

6

P(

1

N = 0 N = 2 =

3

2

) 26

P(

1

N = 0 N = 3 =

3

2

) 36

P( N = 1 N = =

3

2

) 5

1

6

P( N = 1 N = 2 = ⋅

3

2

)

5 1

2 6 6

P(

 5 

 1 

N = 1 N = 3 = 3







3

)

2

2

 6 

 6 

P(

 5 

N = 2 N = 2 =  

3

)

2

2

 6 

P(

2

 

N = 2 N = 3 =  

3

2

) 5 1

3 6 6

P(

 5 

N = 3 N = 3 =  

3

)

3

2

 6 

P(

1

1 15

1 75

1 125

1331

N = 0 =

+

+

+

=

3

) 3

3

2

3

3

3

6

6

6 6

6 6

6

6

6

P(

5 15

10 75

15 125

9075

N = 1 =

+

+

=

3

)

2

2

3

3

3

6

6 6

6 6

6

6

6

P(

25 75

75 125

20625

N = 2 =

+

=

3

) 2 3 3 3

6

6 6

6

6

6

P(

125 125

15625

N = 3 =

=

3

)

3

3

6

6

6

6

P( A = 1

)

P( N

P N

P N

P N

3 =

)+ 1

1

( 3 = )+ 1

2

( 3 = 3)+1⋅ ( = 0) =

6

62

63

36 ⋅ 9075 + 6 ⋅ 20625 + 15625 + 63 ⋅1331

=

≈ 0

,

0 75

69

Zadanie 7

ODP = nE( X max 1

= t)

E( X max = t = E X X = t P X =

+ E X X < t P X < 1

) ( 1 1 ) (

max

1

) ( 1 1 ) (

max

1

)

1

3

1

3

1

3

E(

t

X X

3

1

1 < t ) = ∫ x 3

4

4

P(

t

t

t

X

4

4

4

1 < t ) =

=

=

t

3

0

∫

t

3 x 2

0

1

3

−1 4 + 3 − 3

+ 3

E( X max = t =

+

=

=

1

)

n

t

tn

t

t

tn

t

t

n

4

n

4 n

4 n

t 1

( + n

3 )

n

3 + 1

ODP = n

=

t

4 n

4

Zadanie 8

 

var(

n

∑ Z X = n var Z X + 2

cov Z X , Z X

i

i )

( i i )   ( i i j j )

 2

E( Z X =

= 1

= 1 +

= −1

= −1 = 1

( − ) + (− ) =

− 2

i

i )

E( Z X Z

i

i

i

) P( Zi ) E( Z X Z

i

i

i

) P( Zi

) µ

p

µ p

µ

p

µ

E( 2 2

Z X

=

=

+

i

i )

E( 2

X i )

2

2

σ

µ

var( Z X =

+

− −

i

i )

2

2

σ

µ

( µ 2 p

µ )2

E( Z Z X X =

= −

+

i

j

i

j )

EZ EZ E

i

j

( X Xi j)

2

1

(

2 p) [ 2

2

ρσ

µ ]

ODP = n[ 2

σ + 2

µ − ( µ −

2

2 p

µ ) ]+ n( n − ) 1 ([1− 2 p)2 ( 2

ρσ + 2

µ )− ( µ − 2 p µ )2 ]=

= n[ σ 2 + µ 2 − µ 2 + 4 µ 2 p − 4 µ 2 p 2 ]+ ( n 2 − n)[ ρσ 2 + µ 2 − 4 pρσ 2 − 4 pµ 2 + 4 p 2 ρσ 2 + 4 p 2 µ 2 − µ 2 + X ]

gdzie

2

2

2

X = 4 µ p − 4 µ p 2

= nσ (1+ ( n − )1 ρ 1(− 2 p)2 )+ 4 2

nµ p 1

( − p)

Zadanie 9

− θ∑ x

n

i

− θ

n

+

+

+

− +

f ( θ x)

f ( x θ) f ( θ) θ e

9

3

e

θ

n

3

(

T ) 2

1

(3 T )

=

=

= θ

e

θ ≅ Γ( n + 3

,

2 + T )

f ( x)

∞

Γ( n + 2)

∫9 n 1+ −(3 T+)

θ

e

θ

0

α = n + 2

Γ( n + 2)

MIAN =

= 9

n+2

β = 3 + T

3

( + T )

E(

n

θ − a

e

x)

+2

− 

a

3 + T 

= e 



 3 + T −1

n

 +  +

−

+

E( L x)

2

a

3 T

n

2

= e 



−

+ a −1 = f ( a)

 2 + T 

3 + T

n+2

n+2

− 

a

3 + T 



a

3 + T 

f (

′ a) = − e 



+1 = 0 → e = 



 2 + T 

 2 + T 

3 + T

a = ( n + 2) ln

2 + T

Zadanie 10







1



− x

e



x 2







− x +



2

2

 2Π



x

 2



P

> t

2



= P

e

> t = P − x +

> ln

t 

x 2











−



2



2

 2Π 

1







e 2



 2Π





x 2

 2





1. x <

0 P x +

> ln

t 







2

 2Π 

 2



→ ∆ = 1+ 2ln

t  w obu przypadkach taka sama

 x 2

 2



 2Π 



2. x >

0 P

− x > ln

t 





 2

 2Π 

dla 1: x

x

dla 2: x

x

3 = 1 −

∆, 4 = 1+ ∆

1 = −1 −

∆, 2 = −1+ ∆

z tego x najmniejsze więc równe –1,9

1

Z tego:

 2



−1− 1+ 2ln

t  = − 9

,

1

 2Π 

 2



1 + 2 ln

t  = 8

,

0 1

 2Π 

 2



2 ln

t  = − 1

,

0 9

 2Π 

ln(...) = − ,

0 095

∆ = 1− 2 ⋅ ,

0 095 = 8

,

0 1 → x = − ,9

,

1

x = −

;

1

,

0

x =

;

1

,

0

x = 9

,

1

∆ =

1

2

3

4

9

,

0

K = (− ;

∞ − 9

,

1 ) ∪ (−

)

1

,

0

;

1

,

0

∪

;

9

,

1

(

∞)

P ( K ) ≈ 1

,

0 37

0