Egzamin dla Aktuariuszy z 5 grudnia 2005 r.
Prawdopodobieństwo i Statystyka
Zadanie 1
N – ilość którzy doszli do 3 etapu P(K+M=k)=P(N=n-k)
2
2
2
4
P(dojdzie do 3 etapu)= 1
( − θ) = =
5
25
n− k
k
k
n
k
n− k
k
n
4
21
n 1 25 4 21
n 4
21
P( K + M = k) =
=
=
2 n
k
k
2 n
n − k
25
25
k 5
4
25
k
5
Zadanie 2
L = 40
θ
1
( −
120
40
θ)
P
( T ≥ 6) = 40
θ
1
( −
120
θ)
[ θ 1(− 6
θ) + θ 1
( − θ) + .. ]60
7
.
=
360
−
40
120
60 1
(
θ)
40
480
= θ 1
( − θ)
θ
= θ 1
( − θ)
60
θ
ln L = 40 ln θ + 480 ln 1
( − θ)
∂
40
480
40 1
( − θ) − 480 θ
− 520 θ + 40
40
1
ˆ
=
−
=
=
= 0 → θ =
=
∂ θ
θ
1 − θ
θ 1
( − θ)
θ 1
( − θ)
520
13
Zadanie 3
∑( Z
i − Z )2 = ∑
2
Zi −
2
Z
n
Z ≅ N ( ;
0 2 2
σ )
Z = X − Y
i
i
i
2
2 σ
X − Y = X − Y
Z ≅ N ;
0
15
2
Z
Z
2
P
> c = P
> c =
1
2
1
2
∑( Zi − Z )
2
+15 Z
∑( Zi − Z )
2
+ Z
15
15
2
Z 15
2 σ
2
X
= P
2
>
∑(
=
>
,
2
2
Z − Z
+
i
)
c
P
c
gdzie
Y
X
Z 15
+
2 σ 2
2 σ
2
X ≅ χ
)
1
( ,
2
Y ≅ χ 1
( 4
)
i n
z
l
}
≅ F 1
;
1
(
4)
14 X
14 2
c
14 2
= P
>
→
c
= 6
,
4
→ c ≈ ,
0 4973
Y
1
2
− c
1
2
−
c
Zadanie 4
p ≅ J (
)
1
,
0
P(
+
7 ×
P
T
12)
(
7 w 1
2
T
)
=
P(
7 w 1
2)
1 12
121
12
LICZ = ∫
7
5
8
2
3
4
5
1
1
10
10
5
1
p 1
( − p) p = ∫ p (1− 5 p +10 p −10 p + 5 p − p )
= − + − + −
7
7
7 9
2
11
12
13
14
0
0
1 12
12
MIAN = ∫
1 5 10 10
5
1
7
5
p 1
( − p) = − +
−
+
−
7
7 8
9
10
11
12
13
0
LICZ
8
=
MIAN
14
Zadanie 5
(∑ X 2, X - STAT dostateczna i zupełna i
∑ i )
2
σ
weźmy naturalnie: ˆ µ = X , 2
σ = S, X ≅ N ; µ
i
X , S n
zl
9
≅ t(8)
4
6
4
7 8
(
X − µ)3
3
8
E
= 0 → E = E
g
dzi
e
2
X ≅ χ
)
8
(
S
S
σ X
∞
∞
7 −
8
E
=
1
8
1
1
3
x / 2
8
1
x / 2
∫
−
x e
=
x
e
0,5
4
∫
2
−
=
σ X
σ
x
2 Γ
4
( )
4
σ
2 Γ( )
4
0
0
∞
7 −
x
1 −
= 8
1
1
8
)
5
,
3
(
1
x
e
dx 2
)
5
,
3
(
)
5
,
3
(
4
∫
,
3 5
Γ
2
2
⋅
Γ
=
=
Γ
→
σ 2 Γ
,
3 5
( )
4
2
Γ
)
5
,
3
(
2 σ Γ( )
4
3 σ
0
3 µ
→
3 µ 1
µ
E
=
Γ
)
5
,
3
(
= Γ
)
5
,
3
(
→
S
σ 3
σ
3 X
µ
3 X
µ
→ E
=
Γ
)
5
,
3
(
→ E
=
i statystyka dostateczna i zupełna
S
σ
SΓ
)
5
,
3
(
σ
Z tego odpowiedź (B) jest prawidłowa Zadanie 6
N - liczba kostek w III rundzie 3
N
- liczba kostek w II rundzie
2
3
P( )
A = ∑ P( A k ) P( N
k
3 =
)
k =0
P(
3
N
k
P N
k N
m P N
m
3 =
) = ∑ ( 3 = 2 = ) ( 2 = )
m= k
P(
1
N = 0 =
2
) 36
2
P(
3 5 1
15
N = 1 =
=
2
)
3
1 6 6
6
2
P(
3
5 1
75
N = 2 =
=
2
)
3
2
6 6
6
3
P(
3
5
125
N = 3 =
=
2
)
3
3
6
6
P( N = 0 N = 0 =
3
2
) 1
P( N = 0 N = =
3
2
) 1
1
6
P(
1
N = 0 N = 2 =
3
2
) 26
P(
1
N = 0 N = 3 =
3
2
) 36
P( N = 1 N = =
3
2
) 5
1
6
P( N = 1 N = 2 = ⋅
3
2
)
5 1
2 6 6
P(
5
1
N = 1 N = 3 = 3
3
)
2
2
6
6
P(
5
N = 2 N = 2 =
3
)
2
2
6
P(
2
N = 2 N = 3 =
3
2
) 5 1
3 6 6
P(
5
N = 3 N = 3 =
3
)
3
2
6
P(
1
1 15
1 75
1 125
1331
N = 0 =
+
+
+
=
3
) 3
3
2
3
3
3
6
6
6 6
6 6
6
6
6
P(
5 15
10 75
15 125
9075
N = 1 =
+
+
=
3
)
2
2
3
3
3
6
6 6
6 6
6
6
6
P(
25 75
75 125
20625
N = 2 =
+
=
3
) 2 3 3 3
6
6 6
6
6
6
P(
125 125
15625
N = 3 =
=
3
)
3
3
6
6
6
6
P( A = 1
)
P( N
P N
P N
P N
3 =
)+ 1
1
( 3 = )+ 1
2
( 3 = 3)+1⋅ ( = 0) =
6
62
63
36 ⋅ 9075 + 6 ⋅ 20625 + 15625 + 63 ⋅1331
=
≈ 0
,
0 75
69
Zadanie 7
ODP = nE( X max 1
= t)
E( X max = t = E X X = t P X =
+ E X X < t P X < 1
) ( 1 1 ) (
max
1
) ( 1 1 ) (
max
1
)
1
3
1
3
1
3
E(
t
X X
3
1
1 < t ) = ∫ x 3
4
4
P(
t
t
t
X
4
4
4
1 < t ) =
=
=
t
3
0
∫
t
3 x 2
0
1
3
−1 4 + 3 − 3
+ 3
E( X max = t =
+
=
=
1
)
n
t
tn
t
t
tn
t
t
n
4
n
4 n
4 n
t 1
( + n
3 )
n
3 + 1
ODP = n
=
t
4 n
4
Zadanie 8
var(
n
∑ Z X = n var Z X + 2
cov Z X , Z X
i
i )
( i i ) ( i i j j )
2
E( Z X =
= 1
= 1 +
= −1
= −1 = 1
( − ) + (− ) =
− 2
i
i )
E( Z X Z
i
i
i
) P( Zi ) E( Z X Z
i
i
i
) P( Zi
) µ
p
µ p
µ
p
µ
E( 2 2
Z X
=
=
+
i
i )
E( 2
X i )
2
2
σ
µ
var( Z X =
+
− −
i
i )
2
2
σ
µ
( µ 2 p
µ )2
E( Z Z X X =
= −
+
i
j
i
j )
EZ EZ E
i
j
( X Xi j)
2
1
(
2 p) [ 2
2
ρσ
µ ]
ODP = n[ 2
σ + 2
µ − ( µ −
2
2 p
µ ) ]+ n( n − ) 1 ([1− 2 p)2 ( 2
ρσ + 2
µ )− ( µ − 2 p µ )2 ]=
= n[ σ 2 + µ 2 − µ 2 + 4 µ 2 p − 4 µ 2 p 2 ]+ ( n 2 − n)[ ρσ 2 + µ 2 − 4 pρσ 2 − 4 pµ 2 + 4 p 2 ρσ 2 + 4 p 2 µ 2 − µ 2 + X ]
gdzie
2
2
2
X = 4 µ p − 4 µ p 2
= nσ (1+ ( n − )1 ρ 1(− 2 p)2 )+ 4 2
nµ p 1
( − p)
Zadanie 9
− θ∑ x
n
i
− θ
n
+
+
+
− +
f ( θ x)
f ( x θ) f ( θ) θ e
9
3
e
θ
n
3
(
T ) 2
1
(3 T )
=
=
= θ
e
θ ≅ Γ( n + 3
,
2 + T )
f ( x)
∞
Γ( n + 2)
∫9 n 1+ −(3 T+)
θ
e
θ
0
α = n + 2
Γ( n + 2)
MIAN =
= 9
n+2
β = 3 + T
3
( + T )
E(
n
θ − a
e
x)
+2
−
a
3 + T
= e
3 + T −1
n
+ +
−
+
E( L x)
2
a
3 T
n
2
= e
−
+ a −1 = f ( a)
2 + T
3 + T
n+2
n+2
−
a
3 + T
a
3 + T
f (
′ a) = − e
+1 = 0 → e =
2 + T
2 + T
3 + T
a = ( n + 2) ln
2 + T
Zadanie 10
1
− x
e
x 2
− x +
2
2
2Π
x
2
P
> t
2
= P
e
> t = P − x +
> ln
t
x 2
−
2
2
2Π
1
e 2
2Π
x 2
2
1. x <
0 P x +
> ln
t
2
2Π
2
→ ∆ = 1+ 2ln
t w obu przypadkach taka sama
x 2
2
2Π
2. x >
0 P
− x > ln
t
2
2Π
dla 1: x
x
dla 2: x
x
3 = 1 −
∆, 4 = 1+ ∆
1 = −1 −
∆, 2 = −1+ ∆
z tego x najmniejsze więc równe –1,9
1
Z tego:
2
−1− 1+ 2ln
t = − 9
,
1
2Π
2
1 + 2 ln
t = 8
,
0 1
2Π
2
2 ln
t = − 1
,
0 9
2Π
ln(...) = − ,
0 095
∆ = 1− 2 ⋅ ,
0 095 = 8
,
0 1 → x = − ,9
,
1
x = −
;
1
,
0
x =
;
1
,
0
x = 9
,
1
∆ =
1
2
3
4
9
,
0
K = (− ;
∞ − 9
,
1 ) ∪ (−
)
1
,
0
;
1
,
0
∪
;
9
,
1
(
∞)
P ( K ) ≈ 1
,
0 37
0