Egzamin dla Aktuariuszy z 3 grudnia 2007 r.
Prawdopodobieństwo i Statystyka
Zadanie 1
(
)
4
2
2
4
4
2
2
1
σ
S
σ
S
E
σ
ER
+
−
=
(
)
)
9
(
2
2
2
χ
σ
X
X
i
≅
−
∑
(
)
(
)
(
)
(
)
( )
(
)
4
2
2
4
4
2
2
2
2
2
2
2
2
4
99
,
0
9
9
2
1
1
σ
n
σ
σ
σ
X
X
E
n
X
X
n
E
ES
i
i
=
+
⋅
=
−
=
−
=
∑
∑
2
2
2
9
,
0
9
1
σ
σ
n
ES
=
=
19
,
0
1
8
,
1
99
,
0
10
9
2
99
,
0
1
4
2
2
4
4
2
=
+
−
=
+
⋅
−
=
σ
σ
σ
σ
σ
ER
Zadanie 2
{
}
(
)
( )
n
t
n
e
t
P
t
X
X
P
−
−
=
>
−
=
<
1
)
(min
1
,...,
min
1
( )
)
(
1
min
n
wykl
ne
e
e
n
f
tn
t
n
t
≅
=
=
−
−
−
−
(
)
∑
∑
∞
=
∞
=
=
−
+
=
=
=
1
1
2
1
1
1
1
1
)
(
,...,
min
i
i
i
i
e
e
e
i
i
i
i
N
P
X
X
E
ODP
∑
∑
∞
=
∞
=
−
+
=
−
+
=
1
1
2
2
1
1
1
1
1
!
)!
1
(
1
i
i
i
i
e
e
e
i
i
e
e
e
i
i
i
logarytmiczny:
)
1
,
0
(
,....
2
,
1
,
)
1
ln(
1
)
(
∈
=
−
−
=
=
c
k
k
c
c
k
M
P
k
Z tego:
∑
∑
∞
=
∞
=
=
=
−
→
=
−
−
−
1
1
1
1
1
1
1
1
1
ln
1
1
i
i
i
i
i
e
e
e
e
i
e
e
4
4 8
4
47
6
∑
∞
=
=
+
−
=
+
−
−
−
=
+
−
=
1
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
i
i
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
ODP
1
2
1
)
1
1
(
1
−
=
=
+
−
=
e
e
e
e
Zadanie 3
(
)
(
)
(
)
5
,
0
var
var
var
,
cov
2
1
2
1
2
1
S
S
S
S
S
S
−
−
+
=
rozkład hipergeometryczny:
(
)
832
1995
39
21
40
40
25
1
40
25
21
var
2
1
=
−
−
⋅
=
+
S
S
64
135
39
13
40
40
25
1
40
25
13
var
1
=
−
−
⋅
=
S
39
60
39
8
40
40
25
1
40
25
8
var
2
=
−
−
⋅
=
S
4
5
52
65
156
195
624
780
2496
3120
2496
3840
5265
5985
39
60
64
135
832
1995
−
=
−
=
−
=
−
=
−
=
−
−
=
−
−
8
5
2
1
4
5
−
=
−
=
ODP
Zadanie 4
k=5,6,...
(
) (
)
)
4
(
)
(
4
4
=
=
=
=
=
=
=
X
P
k
Y
P
k
Y
X
P
X
k
Y
P
(
) (
)
(
)
=
=
=
=
=
=
=
1)
-
k
w
pika
bylo
nie
(
1
-
k
w
pika
bylo
nie
,
4
1
-
k
w
pika
bylo
nie
4
4
P
X
P
X
P
k
Y
X
P
−
=
⋅
−
=
−
−
−
4
1
3
2
39
52
52
26
13
4
1
1
1
5
4
k
k
k
k
k
k
k
4
1
4
3
52
13
52
39
)
(
1
1
−
−
=
=
=
k
k
k
Y
P
∑
∑
∞
=
∞
=
+
+
−
−
=
⋅
=
−
+
=
=
−
=
−
=
=
5
0
5
4
4
4
1
1
2
1
2
4
1
2
1
4
3
4
1
3
2
1
5
5
4
1
4
3
3
2
4
1
)
4
(
k
n
n
n
k
k
n
n
n
k
k
X
P
(
)
k
k
k
k
k
k
k
k
k
X
k
Y
P
−
−
=
−
−
=
⋅
−
=
=
=
−
−
−
2
1
5
1
2
1
2
1
5
1
2
4
1
4
3
4
1
3
2
4
1
1
1
∑
∑
∞
=
∞
=
=
+
=
−
+
+
=
=
−
=
−
−
=
5
0
5
10
5
5
2
1
2
1
1
5
)
5
(
5
2
1
5
1
k
n
n
k
n
n
n
n
k
k
k
k
ODP
Zadanie 5
(
)
(
)
(
)
Y
T
Y
T
P
k
N
P
Y
T
Y
T
P
N
P
Y
T
P
N
P
k
k
>
≤
=
=
>
<
=
=
>
=
=
+
1
2
1
1
,
)
(
,
)
1
(
)
0
(
)
,
(
λ
k
Z
k
Γ
≅
∫ ∫
∫
∞
∞
−
−
−
−
−
=
+
−
−
=
=
=
0 0
0
2
2
2
2
1
1
)
0
(
x
x
β
x
β
x
λ
x
λ
y
β
β
e
β
e
β
x
β
e
λ
dydx
e
λ
ye
β
N
P
∫
∞
+
−
+
−
−
+
=
+
−
−
−
+
+
=
+
−
+
−
=
−
−
=
0
2
2
2
2
2
2
)
(
)
(
)
(
2
)
(
1
β
λ
β
β
λ
λβ
λ
βλ
β
λβ
λ
β
λ
λ
β
λ
βλ
e
λ
e
λ
x
β
e
λ
x
β
λ
x
β
λ
x
λ
=
>
−
>
=
Γ
≅
≅
≅
=
>
+
<
=
=
−
−
−
−
)
0
(
)
(
)
,
(
)
(
1
2
Z
Y
X
P
e
t
k
λ
Z
ye
β
Y
e
λ
X
Y
X
Z
Y
Z
P
k
N
P
t
λ
k
k
y
β
x
λ
4
4 8
4
4 7
6
4
8
47
6
II
I
X
Z
Y
P
Z
Y
P
X
Z
Y
P
Z
Y
P
)
(
)
(
)
(
)
0
(
+
>
−
>
=
>
−
−
>
−
=
∫ ∫
∫
∞ ∞
∞
−
−
−
−
−
−
−
=
+
Γ
=
Γ
0
0
2
1
2
1
2
1
)
(
)
(
.
z
z
β
z
β
z
λ
k
k
z
λ
k
k
y
β
e
β
e
β
z
e
z
k
λ
β
dydz
e
z
k
λ
ye
β
I
∫
∫
∞
∞
+
+
+
−
−
+
−
+
+
+
=
+
Γ
Γ
+
+
+
Γ
Γ
=
Γ
+
Γ
=
0
0
1
1
)
(
1
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
1
(
)
(
)
(
)
(
k
k
k
k
k
k
k
k
z
β
λ
k
k
z
β
λ
k
k
β
λ
λ
β
λ
λ
β
k
β
λ
k
k
λ
β
λ
k
β
k
λ
e
z
k
λ
e
z
β
k
λ
∫ ∫
∫
∞ ∞
∞
−
−
−
+
−
+
−
=
+
+
Γ
=
+
Γ
0
0
2
1
2
1
2
1
)
1
(
)
1
(
.
x
x
β
x
β
x
λ
k
k
x
λ
k
k
y
β
e
β
e
β
x
e
x
k
λ
β
dydx
e
x
k
λ
ye
β
II
∫
∞
+
−
+
+
−
+
+
=
+
Γ
+
+
Γ
=
0
)
(
1
)
(
1
1
)
1
(
)
1
(
x
β
λ
k
k
x
β
λ
k
k
e
x
k
λ
e
x
k
λ
β
1
1
2
1
1
1
2
1
)
(
)
(
)
1
(
)
(
)
1
(
)
1
(
)
(
)
2
(
)
1
(
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
=
+
+
Γ
+
Γ
+
+
+
Γ
+
Γ
=
k
k
k
k
k
k
k
k
β
λ
λ
β
λ
λ
k
β
β
λ
k
k
λ
β
λ
k
k
λ
β
=
+
−
+
−
+
−
+
+
+
=
=
+
+
+
+
+
+
+
1
1
2
1
2
1
1
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
β
λ
λ
β
λ
βλ
β
λ
λ
k
β
β
λ
λ
β
λ
λ
β
k
k
N
P
=
+
−
+
−
+
−
+
+
+
=
)
(
)
(
)
(
1
)
(
2
2
β
λ
λ
β
λ
βλ
β
λ
λ
k
β
β
λ
β
k
β
λ
λ
k
k
=
+
−
−
−
+
+
+
+
+
=
...
)
(
2
)
(
)
(
2
2
β
λ
λ
βλ
λ
k
β
β
λβ
λ
β
λ
β
k
β
λ
λ
k
k
k
k
k
β
λ
λ
β
λ
β
k
β
λ
k
β
β
λ
λ
+
+
+
=
+
+
+
=
2
2
2
)
1
(
)
(
)
1
(
)
(
dla k=0 = P(N=0) czyli odpowiedź (A) jest prawidłowa
Zadanie 6
n
t
c
t
P
t
P
4
1
)
(min
1
)
(min
−
=
>
−
=
<
4
5
4
1
4
)
(
−
=
=
<
∫
t
c
dx
x
c
t
X
P
t
c
1
4
4
1
4
4
min
4
4
+
−
−
=
⋅
=
n
n
n
n
t
nc
nt
c
f
∫
∞
−
∞
+
−
−
−
=
−
=
−
=
=
c
n
n
c
n
n
n
n
n
nc
n
c
nc
n
t
nc
t
nc
E
1
4
4
)
1
4
(
4
4
1
4
4
min
1
4
4
1
4
4
4
4
n
n
a
c
n
nc
a
ET
4
1
4
1
4
4
1
−
=
→
=
−
=
∫
∞
∞
=
=
−
=
=
c
c
c
c
c
x
c
x
c
EX
3
4
3
4
3
4
4
3
4
3
4
4
4
c
c
n
n
X
E
3
4
3
4
1
=
⋅
=
4
3
3
4
2
=
→
=
=
b
c
c
b
ET
(
) (
)
2
1
2
1
2
2
2
2
2
2
c
cT
T
E
c
cT
T
E
R
+
−
−
+
−
=
(
)
(
)
(
)
n
n
n
X
X
E
X
X
X
X
E
+
+
+
+
+
=
+
+
...
...
var
...
1
2
1
2
1
(
)
∑
=
=
+
+
2
1
9
2
var
...
var
c
n
X
X
X
i
n
∫
∞
∞
=
=
−
=
=
c
c
c
c
c
x
c
x
c
EX
2
2
4
2
4
3
4
2
2
2
2
4
4
2
2
2
2
9
2
9
16
18
9
16
2
var
c
c
c
c
X
=
−
=
−
=
(
)
2
2
2
2
2
2
1
9
16
9
2
3
4
9
2
...
c
n
nc
nc
c
n
X
X
E
n
+
=
+
=
+
+
2
2
2
9
16
9
2
c
n
c
X
E
+
=
∫
∞
−
∞
−
−
−
=
−
=
−
=
=
c
n
n
c
n
n
n
n
n
nc
n
c
nc
n
x
nc
x
nc
E
2
4
4
)
2
4
(
4
)
4
2
(
4
4
min
2
2
4
4
2
4
4
1
4
4
2
=
+
−
−
−
−
−
−
+
−
+
=
2
2
2
2
2
2
1
4
4
4
1
4
2
2
4
4
4
1
4
3
4
4
3
2
9
16
9
2
16
9
c
n
nc
n
n
c
n
nc
n
n
c
c
c
c
n
c
R
=
+
−
−
−
−
+
−
+
=
2
2
2
2
2
2
2
2
4
8
4
2
4
)
1
4
(
2
8
c
n
nc
n
c
n
n
c
c
c
n
c
(
)
=
−
−
+
−
−
+
−
−
=
n
n
n
n
c
n
nc
c
n
n
n
c
4
)
2
4
(
)
2
4
(
4
)
2
4
(
8
1
8
16
8
2
2
2
2
2
)
1
2
(
4
)
1
(
)
2
4
(
8
)
1
(
4
)
2
4
(
8
)
2
2
4
(
)
2
4
(
4
8
2
2
2
2
2
−
−
=
−
−
=
−
−
−
=
−
−
=
n
n
n
c
n
n
n
c
n
n
n
c
n
n
c
n
c
Zadanie 7
(
)
x
θ
θ
x
θ
L
−
=
2
1
)
,
(
x
θ
θ
x
θ
θ
x
θ
θ
2
ˆ
0
2
2
1
3
3
2
=
→
=
+
−
=
+
−
=
∂
∂
(
)
t
x
θ
θ
x
x
λ
>
−
=
0
2
0
1
2
)
(
(
)
2
,
0
4
0
2
0
0
=
>
−
t
x
θ
x
θ
P
θ
(
)
∫
∫
−
−
=
−
+
+
=
<
<
−
=
<
0
0
2
2
2
2
]
;
0
[
2
)
(
1
)
(
1
)
(
t
t
θ
θ
t
θ
t
x
θ
θ
x
θ
θ
t
X
t
P
t
X
P
2
2
2
θ
t
θ
x
f
−
=
x
x
=
:
−
+
=
−
−
=
→
>
+
−
2
)
1
(
1
2
,
)
1
(
1
2
0
4
4
2
1
2
2
t
t
θ
x
t
t
t
θ
x
θ
x
θ
t
tx
(
) (
)
∫
∫
=
−
→
=
−
−
=
−
+
−
=
>
+
<
1
2
0
2
2
2
1
8
,
0
)
1
(
2
,
0
)
1
(
1
2
2
2
2
x
θ
x
t
t
t
t
t
t
θ
t
θ
θ
t
θ
x
X
P
x
X
P
)
4
;
0
(
8
2
1
16
2
4
2
2
2
1
θ
t
θ
t
θ
θ
t
θ
f
θ
∈
−
=
−
=
θ
θ
x
1
,
0
2
,
0
2
1
=
=
(
)
θ
θ
x
9
,
0
8
,
0
1
2
2
=
+
=
∫
∫
=
=
−
+
−
=
θ
θ
θ
θ
t
θ
θ
t
θ
moc
1
,
0
0
4
9
,
0
2
2
65
,
0
...
8
2
1
8
2
1
Zadanie 8
( )
( )
∫
→
Π
θ
θ
d
X
θ
θ
θ
L
min
,
ˆ
(
) (
)
(
)
n
n
n
X
X
f
θ
f
θ
X
X
f
X
X
θ
f
,...,
)
(
,...,
,...,
1
1
1
=
(
)
∫
∞
−
−
−
=
Γ
Π
=
∑
0
1
1
)
(
2
,...,
2
θ
d
e
θ
α
β
e
x
θ
X
X
f
βθ
α
α
x
θ
i
n
n
n
i
(
)
(
)
∫
∑
∑
∞
+
+
−
−
+
+
+
Γ
Π
Γ
=
+
=
+
=
=
Π
Γ
=
∑
0
2
2
1
)
(
2
)
(
2
)
(
2
α
n
i
i
n
α
i
x
β
θ
α
n
i
n
α
x
β
α
n
x
α
β
x
β
β
α
n
α
θ
d
e
θ
x
α
β
i
(
)
(
)
=
+
Γ
Π
+
Γ
Γ
Π
=
+
−
−
−
∑
∑
)
(
2
)
(
)
(
2
,...
2
1
1
2
α
n
x
β
x
β
α
e
θ
α
β
e
x
θ
X
X
θ
f
i
n
α
α
n
i
βθ
α
α
x
θ
i
n
n
n
i
(
)
(
)
)
(
2
1
2
α
n
x
β
e
θ
α
n
i
β
x
θ
α
n
i
+
Γ
+
=
+
+
−
−
+
∑
∑
( )
( )
(
)
(
)
∫
∑
∞
+
−
−
+
+
=
+
Γ
+
−
=
∑
0
1
2
2
2
)
(
ˆ
ˆ
θ
d
e
θ
α
n
x
β
θ
θ
e
θ
L
β
x
θ
α
n
α
n
i
θ
c
i
(
)
(
)
∫
∑
∑
∞
−
+
−
−
+
+
=
−
+
=
+
=
=
+
Γ
+
+
−
=
∞
=
>
∑
0
2
1
2
2
2
calka
inaczej
bo
0
byc
musi
to
2
)
(
ˆ
ˆ
2
c
β
x
β
α
n
α
e
θ
α
n
x
β
θ
θ
θ
θ
i
c
β
x
θ
α
n
α
n
i
i
48
47
6
(
)
(
) (
)
(
)
+
−
+
+
−
−
+
+
+
+
−
+
+
Γ
+
Γ
+
=
∑
∑
∑
∑
+
+
2
2
2
2
2
2
ˆ
ˆ
2
)
1
)(
(
)
(
)
(
θ
c
β
x
α
n
θ
c
β
x
α
n
α
n
c
β
x
α
n
α
n
x
β
i
i
α
n
i
α
n
i
( )
[ ]
...
ˆ
2
2
α
n
i
i
c
β
x
x
β
θ
L
+
−
+
+
=
∑
∑
∑
∑
∑
∑
−
+
+
=
→
=
+
−
+
+
−
−
+
+
=
∂
∂
+
c
β
x
α
n
θ
θ
c
β
x
α
n
c
β
x
x
β
θ
i
i
α
n
i
i
2
2
2
2
ˆ
0
ˆ
2
)
(
2
ˆ
min
0
2
ˆ
2
2
2
2
→
>
⋅
−
+
+
=
∂
∂
+
∑
∑
α
n
i
i
c
β
x
x
β
θ
Zadanie 9
[
]
[
]
y
x
y
F
y
f
x
F
y
F
x
f
x
F
s
n
r
s
r
n
y
x
f
s
n
r
s
r
rs
≤
−
−
−
−
−
−
=
−
−
−
−
)
(
1
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)!
(
)!
1
(
)!
1
(
!
)
,
(
1
1
A
y
x
y
x
=
≤
∈
:
)
2
,
0
(
,
A
na
2
1
2
1
2
1
2
)
,
(
12
=
⋅
=
X
Y
f
∫ ∫
=
=
2
0 0
1
2
)
(
y
dxdy
xy
YX
E
∫ ∫
=
=
2
0 0
3
2
2
y
dxdy
x
EX
∫ ∫
=
=
2
0 0
3
4
2
y
dxdy
y
EY
9
1
9
8
1
3
4
3
2
1
)
,
cov(
=
−
=
−
=
Y
X
Zadanie 10
)
(
0
k
P
H
- rozmiar testu
przy
0
H prawdopodobieństwo każdego ustawienia X<Y<X<... jest takie samo
ilość wszystkich ustawień = 9!
5
4
3
1
6
4
2
1
5
4
2
1
7
3
2
1
6
3
2
1
5
3
2
1
4
3
2
1
7
6
5
4
3
2
1
lub
13
:
≤
S
K
5
6
7
9
4
6
8
9
5
6
8
9
3
7
8
9
4
7
8
9
5
7
8
9
6
7
8
9
7
6
5
4
3
2
1
27
≥
S
Z tego: dla każdego 4!5!
RAZEM=4!5!14
63
7
9
1
9
8
7
6
14
24
!
9
14
!
5
!
4
=
=
⋅
⋅
⋅
⋅
=
⋅
=
ODP
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
2007.12.03 prawdopodobie stwo i statystyka
1998 10 03 prawdopodobie stwo i statystykaid 18585
2000 12 09 prawdopodobie stwo i statystykaid 21582
2010 12 13 prawdopodobie stwo i statystykaid 27016
2003.12.06 prawdopodobie stwo i statystyka
2005.12.05 prawdopodobie stwo i statystyka
2003 12 06 prawdopodobie stwo i statystykaid 21710
2008 12 15 prawdopodobie stwo i statystykaid 26466
2007 05 14 prawdopodobie stwo i statystykaid 25652
2007.10.08 prawdopodobie stwo i statystyka
1998.12.05 prawdopodobie stwo i statystyka
2007.05.14 prawdopodobie stwo i statystyka
1996.12.07 prawdopodobie stwo i statystyka
2008.12.15 prawdopodobie stwo i statystyka
1998 12 05 prawdopodobie stwo i statystykaid 18587
2000.12.09 prawdopodobie stwo i statystyka
2010.12.13 prawdopodobie stwo i statystyka
1998.10.03 prawdopodobie stwo i statystyka
więcej podobnych podstron