Egzamin dla Aktuariuszy z 6 grudnia 2003 r.

Prawdopodobieństwo i Statystyka Zadanie 1

O – 0

OR – 1

ORR – 2

p - średni czas przejścia z 0 do 2 = x – szukana średnia 02

p

- średni czas przejścia z 1 do 2

12

x = E(⋅ O)1 + E(⋅ R)1

2

2

E(⋅ O) = 1+ x E(⋅ R) = 1+ p 12

1

1

1

1

p 12 =

+ E (′⋅ O) = + 1

( + x)

2

2

2

2

E (′⋅ O) = 1+ x 1

1 

1

1



x =

1

( + x) + 1 +

+ 1

( + x)

2

2 

2

2



1

1

1

x −

x −

x =

+1

2

4

2

1

3

x =

4

2

3

x =

⋅ 4 = 6

2

Zadanie 2

∞

P( Y ≤ y) = ∑ P( Y ≤ y N = n) P( N = n) n=0

y

P(

n

Y ≤ y N = n)

−

+

= 1− P( Y > y N = n) (

)

1

= 1− µ

e

∞ 

− y

yn

y

( n+



)

1

n

∞

n

−

−

λ

λ

P( Y ≤ y) = ∑

µ



−

1 −

λ

e

e

= 1− ∑

− λ

µ

µ

e e

e

=





n

n

n=

!

!

0

n=





0



n

− y 



µ 

e

λ



y

y 





 y 

−



y

λ exp

λ exp







 −  ∞

−

 − 

−

µ

− λ

 µ 

=

y

1 − e

e e

∑ 



 µ 

 

µ





e

= 1− exp λ e

−1 −

!

n

 



µ 

n=0

 





Zadanie 3

6

4

4

4

4

nzl 7

z

teorii

4

4

4

4

8

k

SST = SSW +

n X

X

i (

i −

)2

∑

i 1

=

SSW

k

=

SSW

2

SSW ≅ χ 2 ( n − k), ∑ n X

X

χ 2 ( k

)

1

i (

i −

) ≅

−

k

SST

2

SSW + ∑ n X

X

i=1

i (

i −

)

i=1



X



czyli: E

 gdzie:

 X + Y 



2

n − k 1 



2

k − 1 1 

X ≅ χ ( n − k) ≅ Γ

; , Y ≅ χ ( k − ) 1 ≅ Γ

;  i nzl

 2

2 

 2

2 

n − k



X



2

n − k

E

 =

=

- patrz: książka Wojciecha Otto

 X + Y  n − k k −1

n −1

+

2

2

Zadanie 4



1 

S ≅ Γ n; 



µ 

E( ˆ µ − µ)2

2

2

2

2

2

2

= ˆ µ

E

− 2 ˆ µ

E

µ

+ µ = n( n + ) 1 µ a − 2 µ an + µ

2

2

2

E ˆ µ = n( n + ) 1 µ a

Eµˆ = anµ

b

2 2

µ n

1

a

= −

=

=

min

2 a

2( n + )

1

2

nµ

n + 1

Zadanie 5

−ln Ui ≅ wykl )1(

− ∑

ln U i ≅ Γ( n )

1

,



n 



 1  

P U

U

P

U

n

P

U

n

1 ⋅ ⋅ ⋅

n ≤ 



= (∑ln i ≤ − ln3)= (− ∑ln i ≥ ln3) =







 3  

=



u

4

6

4

7 8 

 − ∑





2

ln U

n

i −



u

CTG

− x



n ln 3 − n 



n ln 3 − n 

=

1

P

≥

= 1− P U

1

e 2 dx

0

n ≤

→ −





∫

→



n

n



n

Π





2

−∞





czyli odpowiedź (B) jest prawidłowa

Zadanie 6

n

n

+

+

1

L = θ [ θ 1

( − θ)] 2

2 3

n

1

n

2

n

2

n

2 3

1

( − θ)

= θ

1

( − θ)

n

ln L = ( n + n θ + n + n

− θ

1

2 )ln

(

2

2

3 )ln 1

(

)

∂

n

n

n

n

n

n

θ

n

n θ

1 +

2

2 + 2 3

( 1 + 2) 1(− ) − ( 2 + 2 3)

=

−

=

= 0 →

∂ θ

θ

1 − θ

θ 1

( − θ)

→ ( n + n + n + 2 n θ = n + n 1

2

2

3 )

1

2

n + n

n + n

1

2

1

2

θ =

=

n + 2 n + 2 n 2 n − n

1

2

3

1

f ′(0) = ∞

θˆ = θ

0 < θ < 1

Zadanie 7

P(

6

1 6 5

5 4

4 3

3 2

2 1

70

35

5

B

B

P B

B i P( i)

1 ∩

2 ) = ∑

( 1 ∩ 2 )





= 

+

+

+

+

 =

=

=

i=

6  7 6

7 6

7 6

7 6

7 6 

252

126

18

1

P(

1 6

5

4

3

2

1

21

1

B

P B i P( i)

1 )

6

= ∑ ( 1 )





=  + + + + +  =

=

i=

6  7

7

7

7

7

7 

42

2

1

5

5

ODP =

⋅ 2 =

18

9

Zadanie 8

∑( Xi− µ)2

−

1

2 2

σ 2

e

∑( Xi− µ)2

2 



2 1

σ 

10

2

 −

1

2 

σ 2

= C ⋅

2 1

σ



2 σ 2 

e

→ STAT =

X

µ

2

∑( i − )2

∑( Xi− µ)

−

1

2 2

1

e

σ

10

σ 1

test najmocniejszy jednostajnie jest taki sam jak dla 2

σ = 4

0

i

P (

2





(

∑

∑

X

µ

X

i − µ)

−

2



t 

> t = P

>

=

→ t =

⋅ =

0

)

(

)

0

,

0 5

18 3

, 07 4

7 ,

3 228

0 

4

4 









2

2

7 ,

3 228

7 ,

3 228

moc:





P ∑ X

i − µ

>

= P χ

>

≥

→

≤

1 (

(

) 7 ,3228)

1

( 0)

9

,

0 5

9

,

3 4

1 

2



2



σ

σ

1



1

2

7 ,

3 228

σ ≥

≈ 18 5

, 8

1

9

,

3 4

Zadanie 9

2

Z poprzedniego zestawu ∑ n i ( X i − X )

≅ χ( k − )

1

Przez analogię:

1

X =

∑ X n

i

i

∑ w

−

i ( X

X

i

w )2

n

→

≅ χ )

9

(

1

2

X

X

σ

i =

∑ ij

ni

P( 2

χ

9

( ) > b) = ,

0 05 → a = 3,

3 2 ,

5 b = 16 9

, 19 → odpowiedź (B) jest prawidłowa P( 2

χ

9

( ) < a) = ,

0 05

Zadanie 10

P(max( U ,..., U

1

)≤ t) n

= t

n

1

−

f

= n

nt

max

max(

U U

max U ,..., U

U ,..., U

0

0

1

0

n )



>

(

n )

= max( U ,..., U U max U ,..., U

1

n )

0 <

( 1

n )

E(max U 0 ) = E( U U , U

0

0

0 > max( U ,..., U

P max

U

E max U ,.., U

U , U

max U ,.., U

1

n )

(

< 0 )+ (

( 1

n )

0

0 <

( 1

n ) ⋅

⋅ P( U < max

0

( U ,..., U

1

n )

1

n+1

n+1

=

n

n

n

nU

1

n

n U

U P max U ,.., n

U

U

nt

U

U

0

(

( 1

n ) <

0 ) + ∫

+1

0

+1

+

= 0 +

−

=

0

+

=

0

n + 1

n + 1

n + 1

n + 1

n + 1

U 0