Egzamin dla Aktuariuszy z 5 grudnia 1998 r.
Prawdopodobieństwo i Statystyka Zadanie 1
4 – na jednej
4
4
4 ⋅ 33 +
32
+
3
+ 1
2
3
175
=
64
1296
Zadanie 2
P( S 2 S ) 1 = P( S 2 d ) P( d S ) 1 + P( S 2 z) P( z S ) 1 = ,
0 2 ⋅ 6
,
0
+ ,
0 4 ⋅ ,
0 4 = ,
0 28
P( d S ) P( S 1 d ) P( d)
,
0 2 ⋅ ,
0 75
1 =
=
= ,
0 6
P( S )
1
,
0 25
P( z S ) P( S 1 z) P( z)
,
0 4 ⋅ ,
0 25
1 =
=
= ,
0 4
P( S )
1
,
0 25
P( S )
1 = ,
0 2 P( d ) + ,
0 4 P( z) = ,
0 2 ⋅ ,
0 75 + ,
0 4 ⋅ ,
0 25 = ,
0 25
Zadanie 3
Błąd bo:
P( A ∪ B ∪ C) 2
= 3 P( )
A − 3 P
P( A ∪ B) 2
= 2 P − P
Z tego:
2
2
3 P − 3 P ≥ 2 P − P
3 − 3 P ≥ 2 − P
1
2 P ≤ 1 → P ≤
musi tak być i wynika odpowiedź (A) 2
Zadanie 4
∞
∞
∑
k −
5
,
0 ⋅ ,
0 25 ⋅
1
,
0 75
k = k −1 = n = ∑ 1
,
0 25 ⋅ ,
0 75 n ( n + )
1 =
k =1
n=0
X = ,
0 75 + 2 ⋅ ,
0 752 + ...
X ⋅ ,
0 75 = ,
0 752 + 2 ⋅ ,
0 753 + ...
2
,
0 75
X ⋅ ,
0 25 = ,
0 75 + ,
0 75 + ... =
= 3
,
0 25
X = 12
1
= 1
,
0 2512 +
= 1
,
0 25 ⋅16 = 2
,
0 25
10
− x
P(max ≤ x) = 1
5
− e
= 9
,
0 5
− x
0 1
,
5
1 − e
= 9
,
0 5
− x
0 1
,
5
e
= 1− 9
,
0 5
− x = ln(
0 1
,
1 − 9
,
0 5
)
5
x = −5ln(1− 9
,
0 50 1
, )≈ 26 3
, 77
Zadanie 6
1
0,5
1
∫ P( X < 5, 0
y) f ( y) dy = ∫ + ∫ 5
,
0
1
dy = 5
,
0 + [ 5
,
0 ln y]1 = 5
,
0 − 5
,
0 ln 5
,
0
≈ 8
,
0 47
0,5
y
0
0
0,5
Zadanie 7
∑ X
i ≅ UJ . DWUM ( , n q)
∞
∑ a ( n + k − )1! n k p q = p
a
k
n
k
k =
(
)
1 ! !
0
+
−
∞
∑ a ( n + k − )1! n−1 k p
q = g
1 dzie r
= n -1
a
k
n
k
k =
(
)
1 ! !
0
+
−
∞
∑ a ( n + k − 2)! n−1 k n + k −1
a
n + k −
p
q
= →
1
1
= 1 → a = n −1
a
k k n
n
a
k
n
k =
!(
2)!
1
1
0
+
−
−
+
−
Zadanie 8
n
t −
0
φ
P(max ≤ t) =
t ∈
( φ ;
0
1
φ )
−
1
φ
0
φ
−
n( t
1
− φ 0 ) n
f
=
max
( φ − φ
1
0 ) n
n
φ − t
1
P(min ≤ t) = 1 − P(min ≥ t) = 1 −
t ∈
( φ ; φ
0
1 )
φ − φ
1
0
−
n(
1
φ − t
1
) n
f
=
min
( φ − φ
1
0 ) n
1
φ xn( x −
n
φ
φ
φ 0 ) −1
1 − 0
n
E max = ∫
= x −
n
φ
t
t
φ t
0 =
=
n
∫
( + 0) −1
n
φ
φ
φ
φ
φ
( 1 − 0 )
0
( 1 − 0)
=
0
n 1
1
0
+
n
n+
n
n
t
φ t
−
−
0
n
( 1 φ φ ) 1
0
0
φ ( 1
φ
0
φ )
n
=
+
=
+
=
( − +
1
φ
0
φ )
(
φ
n
n
φ − φ
n +1
n
φ − φ
n + 1
n
n + 1
1
0 )
(
0
1
0 )
0
1
φ nx(
n
φ
φ
φ
x
1 −
) −1
1 − 0
n
E min = ∫
=
n
φ
x
t
φ
t t
1 −
= =
n
∫
( 1 − ) −1
n
φ
φ
φ
φ
φ
( 1 − 0)
0
( 1 − 0 )
=
0
φ − φ
n
n 1
1
0
+
n
n+
n
φ t
t
n
φ φ − φ
φ − φ
1
1 ( 1
0 )
( 1
) 1
0
n
=
−
=
−
=
−
−
1
φ
( 1 φ 0
φ )
(
n
n
φ − φ
n
n + 1
φ − φ
n
n + 1
n + 1
1
0 )
0
( 1 0)
n
n
a
(
1
φ − 0
φ ) + 0
φ − 1
φ +
( 1 φ − 0
φ ) = 1
φ − 0
φ →
n +1
n + 1
φ − φ
1
n + 1
1
0
→ a =
=
=
(
n
n
n − n −
n −
φ − φ
+
−
1
0 )
2
1
1
1
n +1 n + 1
n + 1
Zadanie 9
Podane informacje są sprzeczne bo dodatkowe parametry powinny zwiększać m a jest odwrotnie.
Zadanie 10
cov( X , Z = EX Z − EX EZ
i
i )
i
i
i
i
EX Z
E X Y Z
Y P Z
Y
E X Y Z
Y P Z
Y
i
i =
( i i i = i) ( i = i)+ ( i j i = j ) ( i = j )=
= (
−
−
−
2
2 (
)
1 !
2
(
)
1 !
2
2 1
2
1
σ p + µ ) n n
+ µ 1−
= ( σ p + µ ) n
− µ
n!
n!
n
n
−
+
−
cov(
2
2
2
2
1
1
1
1
X , Z
2
2
2
2
2
2
2
=
+
+
−
=
+
−
=
=
i
i )
( σ p µ )
n
µ
µ
( σ p µ )
σ p
µ
µ
σ p
µ
n
n
n
n
n
n