Egzamin dla Aktuariuszy z 6 grudnia 2003 r.
Prawdopodobieństwo i Statystyka
Zadanie 1
O – 0
OR – 1
ORR – 2
02
p - średni czas przejścia z 0 do 2 = x – szukana średnia
12
p
- średni czas przejścia z 1 do 2
( )
( )
2
1
2
1
R
E
O
E
x
⋅
+
⋅
=
( )
x
O
E
+
=
⋅
1
( )
12
1
p
R
E
+
=
⋅
( )
( )
x
O
E
x
O
E
p
+
=
⋅
′
+
+
=
⋅
′
+
=
1
)
1
(
2
1
2
1
2
1
2
1
12
+
+
+
+
+
=
)
1
(
2
1
2
1
1
2
1
)
1
(
2
1
x
x
x
1
2
1
4
1
2
1
+
=
−
−
x
x
x
2
3
4
1
=
x
6
4
2
3
=
⋅
=
x
Zadanie 2
(
)
∑
∞
=
=
=
≤
=
≤
0
)
(
)
(
n
n
N
P
n
N
y
Y
P
y
Y
P
(
)
(
)
)
1
(
1
1
+
−
−
=
=
>
−
=
=
≤
n
µ
y
e
n
N
y
Y
P
n
N
y
Y
P
∑
∑
∞
=
∞
=
−
−
−
−
+
−
=
−
=
−
=
≤
0
0
)
1
(
!
1
!
1
)
(
n
n
µ
y
µ
yn
λ
n
λ
n
n
µ
y
e
e
e
n
λ
e
n
λ
e
y
Y
P
∑
∞
=
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
=
−
=
0
exp
exp
1
exp
1
!
1
n
µ
y
µ
y
λ
n
µ
y
µ
y
λ
λ
µ
y
µ
y
e
λ
e
n
e
λ
e
e
e
Zadanie 3
(
)
4
4
4
4
8
4
4
4
4
7
6
teorii
z
nzl
1
2
∑
=
−
+
=
k
i
i
i
X
X
n
SSW
SST
(
)
∑
=
−
+
=
k
i
i
i
X
X
n
SSW
SSW
SST
SSW
1
2
(
)
∑
=
−
≅
−
−
≅
k
i
i
i
k
χ
X
X
n
k
n
χ
SSW
1
2
2
2
)
1
(
),
(
czyli:
+
Y
X
X
E
gdzie:
−
Γ
≅
−
≅
−
Γ
≅
−
≅
2
1
;
2
1
)
1
(
,
2
1
;
2
)
(
2
2
k
k
χ
Y
k
n
k
n
χ
X
i nzl
1
2
1
2
2
−
−
=
−
+
−
−
=
+
n
k
n
k
k
n
k
n
Y
X
X
E
- patrz: książka Wojciecha Otto
Zadanie 4
Γ
≅
µ
n
S
1
;
(
)
2
2
2
2
2
2
2
2
)
1
(
ˆ
2
ˆ
ˆ
µ
an
µ
a
µ
n
n
µ
µ
E
µ
µ
E
µ
µ
E
+
−
+
=
+
−
=
−
2
2
2
)
1
(
ˆ
a
µ
n
n
µ
E
+
=
µ
an
µ
E
=
ˆ
1
1
)
1
(
2
2
2
2
2
min
+
=
+
=
−
=
n
µ
n
n
n
µ
a
b
a
Zadanie 5
∑
Γ
≅
−
≅
−
)
1
,
(
ln
)
1
(
ln
n
U
wykl
U
i
i
(
) (
)
=
≥
−
=
−
≤
=
≤
⋅⋅
⋅
∑
∑
3
ln
ln
3
ln
ln
3
1
1
n
U
P
n
U
P
U
U
P
i
i
n
n
∫
∑
∞
−
−
=
→
Π
−
→
−
≤
−
=
−
≥
−
−
=
u
x
CTG
u
n
i
dx
e
n
n
n
U
P
n
n
n
n
n
U
P
0
2
1
1
3
ln
1
3
ln
ln
2
2
4
8
47
6
czyli odpowiedź (B) jest prawidłowa
Zadanie 6
[
]
3
2
2
1
3
2
1
2
2
)
1
(
)
1
(
)
1
(
n
n
n
n
n
n
n
θ
θ
θ
θ
θ
θ
L
+
+
−
=
−
−
=
(
)
(
)
)
1
ln(
2
ln
ln
3
2
2
1
θ
n
n
θ
n
n
L
−
+
+
+
=
(
)
(
)
→
=
−
+
−
−
+
=
−
+
−
+
=
∂
∂
0
)
1
(
2
)
1
(
1
2
3
2
2
1
3
2
2
1
θ
θ
θ
n
n
θ
n
n
θ
n
n
θ
n
n
θ
(
)
2
1
3
2
2
1
2
n
n
θ
n
n
n
n
+
=
+
+
+
→
1
2
1
3
2
1
2
1
2
2
2
n
n
n
n
n
n
n
n
n
θ
−
+
=
+
+
+
=
∞
=
′
)
0
(
f
θ
θ
=
ˆ
1
0
<
<
θ
Zadanie 7
(
)
(
)
∑
=
=
=
=
+
+
+
+
=
∩
=
∩
6
1
2
1
2
1
18
5
126
35
252
70
6
1
7
2
6
2
7
3
6
3
7
4
6
4
7
5
6
5
7
6
6
1
)
(
i
i
P
i
B
B
P
B
B
P
( )
( )
∑
=
=
=
+
+
+
+
+
=
=
6
1
1
1
2
1
42
21
7
1
7
2
7
3
7
4
7
5
7
6
6
1
)
(
i
i
P
i
B
P
B
P
9
5
2
18
5
=
⋅
=
ODP
Zadanie 8
(
)
(
)
(
)
(
)
∑
−
=
→
⋅
=
−
−
−
−
−
−
∑
∑
∑
2
2
2
1
2
2
10
1
2
10
2
2
2
2
1
2
1
2
2
1
2
2
2
2
1
1
µ
X
STAT
e
C
e
σ
e
σ
i
σ
σ
σ
µ
X
σ
µ
X
σ
µ
X
i
i
i
test najmocniejszy jednostajnie jest taki sam jak dla
4
2
0
=
σ
(
)
(
)
(
)
228
,
73
4
307
,
18
05
,
0
4
4
2
0
2
0
=
⋅
=
→
=
>
−
=
>
−
∑
∑
t
t
µ
X
P
t
µ
X
P
i
i
moc:
(
)
(
)
94
,
3
228
,
73
95
,
0
228
,
73
)
10
(
228
,
73
2
1
2
1
2
1
2
1
≤
→
≥
>
=
>
−
∑
σ
σ
χ
P
µ
X
P
i
58
,
18
94
,
3
228
,
73
2
1
≈
≥
σ
Zadanie 9
Z poprzedniego zestawu
(
)
∑
−
≅
−
)
1
(
2
k
χ
X
X
n
i
i
Przez analogię:
∑
∑
=
=
ij
i
i
i
i
X
n
X
n
X
n
X
1
1
(
)
)
9
(
2
2
χ
σ
X
X
w
w
i
i
≅
−
→
∑
(
)
(
)
05
,
0
)
9
(
05
,
0
)
9
(
2
2
=
<
=
>
a
χ
P
b
χ
P
→
=
=
→
919
,
16
,
325
,
3
b
a
odpowiedź (B) jest prawidłowa
Zadanie 10
(
)
(
)
n
n
t
t
U
U
P
=
≤
,...,
max
1
1
max
−
=
n
nt
f
(
)
(
)
(
)
(
)
<
>
=
n
n
n
n
U
U
U
U
U
U
U
U
U
U
U
,...,
max
,...,
max
,...,
max
,...,
max
1
0
1
1
0
0
0
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
⋅
<
+
<
>
=
n
n
n
U
U
U
U
U
U
E
U
P
U
U
U
U
U
E
U
E
,..,
max
,
,..,
max
max
,...,
max
,
max
1
0
0
1
0
1
0
0
0
0
(
)
(
)
n
U
U
U
P
,...,
max
1
0
<
⋅
(
)
(
)
∫
+
+
=
+
+
+
=
+
−
+
+
=
+
<
=
+
+
+
+
1
1
0
1
0
1
0
1
0
0
1
0
0
1
1
1
1
1
1
,..,
max
U
n
n
n
n
n
n
n
U
n
n
n
U
n
n
nU
n
n
U
nt
U
U
U
P
U
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
2003.12.06 prawdopodobie stwo i statystyka
2000 12 09 prawdopodobie stwo i statystykaid 21582
2010 12 13 prawdopodobie stwo i statystykaid 27016
2007 12 03 prawdopodobie stwo i statystykaid 25662
2009.04.06 prawdopodobie stwo i statystyka
2003.05.17 prawdopodobie stwo i statystyka
2005.12.05 prawdopodobie stwo i statystyka
2008 12 15 prawdopodobie stwo i statystykaid 26466
2003 05 17 prawdopodobie stwo i statystykaid 21698
2008.10.06 prawdopodobie stwo i statystyka
1998.12.05 prawdopodobie stwo i statystyka
2007.12.03 prawdopodobie stwo i statystyka
1996.12.07 prawdopodobie stwo i statystyka
2008.12.15 prawdopodobie stwo i statystyka
1998 12 05 prawdopodobie stwo i statystykaid 18587
2009 04 06 prawdopodobie stwo i statystykaid 26658
2003.01.25 prawdopodobie stwo i statystyka
2000.12.09 prawdopodobie stwo i statystyka
więcej podobnych podstron