Egzamin dla Aktuariuszy z 6 października 2008 r.
Prawdopodobieństwo i Statystyka
Zadanie 1
X
Y
X
Y
X
Y
var( X − Y )
1 − 1 + 2 − 2 + ... + 40 −
= var
40 = 1 40 var( X − Y ) =
40
1600
= ,
0 02 (
5 var X + var Y − 2 cov( X , Y )) = , 0 02 ( 2
2
2
5 σ + σ − 2 pσ )
2
2
= ,
0 05 σ − ,
0 05 pσ
X , Y - obserwacje gdzie obie współrzędne są znane
*
*
X −
- tylko X znane
−
Y
- tylko Y znane
var(
40
10
40
10
4
1
X − Y )
X * ⋅ + X − ⋅
Y* ⋅
+ −
Y ⋅
= var
−
= var ( X
* − Y* ) +
( X− − − Y) =
50
50
5
5
= 16 1 ⋅ 40(
1
1
var X + var Y − 2 cov( X , Y )) +
⋅10(var X + var Y ) =
25 1600
25 100
16
=
⋅ ,
0 02 ( 2
2
2
5 σ + σ − 2 pσ ) 1
2
2
2
+
⋅ 1
,
0 ⋅ 2 σ = ,
0 04 σ − ,
0 032 pσ
25
25
,
0 04 2
σ − ,
0 032
2
pσ = ,
0 05 2
σ 1
( − p)
0,04-0,032p=0,05-0,05p
0,018p=0,01
1 1000
10
5
p =
=
=
100 18
18
9
Zadanie 2
P(min( X , Y ) < t, max( X , Y ) < z) = P( U < t, V < z X < Y ) P( X < Y ) + P( U < t, V < z X > Y ) P( X > Y ) 1
4
4
4
4
4
2
4
4
4
4
4
3
1
4
4
4
4
4
2
4
4
4
4
4
3
I
II
I.
II.
t z
2
2
1
(2
)
I = ∫ ∫
3
+ z t
z
(2 − x − y) dydx =
t −
+ 2 z − t
2
2
2
0 x
dla z<t
z y
1
I = ∫ ∫ (2 − x − y) dxdy = z 2 − z 3
2
0 0
II dla z>t
t z
2
2
1
II = ∫ ∫
3
t
z
(2 − x − y) dxdy =
t − (2 + z)
+ 2 z − t
2
2
2
0 y
dla z<t
2
1 3
II = z −
z
2
F ( t, z)
3
= t − (2 + z) 2
t + (4
2
z − z ) t d
l
a t < z
∂
f ( t, z) =
F ( t, z) = 4 − 2 t − 2 z d la z
> t
∂ z∂ t
czyli odpowiedź B jest prawidłowa
Zadanie 3
stan(i+1) – i kul białych w I urnie
p - prawdopodobieństwo przejścia
ij
1 1
1
p
=
=
21
p
= 0
3 3
9
11
1 2
2 1
4
p
= 1
p
=
+
=
12
22
3 3
3 3
9
p
= 0
13
2 2
4
p
= 0
p
=
=
23
14
3 3
9
p
= 0
24
p
= 0
31
2 2
4
p
=
p
=
=
0
41
32
3 3
9
p
= 0
42
2 1
1 2
4
p
=
+
=
p
= 1
33
43
3 3
3 3
9
p
= 0
1
44
p
=
34
9
1
0
0
1 4 4
0
(
9
9
9
p , p , p , p
= p , p , p , p 1
2
3
4 )
( 1 2 3 4)
4
4
1
0
9
9
9
0
0
1
0
1 p = p
2
1
p = 9
9
p
2
1
4
4
4
p +
p +
p = p
p + 4 p + p = 9 p 1
2
3
2
1
1
3
1
9
9
9
1
→
→ ⋅ 9 p = p , p = p 1
4
4
1
4
4
4
9
p + p + p = p
p = 4 p
2
3
4
3
3
1
9
9
9
1
p = 9 p
3
1
p = p
3
4
9
1
9
1
p + p + p + p = 1 → p + 9 p + 9 p + p = 1 → p =
, p = p =
, p =
1
2
3
4
1
1
1
1
1
2
3
4
20
20
20
ODP = p P )
1
( + p P(2) + p P )
3
(
+ p P(4)
1
2
3
4
P )
1
(
= 0
1 2
2 1
4
P(2) =
+
=
3 3
3 3
9
2 1
1 2
4
P )
3
(
=
+
=
3 3
3 3
9
P(4) = 0
9 4
9 4
2
ODP =
+
=
20 9
20 9
5
Zadanie 4
f ( x, y) = n( n − ) 1 ( y − x n
) −2 d
l
a x < y, gdzie
X = min( J ,..., J
Y =
J
J
J ≅ J
1
n ),
max( ,...,
1
n ),
(
)
1
,
0
i
u nas:
X = b
( − a) J + a
i
i
ODP = corr(mi {
n b
( − a) J
, max (
)
(
) min
, (
) max
i +
}
a
{ b − a Ji + }
a ) = corr( b − a J i + a b − a
J i + a) =
= corr(min J ,max J
i
i )
n 1
f
≅ n 1
(
x) −
−
min
1
−
f
≅
n
nx
max
1
1
n+1 1
n
n
n
nx
n
E min = ∫ nx 1
( −
−1
x)
= ∫ n 1(−
−1
x) x
=
1
x −
= 1 −
=
n 1
n 1
n 1
0
0
+
+
+
0
n+1 1
n
nx
n
E max = ∫ nx =
=
n 1
n 1
0
+
+
0
1
1
n
n+1
n+2 1
2
n
n
x
x
x
E min = ∫ 2
nx 1
( −
−1
x)
= ∫ n(1− x + 2
x ) −1
x
=
2
2
n
−
+
=
n
n 1
n
2
0
0
+
+ 0
1
2
1
2
n + 3 n + 2 − 2 2
n − 4
2
n + n + n
2
= n −
+
= n
=
n
n + 1
n + 2
n( n + )
1 ( n + 2)
( n + )
1 ( n + 2)
1
n+2 1
2
n
nx
n
E max = ∫
+1
nx
=
=
n
2
n
2
0
+
+
0
2
1
2 n + 2 − n − 2
n
var(min) =
−
=
=
2
2
2
( n + )
1 ( n + 2)
( n + )
1
( n + )
1 ( n + 2)
( n + 2)( n + )
1
2
n
n
n( 2
n + 2 n + )
2
1 − n ( n + 2)
n
var(max) =
−
=
=
2
2
2
n + 2
( n + )
1
( n + 2)( n + )
1
( n + 2)( n + )
1
y
y
E(
1
1
min⋅ max) = ∫ ∫ n( n − )
1 ( y −
n−2
x)
xydxdy = y − x = t = ∫ ∫ n( n − ) 1 ( y −
n−2
t) yt
dtdy =
0 0
0 0
1
n−
y
1
n
1
n
n
= ∫
yt
t
y
y
n( n − )
1 y
− dy = ∫
n( n − )
1 y
−
=
n 1
n
n 1
n
0
−
0
0
−
1
n+2
n+2
y
y
1
1
= n( n − )
1
−
= n( n − )
1
−
=
( n + 2)( n − )
1
( n + 2) n
( n + 2)( n − )
1
( n + 2) n
0
n − n + 1
1
= n( n − )
1
=
( n + 2)( n − )
1 n
n + 2
1
1
2
n
n + 2 n + 1
2
− n − 2 n
1
cov(min, max) =
−
=
=
n + 2
n + 1 n + 1
( n + )
1 2 ( n + 2)
( n + )
1 2 ( n + 2)
1
( n + )
1 2 ( n + 2)
1
ODP =
=
n
n
( n + 2)( n + )
1 2
Zadanie 5
f (
f X , X , X , X θ f ( θ) θ X , X , X , X
=
1
2
3
4 )
( 1 2 3 4 )
f ( X , X , X , X
1
2
3
4 )
f ( X , X , X , X θ =
θ ∈
1
2
3
4
) 1 1 d l a
;
1
( 2)
4
θ
5
,
1
2
f (
1 1
1
1
2 1
1
2 8 1
7
X , X , X , X
1
2
3
4 )
2
= ∫
−
=
−
=
−
=
=
4
3
θ
5
,
1
5
,
1 3 θ
3 3
24
3 24
36
1
1
f ( θ X , X , X , X
=
=
θ ∈
1
2
3
4 )
1 2 36
24
,
1
( 2)
4
θ
3 7
7 4
θ
x
∫ 24
1
dθ =
7 θ 4
2
1
x
24
24
24
1
24
48 − 21
9
L = −
=
−
= →
=
=
21 3
θ
21
1
21 3
x
2
21 3
x
42
14
9 ⋅ 21 3
x = 14 ⋅ 24
⋅
3
14 8
16
x =
=
9 ⋅ 7
9
16
3
x =
≈ ,
1 211
9
Zadanie 6
1
− x
1
e 2
P
4
0
> t = α
x
2
−
1
e 8
2 2Π
1
2
x
1
2
x
− x +
− x +
2
2
2 t
x
t
2
8
2
8
1
2
P
e
t
P e
P
x
0
> = 0
>
=
0 −
+
> ln
2
2
2
8
2
2
1
x
2 t
2
2 t
dla x>0
P
x
P x
x
0
−
+
> ln
=
0
− 4 − 8ln
> 0
2
8
2
2
2
2
x −
t
4 x − 8ln
> 0
2
2
∆ =
t
16 + 32 ln
> 0
2
2
1
x
2 t
2
2 t
dla x<0
P
x
P x
x
0
+
> ln
=
0
+ 4 − 8ln
> 0
2
8
2
2
z tego i z załoŜeń wynika, Ŝe:
2
4 +
t
16 + 32 ln 2 = 8,3
2
2
16 +
t
32 ln
= ,
3 6
2
2
16 +
t
32 ln
= 12 9
, 6
2
2 t
ln
= − ,
0 095
2
2 t
−0,095
= e
2
2 −0,095
t =
e
2
I dla x>0 P x − x +
>
0 ( 2
4
7
,
0 6
0)
II dla x<0 P x + x +
>
0 ( 2
4
7
,
0 6
0)
∆ = 16 − 4 ⋅ ,
0 76 = 12 9
, 6
∆ = ,
3 6
dla I
4 − ,
3 6
x =
= ,
0 2
1
2
4 + ,
3 6
x =
= 8
,
3
2
2
dla II
− 4 − ,
3 6
x =
= − 8
,
3
1
2
−
4 + ,
3 6
x =
= − ,
0 2
2
2
,
3 ) ∪ (− ,
0
,
0
;
2
2) ∪ (
;
8
,
3
∞)
− ,
3 8
1
0
1
0,2
1
∞
x
x
− x
−1
ODP = ∫ 1
1
1
1
x
2
e
+ ∫
2
e
+ ∫
2
e
+ ∫
2
e
=
−∞ 4
−
4
4
4
0,2
0
,
3 8
1 − ,
3 8
1 0
1 0,2
1 ∞
x
x
− x
−
=
x
1
1
1
1
2
e
+
2
e
+ −
2
e
+ −
2
e
=
2
2
2
2
−∞
−0,2
0
,
3 8
1 − ,19
1
1 −0 1,
1
1 −0 1,
1 − ,19
− ,
1 9
−0 1
,
= e
+ − e
+ − e
+ e
= e
− e
+1 ≈ ,
0 2447
2
2
2
2
2
2
Zadanie 7
n
−∑ln3( X − θ
i
)
(ln )
3 e
P
0
> t = P
ln 3
p
rzy m
in
−∑ln ⋅3
0 ( e θ
n
> t
( X >
i )
θ )
X
n
(ln )
3 e
i
f
e θ
n ln 3 g
dy m
in
1
( Xi ) > θ
czyli
=
f 0
g
0 dy m
in( X i ) < θ
P(min( X
i ) > θ ) γ =
,
0 01
( e−ln3⋅ ) n
θ
− θn
n
θ
= 3 γ = ,
0 01 → γ = ,
0 01⋅ 3
czyli TEST: jeŜeli min( X > to z prawdopodobieństwem n
θ
γ = ,
0 01⋅ 3 odrzucamy
i )
θ
0
,
0 1⋅ 3 nθ P
X
i
> θ >
1 (min(
) ) 8,
0 1
θ
n
81
3
≥
100 = 81
100
nθ ln 3 ≥ ln 81
ln 81
ln 34
4 ln 3
4
n ≥
=
=
=
θ ln 3
θ ln 3
θ ln 3
θ
Zadanie 8
∞
P( S ≤ s = P( N = 0) + ∑ P S ≤ s N = k P( N = k) n
)
( n
)
1
k =1
4
4
4
4
4
2
4
4
4
4
4
3
X
d
ODP =
X
ds
suma wykładniczych ma rozkład gamma więc:
∞ s
X = ∑ ∫
1
k −1 − w
1 −1
w
e
dw
e
k
k
k =
(
)
1 !
!
1
−
0
∞
∞
n−1
d X = ∑ 1 −1 1
k −1 − s
− −
e
s
e
= 1 s ∑ s
e
ds
k
k
n n
k =
!
(
)
1 !
!(
)
1 !
1
−
n=1
−
Zadanie 9
To nie jest rozkład geometryczny tylko ujemny.dwumianowy(2,1-p)
∑ X
i ≅ uj. dwum(2 n 1
, − p)
∞
∑ a 2 n + k −
1
2 n
k
p
1
( − p) = p
TAK CHCEMY
a
k k
k =0
+
∞
∑ a (2 n + k − )1! 2 n−1
p
1
( − p) k = 1
a
k k
n
k =
!(2
)
1 !
0
+
−
∞
∑ a (2 n + k − 2)! 2 n−1
k 2 n + k −
p
1
( −
1
p)
= 1 tu r=2n-1
a
k k
n
n
k =
!(2
2)!
2
1
0
+
−
−
a
2 n + k −1
jeŜeli
= 1 to będzie OK.
a + k
2 n − 1
a(2n+k-1)=(a+k)(2n-1)
a(2n+k-1-2n+1)=k(2n-1)
a=2n-1
Zadanie 10
1
6
4
L = 4
X i
θ
X
e
6 (∏
i )
−
3
∑
θ
ln L = 6 ln 4 − 6 ln θ + ∑
3
X
X
i − 1
ln
∑ 4 i
θ
4
4
4
d
6
∑ X
θ
X
X
i
− 6 + ∑ i
∑
= − +
=
=
i
0 → θ =
2
2
dθ
θ
θ
θ
6
6
4
∑ Xi
czyli ˆ
1
=
θ = i
6
1
P(
4
4
1
t
x
4
t
s
t
x
s
4
X
< t)
−
4
=
−
−
= P X < t
= ∫
3
1
4
θ
x e
dx =
= ∫
θ
e
ds = 1 −
θ
e
3
θ
θ
0
4 x dx = ds
0
4
1
czyli X
≅ wykl
θ
∑
4
1
X
;
6
i
≅ Γ
θ
P( ˆ θ − θ < 1
,
0 θ )
1
1
2
= P
X − θ < 1
,
0 θ , gdzi
e X
≅ Γ ;
6
,
EX = 6 θ; var X = 6 θ
6
θ
ODP = P( X − θ
6
<
θ
6
,
0
)= P( ,5 θ 4 < X < θ 6
,
6
) =
1
6,6 θ
1
x = t
−
6,6
= ∫ θ
x
5
1
θ
x e
= θ
dx
= ∫
5 − t
t e dt =
!
5
1
120
5,4 θ
dx = dt
5,4
θ
u = 5
t v′ = −
e t
u = 4
t v′ = − t
∫
e
5 −
t e t =
= − 5 −
t e t + 5∫ 4 −
t e t =
=
u′ =
4
5 t v = − −
e t
u′ =
3
4 t v =
-t
-e
3
− t
= − 5 −
u
t v
e
t
t e
+ 5(− 4 − t
t e
+
3 −
4∫
t
t e )
=
′ =
=
=
u′ = t
3 2 v
= − − t
e
2
− t
= − 5 −
u
t v
e
t
t e
− 4 − t
t
5 e
+ 20(− 3 − t
t e
+
2 −
3∫
t
t e )
=
′ =
=
=
u′ = t
2 v
= − − t
e
− t
= − 5 −
u
t v
e
t
t e
− 4 − t
t
5 e
−
3 − t
2 t
0 e
+ 60(− 2 − t
t e
+
−
2∫
t
te )
=
′ =
=
=
u′ =
1 v
= − − t
e
= − 5 − t
t e
− 4 − t
t
5 e
−
3 − t
2 t
0 e
−
2 − t
6 t
0 e
+120(− − t
te
− − t
e ) =
5 − t
4 − t
3 − t
2 − t
− t
− t
= − t e − t
5 e
− 2 t
0 e
− 6 t
0 e
−12 t
0 e
−12 e
0
ODP = 1 [ −5,4
e
( ,545 +5⋅ ,544 +20⋅ ,543 +60⋅ ,542 +120⋅ ,54+120)−
120
6,6
− −
e
( ,665 +5⋅ ,664 +20⋅ ,663 +60⋅ ,662 +120⋅ ,66+120)]≈ 1, 0 915