Egzamin dla Aktuariuszy z 11 października 2004 r.
Prawdopodobieństwo i Statystyka
Zadanie 1
0
0
0
1
1
,
0
9
,
0
0
0
1
,
0
0
9
,
0
0
01
,
0
09
,
0
09
,
0
81
,
0
rozkład stacjonarny:
Π
=
Π
Π
=
Π
Π
=
Π
→
Π
=
Π
+
Π
+
Π
Π
=
Π
+
Π
Π
=
Π
+
Π
Π
=
Π
+
Π
1
3
1
2
1
4
4
3
2
1
3
3
1
2
2
1
1
4
1
9
,
0
9
,
0
19
,
0
1
,
0
1
,
0
01
,
0
9
,
0
09
,
0
9
,
0
09
,
0
81
,
0
1
19
,
0
9
,
0
9
,
0
1
1
1
1
=
Π
+
Π
+
Π
+
Π
1
99
,
2
1
=
Π
299
100
1
=
Π
299
90
3
2
=
Π
=
Π
299
19
4
=
Π
635
,
0
299
190
299
90
299
100
3
1
≈
=
+
=
Π
+
Π
=
ODP
Zadanie 2
(
)
(
)
∑
∞
=
=
=
=
1
)
(
k
N
N
k
N
P
k
N
NZ
E
NZ
E
)
(
1
)
(min
1
)
(min
n
α
wykl
e
t
P
t
P
nx
α
≅
−
=
>
−
=
≤
−
(
)
α
k
α
k
k
N
NZ
E
N
1
=
=
=
(
)
(
)
∑
∞
=
−
=
−
−
+
=
1
1
1
)
1
(
1
1
k
r
k
r
N
p
α
p
p
k
r
k
α
NZ
E
(
)
(
)
∑
∞
=
=
=
=
1
2
2
2
2
)
(
k
N
N
k
N
P
k
N
Z
N
E
Z
N
E
(
)
(
)
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
α
k
α
k
k
N
Z
E
k
k
N
Z
N
E
N
N
=
=
=
=
=
(
)
(
)
∑
∞
=
−
=
−
−
+
=
1
2
2
2
2
1
2
)
1
(
1
2
k
r
k
r
N
p
α
p
p
k
r
k
α
Z
N
E
(
)
(
) (
)
(
)
[
]
(
)
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
2
1
1
1
1
2
var
α
p
p
α
p
p
α
p
p
α
p
α
NZ
r
r
r
r
r
r
r
N
−
=
+
−
=
−
−
−
=
−
−
−
=
Zadanie 3
=
+
=
X
W
Y
X
Z
2
∆
=
+
<
<
<
Z
X
Z
W
0
−
=
=
2
W
U
Y
W
X
∆
∈
≠
−
=
−
=
)
,
(
0
2
1
2
1
2
1
1
0
v
u
dV
dY
dU
dY
dV
dX
dU
dX
w:=x
x
e
x
z
x
f
−
=
−
2
1
2
1
2
;
0<x<z<x+2
czyli odpowiedź (D) prawidłowa
Zadanie 4
1: 0b
Nc
2: 1b
(N-1)c
3: 2b
(N-2)c
...
...
N: (N-1)b
1c
N+1: Nb
0c
(
)
(
) ( )
∑
+
=
=
1
1
1
,
1
2
1
2
N
k
B
k
P
k
B
B
P
B
B
P
( ) ( )
)
1
(
)
(
1
1
B
P
k
P
k
B
P
B
k
P
=
( )
1
1
)
(
,
1
1
+
=
−
=
N
k
P
N
k
k
B
P
