Egzamin dla Aktuariuszy z 5 października 2009 r.
Prawdopodobieństwo i Statystyka
Zadanie 1
( )
X
N
X
X
N
X
N
S
,
3
2
2
3
,
3
,
3
3
µ
µ
δ
µ
δ
µ
µ
µ
⋅
+
⋅
+
⋅
=
4
,
2
=
=
β
α
2
1
=
=
β
α
µ
X
8
1
2
2
=
=
β
α
δ
X
16
1
2
3
,
3
=
=
β
α
µ
X
1
6
3
6
2
6
1
=
+
+
=
N
µ
3
7
6
9
6
4
6
1
2
=
+
+
=
EN
6
6
27
6
8
6
1
3
=
+
+
=
EN
(
)
( )
( )
1
1
3
3
7
3
6
3
3
3
2
2
3
3
,
3
=
−
+
⋅
−
=
−
+
−
=
−
=
N
N
N
N
N
N
EN
EN
N
E
µ
µ
µ
µ
µ
µ
3
4
1
3
7
)
(
2
2
2
=
−
=
−
=
EN
EN
N
δ
(
)
16
7
16
1
4
2
16
1
4
1
8
1
16
1
1
8
1
2
1
3
4
3
2
1
1
3
3
=
+
+
=
+
+
=
⋅
+
⋅
⋅
+
⋅
=
−
ES
S
E
Zadanie 2
X=Y+V
U=2(Y+V)+Y
U=3Y+2V
3
3
2
3
2
V
U
V
V
U
X
V
U
Y
+
=
+
−
=
−
=
{
}
V
U
V
U
V
U
V
U
Y
X
D
−
>
>
+
>
>
−
>
>
0
2
0
2
0
,
0
:
{
}
V
U
V
U
R
V
U
−
>
>
∈
>
∆
→
,
2
,
,
0
:
θ
θ
θ
ln
)
(
)
ln(
)
(
ln
ln
ln
K
n
M
K
n
k
M
K
f
−
−
−
−
+
−
=
K
nM
n
M
K
n
K
n
M
K
n
K
f
=
→
=
−
−
−
=
−
−
−
−
+
−
=
∂
∂
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
0
ln
z tego max i
K
nM
=
θ
ˆ
Zadanie 6
2
1
0
1
0
=
>
t
f
f
P
H
(
)
=
>
+
−
−
−
=
>
−
Π
+
−
Π
∑
∑
∑
∑
∑
t
X
n
X
X
P
t
X
X
P
i
i
i
H
i
n
i
n
H
8
2
exp
8
exp
2
2
1
8
1
exp
2
2
1
2
2
2
2
0
0
→
=
−
−
<
=
>
−
−
=
>
−
−
=
∑
∑
∑
5
,
0
ln
4
2
ln
8
4
8
2
exp
0
0
0
t
n
X
P
t
n
X
P
t
n
X
P
i
H
i
H
i
H
{
}
∑
<
=
→
0
i
X
K
przy
∑
−
≅
)
4
;
(
:
1
n
n
N
X
H
i
rozpatrzmy D
∫
∞
=
Π
−
−
−
Π
=
Π
⋅
0
2
8
2
8
exp
8
exp
4
exp
8
exp
2
2
1
lim
2
lim
dx
n
n
n
x
n
x
n
n
e
n
n
β
∫
∫
∫
∞
∞
∞
→
∞
∞
→
=
−
=
⋅
−
−
=
⋅
−
−
=
0
0
2
0
2
1
4
exp
4
1
4
1
4
exp
8
exp
lim
4
1
4
exp
8
exp
lim
dx
x
x
n
x
x
n
x
n
n
Zadanie 7
Z
Y
X
Z
Y
X
Z
Y
X
var
)
2
var(
)
,
2
cov(
)
,
2
cov(
+
+
=
+
zauwaŜmy, Ŝe varX=varY=varZ oraz cov(X,Y)=cov(X,Z)=cov(Y,Z)
czyli
X
Y
X
X
Y
X
ODP
var
)
,
cov(
4
var
5
)
,
cov(
3
+
=
varX obliczamy z rozkładu hipergeometrycznego dla N=60, n=24, M=20
1
var
,
1
−
−
=
−
=
N
n
N
npq
X
N
M
q
59
3
59
24
60
3
2
3
1
24
var
3
2
=
−
⋅
=
→
=
X
q
var(X+Y) obliczamy z rozkładu hipergeometrycznego dla N=60, n=24, M=40
czyli
59
3
var
)
var(
=
=
+
X
Y
X
(
)
118
3
59
3
59
3
59
3
2
1
var
var
)
var(
2
1
)
,
cov(
−
=
−
−
=
−
−
+
=
Y
X
Y
X
Y
X
2
3
54
108
2
9
54
2
59
118
9
2
1
59
3
59
18
118
9
59
3
118
12
30
118
9
59
3
118
3
4
59
3
5
118
9
−
=
−
=
−
=
−
=
−
−
=
⋅
−
⋅
−
=
ODP
Zadanie 8
(
) (
) (
)
)
(
0
z
f
N
k
N
P
k
N
z
f
z
Z
k
N
P
>
=
=
=
=
=
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
=
≥
−
=
≥
−
=
≤
=
=
≤
>
t
X
P
t
P
t
X
X
P
k
N
t
Z
P
k
k
1
min
1
,...,
min
1
0
k
dla
( )
1
,
1
1
1
θ
θ
k
Pareto
t
k
≅
+
−
=
(
)
(
) (
)
∑
∑
∞
=
∞
=
=
−
+
−
=
>
=
=
≤
=
>
≤
1
1
)
1
(
1
1
1
0
0
k
k
k
k
q
q
q
t
N
k
N
P
k
N
t
Z
P
z
t
Z
P
θ
∑
∞
=
−
−
+
−
=
−
+
+
+
−
−
=
+
−
−
=
1
1
)
1
(
1
1
)
1
(
)
1
(
)
1
(
1
)
1
(
1
1
1
)
1
(
1
k
k
k
q
t
q
t
t
t
q
t
q
q
θ
θ
θ
θ
θ
(
)
[
]
2
1
)
1
(
)
1
(
)
1
(
0
q
t
t
q
q
z
z
f
−
+
+
−
=
>
−
θ
θ
θ
(
)
[
]
[
]
1
2
1
1
2
1
)
1
(
)
1
(
)
1
(
)
1
(
)
1
(
)
1
(
)
1
(
−
−
−
+
+
−
+
=
+
−
−
+
−
+
=
=
=
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
z
q
z
kq
z
q
q
q
z
q
q
z
k
z
Z
k
N
P
k
k
k
[
] [
]
∑
∑
∞
=
∞
=
−
−
+
+
−
+
=
+
−
+
=
1
1
2
2
1
2
1
2
)
1
(
)
1
(
)
1
(
)
1
(
)
1
(
k
k
k
k
z
q
k
z
q
q
z
z
q
z
q
k
ODP
θ
θ
θ
θ
θ
(
) (
)
∑
∑
∑
∑
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
−
=
−
=
+
−
+
−
+
=
−
+
+
+
=
+
+
+
=
=
1
1
1
3
2
2
2
2
2
4
2
3
2
2
1
3
2
2
2
2
2
)
1
2
(
....
2
3
1
2
)
1
(
....
3
2
....
3
2
k
k
k
k
k
k
k
k
q
kq
q
k
q
q
q
q
A
q
q
q
Aq
q
q
q
q
k
A
2
2
3
2
1
2
)
1
(
1
....
)
1
(
....
2
....
2
q
q
B
q
q
q
q
q
B
q
q
Bq
q
q
kq
B
k
k
−
=
→
−
=
+
+
=
−
+
+
=
+
+
=
=
∑
∞
=
3
3
2
3
2
)
1
(
)
1
(
)
1
(
)
1
(
2
)
1
(
)
1
(
2
1
)
1
(
2
)
1
(
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
A
q
q
q
q
q
A
−
+
=
−
−
−
=
−
−
−
=
→
−
−
−
=
−
Z tego:
[
]
[
] [
]
[
]
=
−
+
+
+
+
+
−
+
=
+
−
+
+
+
+
−
+
=
3
3
3
2
3
2
)
1
(
)
1
(
)
1
(
)
1
(
)
1
(
)
1
(
1
)
1
(
1
)
1
(
)
1
(
)
1
(
q
z
z
q
z
q
z
q
q
z
z
q
z
q
z
q
z
q
q
z
ODP
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
[
]
q
z
q
z
−
+
+
+
=
θ
θ
)
1
(
)
1
(
Zadanie 9
(
) (
) (
) (
)
=
=
<
=
<
=
<
+
+
+
+
+
1
1
1
1
1
1
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
Z
P
X
X
Z
P
X
Z
X
Z
P
Y
Y
P
(
) (
) (
) (
)
[
]
(
)
=
=
⋅
=
<
+
=
<
=
+
+
+
1
1
0
0
1
1
1
n
n
n
n
n
n
Z
P
Z
P
X
X
P
Z
P
X
P
(
)
(
)
[
]
75
,
0
75
,
0
25
,
0
0
1
⋅
⋅
<
+
⋅
>
=
+
n
n
n
X
X
P
X
P
szukamy rozkładu stacjonarnego:
[
]
+
+
+
+
=
3
2
3
1
3
2
1
3
2
1
3
1
75
,
0
,
3
1
5
,
0
,
3
1
25
,
0
5
,
0
3
1
3
1
3
1
75
,
0
0
25
,
0
0
5
,
0
5
,
0
,
,
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
2
3
3
3
2
2
3
1
1
3
2
1
8
9
III
z
3
1
75
,
0
3
1
5
,
0
3
1
25
,
0
5
,
0
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
=
→
=
+
=
+
=
+
+
do II wstawiamy:
1
2
2
2
1
5
4
8
3
5
,
0
p
p
p
p
p
=
→
=
+
27
10
1
10
27
1
10
9
5
4
1
ale
10
9
5
4
8
9
1
1
1
1
1
3
2
1
1
1
3
=
→
=
→
=
+
+
→
=
+
+
=
=
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
3
1
27
9
27
10
10
9
,
27
8
27
10
5
4
3
2
=
=
=
=
=
p
p
(
)
(
) (
)
[
]
27
17
2
1
lim
0
lim
3
2
=
+
=
=
+
=
=
>
∞
→
∞
→
p
p
X
P
X
P
X
P
n
n
n
n
n
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
=
=
=
<
+
=
=
<
=
<
+
+
+
2
2
2
1
1
1
1
1
1
n
n
n
n
n
n
n
n
X
P
X
X
P
X
P
X
X
P
X
X
P
(
)
(
)
(
) (
)
[
]
(
)
=
=
=
=
+
=
=
+
=
=
=
=
+
+
+
2
2
0
2
1
1
1
0
1
1
1
n
n
n
n
n
n
n
n
X
P
X
X
P
X
X
P
X
P
X
X
P
(
)
(
)
(
)
(
)
2
3
2
1
4
1
2
3
1
3
1
1
4
1
=
+
=
=
=
+
+
=
=
n
n
n
n
X
P
X
P
X
P
X
P
(
)
27
8
27
6
27
2
27
9
3
2
27
8
4
1
3
2
4
1
lim
3
2
1
=
+
=
+
=
+
=
<
+
∞
→
p
p
X
X
P
n
n
n
144
41
4
3
108
41
4
3
108
24
108
17
4
3
4
3
27
8
4
1
27
17
=
=
+
=
+
=
ODP
Zadanie 10
Wyznaczamy najpierw test JNM dla weryfikacji hipotezy
0
0
:
K
wobec
:
θ
θ
θ
θ
≠
=
H
na
poziomie
α
gdzie
( )
θ
,
0
,....
1
J
X
X
n
≅
Iloraz gęstości przy
0
1
θ
θ
>
jest postaci:
(
)
(
)
(
)
≥
∞
+
∈
=
0
:
0
:
1
0
1
1
gdy
,
0
gdy
,...,
,...,
0
1
θ
θ
θ
θ
θ
θ
n
n
n
n
n
n
n
x
x
x
x
p
x
x
p
a przy
0
1
θ
θ
<
jest postaci:
(
)
(
)
( )
[
)
∈
∈
=
0
1
:
1
:
1
0
1
1
,
gdy
0
,
0
gdy
,...,
,...,
0
1
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
n
n
n
n
n
n
n
x
x
x
x
p
x
x
p
dla weryfikacji
0
1
0
0
:
wobec
:
θ
θ
θ
θ
>
=
H
H
zbiór krytyczny jest postaci:
(
)
[
)
{
}
(
)
0
0
:
1
;
0
gdzie
;
:
,...,
θ
θ
⊆
∞
∪
∈
=
A
A
x
X
X
K
n
n
n
spełnia warunek
(
)
α
θ
=
∈
A
x
P
n
n:
0
dla weryfikacji
0
1
0
0
:
wobec
:
θ
θ
θ
θ
<
=
H
H
otrzymujemy, Ŝe test o obszarze krytycznym
(
)
[
)
{
}
∞
∪
∈
=
;
)
,
0
(
:
,...,
0
:
1
θ
d
x
X
X
W
n
n
n
gdzie d spełnia
(
)
α
θ
=
<
d
x
P
n
n:
0
jest testem JNM.
Wybierając za zbiór A przedział (0,d) gdzie
n
d
1
0
α
θ
=
otrzymujemy K=W
W jest obszarem krytycznym dla testu JNM przy
0
1
0
0
:
wobec
:
θ
θ
θ
θ
≠
=
H
H
(
)
[
)
∞
∪
∈
=
;
,
0
:
,...,
0
1
0
:
1
θ
α
θ
n
n
n
n
x
X
X
W
Wiemy, Ŝe jeśli
(
)
θ
θ
θ
−
−
−
−
≅
=
≥
≅
e
J
e
Y
x
e
X
X
x
;
0
to
dla
)
(
Czyli zadanie sprowadza się do wyznaczenia testu JNM dla weryfikacji hipotezy
n
Y
Y
e
b
e
b
b
b
H
b
b
H
,...,
podstawie
na
,
gdzie
:
wobec
:
1
0
0
1
0
0
0
θ
θ
−
−
=
=
≠
=
z rozkładu J(0,b) gdzie
i
X
i
e
Y
−
=
czyli mamy obszar krytyczny:
