Egzamin dla Aktuariuszy z 3 października 1998 r.
Prawdopodobieństwo i Statystyka
Zadanie 1
36
1
)
12
(
36
2
)
11
(
36
3
)
10
(
36
4
)
9
(
36
5
)
8
(
36
6
)
7
(
36
5
)
6
(
36
4
)
5
(
36
3
)
4
(
36
2
)
3
(
36
1
)
2
(
kostce
tej
-
i
na
wynik
2
1
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
+
=
−
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
X
X
W
X
i
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
36
80
36
16
30
24
10
)
10
(
36
56
36
24
20
12
)
9
(
36
35
36
9
16
10
)
8
(
36
20
36
12
8
)
7
(
36
10
)
6
(
36
4
)
5
(
36
1
)
4
(
wystarczy
10
z
do
=
+
+
+
=
=
+
+
=
=
+
+
=
=
+
=
=
=
=
=
+
=
f
f
f
f
f
f
f
W
W
Z
Z
X
X
Z
Y
+
=
4
6
5
2
6
126
6
36
56
35
20
4
10
1
)
10
(
=
⋅
+
+
+
+
+
=
=
Y
P
6
4
5
5
7
3
8
2
9
1
126
1
6
126
6
1
5
5
=
=
ODP
Zadanie 2
=
∩
∩
C
B
A
ZBIÓR PUSTY
przy min sumy
B
A
∪
przecięcie z C max – 0,4 moŜliwe
tu max C moŜna wcisnąć jako A+B-
B
A
∩
a juŜ nie moŜna tego polepszyć
(
)
(
)
(
)
2
1
8
,
0
4
,
0
4
,
0
5
,
0
7
,
0
4
,
0
max
=
=
−
+
=
∪
∪
∩
=
B
A
P
B
A
C
P
ODP
Zadanie 3
BŁĄD bo to znany fakt
Zad 4 z rozdziału 5.10 (Jakubowski) – ODPOWIEDŹ (A)
Zadanie 4
(
) (
)
)
5
;
0
(
2
5
,
0
2
5
,
0
)
5
(
)
(
5
5
5
0
2
)
5
(
5
,
0
2
)
5
(
5
,
0
∈
=
=
+
=
+
=
=
+
∫
−
−
−
−
−
−
x
e
e
e
e
Y
X
P
X
f
X
Y
X
P
Y
X
X
f
x
x
x
x
−
=
−
−
5
,
7
5
,
2
3
2
3
2
e
e
MIAN
(
)
(
)
66
,
0
1
3
2
9
34
9
4
1
3
2
9
4
3
2
3
2
1
5
,
7
5
,
7
5
,
7
5
,
2
5
0
5
,
1
5
,
1
5
,
2
5
,
1
5
,
1
5
0
5
,
1
5
,
2
≈
−
−
=
−
−
−
=
−
=
=
′
=
′
=
=
=
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
∫
e
e
e
e
e
xe
e
e
v
u
e
v
x
u
MIAN
e
xe
ODP
x
x
x
x
x
Zadanie 5
( )
n
σ
X
µ
ENMW
2
2
2
−
=
(
)
8
4
2
2
2
1
∑
−
−
Π
=
µ
x
i
e
L
(
)
(
)
8
2
2
ln
4
ln
2
∑
−
−
Π
−
=
µ
x
L
i
(
)
(
)
2
2
0
4
4
1
8
2
X
µ
X
µ
µ
x
µ
x
µ
i
i
=
→
=
→
=
−
=
−
=
∂
∂
∑
∑
1
4
4
2
2
2
=
=
+
−
=
n
σ
X
X
ODP
Zadanie 6
{
}
2
1
,
1
2
2
:
−
−
≥
=
n
α
χ
x
x
K
(
)
2
0
2
2
0
2
2
)
1
(
σ
X
x
σ
S
n
x
i
∑
−
=
−
=
kwantyl=7,815
wyszło:
815
,
7
2
<
x
875
,
0
4
7
,
0
3
2
,
1
1
=
+
+
−
=
X
(
)
∑
=
−
8675
,
8
2
X
x
i
13
,
1
134
,
1
815
,
7
8675
,
8
2
0
2
0
≈
>
→
<
σ
σ
Zadanie 7
(
)
2
; σ
x
θ
N
Y
i
i
≅
( )
( )
(
)
(
)
(
)
(
)
∑
∑
∑
∑
−
−
−
−
−
−
=
Π
Π
=
>
2
0
1
2
2
0
2
2
1
2
2
2
0
1
0
1
2
1
2
1
i
i
i
i
i
i
i
X
Y
X
θ
θ
σ
x
θ
Y
n
σ
x
θ
Y
n
e
e
σ
e
σ
θ
p
θ
p
θ
θ
rosnąca funkcja statystyki
∑
∑
−
2
2
i
i
i
X
Y
X
więc teŜ
∑
∑
−
2
i
i
i
X
Y
X
(
) (
)
05
,
0
2
2
2
2
2
2
;
;
)
1
(
2
0
=
>
−
∑
∑
∑
∑
−
=
−
≅
=
∑
∑
c
X
Y
X
P
i
i
i
i
x
σ
x
N
x
σ
x
θ
N
i
i
i
θ
4
4 8
4
4 7
6
}
95
,
0
2
2
2
2
)
1
;
0
(
0
05
,
0
u
x
σ
x
c
x
σ
X
c
X
P
i
i
i
i
N
θ
=
+
→
=
+
>
∑
∑
∑
∑
≅
=
odrzucamy gdy:
∑
∑
∑
∑
−
>
−
2
2
95
,
0
2
i
i
i
i
i
x
x
σ
u
X
Y
X
∑
∑
>
2
95
,
0
i
i
i
x
σ
u
Y
x
