Egzamin dla Aktuariuszy z 3 grudnia 2007 r.

Prawdopodobieństwo i Statystyka

Zadanie 1

2

1

ER =

E S − 2 σ S + σ

4

( 4 2 2 4)

σ

∑( X − X

i

)2

2

≅ χ

)

9

(

2

σ









 ∑ X − X



4

1

1

i

σ

ES = E

∑ X − X

 =

E

 σ =

2 ⋅ 9 + 9

= 9

,

0 9 σ

2 (

2

( i

) )2

2

( (

)2)

4

2

 n



n



( 2 σ)

4

2

(

2

2

)

4



n



2

1 2

2

ES =

σ 9 = 9

,

0 σ

n





σ ⋅

2

1

2 2

4

9 2



ER =

σ

9

,

0 9

4 

σ −

+ σ

= 9

,

0 9 − 8

,

1 + 1 = 1

,

0 9

4 



σ 

10



Zadanie 2

−

P(mi {

n X ,..., X

1

}< t) =1− P(min > t) =1− ( e ) n t

n

n−

f

= n e− t

e− t = ne− tn ≅ wykl n min

( ) 1

( )

∞

∞

2

i

ODP = ∑

i

e

E min(

1

1 1

1

X ,..., X P( N

i)

1

i )

= = ∑  + 



  − 

  







=

i i

e

e

i=1

i=1







 



∞

2

i

∞

2

i

= ∑1 ( i + )

1 ! 1   e −1

i 1 1

e 1

  

 = ∑ +    − 

  



i

i

e

e

i

e

e

i=

!

  



1

i=

  



1

1

c k

logarytmiczny: P( M = k) =

, k = ,

1 ,

2 .... c ∈ (

)

1

,

0

− ln 1

( − c) k

Z tego:

 e − i

i

1

=1

 e −1



 6 4

47 4

4 8





∞

∞

∑  e 

1

=

e

1 → ∑ 

 =1

i

i

i=





1

i=





1



1



ln e −1

1 −





e 

e −1

∞

2

i

2

2

2

2

2

ODP = ∑  1   e −1

 1 

 1 

 1 

 1  e

e

−1

 1 

  

 +   =  

+   =  

e +   =

 e   e 

 e 

 e 

e −

e

e

e

e

i=

1

 

 

 

1

1 − e

2

 1 

1

1

=   ( e −1+ )

1

−

= = e

 e 

e

Zadanie 3

cov( S , S

=

S + S

−

S −

S

1

2 )

(var( 1 2) var

var

1

2 )

5

,

0

rozkład hipergeometryczny:





−

var( S + S

=

⋅

 −



=

1

2 )

25

25 40

21

1995

21

1

40 

40 

39

832

25 

25  40 −13

135

var S = 13 ⋅

1 −



=

1

40 

40 

39

64

25 

25  40 − 8

60

var S = 8 ⋅

1 −



=

2

40 

40  39

39

1995

135

60

5985 − 5265 − 3840

3120

780

195

65

5

−

−

=

= −

= −

= −

= −

= −

832

64

39

2496

2496

624

156

52

4

5 1

5

ODP = −

= −

4 2

8

Zadanie 4

k=5,6,...

P(

P X = Y = k P Y =

Y = k X =

k

4)

( 4

) (

)

=

P( X = 4)

P( X =

P X

4 Y = k ) = P( X = 4 nie b ylo p

ika w k

- )

( = ,4nie b ylo p ika w k - )

1 =

1 =

P(nie b

ylo p

ika w k

-1)

 k − 

1

4

k −5



13 ⋅ 26

k

k

−

 4



1

52

 2 

 k − 

=

=

1

 

k

k −1





52

39

 3 

 4



k 1

−

k 1

−

 39 

13

 3 

1

P( Y = k) = 



=  

 52 

52

 4 

4

∞

k −1

k −1

∞

n+4

n+4

4

k

n

P( X = )

4 = ∑ −1 

 2 

 3 

1

5

1

2

1 3

1

1

1

 

 

5





= k − 5 = n = ∑ + − 





 

 

 

 





=  

⋅ 2 =

n

k =

4

3

4

4

3

4 4

2

4

2

5 







 

n=0 







 

 



1

1

1

2  −  − 1 

 3  − 1

 −1  1  1  −

 −1 

 1 

P( Y = k X = 4) k

k

k

k

k

k

k

=  

 





⋅ 2 =

 





=

 





 3 

 4



 4 

4

 k − 5 2  2 

 k − 5 

 2 

∞

k

∞

n

5

ODP = ∑  k −1 

 1 

5

n 1

1

1

k

 





= k − 5 = n = ∑

 + − 



  

( n + )

5

   





= 5 + 5 = 10

k

n

k =

5

2

2

2

5

 −







n=0







  

Zadanie 5

P( N = 0) = P( T 1 > Y ) P( N = )

1 = P( T

,

Z ≅ Γ( k, λ)

1 < Y T 2 > Y ) k

P( N = k) = P( T ≤ Y , T +1 > Y

k

k

)

∞ x

∞





x

P( N = 0) = ∫ ∫ 2 − y β

− λx

β ye

λe

dydx = ∫ − λx 2

− x

β

1

−



x

β

1 

λe

β

− e

−

e

+

=



2

2 

β

β

β

0 0

0





∞

2

λx

( λ β ) x

( λ β ) x

βλ

λ

λ + 2 λβ + 2

β − βλ − 2

λ − λβ

 β 2

= ∫ −

− +

− +

λe

− β λ

x e

− λe

= 1−

−

=

=

2

2





( λ + β)

λ + β

( λ + β)

 λ + β 

0

X ≅

−

λe λx

P( N = k) = P( Z < Y , Z + X > Y ) = Y ≅

2

−

β ye y

β

= P( X > Y − Z > 0) =

k

Z ≅ λ

k −1 −

t

e λt

Γ( k)

4

6 I 4

7 8

6 4

4 7

II

4

4 8

= P Y

( − Z > 0) − P Y

( − Z > X ) = P Y

(

> Z) − P Y

( > Z + X )

∞ ∞

k

∞

k





λ

λ

z

I.∫ ∫ 2 − y

β

k −1 − λz

β ye

z

e

dydz = ∫ 2

k −1 − λz

− z

β

1

−



z

β 

β

z

e

e

+

e

=



2



Γ( k)

Γ( k)

β

β

0 z

0





∞

k

∞

k

k

k

k

k

= ∫ λ

k

−( λ+ β) z

βz e

+ ∫ λ

k −1 −( λ+ β ) z λ

Γ( k + )

1

λ

Γ

z

e

=

β

+

( k)

=

λ

β

k

+

λ

k +1

k

k +

Γ( k)

Γ( k)

Γ( k) ( λ + β) Γ( k) ( λ + β) ( λ +

1

β)

( λ + β) k

0

0

∞ ∞

k +1

∞

k +1





λ

λ

x

II.∫ ∫ 2 − y

β

k

− λx

β ye

x e

dydx = ∫ 2

k

− λx

− x

β

1

−



x

β 

β

x e

e

+

e

=



2



Γ( k + )

1

Γ( k + )

1

β

β

0 x

0





∞

k +1

k +1

= ∫

λ

k +1 −( λ+ β ) x λ

k

−( λ+

β

x

e

+

β ) x

x e

=

Γ( k + )

1

Γ( k + )

1

0

k 1

+

k 1

+

k 1

+

k 1

+

λ

Γ( k + 2)

λ

Γ( k + )

1

β( k + )

1

= β

+

=

λ

+

λ

k +2

k 1

+

k +2

k 1

Γ( k + )

1

+

( λ + β)

Γ( k + )

1 ( λ + β)

( λ + β)

( λ + β)

k

k

k +1

k +1

k +1

λ

λ

β λ

k

βλ

λ

P( N = k) = β

k

+

−

−

−

=

( λ +

k +1

β)

( λ + β) k

( λ +

k +2

β)

( λ +

k +2

β)

( λ +

k +1

β)

k





=

λ

β

k

β λ

k

βλ

λ



+1−

−

−

 =

( λ + β) k  λ + β

( λ + β)2

( λ + β)2

( λ + β) 

k



2

2



λ

β

k ( λ + β) + λ + 2 λβ + β − β λ

k − βλ − λ( λ +

=

β)



 =

( λ + β) k 

...



2

k

k

λ

β 2 ( k + )

1

 β   λ 

=

= ( k + )

1

2



 



k

( λ + β)

( λ + β)

 λ + β   λ + β 

dla k=0 = P(N=0) czyli odpowiedź (A) jest prawidłowa Zadanie 6

4 n

 c 

P(min < t) = 1 − P(min > t) = 1 −  

 t 

t

4

4

4 c

 c 

P( X < t) = ∫

dx = 1 − 

5

x

 t 

c

4 n

4 n

−4 n 1

−

4

f

= c ⋅

nc

4 nt

=

min

4 n 1

+

t

∞

∞

4 n −4 n+



1 

4 n

4

4

4

4

4

E min = ∫

n − n

4 nc t

= nc t

nc

nc



 =

=

4 n−

1 4 n

c

1 (4 n

)

1

4 n 1

c



−



−

−

c

4 nc

4 n −1

ET = a

= c → a =

1

4 n −1

4 n

∞

∞

4



4 

4

= ∫ 4 c

4

4

4

EX

=

c

c

−

 =

= c

x 4

3 x 3

c

3 3

3

c



 c

1

4

4

EX =

⋅ n c = c

n

3

3

4

3

ET = b c = c → b =

2

3

4

R = E( 2

2

T − 2 cT + c

− E T − 2 cT + c

2

2

) ( 2

2

1

1

)

E( X + ... + X 2

1

= var X 1 + ... + X + E 2 X 1 + ... + X

n )

(

n )

(

n )

n

var( X + ... + X

n ) = ∑ var X i = 2

2

c

1

9

∞

∞

4



4 

4

2 = ∫ 4 c

4

2

EX

=

c

c

−

 =

= 2 c 2

x 3

2 x 2

c 2

c



 c−

2

16 2

18 16 2

2 2

var X = 2 c −

c =

c =

c

9

9

9

2





E(

2 n

4 nc

2

16

X + ... + X

=

c + 

 = nc +

n c

1

n )2

2

2

2 2

9

 3 

9

9

2

2

2 c

16 2

EX

=

+

c

9 n

9

∞

∞

4 n



4 n



4 n

2

min 2 = ∫ 4 nc

4

4

4

E

=

nc

nc

nc



 =

=

4 n−1

4 n−2

4 n−

x

x

(2

4 n)

c

2 (4 n 2)

4 n

2

c



−



−

−

c



2





2

2



9

2 c

16

3 4



2

2

4 n −1

4 nc

4 n −





R =

+

c

−

nc

2 c

c + c −

1 4





− 2 c

+ 2

c  =





16  9 n

9



4 3

 4 n  4 n − 2

4 n

4 n −1



2



2

2

2



c

2

2

2

(4 n −

=

+ c −

c

nc

2 c + c −

)

1

8



−

+ 2

c  =

8 n

 4 n − 2 4 n

4 n



2



c

(16 n 2 −8 n+ ) 2

2

2



1 c − 8 nc (4 n − 2) + c 4 n(4 n −

=

−

2)



 =

8 n



(4 n − 2)4 n



2

2

2

c

c

c (4 n − 2 − 2)

2

c 4( n − )

1

2

c ( n − )

1

=

−

=

=

=

8 n

4 n(4 n − 2)

8 n(4 n − 2)

8 n(4 n − 2)

4 n(2 n − )

1

Zadanie 7

1

L θ

( , x) =

( θ − x )

θ 2

∂

1

2 x

− θ + 2 x

= −

+

=

= → θˆ

0

= 2 x

θ

∂

θ 2

θ 3

θ 3

2 x

λ( x) =

> t

1 ( θ 0 − x )

θ 20

2





θ 0





P

θ

> t =

0 



4

 x ( θ − x

0

)

,

0 2



P(

0

t

2

X < t ) =

t

t

P(− t < X < t = ∫ 1

)

( θ + x) +

1

2

( θ

x)

[

;

0 θ]

2

∫

−

=

−

2

2

− θ

θ

θ

θ

t

0

2

2 t

f x =

−

2

θ

θ

x =

: x









θ

t t

θ

t t

2

2



( − )

1 



( − )

1 

4 tx − 4 t x

θ + θ > 0 → x x

1 =

1 −

, 2 =





1 +



2 

t



2 

2



P(

1

x

θ

X <

2

2 t

2

2 t

t( t

)

1

t( t

)

1

x

P X

x

1

,

0 2

8

,

0

1 ) +

( > 2) 







−

−

= ∫ −  +

2

∫ −  = −

=

→

=

 θ

θ 



2

θ

θ 

t

t

0

x 2

2

2 t

1

t

f

=

−

=

−

t ∈ ( ;

0 4 θ)

1

θ

4 θ

16 2

θ

2 θ

8 2

θ

θ

x =

,

0 2 =

θ

1

,

0

1

2

θ

x =

+

=

2

(1 8,

0 )

θ

9

,

0

2

0 θ

1

,

4 θ

1

1

moc = ∫

− t +

...

6

,

0 5

2

∫

− t = =

θ

2

θ

8

θ

2

θ 2

8

0

0,9 θ

Zadanie 8

∫ L( θˆ, θ)Π( θ X ) dθ → min θ

,...,

( )

f (

f X

X θ f θ

θ X ,..., X

1

=

1

n )

(

n

)

f ( X ,..., X

1

n )

∞

α

θ

x

f (

2

n

n

i

β

X ,..., X

2 θ

x e

θ α e βθ dθ

1

n ) = ∫

− ∑

−1 −

Π i

=

Γ( α)

0

α

∞

2

α = n +

α

α

β

n

n+ −1 − θ

α

( β+∑ xi )

=

β

n

α

2 Π x θ

e

dθ

x

i ∫

n

Γ( +

=

)

2

Γ

i

( α)

β = β + ∑

=

Π

2

x

α

i

Γ

2

( )

n α

0

( β +∑ xi ) +

n+ α

α

θ

x

n

n

i

α

βθ

i

f (

2

2

β

α β

x

θ X ,... X

θ

x e

θ

e

1

n )

− ∑

Γ( )

1

∑

− −

( +

)

= 2

Π i

=

Γ( α)

β α 2 n Π xiΓ( n + α) 2

+ − − ∑ +

+

n

1

θ

α

( x β

i

)

n α

θ

e

(

2

β + ∑ xi )

=

Γ( n + α)

n α

θ

c

i

θ

x

β

L(

β

x

ˆ

θ ) ∞

2

2

= e ( θ − ˆ θ)2 ( + ∑ ) + n+ α−1 − (∑ i + )

∫

θ

e

dθ =

Γ( n + α)

0

 to m

usi b

yc >

b

0 o i

naczej c

alka =∞ 



4

6

4

7 8



n+ α

− θ

∑ 2 xi+ β− c



∞

2

β

x

α

n

α

= ( 2

θ − ˆ

i

2 θ

θ + 2

ˆ

θ )( + ∑ )





= +

∫

n+ α−1





θ

e

=

Γ( n + α)

β = ∑

=

2

xi + β − c

0

(

n α

β + ∑ 2

xi ) +





Γ( n + α)

( n + α)( n + α + ) 1

n +

=

α

2

ˆ

ˆ

2 θ

θ

Γ( n + α)

(∑ 2

n α

xi + β − c)



−

+

+  ∑ xi + β − 2

2

c

∑ 2

xi + β −

 (

)

(

c)



+





+ ∑

L(

n α

2

β

x

ˆ

θ )

i





=

[.. ].



2

∑ x + β − c 



i





n+ α

∂

β + ∑ 2 







xi



2( n + α)

n +

=

α

−

+ θˆ

2  =

→ θˆ

0

=

ˆ



∂ θ

2

2

2

 ∑



xi + β − c





 ∑ xi + β − c



∑ xi + β − c

n+

2

2





∂

 β + ∑

α

xi



=

⋅ 2 > 0 → min

ˆ2



2



∂ θ

 ∑ x

β

c

i +

− 

Zadanie 9

n!

−1

− −

f ( x, y) =

1

−

F r ( x) f ( x) ( ) − ( )

( ) 1 − ( )

≤

rs

[ F y F x ] s r f y [ F y ] n s x y ( r − )

1 !( s − r − )

1 !( n − s)!

x, y ∈ ( ,

0 2

) x ≤ y =

: A

1 1

1

f ( Y , X ) = 2 ⋅

= n

a A

12

2 2

2

2 y xy

E( YX ) = ∫ ∫

dxdy = 1

2

0 0

2 y

= ∫ ∫ x

EX

dxdy = 2

2

3

0 0

2 y

= ∫ ∫ y

EY

dxdy = 4

2

3

0 0

2 4

8

1

cov( X , Y ) = 1 −

= 1− =

3 3

9

9

Zadanie 10

P ( k) - rozmiar testu H 0

przy H prawdopodobieństwo każdego ustawienia X<Y<X<... jest takie samo 0

ilość wszystkich ustawień = 9!

K : S ≤ 1

3 l

ub

S ≥ 27

1

4

3

2

1

1

6

7

8

9

2

5

3

2

1

2

5

7

8

9

3

6

3

2

1

3

4

7

8

9

4

7

3

2

1

4

3

7

8

9

5

5

4

2

1

5

5

6

8

9

6

6

4

2

1

6

4

6

8

9

7

5

4

3

1

7

5

6

7

9

Z tego: dla każdego 4!5!

RAZEM=4!5!14

!

5

!

4 ⋅14

24 ⋅14

1

7

ODP =

=

= =

!

9

6 ⋅ 7 ⋅ 8 ⋅ 9

9

63