Egzamin dla Aktuariuszy z 14 maja 2007 r.

Prawdopodobieństwo i Statystyka

Zadanie 1

ν = ,

2 α = 4

E(

3





X − 3 X > 3)

2

2

8 2

16

P( X > )

3 = 



=

=

 2 + 3  3

125 3

375

E(

2

2





⋅

( X − )

3 2 X > 3)

2

2 2

4 4

16

P( X > )

3 = 



=

=

 2 + 3  3 ⋅ 2

25 3

75

4

 2 

16

P( X > )

3 = 

 =

2

 2 + 3 

25

2

2

16 252

 16 252 

25

 25 

25

25

75 − 25

50





ODP =

−

=

− 

 =

−

=

=





75 16

375 16

3





 15 

3

9

9

9

Zadanie 2



3 

X

X

bin

1 +

2 ≅

−  ;

4





4 

2

 4

4

6

  3   1 

P(

   

 

X = 3 P X =

     

1

) (

3

2

) 3 4 4

4

ODP =

P(

=

=

X + X = 6

 

1

2

)

9

4

6

   

21

3

1

   

 

6 

 4   4 

Zadanie 3

−

P( X >

)

10 θ

= e 0

10

łatwe

θ

X – ilość szkód większych od 10 (bo takie obserwujemy)

∞

∞

n

P( X = k) = ∑ P( X = k N = n) P( N = n) = ∑ n −

n k

10 θ

0 k

100 θ

λ

λ

  e

(1− e ) −

−

−

e

=

k

n!

n= k

n= k 



∞

l

n

100 θ

k

100 θ

n!

−

=

100 θ

k

1

e

(1− 100 θ

e

)

∞

−

n−

−

k λ

− λ

e

( −

− e

)

∑

e

= n − k = l = ∑

k + l − λ

λ

e

=

( n

k)! k!

n!

k l

! !

n= k

−

l =0

−100 θ

k

100

l

θ

100

k

θ

e

− λ k λ( −

1

100

e

θ ) ∞ [ λ(

−

−

1 − e

)] − λ( −

1

100

e

θ )

( −

−

e

λ

)

=

e

λ e

∑

− −

e

=

100

λe

θ

e

k!

l

k

l =

!

!

0

2

−

f ( x x > 10)

x

θ

10 θ

= 20 xe

e 0

( 1−00 θ 4

λe

)

100 θ

−

−∑ x

θ 2

λe

4

i

40 θ

L =

−

e

( θ

2 ) Π x e

e 0

i

24

ln L = 4 ln λ − 40 θ

0 − ln 24 −

−

λe 100 θ + 4 ln( θ

2 ) + ∑ ln X

2

400

i − ∑ X

θ i +

θ

∂

4

1

− 00

= −

θ

e

=

−

0

100

→

θ

e

λ

= 4

∂ λ λ

∂ =

−100

4

2

4

1

100 λe

θ + − ∑ X

ˆ

ˆ

0

400

1200

0

,

4

i można

i

= →

+ −

= → θ =

λ =

e

∂ θ

θ

θ

200

sprawdzić, że to max

Zadanie 4

P( I po I

II l

osowaniu b

rak c

zarnych)

LICZ

c

=

(1cz,4b) (3b,2c) (4b,1c)

MIAN

2 4 1

8

LICZ =

=

5 5 5

125

MIAN = P( A ∧ Ic) + P( A ∧ Ib) 2 4 1

3 2 1

8

6

14

=

+

=

+

=

5 5 5

5 5 5

125

125

125

8 125

8

4

ODP =

=

=

125 14

14

7

Zadanie 5

P( N = 0) = P( X

0 > a )

P( N = )

1 = P( X

,

0 ≤ a X 0 + X 1 > a ) P( N = k) = P( X

,

,...,

...

,

...

0 ≤ a X 0 + X 1 ≤ a X 0 + + X k−1 ≤ a X 0 + + X k−1 + X k > a) =

= P( X

0 + ... + X −1 ≤ a, X 0 + ... + X

> a

k

k

)

czyli P( N = k) = P( Y ≤ a, Y + X > a)g dzi

e Y ≅ Γ( k, λ) a ∞

k

a

k

= ∫ ∫ − λx λ

k −1 − λy

λe

y

e

dxdy = ∫ λ

k −1 − λy − λ( a− y y

e

e

) dy =

Γ( k)

Γ( k)

0 a− y

0

a

k

k

k

k

− λa k

− λa

k

= ∫ λ

k −1 − λa

λ

−

(

)

y

e

dy =

λa a

e

= λ e a = e

aλ

Γ( k)

Γ( k)

k

k!

k!

0

P( N = 0) = e− λa → ( D) Zadanie 6

X

= Y

θ , Y ≅ J (

)

1

,

0

:

1 n

1

EX

n = θ

→ a = n +1

:

1

n + 1

n



t 



t 



t 

P min <

 = 1− P min >  = 1− 1−

 , t ∈ ( ;

0 aθ)



a 



a 



aθ 

n

n 

t 

f

t

( )

min

=

1 −



aθ 

aθ 

n

n

n



t





t



czyli: f ( t) =

1 −

, P





< = −  −



∈

+

T

( T t

n

) 1 1

, t

( ;

0 ( n

)

1 θ)

n

( n + )

1 θ 

( n + )

1 θ 



( n + )

1 θ 

P( T − θ > ε = P T > ε + θ + P T < θ − ε

n

) ( n

) ( n

)

1 4

4 2 4

4 3

1 4

4 2 4

4 3

I

II

I → ∀ ε, θ > 0 do pewnego momentu ale później gdy θ + ε < θ( n + ) 1 to

n



ε + θ 

= a = 1 −

n







( n + θ

)

1





n

θ − ε 

II → zal : θ > ε wtedy θ − ε < ( n + ) 1 θ b

n = 1 − 1 −

g

dy





θ <

ε t

o = 0



( n + )

1 θ 

( ε+ θ

−

) n

( n+ )

1 θ



 ( n+ )

1 θ

−

θ + ε



+

 ε+ θ



ε

θ

−



θ

lim a = lim 1−



→ e

n







( n + θ



)

1









θ − ε

− θ

lim b = 1 − e

n

θ + ε

θ −

−

− ε



ε 



ε 

ODP: jeśli θ > ε → e θ + 1 − e θ = 1 + ex 

p −1 −  − ex 

p −1 + 



θ 



θ 

θ + ε

−

Jeśli

θ

θ < ε → e

Czyli odpowiedź (D) jest prawidłowa Zadanie 7

ˆ

n

θ

łatwe ∑ 3

X

i

≅ Γ( n, θ)

n = ∑ 3

X i

1

wiemy, że σ( θ) =

I ( θ)

1

2

 σ ln f ( θ, x) 

I ( θ) = E

 = ..

1



σθ



2

∂

−

ln(3 x

θ 2 e θx )

3

1

3

−

1 −

=

3 x 2 e x

θ

−

=

3

( 3

1

)

x

θ

x

θ

θ

2 − x

θ

∂

θ

3 x

θ

e

2

3

1− x

θ



1

1

E

 =

E 1 − 2 x

θ

+ θ x =

→ σ( θ) = θ





2

(

3

2

6 )

2

2

θ





θ

θ

n (ˆ θ − θ →

n

) N( 2

;

0 θ )

(ˆ θ − θ

n

) n → N( )1,0

θ

X



1 

9

,

1 6

dla X

≅ N(0,1 ) → N ;

0

 → zθ = 9

,

1 6 → z =

i dalej wychodzi przedział (B)

θ

 θ 2 

θ

Zadanie 8

m > m

2

1

5

∑(

2

X i − m

i

2

)

 1  −



 e

2

 2Π 

−1 (∑

1

X 2

2

2

2

i −2 m 2 ∑

i X i +∑ m i

2 )+ (∑ X i −2 m 1 ∑

i X i +∑ m i

1 )

e 2

2

5

∑(

2

X i − m 1 i )

=

=

 1  −



 e

2

 2Π 

1

1

m 2 ∑ i X

2

2

i −

m 2 ⋅1 −

5 m 1∑ i Xi + m 1 ⋅15

∑ iXi( m 2− m 1)

= e

2

2

= C ⋅ e

→ STAT = ∑ iX

i

P ∑ X

i

∑ iX

i ≅ N ( ;

0 ∑ i) = N ( 1

,

0

)

5

i

> t =

0 (

) ,005

H 0



t 

t

P X >

 = ,

0 05 →

= ,

1 6

4 t = ,

1 64 15



15 

15

H : E ∑ i X

i

=

1

(

) 0

var(∑ i X

i var X

2

cov

i X ,

j X

15

2 2

5

,

0

6

5

,

0

12

5

,

0

20

5

,

0

i ) = ∑

i +

∑

( i

j ) =

+ [ ⋅ +

⋅

+

⋅

+

⋅

]

i< j

≈ ,

1 22







6 4

4 7

4

4 8 



,

1 64 15



ODP = P X >

→ ODP ≈





var



(∑ iXi)

1

,

0 1







Zadanie 9

4

θ 1

L =

1

Π( + Xi ) θ 1+

1

1

ln L

1 = 4 ln θ 1 − ( θ 1 + ) 1 ∑ ln(1 + X i )

∂ = 4 − ∑ln( + X

θ

i ) →

4

ˆ

1

1 =

∂

4

θ

θ

1

1

∑ln(1+ Xi )

i=1

5

analogicznie: ˆ

θ

2 =

5

∑ln(1+ yi )

i=1

t

e −

P(

1

θ

ln 1

( + X ) < t) = P( X < t e − )

1 = ∫

1

−

= 1−

1

θ

t

e

≅ wykl( θ

1 )

1

θ +

1

( +

1

x)

0

analogicznie: ln 1

( + y) ≅ wykl( θ

2 )

∑ln(1+ Xi ) ≅ Γ( ,42 θ)

∑

ln(1 + yi ) ≅ Γ ,

5

( θ)

H 0

θ : = θ

2

wiemy, że X ≅ Γ( n, θ) → 2

2

θX ≅ χ (2 n) można to łatwo wyliczyć









 2 ⋅ 4 ⋅ 2 θ∑ ln(1 + yi )



P

< → t

t

=

→ t ≈





5 ⋅ 4 θ∑ ln(1 + X i ) 3

,

0 257

,

0 6511

2

 1

4

4

4

2

4

4

4

3





≅ F 1

( 0,8)



1

bo kw

( ,

0 0 )

5 =

F 1

( 0,8)

kw

( 9

,

0

)

5

F (8 1

, 0)

Zadanie 10

E[min( X , min

0

( X ,..., X X

X P X

min X ,..., X

1

n )

0 ] =

0

( 0 <

( 1

n ) +

+ E(min( X ,..., X min X ,..., X

min

,...,

1

1

< X P

X

X

0

1

< X

n )

(

n )

) ( (

n )

0 )

1

4

4

4

4

4

4

4

4

4

4

4

4

2

4

4

4

4

4

4

4

4

4

4

4

4

3

= A

− nt

P(min < t) = nte X 0

A = ∫

− nt

nte

= 1 (

− nX 0

−

1 − e

−

nX 0

nX e

0

)

n

0

nX

1

0

ODP =

−

A + X e

= 1− exp − nX

0

(

(

0 )

n