2003 05 17 prawdopodobie stwo i statystykaid 21698

background image

Egzamin dla Aktuariuszy z 17 maja 2003 r.

Prawdopodobieństwo i Statystyka

Zadanie 1

+

=

2

1

)

2

(

2

2

2

wykl

χ

σ

Z

Y

X

Z

i

i

i

i

(

)

(

)

=





=

<

2

2

2

1

1

,...,

min

,...,

min

σ

t

σ

Z

σ

Z

P

t

Z

Z

P

n

n

(

)

+

+

=





>

=

2

2

2

2

1

2

1

2

2

2

2

1

2

,...,

min

1

,...,

min

1

2

σ

n

wykl

Y

X

Y

X

e

σ

t

σ

Z

σ

Z

P

n

n

σ

tn

n

(

)

min(...)

...

,...,

...

min

=

Π

=

Π

=

Π

=

Γ

=

=

=

=

=

0

2

2

2

5

,

1

2

2

2

2

2

2

4

2

2

2

1

2

2

3

2

2

2

3

2

2

n

σ

n

σ

n

σ

σ

n

σ

n

σ

n

β

α

dx

e

σ

n

x

ODP

σ

nx


Zadanie 2

1.0=varA+varB+varC+2cov(A,B)+2cov(B,C)+2cov(A,C)
2.0=varA+var(B+C)+2cov(A,B+C)
3.0=varB+var(A+C)+2cov(B,A+C)
A,B,C,A+C,B+C – mają odpowiednio hipergeometryczne rozkłady
Z tego:

87

144

var

var

29

12

30

3

2

30

10

12

var

=

=

=

=

C

B

A

A

C

B

C

A

B

A

var

)

var(

)

var(

29

12

30

3

1

30

20

12

)

var(

=

+

=

+

=

=

+

)

,

cov(

87

144

)

,

cov(

)

,

cov(

2

)

,

cov(

2

87

144

2

0

:

2

B

A

C

A

C

A

B

A

=

+

+

=

)

,

cov(

87

144

)

,

cov(

)

,

cov(

2

)

,

cov(

2

87

144

2

0

:

3

B

A

C

B

C

B

A

B

=

+

+

=

87

72

87

2

144

)

,

cov(

)

,

cov(

2

87

144

)

,

cov(

87

144

4

)

,

cov(

2

87

144

3

0

:

1

=

=

=

+

+

=

B

A

B

A

B

A

B

A

2

1

144

87

87

72

=

=

ODP


Zadanie 3

Można wypisać: (1,2,3,4) (1,2,3,5) (1,2,3,6) (1,2,4,5) (1,2,4,6) (1,2,5,6) (1,3,4,5) (1,3,4,6)
(1,3,5,6) (1,4,5,6) (2,3,4,5) (2,3,4,6) (2,3,5,6) (2,4,5,6) (3,4,5,6)
Jest 15 przypadków, z tego:

background image

15

4

6

bo

6

1

4

6

6

15

4

4

=









=

=

P


Zadanie 4

(

)

=

=

+

+

=

=

=

n

k

n

i

i

k

k

i

X

X

E

n

ES

λ

EX

X

n

S

1

1

..

...

)

(

)

(

)

1

,

0

(

)

(

N

n

λ

λ

n

n

S

CTG

i

i

i

(

)

)

1

(

)

(

2

2

χ

n

λ

λ

n

n

S

i

i

i

)

(

2

2

k

χ

χ


Zadanie 5

Chyba błąd w treści przy X

(

)

(

)

2

,

, σ

µ

N

µ

X

k

k

k

t

( )

2

, a

µ

N

µ

k

(

)



T

σ

µ

N

µ

X

k

k

k

2

,

(

)

(

)

(

)

(

)

T

σ

a

µ

X

E

µ

X

E

X

T

σ

a

µ

N

X

k

k

k

k

k

k

2

2

2

2

var

var

var

bo

,

+

=

+

=



+

(

)

)

1

(

2

2

2

+

k

χ

T

σ

a

X

X

k

ozn: X

=

Γ

Γ

=

Γ

=

Γ

=

0

0

0

2

3

2

1

2

1

2

3

2

1

2

1

2

1

2

1

2

3

2

...

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

1

1

k

dx

k

e

x

k

e

x

k

x

X

E

k

k

x

k

k

x

k

k

3

1

3

2

2

1

2

3

2

1

2

1

2

1

2

2

3

2

2

2

1

2

2

3

2

=

=

=

Γ

Γ

=

+

k

k

k

k

k

k

k

background image

(

)

T

σ

a

k

T

σ

a

X

X

T

σ

a

E

SSB

E

k

χ

k

2

2

2

2

)

1

(

1

2

2

2

1

3

1

1

1

2

+

=

+

+

=

4

4 8

4

4 7

6

2

2

2

)

1

(

1

3

1

σ

T

K

T

σ

a

K

SSB

SSW

E

nzl

+

=

(

)

)

1

(

3

)

3

(

)

1

(

2

2

2

2

2

2

=

+

=

+

T

KT

K

const

σ

T

a

σ

const

σ

T

a

K

T

σ

T

K


Zadanie 6

5

2

2

X

nzl

X

nzl

4

,

S

σ

µ

N

X



2

5

4

5

;

0

σ

N

X

X

)

3

(

3

2

2

2

χ

σ

S

(

)

}

558

,

3

182

,

3

5

2

95

,

0

5

2

4

5

4

5

)

3

(

)

3

(

2

5

5

=

=





<

=

<

=

<

c

c

c

X

P

S

σ

σ

cS

S

σ

σ

X

X

P

cS

X

X

P

t

t

48

47

6


Zadanie 7

Budujemy test najmocniejszy bo wtedy β min przy ustalonym

α

(

)

8

9

2

2

2

5

,

0

2

2

=

i

i

i

X

X

X

e

e

e

β

t

X

P

α

t

X

P

i

i

=



<

=



>

ln

8

9

2

ln

8

9

2

1

0

9

,

2

9

)

9

,

0

(

1

0

N

X

N

X

}

+

>

=

+

>

75

,

0

ln

3

2

4

9

ln

2

)

1

,

0

(

0

t

X

P

t

X

P

N

i

background image

}

<

=

+

<

75

,

0

ln

3

2

4

9

ln

2

)

1

,

0

(

1

t

X

P

t

X

P

N

i

max

1

min

β

α

β

α

+

lnt=0

}

4533

,

0

75

,

0

1

)

1

,

0

(





<

=

N

X

P

ODP


Zadanie 8

3

2

1

3

2

1

25

)

1

(

4

3

4

3

4

1

)

1

(

4

1

X

X

X

X

X

X

θ

θ

θ

θ

L





=

)

1

,

2

(

:

)

2

,

1

(

:

)

1

,

1

(

:

3

2

1

X

X

X

3

2

3

2

2

1

25

25

25

)

1

(

4

3

X

X

X

X

X

X

θ

θ

L

+

=

(

)

(

)

(

)

θ

X

X

θ

X

X

X

X

L

ln

)

1

ln(

25

...

3

ln

25

ln

3

2

3

2

2

1

+

+

=

(

)

(

)

=

+

=

+

=

)

1

(

25

)

1

(

1

25

3

2

3

2

3

2

3

2

θ

θ

θ

X

X

θ

X

X

θ

X

X

θ

X

X

θ

25

ˆ

)

1

(

25

3

2

3

2

X

X

θ

θ

θ

θ

X

X

+

=

+

=

θˆ

=liczba (1,2) lub (2,1) w 25-próbce

prawdopodobieństwo sukcesu:

θ

θ

4

3

4

1

+

25

)

1

(

)

1

(

25

25

1

ˆ

var

2

θ

θ

θ

θ

θ

=

=


Zadanie 9

( ) ( )

)

(

)

(

y

f

N

f

N

y

f

y

N

f

=

(

)

)

(

1

N

α

wykl

e

N

x

Y

F

Nx

α

=

<


background image

( )

=

=

1

)

(

)

(

N

N

f

N

y

f

y

f

( )

Ny

α

Ne

α

N

y

f

=

( )

=

=

=

=

=

1

0

!

!

)

(

n

n

y

α

e

λ

λ

λ

e

λ

e

λ

n

y

α

λ

n

ny

α

e

λ

e

e

α

n

α

e

e

e

n

e

λ

e

n

λ

ne

α

y

f

y

α

y

α

y

α

(

)

=

=

=

=

=

=

1

1

2

!

1

!

n

n

n

ny

α

e

λ

y

α

e

λ

y

α

λ

λ

n

ny

α

n

λ

e

n

e

e

λ

e

e

λ

e

α

e

n

λ

ne

α

n

y

Y

N

E

y

α

y

α

( )

(

)

=

+

=

+

=

=

0

2

2

2

1

1

!

1

n

y

α

y

α

y

α

y

α

e

λ

n

y

α

e

λ

y

α

e

λ

e

λ

e

λ

e

λ

e

n

e

λ

n

e

e

λ

y

α

y

α


Zadanie 10

(

)

( ) ( )

p

C

P

C

P

p

C

C

P

=

=

=

2

1

2

2

1

(

) (

)

rp

C

E

P

C

E

P

=

=

2

1

(

)

r

p

C

C

E

P

2

2

1

=

(

)

2

2

1

)

1

(

p

C

C

E

P

=

(

)

=

2

1

2

)

1

(

C

C

E

P

p

(

)

( ) ( ) (

) (

) (

) (

)

=

+

+

+

=

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

)

(

C

C

E

P

C

C

P

C

E

P

C

E

P

C

P

C

P

E

P

C

C

E

P

+

+

=

+

+

=

r

p

p

rp

p

E

P

p

r

p

p

rp

p

E

P

2

2

2

2

2

2

2

)

(

1

)

1

(

2

2

)

(

r

p

rp

p

p

r

p

p

rp

p

E

P

2

2

2

2

2

2

1

2

2

1

)

(

=

+

+

+

=

(

)

p

p

rp

rp

r

p

rp

rp

E

P

E

C

P

ODP

=

=

=

=

2

1

)

2

(

2

)

(

2

1


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
2003.05.17 prawdopodobie stwo i statystyka
2003.12.06 prawdopodobie stwo i statystyka
2003 12 06 prawdopodobie stwo i statystykaid 21710
2008 03 17 prawdopodobie stwo i statystykaid 26449
2007 05 14 prawdopodobie stwo i statystykaid 25652
2007.05.14 prawdopodobie stwo i statystyka
2003.01.25 prawdopodobie stwo i statystyka
2005.05.16 prawdopodobie stwo i statystyka
2005.01.17 prawdopodobie stwo i statystyka
2008.03.17 prawdopodobie stwo i statystyka
2003.10.11 prawdopodobie stwo i statystyka
2010.05.31 prawdopodobie stwo i statystyka
2003 01 25 prawdopodobie stwo i statystykaid 21695
1 1998.05.30 prawdopodobie stwo i statystyka
2003 10 11 prawdopodobie stwo i statystykaid 21705
2000 06 17 prawdopodobie stwo i statystykaid 21573
2005 01 17 prawdopodobie stwo i statystykaid 25338
2005 05 16 prawdopodobie stwo i statystykaid 25341

więcej podobnych podstron