Egzamin dla Aktuariuszy z 17 marca 2008 r.
Prawdopodobieństwo i Statystyka
Zadanie 1
∞
ODP = ∑ E( X
X
X
P( N
n)
1 ⋅
2 ⋅ ⋅ ⋅
n )
=
n=1
x x
x
x
x
E(
1 1 2
n−1
1 1
n−1
1
X
X
...
x
x
...
x dx dx
dx
1 ⋅ ⋅ ⋅
n ) = ∫ ∫ ∫
∫ 1 ⋅⋅⋅ n
= ∫ ∫ ∫ n n n−1 ⋅⋅⋅ 1 =
x x
x
1 2 ⋅ ⋅ ⋅
0 0 0
0
n−1
0 0
0
1 1
x
xn−2
2
1 1
x
xn−3
3
1 1
x
n−1
1
n
= ∫ ∫
x
x
x
x
... ∫ n−1 = ∫ ∫... ∫ n−2 = ... = ∫ ∫
2
=∫ 1 = 1
2
2 ⋅ 3
( n − )
1 !
!
n
( n + )
1 !
0 0
0
0 0
0
0 0
0
∞
∞
∞
k
ODP = ∑
1
n−
q
1
( −
1
q) q
= ∑ 1
k −
1
( −
2
q) q
= ∑
− q
e
1
( −
q
1
q) e
=
2
n
k
k
n= (
)
1 !
!
!
1
+
k =2
k =2
q
1 − q q
− q
− q
−
=
e
− qe −
=
q
e
eq − q −
2
[
] 1
1
2
(
)1
q
q
Zadanie 2
E( X 2 Y
( − 2 Z 2
) ) = EE( X 2 Y
( − 2 Z 2
) X ) = E( X 2 E( Y
( − 2 Z 2
) X )
E( Y − 2 Z ) = 2 − 2 ⋅1 = 0
1
1
var( Y − 2 Z ) = var Y + var 2 Z − 4 cov( Y , Z ) = 2 + 4 ⋅
− 4 ⋅ = 1
4
2
1
1
cov( X , Y − 2 Z ) = cov( X , Y ) − 2 cov( X , Z ) =
− 2 ⋅ 0 =
2
2
5
,
0
1
E( Y − 2 Z X ) = 0 +
( X − 0) =
X
2
4
2
var( Y − 2 Z X )
5
,
0
7
= 1
−
⋅1 =
2
8
E(
( Y − 2 Z )2
2
X )
2
7
1
2
7
2
1
4
7
1
7
3
10
5
= E X +
X = EX +
EX
= ⋅ 2 +
⋅3⋅ 4 = + =
=
8 16
8
16
8
16
4
4
4
2
E( X ( Y − 2 Z )) = EXY − 2 EXZ = cov( X , Y ) + EXEY − 2(cov( X , Z ) + EXEZ ) 1
1
= − 2(0 + 0) =
2
2
2
−
var( X ( Y − 2 Z )) 5
1
5
1
10 1
9
= − = − =
=
2
2
2
4
4
4
Zadanie 3
2
t
2
t
x
w
P( X < t) = ∫
− 2
x
θ
=
2 x
θ e
=
= ∫ − wθ
−
e
θ
dw = 1 −
2
t
θ
e
2 xdx = dw
0
0
−
−
<
<
−
−
−
P( X < t X > d ) P( d X
t )
2
2
d
θ
θt
e
e
θ ( 2
2
t
d )
=
=
= 1− e
2
P( X > d )
− d
θ
e
d P( X < t X > d)
− θ( 2 2
t − d )
= 2 t
θ e
= f ( t) = f ( y ) y ∈ ( d;∞) dt
k
2
k
L =
k
( θ
2 ) ( d
θ
e
)
2
ex
p − θ∑ y
i
i=1
k
ln L = k ln( θ
2
+ d
θ 2
)
k − θ∑ y 2
i
i=1
2
2
d
k ⋅
k
2
k + d
θ
k − θ
2
2
∑ y
ln L =
+ d k − ∑ y = 0 →
i
k
0
θ
i
= → =
dθ
θ
2
θ
2
2
i=1
∑ y d k
i −
2
d
= − k < 0 → max
2
2
θ
d
θ
ˆ =
k
θ
∑
y 2
2
i − d k
t
t
2
2
− θ x 2 − d 2
d
θ 2
− 2
dla t ∈ ( d ;∞) P( Y < t) = P( d < Y < t ) (
)
= ∫ 2 x
θ e
dx = 2 e
θ
∫
x
θ
xe
=
d
d
x 2 =
t
w
θd 2
1 −
=
=
w
θ
2
2
2
1
2 e
θ
e
=
d
θ
e
θ
( − θd −
e
−
t
θ
e
) − θ( t d )
∫
−
= 1− e
2 xdx = dw
2
2
θ
d
2
Y
≅ wykl
- przesunięty wykładniczy
i
( 2
θ; d )
∑ 2
Y
i
≅ Γ(
2
k; θ; kd )
∑ 2
Y
i
− 2
d k ≅ Γ( k; θ)
∞
k
∞
k θ
k
x
θ
θ k
α = k −
k
k
ODP = ∫
−
1
1 −
x
e
dx = ∫
k −2 − θx
θ
k
Γ( k − )
1
θ
k
( k −
k
x
e
=
=
=
2)!
= θ
k
k −1
k −
x Γ( k)
Γ( k)
β = θ
Γ( k) θ
( k − 2)!( k −
1
)
1 θ
k − 1
0
0
Zadanie 4
ODP = P( X ≥ max X , X , X
1
( 2 3 4 )
−
P(max( X , X , X
< t = 1
t
− e
2
3
4 )
) (
0,
)3
5
−
−
−
−
f
( t) = 3 1
t
− e
⋅ 5
,
0
t
e
= 5
,
1
t
e
1
t
− e
max
( 0, )2
5
0,5
0,5 (
0,
)2
5
− t
f
t
( ) = e
X 1
∞ ∞
∞
ODP = ∫ ∫ − y
−
e
⋅
0,5
5
,
1
x
e
( −
1 −
0, x
e
)2
5
dydx = ∫
−0,5
5
,
1
x
e
( −0,5 x −
1 − 2 e
+ x
e
) − x
e
=
0 x
0
∞
= ∫ ( − ,15 x
−2 x
−
5
,
1 e
− 2 e
+ 2,5 x
e
) 1 2 1 32
2
3 10 −15 +
=
5
,
1
− +
=
6
3 1
1
−1+ =
=
=
5
,
1
2
5
,
2
2 3
5
2
15
2 15
10
0
Zadanie 5
X 2
V =
→ Y = Z 1
( − V ), X = VZ
X 2 + Y 2
2
2
1
D : { y > ,
0 x >
0 x + y < }
1 → ∆ := V , Z ∈ (
)
1
,
0
z ∈ (
)
1
,
0
v
z < 1 → v <
z
z
v
D( x, y)
1
2 v
2 z
=
=
D( v, z)
z
1 − v
4 v 1
( − v)
− 2 1− v 2 z
1
f ( v, z) = 8 zv z 1
( − v)
= 2 z
4 v 1
( − v)
1
f ( v) = ∫ 2 z =
1 v ∈ (
)
1
,
0
0
Zadanie 6
n
n
∑(
2
2
X
X
X
X
X
X
i −
n+ m )
= ∑( i − n + n − n+ m ) =
i=1
i=1
n
n
n
= ∑(
2
2
X
X
2
X
X
X
X
X
X
i −
n ) +
∑( i − n )( n − n+ m )+ ∑( n − n+ m ) =
i=1
i=1
i=1
n
n
n
= ∑(
2
2
X
X
2
X X
X X
X 2
X X
X
X
i −
n ) +
∑( n i − i n+ m − n + n n+ m )+ ∑( n − n+ m ) =
i=1
i=1
i=1
n
= ∑(
2
X
X
2 nX 2
nX X
nX 2
nX X
i −
n ) +
[ n − n n+ m − n + n n+ m]+
i=1
n
+
2
nX 2
2 nX X
nX 2
X
X
nX 2
nX 2
2 nX X
n −
n
n+ m +
n+ m = ∑ (
i −
n ) +
n +
n+ m −
n
n+ m
i=1
n
E∑( X
i − X n )
2
2
= σ ( n − )
1
i 1
=
2
σ
X
;
n ≅ N µ
n
2
σ
X
;
n+ m ≅ N µ
n + m
E( X
=
+
n )
2
2
σ
2
µ
n
E( X + =
+
n m )
2
2
σ
2
µ
n + m
...
...
...
E(
X
X
X
X
X
X
X X
1
n
1
n
n 1
n m
n
n+ m )
+ +
+ +
+
+ +
+
= E
+ =
n
n + m
1
=
[ E( X +...+ X +
+ +
+ +
+
+
=
+
+
n )2
1
E X
...
X
X
...
X
nσ
n µ
mnµ
1
( 1
n )(
n 1
n m ) ]
[ 2 2 2
2 ]
n( n + m)
n( n + m)
n
2
2
E∑ (
2
2
2
n
2
2
n
X
X
σ ( n
)
1
σ
nµ
σ
nµ
nσ 2
n 2 µ 2
m µ
n 2
i −
n+ m )
=
− +
+
+
+
−
( +
+
)=
n
m
n( n
m)
i=1
+
+
=0
6
4
4
4
4
7
4
4
4
4
8
2
n
2 n
2
2
2 n
2 mn
2
n( n + m) + n − 2 n
= σ n −1+1+
−
+ µ n + n −
−
= σ
n + m
n + m
n + m
n + m
n + m
2
2
2
+
−
+
− −
+ −
+
2
2
n
nm
n
2 n
nm
n
n
n
mn
m
m
2
ET − σ = σ
−1 = σ
=
σ
( n + m)( n − ) 1
( n + m)( n − ) 1
( n − )
1 ( n + m)
Zadanie 7
f ( θ x)
f ( x θ) f ( θ)
=
f ( x)
2
−
f (
i
θ
x θ =
e
i
)
x θ
2
2Π
f ( x θ)
3
− θ
θ
∑ 2
=
i
x
2
e
(2Π 3
)
∞
3
θ
2
2
∞
−
x
2
θ
∑ i
βθ
β
x
2
2
−
4
∑ i
f ( x) = ∫
e
β
e
θ
θ
d =
θ exp
θ
β
3
3 ∫
−
+
=
( Π
2 )
( Π
2 )
2
0
0
α = 5
2
2
β
24
3 β
2
=
∑ x
=
=
i
3
5
5
2
2
β =
+ β
8Π
∑ xi
∑ x
3
2
i
+ β
Π
+
β
2
2
5
2
x
3 ∑ i
Π
+ β
3
f ( θ x)
θ
θ
2
2
2
− βθ
=
ex
p −
∑ x β e
θ
i
=
Π3
8
2
2
3 β
5
2
∑ xi
5
+ β
2
2
2
2
1
4
∑ xi
∑ x
α
i
=
5
4 − θ (...)
∑ xi
=
θ exp − θ
+ β
+ β =
=
θ e
≅ Γ ;
5
+
β
24
2
2
β =
: ...
Γ
)
5
(
2
∑ x 2 i
OZN : β =
:
+ β
2
β = t
x
2
∞
1
5
Π
β
t
θ >
x = ∫
4
− x
β
x e
= x =
a
24
2 β
1
a
1
dx =
dt
2 β
∞
4
t
5
∞
t
5
4
∞
10
β t
−
−
−1 − t
= ∫
1
β
t
1
2
e 2
dt = ∫
e 2 =
1
( 0)
...
5
5
∫
t 2 e 2 = χ
=
24 2 β
2 β
5
24
2 β
2 β
2 β
2 β 2 Γ
)
5
(
a
a
a
1
2 β
2 β
t
1
b
5
b
t
5
4
b
β
4 −
βx
x
β
=
−
Π
β
t
θ <
x = ∫
x e
=
2 = ∫
e
=
1
(
)
0
5
5
∫ χ 2
2
b
24
24 2
0
x =
β
0
0
...
2 β
2 β
Z tego: 18 3
, 07 =
, 9
,
3 4 =
a
b
6
∑ 2
x
β
a
i + 2
= 18 3
, 07
i=1
6
2
∑ x
β
b
i + 2
= 9
,
3 4
i=1
6
6
2 β + ∑ 2
x
2 β
x
i
+ ∑ 2 i
i=1
i=1
ODP =
;
307
,
18
94
,
3
Zadanie 8
przy H
: Y ≅ N + x
0
i
(1 ;4
i
)
przy H
: Y ≅ N − + x
1
i
( 1 2 ;4
i
)
∑(
2
i
y
n
+ −
1 2 i
x )
1
−
e
8
1
f
1
2 2Π
[∑( y
2
2
i − −
1
i
x ) −( i
y + −
1 2 i
x ) ]
8
P
H
> t = PH
> t = P
e
2
H
> t =
0
f
0
∑(
0
i
y
n
− −
1
i
x )
0
1
−
8
e
2 2Π
1∑( 2
2
2
2
i
y −2 yi + −
1 2 i
x i
y +2 i
x + i
x −( i
y +2 yi + −
1 4 i
x −4 i
x i
y +4 i
x )
8
= P
e
H
> t =
0
1∑(−
2
4 i
y +2 i
x i
y +6 i
x −3 i
x )
8
= P
e
H
> t =
0
1
1
3
3
2
1
1
3
3 2
= P
ln
ln
H 0
∑− yi + x y
i
i +
xi − x
i
> t = PH ∑ y x i
i −
+ xi − xi >
0
t
2
4
4
8
4
2
4
8
1
4
4
4
4
2
4
4
4
4
3
Zi
dygresja:
1
1
EZ
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
i =
i −
(1+ i ) 3
3 2
1
1
1
1 2
3 2
3
1
+
i −
i
= − −
i +
i +
i −
i +
i = −
( i − 2)2
4
2
4
8
2
2
4
4
8
4
8
2
1
1
1
var Z
x
x
i =
i −
⋅ 4 = ( i − 2)2
4
2
4
X = ∑
Z
N
x
x
i ≅
− ∑ 1 ( i − 2)2 ∑ 1
;
( i − 2)2
8
4
koniec dygresji
1
X + ∑ (
x
t
x
t
x
i − 2)2
1
ln + ∑ ( i − 2)2
1
ln + ∑ ( i − 2)2
8
8
8
= P
>
= ,
0 05 →
= ,
1 645
1
∑ ( x
x
x
i − 2)2
1
∑ ( i − 2)2
1
( i − 2)2
4
4
4
1
1
K =
3
3
1
1
∑ x
y
x
x
x
x
i −
i +
i −
2
i
> ,1645 ∑ ( i − 2)2 − ∑ ( i − 2)
2 =
4
2
4
8
4
8
1
3
1
=
1
∑
2
− (2 − x y
x
x
x
x
x
i ) i +
i (2 −
i ) −
(2 − i )( i − 2) > ,1645⋅
∑( i − 2) =
4
8
8
2
1
3
1
1
=
1
∑(2 − x
y
x
x
x
i ) −
i +
i +
−
i
> ,
1 645 ⋅
∑( i − )
2
2
=
4
8
4
8
2
= 1
1
∑(2 − x
y
x
x
i )(−
i +
i + )
1 > ,
1 645 ⋅
∑( i − 2)2 =
4
2
n
∑( x
Y
x
i − 2)( i −
i − )
1
= i=1
> ,
3 29 → A jest prawidłową odpowiedzią
n
2
∑( xi − 2)
i=1
Zadanie 9
E( X
Y
i −
i ) = 0
var( X − Y =
+
−
=
+
−
⋅
=
−
i
i )
var X
var Y
2 cov
i
i
( X , Y
i
i )
2
2
2
2
σ
4 σ
2 ρσ 2 σ
5 σ
4 ρσ
X − Y ≅ N
−
i
i
( 2
2
5
;
0 σ
4 ρσ )
W = Z X − Y
i
i (
i
i )
EW
i = p ⋅ 0 = 0
2
var W = EZ E
−
=
−
i
i
( X Y
i
i )2
2
p ( 2
2
5 σ
4 ρσ )
∑ Wi
→ N
2
p (5 2
σ − 4
2
ρσ )
(
)
1
,
0
n
( S − T
n
n ) n
→ N
2
p (5 2
σ − 4
2
ρσ )
(
)
1
,
0
czyli ( S − T
→
−
=
−
n
n ) n
N ( ;
0 p(5 2
σ
4
2
ρσ )
N ( ;
0
2
σ
p
5
(
4 ρ))
Zadanie 10
Z TEORII SERII
8 – a
6 – b
n=8
m=6
2k=6 stąd k=3 (6 serii)
8 + 6 14
Ω =
=
6
6
8 −1
6 −
A =
1
2
3 −1
3 −1
7
5
6 ⋅ 7 4 ⋅ 5
2
2 ⋅
2
2
6 ⋅ 7 ⋅ 2 ⋅ 5 ⋅ 24 ⋅ 5 ⋅ 6
2 ⋅ 5 ⋅ 24 ⋅ 5
20
2
2
ODP =
=
=
=
=
14
9 ⋅10 ⋅11⋅12 ⋅13 ⋅14
9 ⋅10 ⋅11⋅12 ⋅13 ⋅14
30 ⋅11⋅13 ⋅ 2
143
24 ⋅ 5 ⋅ 6
6