Egzamin dla Aktuariuszy z 2 czerwca 2008 r.
Prawdopodobieństwo i Statystyka
Zadanie 1
(
)
(
) ( )
∫
=
θ
A
θ
f
θ
sukces
P
A
sukces
P
, gdzie
A – w n próbach r sukcesów
( ) ( )
)
(
)
(
A
P
θ
f
θ
A
P
A
θ
f
=
( )
∫
∫
=
−
−
=
=
−
θ
r
n
r
θ
d
θ
θ
θ
θ
r
n
θ
f
θ
A
P
A
P
1
0
)
1
(
6
)
1
(
)
(
)
(
∫
+
Γ
+
−
Γ
+
Γ
=
+
−
=
+
=
=
−
=
+
−
+
1
0
1
1
)
4
(
)
2
(
)
2
(
6
2
2
)
1
(
6
n
r
n
r
r
n
r
n
β
r
α
θ
θ
r
n
r
n
r
( )
)
2
;
2
(
)!
1
(
)!
1
(
)!
3
(
)
1
(
)
4
(
)
2
(
)
2
(
6
)
1
(
6
)
1
(
1
1
+
−
+
≅
+
−
+
+
−
=
+
Γ
+
−
Γ
+
Γ
−
−
=
+
−
+
−
r
n
r
B
r
n
r
n
θ
θ
n
r
n
r
r
n
θ
θ
θ
θ
r
n
A
θ
f
r
n
r
r
n
r
∫
+
+
=
+
+
−
+
+
−
+
+
=
+
−
=
+
=
=
+
−
+
+
−
=
+
−
+
1
0
1
2
4
2
)!
4
(
)!
1
(
)!
1
(
)!
1
(
)!
2
(
)!
3
(
2
3
)!
1
(
)!
1
(
)!
3
(
)
1
(
n
r
n
r
n
r
r
n
r
n
r
n
β
r
α
r
n
r
n
θ
θ
ODP
r
n
r
Zadanie 2
(
)
)
2
;
(
2
2
1
2
1
2
1
2
1
)
1
(
)
1
1
(
1
1
θ
Pareto
t
t
X
P
t
X
P
X
t
X
P
θ
θ
θ
θ
≅
+
−
=
+
−
=
>
+
<
<
=
>
<
−
(
)
3
0
1
)
2
(
8
:
przy
2
2
y
Y
H
y
θ
Y
i
θ
i
θ
i
+
≅
+
≅
+
(
)
(
)
(
)
>
+
=
>
+
+
∏
∏
∏
=
t
y
P
t
y
y
P
i
i
H
i
i
H
10
1
2
10
10
3
5
10
2
8
8
2
2
64
0
0
dla
)
4
,
0
(
∈
t
(
)
∫
∞
−
+
=
=
+
=
+
=
−
>
=
>
+
=
<
+
2
8
1
2
2
2
2
8
8
2
2
8
t
θ
i
θ
i
i
X
i
x
y
y
θ
t
y
P
t
y
P
t
y
P
i
3
2
1
θ
θ
θ
θ
t
θ
θ
t
θ
θ
t
t
x
x
θ
=
=
−
=
=
∞
∞
+
∫
4
1
8
2
2
2
8
8
1
1
4
1
−
=
θ
θ
t
θ
f
dla
)
4
,
0
(
∈
i
x
(
)
(
)
∫
=
=
<
=
<
−
t
e
θ
t
θ
θ
θ
t
i
i
e
x
θ
e
X
P
t
X
P
0
1
4
1
4
1
ln
θ
t
θ
X
e
θ
t
f
i
=
4
1
)
(
ln
)
4
ln
;
(
)
;
4
ln
(
dla
4
1
)
(
)
4
ln
(
ln
−
≅
=
∞
−
∈
=
+
−
−
−
θ
wykl
θ
e
t
e
θ
t
f
t
θ
θ
t
θ
X
i
(
)
} }
∑
−
Γ
≅
−
4
8
47
6
0
4
ln
10
;
;
10
ln
x
β
α
i
θ
X
(
) (
) (
)
∫
∑
∑
∏
−
−
+
−
=
+
Γ
=
−
<
−
=
>
=
>
t
x
θ
i
i
i
dx
e
x
θ
t
X
P
t
X
P
t
x
P
ln
4
ln
10
)
4
ln
10
(
9
10
)
4
ln
10
(
)
10
(
ln
ln
ln
ln
∫
∫
−
−
−
−
=
Γ
=
=
=
=
=
Γ
=
=
+
=
t
t
θ
x
w
θ
dx
θ
e
θ
x
θ
θ
dx
dw
θ
x
w
x
w
θ
dw
e
w
θ
w
x
ln
4
ln
10
0
)
ln
4
ln
10
(
2
0
2
9
9
9
10
9
10
2
1
2
)
10
(
2
2
2
)
10
(
4
ln
10
∫
∫
−
−
−
=
=
Γ
=
)
ln
4
ln
10
(
2
0
)
ln
4
ln
10
(
2
0
2
2
9
10
05
,
0
)
20
(
)
10
(
2
1
t
θ
t
θ
x
χ
e
x
przy
∫
−
−
=
→
=
−
→
=
)
ln
4
ln
10
(
4
0
2
0
4
851
,
10
4
ln
10
ln
851
,
10
)
ln
4
ln
10
(
4
05
,
0
)
20
(
:
t
t
t
χ
H
czyli moc=
∫
∫
=
=
=
=
Γ
=
−
+
−
702
,
21
0
2
9
10
4
851
,
10
4
ln
10
4
ln
10
8
0
2
2
2
2
)
10
(
1
)
20
(
dt
dx
t
x
e
x
χ
x
∫
∫
−
−
Γ
=
⋅
Γ
=
851
,
10
0
851
,
10
0
9
9
9
10
)
10
(
1
2
2
2
)
10
(
1
t
t
e
t
dt
e
t
∫
∫
=
+
−
=
−
=
=
′
=
′
=
=
+
−
=
−
=
=
′
=
′
=
=
−
−
−
−
−
−
−
−
...
8
8
9
9
7
8
8
9
8
9
9
t
t
t
t
t
t
t
t
e
t
e
v
t
u
e
v
t
u
e
t
e
t
e
v
t
u
e
v
t
u
e
t
−
⋅
⋅
⋅
⋅
−
⋅
⋅
⋅
−
⋅
⋅
−
⋅
−
−
−
=
−
−
−
−
−
−
t
t
t
t
t
t
e
t
e
t
e
t
e
t
e
t
e
t
4
5
6
7
8
9
5
6
7
8
9
6
7
8
9
7
8
9
8
9
9
X
e
te
e
t
e
t
t
t
t
t
=
−
⋅⋅
⋅
−
⋅⋅
⋅
−
⋅⋅
⋅
−
−
−
−
−
851
,
10
0
2
3
!
9
2
9
3
9
4
9
643
,
0
!
9
≈
=
X
ODP
Zadanie 3
0
0
0
1
2
,
0
8
,
0
0
0
2
,
0
0
8
,
0
0
04
,
0
16
,
0
16
,
0
64
,
0
szukamy rozkł. Stacjonarnego i ODP=
3
2
p
p
+
=
=
=
→
=
+
+
=
+
=
+
=
+
1
3
1
2
1
4
4
3
2
1
3
3
1
2
2
1
1
4
1
8
,
0
8
,
0
36
,
0
2
,
0
2
,
0
04
,
0
8
,
0
16
,
0
8
,
0
16
,
0
64
,
0
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
1
4
3
2
1
=
+
+
+
p
p
p
p
1
36
,
0
8
,
0
8
,
0
1
1
1
1
=
+
+
+
p
p
p
p
96
,
2
8
,
0
,
96
,
2
8
,
0
,
96
,
2
1
2
3
1
=
=
=
p
p
p
541
,
0
96
,
2
8
,
0
8
,
0
≈
+
=
ODP
Zadanie 4
(
)
∑
−
=
−
)
1
(
2
2
2
n
χ
σ
X
X
i
≅
n
σ
m
N
X
2
;
(
)
∑
=
+
−
T
X
b
X
X
a
i
2
2
szukamy a,b
( )
2
1
2
2
)
(
X
E
σ
m
T
E
=
+
=
n
a
b
σ
m
m
n
σ
b
n
σ
a
1
,
1
)
1
(
2
2
2
2
2
=
=
→
+
=
+
+
−
(
)
∑
+
−
=
2
2
1
X
X
X
n
T
i
wiemy, że
(
)
∑
∑
i
i
X
X ;
2
- dostateczna, zupełna
czyli
(
)
(
)
∑
∑
∑
+
−
=
2
2
2
1
,
X
X
X
n
X
X
T
E
i
i
i
- ENMW
szukamy var(T)
(
)
2
4
4
2
4
2
2
2
)
1
(
2
1
var
n
σ
n
σ
n
n
σ
X
X
n
i
−
=
−
=
−
∑
( )
2
2
4
2
var
X
E
X
E
X
−
=
≅
−
n
σ
N
m
X
2
;
0
(
)
(
)
4
4
2
2
2
3
4
4
3
2
2
3
4
2
4
4
4
6
4
4
6
4
3
m
m
m
n
σ
m
X
mE
X
E
m
m
X
m
X
m
X
X
E
n
σ
m
X
E
+
−
+
+
−
=
+
−
+
−
=
=
−
(
)
(
)
3
3
2
2
3
3
2
2
3
3
3
3
3
3
0
m
m
m
n
σ
m
X
E
m
m
X
m
X
X
E
m
X
E
−
+
+
−
=
−
+
−
=
−
=
3
2
3
3
3
2
3
3
3
3
3
m
n
σ
m
m
m
m
n
σ
m
X
E
+
=
+
−
+
=
=
−
+
−
−
+
+
=
4
4
4
2
2
3
2
2
4
4
4
6
6
3
4
3
m
m
m
n
σ
m
m
n
σ
m
m
n
σ
X
E
4
2
2
2
4
4
4
4
2
2
4
2
2
2
4
6
3
4
6
6
4
12
3
m
n
σ
m
n
σ
m
m
m
n
σ
m
m
n
σ
m
n
σ
+
+
=
−
+
−
−
+
+
=
−
+
+
+
−
=
+
−
+
+
+
−
=
4
2
2
2
4
2
4
4
2
2
2
4
2
2
2
4
2
4
4
6
3
2
2
6
3
2
2
m
n
σ
m
n
σ
n
σ
n
σ
m
n
σ
m
n
σ
m
n
σ
n
σ
n
σ
ODP
(
)
2
2
2
2
2
4
4
2
2
2
4
2
2
4
2
2
σ
m
n
σ
n
σ
m
n
σ
m
n
m
σ
n
σ
+
=
+
=
−
−
−
Zadanie 5
( )
( )
2
;
gdzie
σ
µ
N
X
e
E
m
X
≅
=
2
2
1
σ
µ
e
m
+
=
dla danych:
5
,
0
e
m
=
z teorii wiemy, że dla ENW w lognormalnym
+
→
−
n
σ
σ
m
m
N
m
T
d
n
/
2
1
;
2
2
2
n
e
n
n
σ
σ
m
2
3
/
1
2
2
=
+
czyli
(
)
N(0,1)
X
gdzie
,
3
2
2
2
czyli
)
1
,
0
(
3
2
≅
>
=
→
−
e
X
P
ODP
N
e
n
m
T
d
n
czyli
{
16152
,
0
3
4
4
,
1
=
→
>
≈
ODP
e
X
P
Zadanie 6
(
)
(
)
0
)
(
0
)
(
>
∩
−
>
∩
−
C
A
P
C
P
C
A
P
A
P
z założeń wynika, że tak musi być jak na rysunku
(
)
(
) (
)
(
)
(
)
(
) (
) (
)
(
)
(
)
)
(
C
P
C
B
P
C
A
P
C
B
A
P
C
B
P
B
A
P
C
A
P
C
B
A
B
P
C
A
B
P
∩
>
∪
∩
∩
−
∩
+
∩
=
∪
∩
∪
∩
=
∪
(
)
(
)
(
)
(
)
)
(
)
(
C
P
C
B
P
C
A
P
C
B
P
C
A
P
C
A
B
P
L
∩
>
∪
∩
+
−
−
=
(
)
(
) (
) (
)
(
)
(
)
(
) (
)
(
)
=
∩
−
∩
−
∩
−
+
∩
=
−
∩
−
∪
∩
>
−
C
A
P
A
P
C
B
P
C
A
P
C
P
A
P
C
P
C
B
P
C
A
P
C
B
P
C
A
P
C
P
C
B
P
C
A
B
P
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
(
) (
)
(
)
(
) (
)
(
)
(
)
( )
C
C
B
P
C
P
C
B
P
C
A
P
A
P
C
B
P
C
A
P
A
P
C
P
C
B
P
C
B
P
→
=
∩
=
∩
−
∩
−
∩
−
∩
+
∩
=
)
(
)
(
)
(
)
(
prawidłowa
Zadanie 7
(
)
0
,
cov
=
−
+
+
cz
z
r
z
b
N
N
N
N
N
to są rozkłady Bernoulliego
(
)
450
18
225
54
225
14
225
50
2
1
,
cov
−
=
−
−
=
r
b
N
N
(
)
=
+
+
−
−
−
−
−
+
=
+
−
−
−
+
−
=
225
10
5
50
14
9
6
54
2
1
225
)
10
)(
5
(
225
14
225
)
9
)(
6
(
2
1
,
cov
2
2
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
N
N
z
b
450
10
2
225
10
2
2
1
−
=
−
=
k
k
(
)
225
450
2
225
15
14
14
14
2
1
225
)
15
(
225
14
225
)
14
)(
1
(
2
1
,
cov
2
2
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
N
N
cz
b
−
=
−
=
+
−
−
−
+
−
=
−
−
−
−
+
=
(
)
=
−
+
+
−
−
−
−
+
=
−
+
−
−
+
−
=
225
54
10
5
50
14
14
2
1
225
54
225
)
10
)(
5
(
225
)
1
)(
14
(
2
1
,
cov
2
2
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
N
N
r
z
450
90
18
225
90
18
2
1
−
=
−
=
k
k
225
5
50
225
)
10
)(
5
(
var
2
k
k
k
k
N
z
−
−
=
+
−
=
(
)
450
10
2
225
15
10
5
50
50
2
1
225
)
15
(
225
)
10
)(
5
(
225
50
2
1
,
cov
2
2
2
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
N
N
cz
z
−
=
+
−
+
+
−
−
=
−
−
+
−
−
=
→
=
−
−
−
−
+
−
+
+
−
+
−
0
450
10
2
225
5
50
450
90
18
225
450
10
2
450
18
2
2
k
k
k
k
k
k
k
0
10
2
2
10
100
90
18
2
10
2
18
2
2
=
+
−
−
−
+
−
+
+
−
+
−
→
k
k
k
k
k
k
k
1
0
18
22
4
2
=
→
=
+
−
k
k
k
Zadanie 8
Dla
)
1
;
(z
t
∈
(
)
)
1
(
2
1
1
)
(
−
−
=
<
=
=
<
n
n
t
t
X
P
z
X
t
M
P
(
)
3
2
1
)
2
2
(
−
−
=
=
n
t
n
z
X
M
f
(
)
(
)
(
)
∫
−
−
−
=
−
−
=
−
−
=
=
∈
−
=
=
=
1
2
2
2
2
3
2
1
1
1
1
)
2
2
(
1
)
1
;
(
1
z
n
n
n
z
z
t
n
z
X
z
M
P
z
X
z
M
P
(
)
∫
=
+
−
−
−
−
−
=
⋅
+
−
=
=
−
−
−
−
1
1
2
1
2
2
2
2
2
1
1
2
2
2
1
2
2
2
)
2
2
(
z
n
n
n
n
z
z
n
n
n
n
z
z
dt
t
n
z
X
M
E
1
2
2
2
1
2
)
1
2
2
2
(
2
2
1
2
1
2
−
+
−
=
−
+
−
−
−
−
=
−
−
n
z
n
n
z
n
n
n
n
n
Zadanie 9
( )
1
1
=
⋅
=
λ
λ
λ
S
E
( )
2
2
=
⋅
=
λ
λ
λ
T
E
( ) ( )
(
)
0
,
cov
=
λ
T
E
λ
S
E
( ) ( )
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
λ
T
S
E
λ
T
S
E
λ
T
E
λ
S
E
T
S
,
cov
,
cov
,
cov
)
,
cov(
=
+
=
(
)
(
)
( )
( )
(
)
=
⋅
−
−
+
=
5
,
0
var
var
var
,
cov
λ
T
λ
S
λ
T
S
λ
T
S
( ) ( )
( ) ( )
(
) ( ) ( )
[
]
=
⋅
−
−
+
+
=
5
,
0
2
2
2
2
2
λ
Y
E
λ
λ
X
E
λ
λ
Y
E
λ
X
E
λ
Y
E
λ
X
E
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
2
5
,
0
8
2
14
5
,
0
8
2
2
1
2
8
2
2
2
2
2
=
−
−
=
−
−
⋅
⋅
+
+
=
∫
∫
∞
∞
−
−
=
=
Γ
=
=
=
=
=
=
=
0
0
3
3
2
2
2
3
3
4
2
2
3
16
2
)
3
(
3
16
2
3
3
16
3
8
2
2
)
,
cov(
β
α
e
λ
e
λ
λ
λ
E
T
S
λ
λ
( )
(
)
( )
(
)
3
4
2
2
1
var
var
var
var
2
=
=
+
⋅
=
+
=
λ
E
λ
λ
E
λ
λ
λ
S
E
λ
S
E
S
( )
(
)
( )
(
)
3
16
8
4
2
2
var
var
var
var
2
=
=
⋅
+
=
+
=
λ
E
λ
λ
E
λ
λ
λ
T
E
λ
T
E
T
2
1
4
2
3
3
4
3
16
3
4
3
4
)
,
(
=
⋅
=
=
T
S
corr
Zadanie 10
Przy
:
0
H
(
)
2
2
;
0 σ
N
Y
X
i
i
≅
−
Y
X
Y
X
−
=
−
stąd szukamy c by:
(
)
2
2
2
;
0
gdzie
05
,
0
10
1
σ
N
X
c
X
X
P
i
≅
=
>
∑
=
>
=
>
=
>
∑
2
2
2
2
2
2
10
1
c
X
X
P
c
S
X
P
c
S
X
P
i
(
)
(
)
=
<
+
−
=
>
+
−
=
∑
∑
2
2
2
2
2
2
2
2
1
10
1
10
1
c
X
X
X
X
P
c
X
X
X
X
P
i
i
(
)
(
)
(
)
=
−
>
−
=
−
>
−
=
−
<
−
=
∑
∑
∑
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
10
1
1
10
1
1
1
10
1
0
c
c
X
X
X
P
c
c
X
X
X
P
c
X
X
X
P
i
H
i
i
262
,
2
1
3
05
,
0
9
1
)
9
(
2
2
2
2
=
−
→
=
−
>
=
c
c
c
c
T
P
2
2
2
3
262
,
2
1
=
−
c
c
602
,
0
3
262
,
2
1
3
262
,
2
2
2
≈
+
=
c
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
2008.06.02 prawdopodobie stwo i statystyka
2001.06.02 prawdopodobie stwo i statystyka
2001 06 02 prawdopodobie stwo i statystykaid 21607
2002 06 15 prawdopodobie stwo i statystykaid 21643
1997.06.21 prawdopodobie stwo i statystyka
2008 03 17 prawdopodobie stwo i statystykaid 26449
2008 12 15 prawdopodobie stwo i statystykaid 26466
1999.06.19 prawdopodobie stwo i statystyka
2011.06.20 prawdopodobie stwo i statystyka
2008.12.15 prawdopodobie stwo i statystyka
2006 06 05 prawdopodobie stwo i statystykaid 25461
2002.06.15 prawdopodobie stwo i statystyka
2004.06.07 prawdopodobie stwo i statystyka
2008.03.17 prawdopodobie stwo i statystyka
1999 06 19 prawdopodobie stwo i statystykaid 18597
2006.06.05 prawdopodobie stwo i statystyka
2011 06 20 prawdopodobie stwo i statystykaid 27374
więcej podobnych podstron